2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册期中模拟卷03（范围：必修第一册第一章～第三章）

高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷03 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第三章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1．若向量 （ 都是不共面的非零向量），则称 在基底 下的坐标为 ，若 在单位正交基底 下的坐标为 ，则 在基底 下的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知，.若点在线段上，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 4．已知点是直线 上一点，点是直线 外一点，且，则点到直线的距离为（　　） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（　　） A．若直线与直线平行，则它们之间的距离是 B．“”是“直线 与直线互相垂直”的充分不必要条件 C．过点 且在 轴， 轴上的截距相等的直线方程为 D．若两直线，的倾斜角分别为，，斜率分别是，，，则 6．如图，水平放置的正方形边长为1，先将正方形绕直线向上旋转，得到正方形，再将所得的正方形绕直线向上旋转得到正方形，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则的最大值为（    ） A． B． C．10 D．5 8．除了我们学习过的圆锥曲线，平面内还有很多形状优美的曲线，例如方程所表示的曲线被称为“四叶玫瑰线”，下列关于曲线的4个命题： ①曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形； ②曲线上两点之间的最大距离为； ③将横纵坐标都是整数的点称为整点，则曲线上有且只有5个整点； ④若直线与曲线只有一个交点，则满足条件的直线有且仅有一条． 其中真命题的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。） 9．（多选）设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．离心率 B．面积的最大值为 C．以线段为直径的圆与直线相切 D．的最小值为 10．（多选）如图，棱长为2的正方体中，点为线段上的动点，点为平面内的动点，则下列说法正确的是（    ） A．当点不与点重合时，平面平面 B．三棱锥的体积为4 C．若点到直线的距离与到直线的距离相等，则点的轨迹为抛物线 D．若，则过，，三点的平面截正方体所得截面的面积为 11．（多选）如图，在多面体中，，四边形ABCD是正方形，且，，，分别是线段，的中点，是线段上的一个动点（含端点，），则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得 B．存在点，使得异面直线与所成的角为 C．三棱锥体积的最大值是 D．当点自向处运动时，直线与平面所成角逐渐增大 第II卷（非选择题） 3、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．设两直线与．若，则____，若_________． 13．已知空间四边形（见图），其各边及其对角线的长都是6，，，，则_____.    14．若双曲线（，）存在以点为中点的弦，则双曲线C的离心率e的取值范围是______． 4、 解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15． （本小题满分13分） 古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼奥斯圆．已知点P到的距离是点P到的距离的2倍． (1)求点P的轨迹方程； (2)若点P与点Q关于点B对称，过点作Q的轨迹的切线，求切线方程． (3)若过B的直线与第二问中Q的轨迹交于E，F两点，试问在x轴上是否存在点，使恒为定值？若存在，求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 16．（本小题满分15分） 如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，． (1)证明：平面； (2)在线段（不含端点）上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由． 17．（本小题满分15分） 求满足下列条件的曲线标准方程． (1)经过点，两点的椭圆； (2)与椭圆共焦点且过点的双曲线； 18．（本小题满分17分） 已知椭圆的左顶点为，离心率为． (1)求的方程； (2)是上的一点，且位于轴的上方，过原点且与平行的直线交于，两点，是线段的中点，直线与交于，两点（位于轴下方）． （ⅰ）若直线，分别与直线交于点，，记，的面积分别为，，且，求点的坐标； （ⅱ）求的最大值． 19．（本小题满分17分） 如图，三棱锥的侧棱均相等，在底面中，为中点，，． (1)证明：； (2)若，的面积为，求二面角的正弦值； (3)在第（2）问的条件下，若内（不含边界）存在一动点，满足，求直线与平面所成角的正切值的范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷03 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第三章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1．若向量 （ 都是不共面的非零向量），则称 在基底 下的坐标为 ，若 在单位正交基底 下的坐标为 ，则 在基底 下的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量基本定理，设出向量在新基底下的坐标，通过向量相等时对应基底的系数相等列方程组求解. 【详解】由题意可知，在单位正交基底下的坐标为，因此， 设在基底下的坐标为， 根据向量坐标的定义可得： ，将上式整理为： ， 由于是不共面的非零向量，根据空间向量基本定理，向量的分解是唯一的， 因此对应系数相等，得到方程组： ， 解得， 因此在新基底下的坐标为. 2．若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线所过定点，再将曲线转化为，可知其为半圆，结合图像，即可求出的取值范围. 【详解】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点， 又曲线可化为，其表示以为圆心，半径为2的圆的上半部分，如图. 当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得， 设，则， 由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，须得，即. 3．已知，.若点在线段上，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由直线的两点式方程，得直线的方程为，整理得， 过点作直线的垂线，垂线的斜率为， 则垂线的方程为，即， 联立，解得，得垂足为. 因为，所以垂足在线段的延长线上， 由点在线段上，所以的最小值必定在线段的端点处取得. 又，，， 所以的最小值为5. 4．已知点是直线 上一点，点是直线 外一点，且，则点到直线的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出直线l上点P的坐标，结合向量的坐标得到Q的坐标，代入点到直线的距离公式，利用P在直线l上的条件化简即可得结果. 【详解】设点，因为在直线上，故满足，即, 由，可得点的坐标为, 则点到直线的距离为 ，因此. 5．下列说法正确的是（　　） A．若直线与直线平行，则它们之间的距离是 B．“”是“直线 与直线互相垂直”的充分不必要条件 C．过点 且在 轴， 轴上的截距相等的直线方程为 D．若两直线，的倾斜角分别为，，斜率分别是，，，则 【答案】B 【分析】根据题意，结合直线平行、垂直的判定，平行直线距离公式，截距的概念以及倾斜角与斜率的关系，逐个验证选项即可. 【详解】对于A，若直线与直线平行，则，解得， 代入得两直线为和，距离为，故A错误； 对于B，直线与直线 互相垂直的充要条件为， 解得或，故能推出两直线垂直，充分性成立；两直线垂直推不出，必要性不成立， “”是“直线 与直线 互相垂直”的充分不必要条件，故B正确； 对于C，当截距均为时，此时过的直线为，满足条件； 当截距不为时，设直线方程为，代入点， 得，此时直线， 因此满足条件的直线有两条：和，故C错误； 对于D，取，，满足， 此时，， 即，故D错误. 6．如图，水平放置的正方形边长为1，先将正方形绕直线向上旋转，得到正方形，再将所得的正方形绕直线向上旋转得到正方形，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将正方形放于正方体和正四棱柱的公共面上，根据旋转的情况，建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用二面角的向量法求解即可. 【详解】由已知条件中的旋转，可将正方形放于正方体和正四棱柱的公共面上， 其中正方体的棱长为1，正四棱柱高为， 由题可得，则，所以， 以点为坐标原点，分别为轴建立如图空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，解得，，所以； 设平面的一个法向量为， 则，令， 解得，，所以， ， 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 7．已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则的最大值为（    ） A． B． C．10 D．5 【答案】C 【分析】先求出两个定点坐标，再根据两直线系数关系，易判断两直线垂直，由勾股定理可得，再设，则，最后令，转化为关于的一元二次方程，利用判别式法求出的最大值，即的最大值. 【详解】由题可知，，，则， 由，则，又直线的方程为， 易知，所以，因此是以为直角顶点的直角三角形， 则由勾股定理可得，设，又，所以， 因为，令，则，代入得， 化简整理得，则关于的一元二次方程有解，所以，即， 化简得，解得，又，所以，所以的最大值为10，即的最大值为10. 8．除了我们学习过的圆锥曲线，平面内还有很多形状优美的曲线，例如方程所表示的曲线被称为“四叶玫瑰线”，下列关于曲线的4个命题： ①曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形； ②曲线上两点之间的最大距离为； ③将横纵坐标都是整数的点称为整点，则曲线上有且只有5个整点； ④若直线与曲线只有一个交点，则满足条件的直线有且仅有一条． 其中真命题的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据曲线对称性的判定方法，可判定①为真命题；设是曲线任意一点，则，结合基本不等式，求得，可判定②是真命题；根据题意，得到，结合，可判定③是真命题；联立方程组,得到，得到方程解的个数，可判定④为真命题， 【详解】对于①，由方程， 将方程中的替换为，可得，即为， 所以曲线的图形关于轴对称； 将方程中的替换为，可得，即为， 所以曲线的图形关于轴对称； 将方程中的分别替换为，可得， 即为，所以曲线的图形关于原点对称， 所以曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以①是真命题； 对于②，设是曲线上的任意一点，则， 由，所以， 所以，即， 可得，所以，即，则 根据曲线的对称性，可得曲线上两点之间的最大距离为，所以②是真命题； 对于③，因为，由，可得， 所以，即， 当时，只有，，，，满足， 即只有满足条件， 所以曲线上有且只有5个整点，所以③是真命题； 对于④，联立方程组，可得， 整理得， 当时，等式恒成立，所以是交点； 当时，可得，即， 当时，可得，此时，直线与曲线仅有1个交点； 当时，此时有解，对应两个交点，所以直线与曲线有3个交点， 所以若直线与曲线只有一个交点，则满足条件的直线有且仅有一条， 所以④为真命题， 综上可得，①②③④都是真命题，，所以真命题的个数为4个. 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。） 9．（多选）设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．离心率 B．面积的最大值为 C．以线段为直径的圆与直线相切 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】求出离心率可判断A；计算面积的最大值可判断B；求出圆的方程，再判断圆心到直线的距离与半径的关系可判断C；设进行数量积的坐标运算结合可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于A：由椭圆可知，，，， 所以左、右焦点分别为，，离心率，故A错误； 对于B：，当点与椭圆的上下顶点重合时，面积的最大， 所以面积的最大值为，故B正确； 对于C：以线段为直径的圆的圆心，半径为1， 由圆心到直线的距离， 所以以线段为直径的圆与直线相切，故C正确； 对于D：设，， ，则的最小值为， 故D错误. 10．（多选）如图，棱长为2的正方体中，点为线段上的动点，点为平面内的动点，则下列说法正确的是（    ） A．当点不与点重合时，平面平面 B．三棱锥的体积为4 C．若点到直线的距离与到直线的距离相等，则点的轨迹为抛物线 D．若，则过，，三点的平面截正方体所得截面的面积为 【答案】ACD 【分析】利用向量法可得到平面，进而可得到平面平面，可以判断选项A， 先求出的面积，再利用向量法求出点到平面的距离，再根据体积公式求得三棱锥的体积，判断选项B， 设出点坐标，根据题意求出点的轨迹方程，然后判断选项C， 先找出过，，三点的平面截正方体所得截面，然后判断截面形状并求出面积判断选项D. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系， 则， 对于A，， ，， ，， 又平面且， 平面，又点不与点重合，平面， 平面平面，A选项正确. 对于B，易得是边长为的等边三角形，面积， 设，其中， ， ，记平面的法向量为， 则，令，则，， 到平面的距离， 三棱锥的体积， B选项错误. 对于C，设，则点到的距离为，， ， 点到直线的距离为，根据题意可得， ，整理得，故点的轨迹为抛物线，C选项正确. 对于D，延长交于点，取的中点，连接, ，，可得为中点， 由与全等可得且， 同理可得且， 再由与全等可得， 过，，三点的平面截正方体所得截面为菱形， ， 截面面积，D选项正确. 11．（多选）如图，在多面体中，，四边形ABCD是正方形，且，，，分别是线段，的中点，是线段上的一个动点（含端点，），则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得 B．存在点，使得异面直线与所成的角为 C．三棱锥体积的最大值是 D．当点自向处运动时，直线与平面所成角逐渐增大 【答案】ACD 【分析】立体几何动点问题，以A为原点，建立空间直角坐标系，将动点的坐标参数化，利用空间向量垂直条件判断选项A，利用空间向量异面直线夹角公式判断选项B，利用夹角正弦计算三角形面积结合点到面的距离公式计算高，进而得到三棱锥体积表达式判断选项C，利用空间向量线面夹角公式，构造函数结合函数单调性判断选项D. 【详解】 由题意得，以为原点，，，为轴，建立如图所示空间直角坐标系， ， 又，分别是线段，的中点，是线段上的一个动点（含端点，）， ， 对于A，，要使， ，解得， 又，故存在点，使得，A正确； 对于B，， 异面直线与所成的角余弦值为： ， 若夹角为，则余弦值为，即，解得，无解， 不存在点，使得异面直线与所成的角为，B错误； 对于C，，， 设平面的一个法向量， ，令，解得，故， 点到平面的距离， ， ，， ， ， 又，当时，体积取得最大值，最大值为，C正确； 对于D，， 设平面的一个法向量， ，令，解得，故， 设线面夹角为，， ， 令，， 抛物线开口向上，对称轴为，对称轴在区间右侧，在上单调递减， 随着增大，即点自向处运动，减小，增大， 又，随着增大，增大，即直线与平面所成角逐渐增大，D正确. 第II卷（非选择题） 3、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．设两直线与．若，则____，若_________． 【答案】 / 【分析】用两直线平行、垂直的等价条件列方程求解，平行时需排除两直线重合的情况. 【详解】对于一般式直线和，平行的充要条件为且或， 所以，，整理得，解得或； 当时，，，两直线重合，不符合题意舍去； 当时两直线不重合，满足平行条件，故； 两直线垂直的充要条件为， 所以，，整理得，解得. 所以，若，则；若，则. 13．已知空间四边形（见图），其各边及其对角线的长都是6，，，，则_____.    【答案】 【分析】利用向量的线性运算及中点公式，将逐步用基底向量表示，对比系数即可求得的值. 【详解】由可知，为线段的中点， 根据向量的中点公式可得， 又由可知，为线段上靠近点的三等分点， 所以， 将代入的表达式中，得， 因为，根据空间向量基本定理，对应向量的系数相等， 所以． 14．若双曲线（，）存在以点为中点的弦，则双曲线C的离心率e的取值范围是______． 【答案】 【分析】分情况讨论点在双曲线右支内部和双曲线外部，结合点差法求出的范围，从而得出结果. 【详解】若点在右焦点所在的区域（即点在双曲线右支内部）， 则必存在以点为中点的弦，此时，解得，则， 所以，符合题意． 若点不在右焦点所在的区域（即点在双曲线外部），则． 设以点为中点的弦与双曲线C交于，两点，则，． 因为，，两式作差，得， 所以弦AB的斜率． 因为弦AB存在，所以直线AB与双曲线C有2个不同的交点，所以，解得， 则，所以． 综上所得，双曲线C的离心率e的取值范围是． 4、 解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15． （本小题满分13分） 古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼奥斯圆．已知点P到的距离是点P到的距离的2倍． (1)求点P的轨迹方程； (2)若点P与点Q关于点B对称，过点作Q的轨迹的切线，求切线方程． (3)若过B的直线与第二问中Q的轨迹交于E，F两点，试问在x轴上是否存在点，使恒为定值？若存在，求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)和 (3)，定值为 【分析】（1）通过点点间的距离关系列出方程式，最后化简得出的轨迹方程. （2）通过对称关系求得点轨迹方程，并利用距离公式求解出切线方程. （3）联立方程组，通过韦达定理得出坐标关系式后，代入向量数量积并利用定值的性质求解. 【详解】（1）设点，由题意得，，， 解得，即. （2）设点，因为与关于点对称，所以满足，可知， 代入可得，即. 设切线方程为，即， 通过距离公式可知，解得，即和两条直线. （3） 设直线，，，联立得， 由韦达定理可知，，，. ，， ，要使其为定值，即满足，解得，定值为，坐标为. 若斜率不存在，即直线，解得交点为，，，， 所以，与斜率存在时一致. 16．（本小题满分15分） 如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，． (1)证明：平面； (2)在线段（不含端点）上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1)在正方形中，． ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面，平面，∴，且． 又，，∴． 又，∴，∴． 又，∴． 又，平面，∴平面． (2)存在， 【分析】（1）由和即可证明平面； （2）建立空间直角坐标系，设出点坐标，求出平面的法向量，通过的余弦值为解出点坐标即可. 【详解】（1）略 （2）存在．由（1）知，，， 如图，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，． 设点，， ∴，∴∴． 易知，． 设平面的法向量为，∴ 令，∴， 显然，平面的法向量为，∴， 即，解得或（舍），则存在一点，且． 17．（本小题满分15分） 求满足下列条件的曲线标准方程． (1)经过点，两点的椭圆； (2)与椭圆共焦点且过点的双曲线； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用待定系数法求参数值，即可得； （2）根据椭圆方程确定焦点坐标，再由双曲线的性质及所过点求参数值，即可得. 【详解】（1）设椭圆方程为（，且）， 由，解得，， 即椭圆方程为； （2）椭圆的焦点坐标为，设所求方程为， 由，解得，，即所求方程为. 18．（本小题满分17分） 已知椭圆的左顶点为，离心率为． (1)求的方程； (2)是上的一点，且位于轴的上方，过原点且与平行的直线交于，两点，是线段的中点，直线与交于，两点（位于轴下方）． （ⅰ）若直线，分别与直线交于点，，记，的面积分别为，，且，求点的坐标； （ⅱ）求的最大值． 【答案】(1) (2)（i）;（ⅱ） 【分析】（1）由已知左顶点和离心率，直接求出的值即可写出椭圆标准方程.    （2）（i）以直线的斜率为参数表示出中点的坐标，利用构成的相似三角形面积比推出，再将点坐标代入椭圆方程解出即可求得点，（ii）将两弦长用斜率表示出来，化简发现平方和为定值，最后由基本不等式直接求出最大值. 【详解】（1）由题意得，所以，所以， 进而，即， 所以椭圆的方程为； （2）（ⅰ）设点，由点在椭圆上且位于轴的上方知， 故直线的斜率必存在且大于，故设的方程为， 联立，整理得， 所以有，整理得，进而， 因为是线段的中点，所以点，即， 因为直线过原点且与平行，即，所以相似于， 直线即直线交于点，交于点， 则有， 因为时在第二象限,所以的斜率小于， 此时三点共线且在之间，即， 即，即，故点， 将其代入椭圆方程得， 代入得， 解得，因为，所以， 所以，即点. （ⅱ）由上知，直线的斜率为，其方程为， 联立，整理得， 则， 又直线的斜率为 故直线的方程为， 联立，整理得， 则， 则， 所以， 当且仅当，即，解得时等号成立， 此时点，故的最大值为. 19．（本小题满分17分） 如图，三棱锥的侧棱均相等，在底面中，为中点，，． (1)证明：； (2)若，的面积为，求二面角的正弦值； (3)在第（2）问的条件下，若内（不含边界）存在一动点，满足，求直线与平面所成角的正切值的范围． 【答案】(1)因为，所以， 因为且为中点，所以， 又因为，， 所以，所以， 在平面中，，所以， 即， 又因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以. (2) (3) 【分析】（1）三线合一得到线线垂直，由三角形全等得到与位置关系，即可得到线面垂直，由线面垂直的性质得到线线垂直； （2）由（1）计算出，并证明得到与平面的位置关系，然后由二面角的平面角的定义得到角，由边长求得二面角的正弦值. （3）由（2）建立空间直角坐标系，设点坐标，由等式求得点坐标的关系，由条件求得点坐标中的取值范围，然后由空间向量的数量积求得线面角的正弦值，然后求得线面角的正切值的取值范围. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，所以，所以， 由（1）可知，，平面，平面， 所以平面， 取中点，连接， 因为且为中点，所以为直角三角形，即， 所以，且平面平面， 所以二面角的平面角为， 在等腰直角三角形中，，所以，所以， 所以，所以. （3）由（2）可如图建立空间直角坐标系 则，设 ，所以，即， 直线 因为动点在内，所以， 所以，即. 所以. 平面的一个法向量为， 设直线与平面的线面角为， 则， 所以. 因为，所以函数在上单调递增， 所以. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $