专题04 函数的零点与方程的根专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第04讲 专题04 函数的零点与方程的根 导数 · 章级培优　压轴题专项训练 解题通法 题型归纳 题型一、用导数讨论函数的零点个数 题型二、由零点个数求参数范围 题型三、隐零点与零点代换 题型四、分段函数与绝对值函数的零点 题型五、零点之和、之积与对称性 压轴挑战 ▍ 解题通法 函数的零点把“方程的根”“不等式的解”“函数图象与 轴的交点”三件事统一成一件事： 有没有解、有几个解。导数的作用不是解出方程，而是给出单调性与极值，从而把“有几个解”变成“极值与两端趋势的符号判断”。本讲五个题型依次解决四件事：怎么数零点、怎么由零点个数反求参数、当 的 求不出来时怎么处理、以及零点之和之积怎么不解方程算出来。全程只允许代数变形与符号表，不借助图象读数。 ▍ 题型归纳 ▍ 题型一、用导数讨论函数的零点个数 ▸ 典例 1 已知函数 ，则 的零点个数为            ． ▍ 题型模版 1.特征：函数解析式完全已知，要求零点的具体个数，或判断零点所在区间。 2.方法：求 并分解因式，列“定义域—驻点—单调区间—极值符号—两端趋势”五栏符号表，逐段用零点存在性定理计数。 3.提醒：每一段至多一个零点靠的是严格单调，不是“看图”；两端趋势必须写成 、 的极限结论并给出代数值佐证。 ▸ 变式 1-1 设 ，函数 的零点个数为（　　） A． B． C． D．与 的取值有关 ▸ 变式 1-2 函数 的零点所在的一个区间是（　　） A． B． C． D． ▍ 题型二、由零点个数求参数范围 ▸ 典例 2 已知函数 。若 在区间 与 内各恰有一个零点，求实数 的取值范围。 ▍ 题型模版 1.特征：函数含参数 ，给出零点个数（或“有唯一零点”），求 的取值范围。 2.方法：优先分离参数为 ；不能分离时讨论极值点位置，把“个数”翻译成“极大值正、极小值负”之类的不等式组，端点值单独回代检验。 3.提醒：区间端点处“取到几个零点”必须逐个回代验证，不能由不等式直接开闭；含指数与对数混合时先确定定义域再讨论。 ▸ 变式 2-1 已知函数 ，，讨论 的零点个数。 ▸ 变式 2-2 若函数 有三个不同的零点，则实数 的取值范围是            ． ▍ 题型三、隐零点与零点代换 ▸ 典例 3 已知函数 ，直线 ，其中 。求 与曲线 的交点个数。 ▍ 题型模版 1.特征：极值点满足的方程是超越方程（如 ），求不出解析解，但极值或参数又要用它表示。 2.方法：设隐零点 ，由 解出参数关于 的表达式代回 ；先用单调性说明 唯一并给出其所在小区间，再对代换后的单变量式估值。 3.提醒：代换后必须回到 的取值范围去定不等号方向；出现 与 成对时先约去，避免留下分式嵌套。 ▸ 变式 3-1 证明：当 时，。 ▸ 变式 3-2 已知 ，证明：对任意 ，。 ▍ 题型四、分段函数与绝对值函数的零点 ▸ 典例 4 设 ，对任意实数 ，用 表示 与 中的较小者。若 至少有 个零点，则 的取值范围是            ． ▍ 题型模版 1.特征：解析式带绝对值或分段定义，零点分布在各段上形态不同，常出现“ 的解的个数”这类问题。 2.方法：先按绝对值内表达式的正负或分段区间拆成若干块，每块单独求导、单独列表、单独计数；分段点是否计入用左右极限与函数值三者对齐判断。 3.提醒：（）等价于 与 两个方程并集，两路的根可能相同，必须去重；不能把绝对值直接当作可导函数求导。 ▸ 变式 4-1 设 ，函数 。若 恰有两个零点，则 的取值范围是            ． ▸ 变式 4-2 若函数 恰有两个零点，求实数 的值。 ▍ 题型五、零点之和、之积与对称性 ▸ 典例 5 已知 ，函数 有三个零点 、、，且 。 （1）求 的取值范围； （2）证明：。 ▍ 题型模版 1.特征：题设给出两个或三个零点 ，问 、 的值或范围，或要求证明 。 2.方法：能配对称的用对称（如 与 、 与 同值）；不能配差的构造差函数 判号，再由单调性把零点“夹”到对称轴一侧。 3.提醒：零点之积要把对数方程先指数化成整式方程再用系数关系；“ 的范围”类题必须同时给出上下界两侧的验证，不能只证一边。 ▸ 变式 5-1 已知 是非负常数，函数 。当 时，方程 的解集元素个数为            ；当 时，方程 的解集元素个数为            ． ▸ 变式 5-2 已知函数 有两个零点，则 的取值范围是            ，这两个零点之和为            ． ▍ 压轴挑战 1．函数 的零点个数为 （　　） A． B． C． D． 2．若函数 没有零点，则实数 的取值范围是 （　　） A． B． C． D． 3．已知 ，若函数 恰有两个不同的零点，则 的值为 （　　） A． B． C． D． 4．若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是 （　　） A． B． C． D． 5．若函数 在 上没有零点，则实数 的取值范围是 （　　） A． B． C． D． 6．设 ，函数 。若 恰有一个零点，则 的取值范围是            ． 7．若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是            ． 8．证明：当 时，。 （1）说明 在 上恰有一个零点 ，并写出 满足的关系式； （2）证明：当 时，。 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 专题04 函数的零点与方程的根 导数 · 章级培优　压轴题专项训练 解题通法 题型归纳 题型一、用导数讨论函数的零点个数 题型二、由零点个数求参数范围 题型三、隐零点与零点代换 题型四、分段函数与绝对值函数的零点 题型五、零点之和、之积与对称性 压轴挑战 ▍ 解题通法 函数的零点把“方程的根”“不等式的解”“函数图象与 轴的交点”三件事统一成一件事： 有没有解、有几个解。导数的作用不是解出方程，而是给出单调性与极值，从而把“有几个解”变成“极值与两端趋势的符号判断”。本讲五个题型依次解决四件事：怎么数零点、怎么由零点个数反求参数、当 的 求不出来时怎么处理、以及零点之和之积怎么不解方程算出来。全程只允许代数变形与符号表，不借助图象读数。 ▍ 题型归纳 ▍ 题型一、用导数讨论函数的零点个数 ▸ 典例 1 已知函数 ，则 的零点个数为            ． 【答案】 【分析】求导得驻点，列符号表定极大值与极小值的符号，再结合两端趋势定零点个数。 【详解】解： 是三次多项式，定义域为 ，。 令 ，得 或 。当 时 ；当 时 ；当 时 。 于是 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增， 为极大值点， 为极小值点。 极大值 ，极小值 ，两极值异号。 两端趋势： 时 ，取 佐证； 时 ，取 佐证。 第一段： 在 上严格递增， 且 ，由零点存在定理在 内恰有一个零点。 第二段： 在 上严格递减， 而 ，故在 内恰有一个零点（又 ，零点实际落在 ）。 第三段： 在 上严格递增， 且 ，故在 内恰有一个零点。 三段单调区间互不相交，每段至多一个零点靠的是严格单调，合计三个零点，分别在 、、 内，故填 。 ▍ 题型模版 1.特征：函数解析式完全已知，要求零点的具体个数，或判断零点所在区间。 2.方法：求 并分解因式，列“定义域—驻点—单调区间—极值符号—两端趋势”五栏符号表，逐段用零点存在性定理计数。 3.提醒：每一段至多一个零点靠的是严格单调，不是“看图”；两端趋势必须写成 、 的极限结论并给出代数值佐证。 ▸ 变式 1-1 设 ，函数 的零点个数为（　　） A． B． C． D．与 的取值有关 【答案】C 【分析】含参三次函数，驻点为 与 ，只需比较极大值与极小值的符号，再用两端趋势收口。 【详解】解： 的定义域为 ，。 因为 ，所以当 或 时 ，当 时 。 故 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增， 是极大值点， 是极小值点。 极大值 ；极小值 ，由 得 ，两极值异号。 两端趋势：，说明在 上 由负值升到 ，由零点存在定理恰有一个零点。 又 ，说明在 内 由 升到正值，在 上恰有一个零点。 中间段 上 严格递减，由 降到 ，也恰有一个零点。 三个单调区间各贡献一个零点，合计三个零点，选 C。 ▸ 变式 1-2 函数 的零点所在的一个区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由单调性说明零点唯一，再在端点处作大小比较： 与 同底 的幂，比指数即可。 【详解】解： 的定义域为 。 在 上严格递减（底数 ）， 在 上严格递增，故 在 上严格递减，至多有一个零点。 又 ，所以零点若存在则唯一。 比较 ：因为 且 ，由底数在 内时指数越小幂越大，得 ，即 。 比较 ：因为 ，所以 ，即 。 在 上连续且端点异号，由零点存在定理，唯一零点落在 内，选 B。 其余选项可一并排除： 严格递减，故 时 ，区间 与 内都没有零点；而当 时 ， 内也没有零点。 ▍ 题型二、由零点个数求参数范围 ▸ 典例 2 已知函数 。若 在区间 与 内各恰有一个零点，求实数 的取值范围。 【答案】 【分析】导数符号由 决定；先排除 ，再用 的单调性与零点个数定 的单调区间与极值符号。 【详解】解：定义域为 ，且 ，即 恒为 的零点，题设要求的是它左右两段内各有一个零点。 。当 时 ，故 的符号与 的符号相同。 设 ，则 。 先排除 ：当 时 且 ，故 ，在 内没有零点，不合题意。 再排除 ：此时对 有 ，故 在 上递增，，从而 在 上递增，，仍没有零点，不合题意。 下设 。在 上：，。因为 时 ，所以 增大时 也增大，加之 递增，得 在 上严格递增；又 、，故 在 内有唯一零点 ， 在 上递减、在 上递增。 结合 、 可知： 在 内由正递减，必恰有一个零点 ；在 内 递增但终点值 ，故无零点。 于是 在 上递增、在 上递减。当 时 而 趋于定值 ，故 ；又极大值 。由零点存在定理， 在 内恰有一个零点，在 内 无零点，故 内恰有一个零点。 在 上：， 严格递增，，而 时 主导使 ，故 有唯一零点 。于是 在 上递减、在 上递增，极小值 。 当 时 、，故 ，由零点存在定理 在 内恰有一个零点，在 内 无零点，故 内恰有一个零点。 综上， 时两段各恰有一个零点，而 时 内没有零点，故 的取值范围是 。 ▍ 题型模版 1.特征：函数含参数 ，给出零点个数（或“有唯一零点”），求 的取值范围。 2.方法：优先分离参数为 ；不能分离时讨论极值点位置，把“个数”翻译成“极大值正、极小值负”之类的不等式组，端点值单独回代检验。 3.提醒：区间端点处“取到几个零点”必须逐个回代验证，不能由不等式直接开闭；含指数与对数混合时先确定定义域再讨论。 ▸ 变式 2-1 已知函数 ，，讨论 的零点个数。 【答案】 时 个； 与 时 个； 时 个； 时 个。 【分析】 有无零点决定分类层次，极小值 的符号决定个数， 与 两处临界必须单列。 【详解】解： 的定义域为 ，。 （1）当 时 恒成立， 在 上严格递增； 时 而 ，故 ； 时 主导，。由零点存在定理， 恰有一个零点。 （2）当 时 恒成立，没有零点。 （3）当 时令 得 。当 时 ，当 时 ，故 在 上递减、在 上递增，极小值即最小值 。 若 ，则 ，最小值 ， 恒成立，没有零点； 若 ，则最小值 ，只在 处取到零，两侧均为正，恰有一个零点 ； 若 ，则 ，最小值 ；此时 时 故 ， 时 主导故 ， 在 与 上各恰有一个零点，共两个零点。 综上： 时一个零点； 与 时没有零点； 时恰一个零点； 时两个零点。 ▸ 变式 2-2 若函数 有三个不同的零点，则实数 的取值范围是            ． 【答案】 【分析】三次函数有三个零点当且仅当极大值与极小值异号； 时极值恰为零，切点只算一个零点，等号不能取。 【详解】解： 的定义域为 ，。 当 或 时 ，当 时 ，故 是极大值点， 是极小值点，极大值 ，极小值 。 要有三个不同零点，需极大值大于零且极小值小于零，即 且 ，解得 。 此时 时 且 、，故 内恰一个零点； 故 内恰一个零点； 故 内恰一个零点，三段各一个，共三个。 临界检验： 时 ， 是二重零点只算一个，不同零点只有 与 两个； 时 ，不同零点只有 与 两个。故 均不合题意，等号不能取。 当 时极小值 ， 只在 内有一个零点；当 时极大值 ，只在 内有一个零点，都不足三个。 故填 。 ▍ 题型三、隐零点与零点代换 ▸ 典例 3 已知函数 ，直线 ，其中 。求 与曲线 的交点个数。 【答案】恰有一个交点 【分析】交点横坐标是 的零点； 的最大值 决定分类，大极值点 处用 作隐零点代换定 的符号。 【详解】解： 与曲线 的交点横坐标满足 ，即 ，其中 ，定义域为 。 。设 ，则 ，令 得 。 当 时 ，当 时 ，故 在 上递增、在 上递减，在 处取最大值 （此处用了 ）。 两端趋势： 时 且 ，故 ； 时 主导，。 第一类：。此时 的最大值不大于零， 且只在一点取零，故 在 上严格递减。 又 时 、，故 ； 时 主导，。严格递减的 由正到负，恰有一个零点，即恰一个交点。 第二类：。此时最大值 ，而两端趋于 ，故 在 与 内各有一个零点，记为 。 位置估计：，而 ，且 在 上递减，所以 ，即 ；又 ，故 。 符号表： 在 上递减、在 上递增、在 上递减， 是极大值点。 隐零点代换：由 得 ，把它代回 消去指数项： 。 由 得 ；又 ，故 ，，即 。于是极大值 。 从而当 时 ，这一段没有零点；在 上 递减， 时 ，而 ，故恰有一个零点。此情形下仍是一个交点。 两类合并：对一切 ，直线 与曲线 的交点个数都是 。 ▍ 题型模版 1.特征：极值点满足的方程是超越方程（如 ），求不出解析解，但极值或参数又要用它表示。 2.方法：设隐零点 ，由 解出参数关于 的表达式代回 ；先用单调性说明 唯一并给出其所在小区间，再对代换后的单变量式估值。 3.提醒：代换后必须回到 的取值范围去定不等号方向；出现 与 成对时先约去，避免留下分式嵌套。 ▸ 变式 3-1 证明：当 时，。 【答案】证明见详解。 【分析】最小值点 由 给出，解不出解析式，只能设而不求，用 把对数项换成 。 【详解】证明：设 ，定义域为 ，。 设 。当 时 递增， 也递增，故 在 上严格递增，至多有一个零点。 又 （因 故 ），，由零点存在定理， 在 内有唯一零点 ，且 在 上取负、在 上取正。 于是 在 上单调递减，在 上单调递增，最小值为 ，而 满足 。 对上式两边取对数得 ，即 ，这就是设而不求的代换关系。 代入最小值：。 因为 ，所以 且 ，得 ，即 。 故 ，即对一切 有 ，得证。 反思： 只能夹在 内，解不出具体值，但代换之后最小值只含 的代数式，判断正负不再依赖近似计算；若写成“由计算器得 约为 再代入”，就不构成证明。 ▸ 变式 3-2 已知 ，证明：对任意 ，。 【答案】证明见详解。 【分析】隐零点满足 ，即 ，取对数得 ，把 与 同时消去。 【详解】证明：设 ，，其中 为常数，则 。 设 。当 时 递增， 也递增（），故 在 上严格递增，至多一个零点。 当 时 ，故 ；当 时 主导，。由零点存在定理， 有唯一零点 ，满足 ，即 。 于是 在 上递减、在 上递增，最小值 。 对 两边取对数得 ，即 。用它计算最小值与右端之差： 。 因为 ，，而 ，所以 。 故对任意 ，，得证。 两端趋势补充： 时 ， 时 主导，，故最小值确在唯一的 处取到，不必再与端点值比较。 反思： 与 必须成对代换。只写 而漏掉 ，差式里就会同时留下 与 ，无法定号。 ▍ 题型四、分段函数与绝对值函数的零点 ▸ 典例 4 设 ，对任意实数 ，用 表示 与 中的较小者。若 至少有 个零点，则 的取值范围是            ． 【答案】 【分析】取小者为零只有两种可能： 且二次式非负，或二次式为零且 ；分别计数后在拼接点 处去重。 【详解】解：记 ，，则 ，定义域为 。 等价于“ 且 ”或“ 且 ”两种情形，二者在 处可能重合，须去重。 第一类： 得 或 。，。故 是零点当且仅当 ； 是零点当且仅当 。 第二类： 的判别式 ，故 有实根当且仅当 或 ；两根 、 要成为 的零点，还须 ，即 。 当 时 ， 恒成立，于是 ，零点只有 两个，不合题意。 当 时逐个检验： 等价于 ，即 ，化简得 ，即 ； 等价于 ，化简得 。 故 时 （此时 也说明 都在两根之间），两根都满足 ，是 的两个零点，而 处 不是零点，共两个零点； 时 使 不是零点， 是零点，加上 是零点，共两个零点； 时两根都落在 内，不是零点，只有 两个零点。总之 时零点不超过两个。 当 时 ，且 ，故 ，，两根都大于 ，都是 的零点；同时 ， 也都是零点。 于是 时零点为 、、、 共四个； 时 ，， 只算一个，零点为 、、 恰三个。两种情形都满足“至少有 个零点”。 故填 。 ▍ 题型模版 1.特征：解析式带绝对值或分段定义，零点分布在各段上形态不同，常出现“ 的解的个数”这类问题。 2.方法：先按绝对值内表达式的正负或分段区间拆成若干块，每块单独求导、单独列表、单独计数；分段点是否计入用左右极限与函数值三者对齐判断。 3.提醒：（）等价于 与 两个方程并集，两路的根可能相同，必须去重；不能把绝对值直接当作可导函数求导。 ▸ 变式 4-1 设 ，函数 。若 恰有两个零点，则 的取值范围是            ． 【答案】 【分析】按 的正负去绝对值，两支各自可因式分解；每个候选根都要回代检验它所在支的符号条件，只有 与 会少掉一个零点。 【详解】解：记 ，，定义域为 。 当 时 ； 当 时 。 第一支给出候选根 与 （）；第二支给出候选根 与 （）。 候选根能否取到，取决于该点处 的符号是否与该支一致：，，，。 于是 是零点当且仅当 ； 是零点当且仅当 且 ； 是零点当且仅当 ； 是零点当且仅当 。 按 分档计数： 时零点为 与 两个； 时 与 重合，零点为 与 两个； 且 、 时零点为 与 两个，二者不等价于 ； 时零点为 与 两个； 时零点仍为 与 两个。 两处例外单独检验： 时 ，只有 一个（二重）零点； 时 恒成立，，也只有 一个零点。 故 恰有两个零点的充要条件是 且 ，即 ，填 。 ▸ 变式 4-2 若函数 恰有两个零点，求实数 的值。 【答案】 【分析】以 为拼接点拆成两支，各自分离参数为 与 ，两支零点个数相加后令其等于 。 【详解】解：定义域为 ， 在 处变号，分两支讨论方程 。 先排除 ：若 ，则 时 而 ，故 恒成立，没有零点；若 ， 只有 一个零点。两者都不合题意，故必有 。 支一（）：此时 ，方程化为 ，即 。设 ，（因 时 ），故 在 上严格递减。 两端趋势： 时 且 ，故 ；。所以对每个 ，左支恰有一个零点。 支二（）：此时方程化为 ，即 。设 ，，故 在 上递增、在 上递减，最大值 。 两端趋势：； 时 且恒正。于是右支零点个数： 时两个； 时一个（ 处相切，只算一个零点）； 时零个。 拼接点 处 ，不会被重复计数。 总零点数为左支与右支之和： 时三个； 时两个； 时一个。 由恰有两个零点得 。 ▍ 题型五、零点之和、之积与对称性 ▸ 典例 5 已知 ，函数 有三个零点 、、，且 。 （1）求 的取值范围； （2）证明：。 【答案】（1）；（2）证明见详解。 【分析】分离参数得 ，其驻点为 与 ，用水平线 与三段单调区间的交点个数定零点数。 【详解】解：定义域为 。先说明 ：若 ，则 ，只有 一个零点，不合题意。 （1） 即 。因 且 ，可分离参数为 。 设 ，，则 。 令 得 或 ，即 或 。 当 时 且 ，；当 时 且 ，；当 时 ，。 故 在 上递减、在 上递增、在 上递减，极小值 ，极大值 。 两端趋势： 时 而 ，故 ； 时 且恒为正。 数水平线 与三段曲线的交点： 时只在 内至多一个交点； 时 内一个、 处相切算一个，共两个； 时只有 内一个。 故恰有三个零点当且仅当 ，即 。 （2）当 时，在 上 由 严格递减到 ，必与 交一次，故 ； 在 上 由 严格递增到 ，交一次，故 ； 在 上 由 严格递减趋于 ，交一次，故 。 每段单调区间上至多一个零点，三段各恰一个，故 ，得证。 ▍ 题型模版 1.特征：题设给出两个或三个零点 ，问 、 的值或范围，或要求证明 。 2.方法：能配对称的用对称（如 与 、 与 同值）；不能配差的构造差函数 判号，再由单调性把零点“夹”到对称轴一侧。 3.提醒：零点之积要把对数方程先指数化成整式方程再用系数关系；“ 的范围”类题必须同时给出上下界两侧的验证，不能只证一边。 ▸ 变式 5-1 已知 是非负常数，函数 。当 时，方程 的解集元素个数为            ；当 时，方程 的解集元素个数为            ． 【答案】； 【分析】内层 是偶函数，在 上递增且 ，故每个大于 的值都对应一对互为相反数的 。 【详解】解：设 ，定义域为 ，则 是偶函数， 也是偶函数，非零解必成对出现。 当 时 ：若 ，则 且 ；若 ，则 。故 在 上严格递增。 又 ， 时 ，所以 的值域为 ，并且：值 只对应 ，任何大于 的值恰对应两个互为相反数的自变量。 第一空（）： 即 ，得 或 。 只有 一个解； 因 ，且 、，在 内恰一解，由偶函数对称再得一解，共两个解。 两段合计 个解。 第二空（）： 即 ，亦即 或 。 因为 ，所以 ；又 ，两个数都大于 。 并且 （差为 ），故两式各给出两个互为相反数的解，合计四个解。 故填 ；。 ▸ 变式 5-2 已知函数 有两个零点，则 的取值范围是            ，这两个零点之和为            ． 【答案】； 【分析】令 把方程化为 ；又 ，曲线关于直线 对称，两个零点必关于 配对。 【详解】解： 的定义域为 ， 即 。 设 ，则 ，且 与 一一对应（ 严格递增），问题化为方程 有几个正根。 去分母（）得 ；由均值不等式 ，等号当且仅当 。 于是 时无正根； 时只有 一个正根，对应 ，此时 在 处取最小值 ，是相切型零点，只算一个； 时判别式 ，两根之积为 、两根之和为 ，两根同为正且不等。 故 恰有两个零点当且仅当 。 再求两零点之和：设两正根为 、，则 。由 得 ，故 。 也可由对称性直接看出：，即曲线关于直线 对称，两个零点关于 配对，其和为 。 故填 ；。 ▍ 压轴挑战 1．函数 的零点个数为 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】定义域 ，最大值 ，两端都趋于 ，故最大值两侧各有一个零点。 【详解】解： 的定义域为 ，。 当 时 ， 单调递增；当 时 ， 单调递减，故 是极大值点也是最大值点，最大值 。 左端趋势： 时 而 ，故 ；取 佐证。 右端趋势： 时 主导，；取 （因 ）佐证。 于是 在 上由负严格递增到 ，由零点存在定理恰有一个零点；在 上由 严格递减到负，恰有一个零点。 两段之外 ，没有零点，故零点个数为 ，选 C。 反思：最大值 只说明“可能有零点”，必须再给出两端各趋于 的极限结论与负值佐证，才能确认左右两支各穿过 轴一次。 2．若函数 没有零点，则实数 的取值范围是 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 时递增且左端趋于 必有一个零点； 时最小值 必须为正， 单独检验。 【详解】解：定义域为 ，。 若 ，则 恒成立， 严格递增；当 时 而 ，故 ，；又 ，由零点存在定理 在 内恰有一个零点，不合“没有零点”。 若 ， 对一切 成立，没有零点，符合。 若 ，令 得 ， 在 上递减、在 上递增，最小值 。 要没有零点，需最小值大于零，即 ，得 ，即 。 临界检验： 时最小值为零， 是唯一零点，不合； 时最小值为负，而 时 、 时 主导，，两侧各一个零点，共两个，也不合。 合并 与 得 ，选 A。 3．已知 ，若函数 恰有两个不同的零点，则 的值为 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】极大值恒正，零点个数由极小值 的符号决定；恰有两个不同零点说明极小值恰为零，切点只算一个零点。 【详解】解： 的定义域为 ，。 因 ，驻点为 与 。当 或 时 ，当 时 。 极大值 ；极小值 。 两端趋势： 时 ， 时 。 若 ，则 ，极小值 ，图象只在 内穿过 轴一次，恰有一个零点； 若 ，则极小值小于零，而极大值大于零，三个单调区间上各恰有一个零点，共三个； 若 ，则极小值 ， 是二重零点只算一个，加上左侧一个，恰有两个不同零点。 验证： 时 ，零点为 与 ，确为两个，选 B。 对照检验： 时极小值 ，只有一个零点； 时极小值 ，有三个零点，与分档结论一致。 反思： 的“两个零点”里有一个是二重根，只算一个交点；把极小值等于零误当成两个零点，就会漏掉这一档。 4．若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 时严格递增至多一个零点； 时最大值 必须为正，解出 。 【详解】解：定义域为 ，。 若 ，则 恒成立， 严格递增，至多一个零点，不合题意，故必须 。 当 时令 得 。 在 上递增、在 上递减，最大值 。 两端趋势： 时 、，故 ； 时 主导，。 要有两个零点，需最大值大于零：，即 ，得 ；此时 与 上各恰有一个零点。 临界检验： 时最大值 ，只有 一个零点，等号不能取。 故 ，选 A。 对照检验：取 ，最大值 （因 ），确有左右两个零点；取 ，最大值 ，没有零点。 反思：本题不能分离成 一类的一次形式，分离后得到 ，其最大值 才是分界，切点处只算一个零点。 5．若函数 在 上没有零点，则实数 的取值范围是 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 时 在 上递增且 ； 时最小值 必须为正，分界在 。 【详解】解：，，题设要求在 上恒有 。 若 ，则 时 且 ，故 ，没有零点，符合。 若 ，则 时 ，， 在 上严格递增，，没有零点，符合。 若 ，令 得 ， 在 上递减、在 上递增，最小值 。 没有零点需最小值大于零，即 ，得 。 临界检验： 时最小值 ， 就是零点，不合题意； 时最小值为负，而 时 主导使 ，在 内有一个零点，也不合。 合并三档得 ，即 ，选 A。 对照检验：取 ，最小值 （因 ），没有零点；取 ， 而 ，在 内就有一个零点，不合。 反思： 是“导数零点 是否落进 ”的分界， 是“最小值等于零”的分界，两处都要单独检验。 6．设 ，函数 。若 恰有一个零点，则 的取值范围是            ． 【答案】 【分析】先按 与 的大小去绝对值，平方成两个整式方程，再用 与 两个前提筛掉增根；最后用 换 、 换 的对称性把 归到 。 【详解】解：定义域要求 ，零点方程可写成 ，故必须有 ，即 或 。 当 时 ，方程化为 ，两边平方整理得 ，记为方程一； 当 时 ，方程化为 ，两边平方整理得 ，记为方程二。 把 换成 同时 换成 ， 与 都不改变，故 与 对应的零点个数相同，只需讨论 。 时 ，零点为 两个，不合。 设 ，此时 ，定义域为 或 。记 ，方程一的两根之积为 ，故一根 、一根 。 落在 内且 ，必是零点； 要成为零点须同时满足 与 。 由 知 夹在两根之间，故 恒成立；又 ，当 时它非负，说明 ，即 ， 也是零点。 故 时有 、 两个零点（ 时 ，恰在定义域端点，仍算一个）。 当 时 ，得 ，即 ，不满足方程一的前提，是平方产生的增根，须舍去，此时方程一只贡献 一个零点。 再看方程二：要用到它必须有 ，而 时 ，故只有 即 时才可能有可用根。于是 时方程二无可用根， 恰有一个零点。 当 时 处 ，多出端点零点；当 时记 ，由 知方程二的正根 满足 ，即 ，是可用根。两类都回到两个零点。 时 ，方程一化为 得 ，方程二化为 得 （此时 可用），共两个零点； 时 ，方程一的两根之积为正、两根之和 为负，两根同为负且都满足 ，已有两个零点。 综上， 时恰有一个零点当且仅当 ；由对称性， 时当且仅当 。 故填 。 7．若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是            ． 【答案】 【分析】最小值 须小于零，同时左端极限 须大于零，两个条件合起来才够两个零点。 【详解】解： 的定义域为 ，。 令 得 。当 时 ，当 时 ，故 在 上递减、在 上递增。 最小值 。 左端趋势：令 ，，则 ，故 ；右端趋势： 时 ，故 。 要有两个零点，需最小值小于零且左端极限大于零：由 得 ；由 得 。 此时 在 上由 严格递减到负值，恰有一个零点；在 上由负值严格递增到 ，恰有一个零点，共两个。 临界检验： 时最小值为零，只有 一个零点； 时 只有 一个零点； 时左端极限 且 递减段恒负，只在右侧有一个零点。均不合题意。 故填 。 8．证明：当 时，。 （1）说明 在 上恰有一个零点 ，并写出 满足的关系式； （2）证明：当 时，。 【答案】证明见详解。 【分析】隐零点满足 ，取对数得 ；两条关系同时代回，最小值化为 （），再用单调性判号。 【详解】证明：设 ，定义域为 ，则 。 （1）记 。当 时 与 都是正的增函数，故 递增； 也递增。于是 在 上严格递增，至多有一个零点。 又 （因 ，故 ），（因 ）， 由零点存在定理， 在 内有唯一零点 ，且 在 上取负、在 上取正。 由 得 ，即 ，两边取对数得 ，即 ；同式还给出 。 （2）由（1）的符号， 在 上单调递减、在 上单调递增，故最小值为 。 把两条代换关系同时用于 ，得 。 令 ，由 知 。设 ，则 。 。当 时 ，故 ， 在 上严格递增。 于是 ，即最小值 。 从而对一切 有 ，即 ，得证。 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $