专题02 不等式的性质、恒成立与最值问题（专项训练）（上海专用）2027年春季高考数学

专题02 不等式的性质、恒成立与最值问题 内容导航 01 方法总结·技巧提炼 1 02 题型探究·深度突破 2 题型01 不等式的性质与比较大小 2 题型02 一元二次不等式的含参求解 3 题型03 分式不等式与绝对值不等式 5 题型04 基本不等式及其最值 6 题型05 不等式恒成立与存在性求参 7 03 分层训练·达标过关 8 巩固过关 8 能力提升 11 1、比较大小的通法：首选作差法，差式分解到符号明确为止；两正数比较可用作商法，也可借助函数的单调性直接判断。 2、一元二次不等式的求解：先看二次项系数定开口，再算判别式定根的情况；含参时按"二次项系数、判别式、两根大小"三级顺序讨论。 3、分式与绝对值不等式：分式先移项通分化为整式并注明分母不为零；绝对值用"大于取两边、小于取中间"或平方去掉绝对值。 4、恒成立与存在性：f(x)≥a 恒成立等价于 f(x)的最小值≥a；存在 x 使 f(x)≥a 等价于 f(x)的最大值≥a；能分离参数时优先分离后求最值。 题型01 不等式的性质与比较大小 不等式性质与比较大小的解题技巧 （1）作差后必须分解或因式化，直到符号一目了然，不能停在差的表达式上； （2）两个正数比较大小可用作商法，判断商与 1 的大小关系； （3）同向不等式可加不可减，可乘需保证两边均为正，避免踩性质陷阱。 1．（2025·上海金山·一模）已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【分析】利用不等式的性质，结合作差比较法逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，因，由，可得，故A错误； 对于B，因，则，利用不等式的性质，可得，即，故B错误； 对于C，因，由，可得，故C错误； 对于D，因，利用不等式的性质，可得，即，故D正确. 故选：D. 2．（2025·上海金山·二模）已知，则下列结论不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、绝对值三角不等式 【分析】利用不等式性质判断AD；举例说明判断B；利用绝对值的三角形不等式判断C. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，取，，B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，D正确. 故选：B 3．（2025·上海杨浦·一模）已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】举出反例可判断，根据不等式的基本性质，可判断B，进而得到答案． 【详解】对于A，令，满足， 此时，，故A错误； 对于B，由，两式相加得，故B正确； 对于C，令，满足， 此时，，故C错误； 对于D，令，满足， 此时，，故D错误. 故选：B 题型02 一元二次不等式的含参求解 一元二次不等式含参求解的解题技巧 （1）按二次项系数是否为零、判别式的正负、两根的大小三级顺序展开讨论； （2）解集端点为两根时，注意开口方向决定"取中间"还是"取两边"； （3）若已知解集反求参数，用韦达定理或端点代入往往比正面解更快。 4．（2026·上海普陀·二模）设，若关于x的不等式的解集是，则a的值为______. 【答案】 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、分式不等式 【分析】将分式不等式化为等价的二次不等式，根据“三个二次”的关系求解. 【详解】由不等式可得，等价于， 因为原不等式的解集是，所以是方程的两根， 所以，解得. 5．（2025·上海·模拟预测） 的解集为 ，则 的解集为 ______． 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式 【分析】由不等式 的解集为 ，可得到且,代入一元二次不等式求解即可. 【详解】由题干知，不等式 的解集为 ， 可得到，代入一元二次不等式得 ， 由于，所以，即 . 故答案为： 【点睛】 6．（2026·上海金山·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，则的最小值为__________． 【答案】16 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】先根据韦达定理得出，再应用常数代换及基本不等式计算求解最小值. 【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的正根、， 则，所以， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时，此时，符合题意， 所以当时，取的最小值16. 题型03 分式不等式与绝对值不等式 分式不等式与绝对值不等式的解题技巧 （1）分式不等式先移项通分，化为整式不等式，同时标注分母不为零； （2）绝对值不等式用"大于取两边、小于取中间"，含两个绝对值时可平方或分类； （3）解集务必与定义域取交集，最后回代检验端点是否成立。 7．（2026·上海徐汇·二模）不等式的解集为__________. 【答案】/ 【知识点】分式不等式 【详解】因为，所以，即，所以解集为 8．（2026·上海杨浦·模拟预测）不等式的解集为__________． 【答案】 【知识点】分式不等式 【分析】转化成分式不等式组，分别求解再取交集. 【详解】由题意得：， 由，化简得，解得：； 由，化简，解得； 取交集得： 9．（2026·上海松江·模拟预测）不等式的解集为________． 【答案】 【知识点】公式法解绝对值不等式 【详解】因为，所以，解得， 则此不等式的解集为. 题型04 基本不等式及其最值 基本不等式及其最值的解题技巧 （1）使用前验证"一正、二定、三相等"，三个条件缺一不可； （2）凑配出定值是关键，常用"加项减项""乘 1 变换""拆项"等技巧； （3）等号不能取到时，改为利用函数的单调性求最值。 10．（2025·上海金山·三模）若，，且，则的最小值为______． 【答案】2 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由基本不等式计算即可求解. 【详解】因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立， 故的最小值为2. 故答案为：2 11．（2026·上海静安·三模）若均为正数，且，则的最小值为___________． 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最值求解. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立， 所以，的最小值为. 12．（2026·上海·三模）已知均为正数，且，则的最小值为___________ 【答案】2 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】因为，所以. ，当且仅当时等号成立. 题型05 不等式恒成立与存在性求参 不等式恒成立与存在性求参的解题技巧 （1）先判断能否分离参数，能分离就转化为求函数最值，最稳妥； （2）不能分离时构造函数，用单调性或导数求最值后列不等式； （3）注意"恒成立"与"存在性"的最值方向相反，不要混用。 13．（2025·上海·模拟预测） 恒成立，求 范围__________ 【答案】 【知识点】绝对值三角不等式、求绝对值不等式中参数值或范围 【分析】由绝对值不等式可求出绝对值之和函数的最小值，代入，得到关于的一元二次不等式，解之可得到答案. 【详解】由绝对值不等式可得到： ，当时取“=”； 所以, 不等式 对所有 恒成立， 等价于 ， 即：，解此不等式：. 故答案为： 14．（2026·上海杨浦·模拟预测）若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为__________． 【答案】 【知识点】绝对值三角不等式、求绝对值不等式中参数值或范围 【分析】应用绝对值三角不等式计算求解最大值，再解绝对值不等式求解. 【详解】因为不等式，不等式的最大值为， 对任意，不等式恒成立，所以， 则的取值范围为，即得的取值范围为. 15．（2026·上海·一模）若不等式对于任意实数x恒成立，则a的取值范围为______． 【答案】 【知识点】绝对值三角不等式、求绝对值不等式中参数值或范围 【分析】将问题转化为恒成立，然后利用绝对值三角不等式求的最小值，最后解绝对值不等式即可. 【详解】不等式恒成立，即不等式恒成立， 即不等式恒成立， 所以， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，两边平方化简得，解得， 即a的取值范围为. 巩固过关 1．（2026·上海·春考T2）关于的不等式的解集为____________. 【答案】 【知识点】分式不等式 【分析】由可得:，解不等式可得其解集. 【详解】由可得:， 解得:， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 2．（2026·上海·春考T6）若，，且，则的最大值是______． 【答案】2 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】由于、为正值，且为定值4，因此可以运用基本不等式先求出的最大值，进而求出的最大值． 【详解】解：∵，， ∴ ∴，当且仅当时取等号，即，时取等号 故答案为：2． 【点睛】此题考查基本不等式的应用，应用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础题 3．（2026·上海·春考T14）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】举反例即可求解ABD，根据不等式的传递性即可求解C. 【详解】对于A,取，则故，所以A错误， 对于B，取则，此时，故B错误， 对于C，由于，故，因此，C正确， 对于D,取，则，此时，故D错误， 故选：C 4．（2026·上海·秋考T7）已知，则的最大值为__________． 【答案】/ 【知识点】条件等式求最值 【分析】根据基本不等式可得，结合条件即可求结论. 【详解】因为，当且仅当时等号成立， 结合可得，， 当且仅当，或，时等号成立， 所以当，或，时，取最大值，最大值为. 5．（2025·上海·秋考T2）不等式的解集为_________． 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】转化为一元二次不等式，解出即可. 【详解】原不等式转化为，解得， 则其解集为. 故答案为：. 6．（2025·上海·春考T2）不等式的解集为_____． 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】将不等式化为，即可得答案. 【详解】由题意得不等式即， 即不等式的解集为， 故答案为： 7．（2026·上海奉贤·二模）不等式的解集为________． 【答案】 【知识点】公式法解绝对值不等式 【详解】或， 解得或， 所以不等式的解集为. 8．（2026·上海杨浦·二模）设，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【详解】对于A，B，D，若，可设，此时，故A不符合题意； 此时，，得到，故B不符合题意； 此时，得到，故D不符合题意； 对于C，因为在上单调递增， 所以，一定有成立，故C符合题意. 能力提升 9．（2025·上海长宁·一模）已知均为正实数，且，则的最小值为___________． 【答案】4 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】由可得，所以原式可化为①，令，利用基本不等式求出的范围，则①式可化为，再次利用基本不等式求出的范围即可得解.（注意两次应用基本不等式，等号成立的条件必须相同） 【详解】由可得，所以原式①. 令，当时，， 当且仅当，即时等号成立，所以. 所以①式可化为原式. 令，则， 当且仅当，即，即时等号成立，所以， 所以的最小值为4. 故答案为：4 10．（2025·上海杨浦·三模）已知，则的范围是________． 【答案】 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】利用重要不等式即可求解. 【详解】由，可得，所以， 当且仅当时，等号成立，所以， 所以的范围是. 故答案为：. 11．（2026·上海闵行·二模）若平面直角坐标系中的点到轴与轴的距离之和为1，现有以下两个命题： ①存在点到轴与轴的距离之差为1； ②存在点到轴与轴的距离之积为1. 则以下选项正确的是（    ） A．①不正确，②不正确 B．①正确，②正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确 【答案】C 【知识点】基本不等式求积的最大值 【详解】设，则， 对于①，当时，，故，满足点到轴与轴的距离之差为1，①正确； 对于②，由基本不等式可得，即，故，②错误. 12．（2026·上海·模拟预测）在命题：①；②；③中，真命题的序号为__________ 【答案】②③ 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式的性质，逐一进行检验. 【详解】对于命题①，且时，若，有，命题①为假命题； 对于命题②，且时，由可得，即， 所以，得且，即，命题②为真命题； 对于命题③，且时，有且， 所以，满足，命题③为真命题. 13．（2025·上海杨浦·二模）不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【知识点】求绝对值不等式中参数值或范围 【分析】由绝对值的几何意义和结合三角不等式分析即可. 【详解】表示到的距离，表示到的距离，它们的和为到和到的距离之和， 根据三角不等式，当位于和之间时，距离和取得最小值，即两点之间的距离为， 所以不等式对一切实数恒成立等价于若最小值，则原式对所有恒成立， 所以或，解得或. 故答案为：. 14．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知为正数，且，则的最大值为______. 【答案】/0.125 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】结合已知条件，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为， ，即，可得， 当且仅当且，即时等号成立. 故答案为：. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 不等式的性质、恒成立与最值问题 内容导航 01 方法总结·技巧提炼 1 02 题型探究·深度突破 2 题型01 不等式的性质与比较大小 2 题型02 一元二次不等式的含参求解 3 题型03 分式不等式与绝对值不等式 5 题型04 基本不等式及其最值 6 题型05 不等式恒成立与存在性求参 7 03 分层训练·达标过关 8 巩固过关 8 能力提升 11 1、比较大小的通法：首选作差法，差式分解到符号明确为止；两正数比较可用作商法，也可借助函数的单调性直接判断。 2、一元二次不等式的求解：先看二次项系数定开口，再算判别式定根的情况；含参时按"二次项系数、判别式、两根大小"三级顺序讨论。 3、分式与绝对值不等式：分式先移项通分化为整式并注明分母不为零；绝对值用"大于取两边、小于取中间"或平方去掉绝对值。 4、恒成立与存在性：f(x)≥a 恒成立等价于 f(x)的最小值≥a；存在 x 使 f(x)≥a 等价于 f(x)的最大值≥a；能分离参数时优先分离后求最值。 题型01 不等式的性质与比较大小 不等式性质与比较大小的解题技巧 （1）作差后必须分解或因式化，直到符号一目了然，不能停在差的表达式上； （2）两个正数比较大小可用作商法，判断商与 1 的大小关系； （3）同向不等式可加不可减，可乘需保证两边均为正，避免踩性质陷阱。 1．（2025·上海金山·一模）已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海金山·二模）已知，则下列结论不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·上海杨浦·一模）已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 题型02 一元二次不等式的含参求解 一元二次不等式含参求解的解题技巧 （1）按二次项系数是否为零、判别式的正负、两根的大小三级顺序展开讨论； （2）解集端点为两根时，注意开口方向决定"取中间"还是"取两边"； （3）若已知解集反求参数，用韦达定理或端点代入往往比正面解更快。 4．（2026·上海普陀·二模）设，若关于x的不等式的解集是，则a的值为______. 5．（2025·上海·模拟预测） 的解集为 ，则 的解集为 ______． 6．（2026·上海金山·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，则的最小值为__________． 题型03 分式不等式与绝对值不等式 分式不等式与绝对值不等式的解题技巧 （1）分式不等式先移项通分，化为整式不等式，同时标注分母不为零； （2）绝对值不等式用"大于取两边、小于取中间"，含两个绝对值时可平方或分类； （3）解集务必与定义域取交集，最后回代检验端点是否成立。 7．（2026·上海徐汇·二模）不等式的解集为__________. 8．（2026·上海杨浦·模拟预测）不等式的解集为__________． 9．（2026·上海松江·模拟预测）不等式的解集为________． 题型04 基本不等式及其最值 基本不等式及其最值的解题技巧 （1）使用前验证"一正、二定、三相等"，三个条件缺一不可； （2）凑配出定值是关键，常用"加项减项""乘 1 变换""拆项"等技巧； （3）等号不能取到时，改为利用函数的单调性求最值。 10．（2025·上海金山·三模）若，，且，则的最小值为______． 11．（2026·上海静安·三模）若均为正数，且，则的最小值为___________． 12．（2026·上海·三模）已知均为正数，且，则的最小值为___________ 题型05 不等式恒成立与存在性求参 不等式恒成立与存在性求参的解题技巧 （1）先判断能否分离参数，能分离就转化为求函数最值，最稳妥； （2）不能分离时构造函数，用单调性或导数求最值后列不等式； （3）注意"恒成立"与"存在性"的最值方向相反，不要混用。 13．（2025·上海·模拟预测） 恒成立，求 范围__________ 14．（2026·上海杨浦·模拟预测）若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为__________． 15．（2026·上海·一模）若不等式对于任意实数x恒成立，则a的取值范围为______． 巩固过关 1．（2026·上海·春考T2）关于的不等式的解集为____________. 2．（2026·上海·春考T6）若，，且，则的最大值是______． 3．（2026·上海·春考T14）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·上海·秋考T7）已知，则的最大值为__________． 5．（2025·上海·秋考T2）不等式的解集为_________． 6．（2025·上海·春考T2）不等式的解集为_____． 7．（2026·上海奉贤·二模）不等式的解集为________． 8．（2026·上海杨浦·二模）设，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 能力提升 9．（2025·上海长宁·一模）已知均为正实数，且，则的最小值为___________． 10．（2025·上海杨浦·三模）已知，则的范围是________． 11．（2026·上海闵行·二模）若平面直角坐标系中的点到轴与轴的距离之和为1，现有以下两个命题： ①存在点到轴与轴的距离之差为1； ②存在点到轴与轴的距离之积为1. 则以下选项正确的是（    ） A．①不正确，②不正确 B．①正确，②正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确 12．（2026·上海·模拟预测）在命题：①；②；③中，真命题的序号为__________ 13．（2025·上海杨浦·二模）不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为__________. 14．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知为正数，且，则的最大值为______. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $