精品解析：河北省石家庄市第八十一中学2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

数学 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 若关于的一元二次方程有一个根为零，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将代入方程求的值，再根据一元二次方程的定义进一步确定a的值． 【详解】解：将代入，得： ， 解得， ∵ 该方程为一元二次方程， ∴ ，即， ∴ ． 2. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：）如表所示，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ） 甲 乙 丙 丁 9 9 9 8 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是方差和算术平均数．根据平均环数比较成绩的优劣，根据方差比较数据的稳定程度．据此即可判断． 【详解】解：由表知甲、乙、丙的射击成绩的平均数相等，且大于丁的平均数， ∴从甲、乙、丙中选择一人参加竞赛， ∵丙的方差较小， ∴丙的发挥稳定， ∴选择丙参加比赛． 故选：C． 3. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则为（ ） A. B. C. 9 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系．利用根与系数的关系“一元二次方程的两个根为，，则，”求解即可． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． 故选：A． 4. 如图，点D在的边上，添加下列条件，不一定能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用相似三角形的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ∵，， ∴， 该选项不符合题意； B. ∵，， ∴， 该选项不符合题意； C. ，不能判定，该选项符合题意； D. ∵，， ∴， 该选项不符合题意． 5. 如图，的三个顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在网格中过点 作 边上的垂线，得到对边长度 2，邻边长度 6，根据正切定义，代入数字计算得到． 【详解】解：过点 作，交的延长线于点 ． ， ， ， ， ． 6. 若点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：将点代入反比例函数得：， 同理可得：，， ∵， ∴． 7. 某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，结果如图所示．则这个跳水队运动员的年龄的众数是（ ） A. 2 B. 24 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，结合条形统计图中人数最多的年龄求解即可． 【详解】解：由条形统计图可得：年龄为岁的有人，年龄为岁的有人，年龄为岁的有人，年龄为岁的有人， ∵， ∴年龄为岁的人数最多， ∴这个跳水队运动员的年龄的众数是． 8. 如图，中，、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点的横坐标是（），则点的对应点的横坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由位似图形的性质知、、三点共线，且；再由两个三角形分居位似中心的两侧，确定点在点的左侧，用点的横坐标表示点的横坐标． 【详解】解：∵以点为位似中心作的位似图形，且把的边长放大到原来的倍， ∴、、三点共线，且， ∵点、都在轴的上方，在轴的下方，点在轴上， ∴点与点分居位似中心的两侧， ∴点在点的左侧，且点与点的水平距离是点与点的水平距离的倍， ∵点的横坐标为（），点的横坐标为， ∴点与点的水平距离为， ∴点的横坐标为， ∴点的横坐标是． 9. 如图，是的直径，弦交于点E，连接、．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 10. 在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的符号确定反比例函数图象所在象限及一次函数图象经过的象限即可． 【详解】解：当时，反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限，故A符合题意； 当时，反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限，此时均不符合题意． 11. 如图，经过原点和点，是的一条弦，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接， 根据圆周角定理得出，根据含角直角三角形的性质结合勾股定理可得的长，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴（负值已舍去）， ∴． 12. 如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点E、F，连接与相交于点H，给出下列结论：，其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质，等边三角形的性质，三角形相似的判定，解答即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴,， ∴,， ∴,， ， 故正确； ∴, ∵， ∴不成立， 故②错误； ∵, ∴， 故③正确； ∵,， ∴， ∴， ∴； 故④正确． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 已知反比例函数，它的两个分支分别在第一、第三象限，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】反比例函数的形式为（），即自变量的次数为；反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，说明比例系数大于，即． 【详解】解：∵反比例函数， ∴， 解得． ∵它的两个分支分别在第一、第三象限， ∴， ∴． 14. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则________ 【答案】 【解析】 【分析】方程有两个相等的实数根，可得根的判别式等于0，代入方程系数列方程求解即可得到的值． 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，． ∵方程有两个相等的实数根， ∴． 代入系数得． 整理得． 解得． 15. 2026苏超足球联赛正火热进行中，在常规赛中，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排x支队伍参赛，共比赛78场，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】赛制为单循环，每两队之间只赛一场，总场次为78场，计算总场次时需要去掉重复计算的部分，再根据总场次列方程． 【详解】解：∵共有队参赛，每两队之间赛一场， ∴每个队需要与其余个队各比赛一场，所有队累计比赛场次为， ∵每场比赛由两个队参加，上述计算中每场比赛被重复计算了1次， ∴实际总比赛场次为， ∵实际总比赛场次为78场， ∴可列方程： 16. 如图，矩形中，，在边上取一点，将翻折，使点落在点处，折痕为，于点．若交于点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】过点P作交的延长线于点H，根据矩形的性质得到，则可求出；证明，得到；设，则，由折叠的性质可得，由勾股定理得，解得或（舍去），，可得，解得． 【详解】解：如图所示，过点P作交的延长线于点H， ∵四边形是矩形， ∴， ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 设，则， 由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解答下列各题： （1）． （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先计算绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为． （1）在第四象限画出以点O为位似中心的位似图形，与的位似比为12； （2）直接写出点的坐标________；与的周长比是________；与的面积比是________； （3）在（1）的条件下，为内部任意一点，则变换后P的对应点的坐标为（____，____）； 【答案】（1） （2），， （3）， 【解析】 【分析】（1）利用位似变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用位似变换的性质求解； （3）利用位似变换的性质求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：根据位似变换的性质，得的坐标，且与的相似比为， ∴与的周长比等于，面积比为； 【小问3详解】 解：在（1）的条件下，为△内部任意一点，则变换后的对应点的坐标为． 19. 某校组织七、八年级学生去铜官窑研学，开展了传统文化教育活动．在活动结束后进行了一场传统文化知识竞赛，竞赛满分为100分．现随机抽取七、八年级各a人的竞赛成绩，将抽查的两个年级成绩用x表示，并将成绩分为四个等级（A：；B：；C：；D：），其中八年级B等级学生成绩为：82，86，86，84，86，84，86，89，83，81．在对成绩进一步整理、描述和分析后，绘制了如下有待完善的统计图表： 七、八年级竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 80 79 八年级 85 b 86 根据以上信息，解答下列问题： （1）请补全七、八年级竞赛成绩分布直方图； （2）从七、八年级每个年级中随机抽取的人数__________，七、八年级竞赛成绩统计表中的__________； （3）该校七年级有1200名学生，八年级有900名学生都参加竞赛，估计该校七年级和八年级学生成绩达到A等级的学生人数共有__________人； （4）请你从平均数和方差两个统计量中任选一个，比较该校七、八年级对传统文化知识的掌握情况． 【答案】（1）如图所示： （2）40；86 （3）780 （4）示例一：从平均数看，八年级平均数是85，七年级平均数是80，八年级平均成绩更高，说明八年级学生整体掌握情况更好． 示例二：从方差看，八年级方差是，七年级方差是，八年级方差更小，说明八年级成绩更稳定． 【解析】 【分析】（1）根据八年级A等级人数和所占百分比求出总人数，再求出七年级B等级人数，补全统计图． （2）根据中位数的定义，先确定第20、21个数据，再计算的值． （3）用样本估计总体，分别求出七年级和八年级达到A等级的人数，再相加． （4）从平均数或方差的角度分析两个年级的掌握情况． 【小问1详解】 由扇形图可知，八年级A等级有16人，占， 所以． 七年级B等级人数为：． 补全统计图：略． 【小问2详解】 由扇形图可知，八年级A等级有16人，占， 所以． 八年级B等级成绩从小到大排序为：81，82，83，84，84，86，86，86，86，89． 因为八年级共有40个数据，所以中位数是第20、21个数据的平均数． C等级有8人，D等级有6人， 所以第20、21个数据都在B等级，分别是86和86． ． 【小问3详解】 七年级A等级人数估计：人． 八年级A等级人数估计：人． 所以两个年级A等级总人数约为：人． 【小问4详解】 示例二：从平均数看，八年级平均数是85，七年级平均数是80，八年级平均成绩更高，说明八年级学生整体掌握情况更好． 示例二：从方差看，八年级方差是32．9，七年级方差是45．7，八年级方差更小，说明八年级成绩更稳定． 20. 消防车是救援火灾的主要装备．图是一辆登高云梯消防车的实物图，图是其工作示意图，起重臂（米米）是可伸缩的，且起重臂可绕点在一定范围内上下转动，张角（）；转动点距离地面的高度为米． （1）当起重臂的长度为米，张角时，云梯消防车最高点距离地面的高度的长为________米． （2）某日—栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为米，该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？请说明理由（参考数据：，，）（提示：当起重臂伸到最长且张角最大时，云梯顶端可以达到最大高度） 【答案】（1） （2）解：该消防车在这栋楼下能实施有效救援． 理由：当米，时，云梯顶端可以达到最大高度，如（1）图， 由（1）知：四边形是矩形， ∴，， 此时， 在中，， ∴（米）（米）， ∴该消防车在这栋楼下能实施有效救援． 【解析】 【分析】（1）过点作于点，先在中求出，再根据可得答案； （2）先计算当长米且时救援的高度，再判断该消防车能否实施有效救援． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ∴， 由题意知：，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， 在中，， ∴（米）， ∴云梯消防车最高点距离地面的高度的长为米； 【小问2详解】 略． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，B两点． （1）求，的值； （2）在轴上找一点，使得的面积等于12，求点的坐标； （3）关于的不等式的解集为________． 【答案】（1） （2）点的坐标是或 （3）或 【解析】 【分析】（1）把代入和求出即可； （2）设此直线交轴于点C，求得，，再根据面积求出点P坐标； （3）的解集，则是双曲线的图象在一次函数的图象的上方时对应的x的值． 【小问1详解】 解：∵直线与双曲线相交于， ∴把代入和，得： ，， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）知，直线表达式为，设此直线交轴于点C，如下图： ∴， 解得：， ∴， ∵直线，当时，， 解得：， ， ∵在轴上找一点，使得的面积等于12， ∴， ， ， ∴点的坐标是或； 【小问3详解】 解：由图可知，双曲线的图象在一次函数的图象的上方时满足不等式， ∴x的取值范围为或． 22. 如图，圆的直径长为，弦的长为，的平分线交圆于点； （1）求弦与弦的长． （2）求的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得到，然后利用勾股定理可计算出；根据圆周角定理得到°，再根据角平分线定义得，则，于是可判断为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质即可求得； （2）作于，由（1）可得是等腰直角三角形，进而可得，，利用勾股定理求得，根据即可求得的长． 【小问1详解】 解：是的直径， ， 在中， ， 是的直径， ， 的平分线交于点， 是等腰直角三角形， 【小问2详解】 如图，作于， 是的直径， ， 的平分线交于点， ， 是等腰直角三角形， ， 在中， ， ． 23. 2026年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“丧萌反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪CP”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套40元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套58元的价格出售．经统计，2026年1月份的销售量为256套，2026年3月份的销售量为400套． （1）求该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率． （2）从2026年4月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价1元，月销售量就会在3月份销售量的基础上增加20套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为4800元？ （3）在（2）的基础上，月销售利润能达到7300元吗？说明理由． 【答案】（1）该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率为． （2）当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元． （3）月销售利润不能达到元．理由如下： 设每套降价元时月销售利润为元， 根据题意得，整理得， ∵， ∴该方程无实数根，故月销售利润不能达到元． 【解析】 【分析】（1）根据1月、3月的销售量，结合月平均增长率的数量关系列一元二次方程求解． （2）根据单件利润与销售量的乘积等于总利润的等量关系列方程求解． （3）通过判断对应一元二次方程是否有实数根，确定利润能否达到目标值． 【小问1详解】 解：设该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率为x，  由题意可得：，解得，（不符合题意，舍去）． 答：月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设每套降价a元时，月销售利润为4800元． 此时单件利润为元，月销售量为套． 由题意可得：， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）． 所以售价为（元）． 答：当售价为48元时，月销售利润为4800元． 【小问3详解】 略 24. 综合实践课上，小组以“一线三等角”为主题展开了数学探究活动． 请解决下列问题： （1）探究规律： ①如图1，，则 ；（填“”或“”，且直接填写） ②如图2，点C在线段上，，，则的度数为 ； （2）应用规律： 如图3，点A，D，C，B在同一条直线上，，求证：； （3）拓展应用： 如图4，在四边形中，，，，，，求线段的长． 【答案】（1）①；② （2）证明：过点C作交于点H，如图， ∵， ∴，，， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）①根据相似三角形的性质，即由两组对应角相等的三角形相似可得； ②根据相似可得，再由三角形内角和可得，再根据周角即可求解． （2）作辅助线构造平行线，可得，，，再根据三角形外角的性质可得，再根据相似三角形的判定证明即可； （3）求出边长，根据勾股定理逆定理求解是直角三角形，再由（1）中的结论可得，根据边成比例可求解得，，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：①∵， ∴，， ∴， ∴； ②当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，则． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，过点B作的延长线于点E，如图， 在中，，即， 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， 由（1）的结论可知，， ∴， 即， 解得，， ∴， 在中，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 若关于的一元二次方程有一个根为零，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：）如表所示，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ） 甲 乙 丙 丁 9 9 9 8 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 3. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则为（ ） A. B. C. 9 D. 1 4. 如图，点D在的边上，添加下列条件，不一定能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，的三个顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 若点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，结果如图所示．则这个跳水队运动员的年龄的众数是（ ） A. 2 B. 24 C. 15 D. 16 8. 如图，中，、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点的横坐标是（），则点的对应点的横坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，弦交于点E，连接、．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（） A. B. C. D. 11. 如图，经过原点和点，是的一条弦，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点E、F，连接与相交于点H，给出下列结论：，其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 已知反比例函数，它的两个分支分别在第一、第三象限，则__________． 14. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则________ 15. 2026苏超足球联赛正火热进行中，在常规赛中，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排x支队伍参赛，共比赛78场，则可列方程为______． 16. 如图，矩形中，，在边上取一点，将翻折，使点落在点处，折痕为，于点．若交于点，则______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解答下列各题： （1）． （2）． 18. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为． （1）在第四象限画出以点O为位似中心的位似图形，与的位似比为12； （2）直接写出点的坐标________；与的周长比是________；与的面积比是________； （3）在（1）的条件下，为内部任意一点，则变换后P的对应点的坐标为（____，____）； 19. 某校组织七、八年级学生去铜官窑研学，开展了传统文化教育活动．在活动结束后进行了一场传统文化知识竞赛，竞赛满分为100分．现随机抽取七、八年级各a人的竞赛成绩，将抽查的两个年级成绩用x表示，并将成绩分为四个等级（A：；B：；C：；D：），其中八年级B等级学生成绩为：82，86，86，84，86，84，86，89，83，81．在对成绩进一步整理、描述和分析后，绘制了如下有待完善的统计图表： 七、八年级竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 80 79 八年级 85 b 86 根据以上信息，解答下列问题： （1）请补全七、八年级竞赛成绩分布直方图； （2）从七、八年级每个年级中随机抽取的人数__________，七、八年级竞赛成绩统计表中的__________； （3）该校七年级有1200名学生，八年级有900名学生都参加竞赛，估计该校七年级和八年级学生成绩达到A等级的学生人数共有__________人； （4）请你从平均数和方差两个统计量中任选一个，比较该校七、八年级对传统文化知识的掌握情况． 20. 消防车是救援火灾的主要装备．图是一辆登高云梯消防车的实物图，图是其工作示意图，起重臂（米米）是可伸缩的，且起重臂可绕点在一定范围内上下转动，张角（）；转动点距离地面的高度为米． （1）当起重臂的长度为米，张角时，云梯消防车最高点距离地面的高度的长为________米． （2）某日—栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为米，该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？请说明理由（参考数据：，，）（提示：当起重臂伸到最长且张角最大时，云梯顶端可以达到最大高度） 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，B两点． （1）求，的值； （2）在轴上找一点，使得的面积等于12，求点的坐标； （3）关于的不等式的解集为________． 22. 如图，圆的直径长为，弦的长为，的平分线交圆于点； （1）求弦与弦的长． （2）求的长． 23. 2026年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“丧萌反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪CP”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套40元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套58元的价格出售．经统计，2026年1月份的销售量为256套，2026年3月份的销售量为400套． （1）求该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率． （2）从2026年4月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价1元，月销售量就会在3月份销售量的基础上增加20套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为4800元？ （3）在（2）的基础上，月销售利润能达到7300元吗？说明理由． 24. 综合实践课上，小组以“一线三等角”为主题展开了数学探究活动． 请解决下列问题： （1）探究规律： ①如图1，，则 ；（填“”或“”，且直接填写） ②如图2，点C在线段上，，，则的度数为 ； （2）应用规律： 如图3，点A，D，C，B在同一条直线上，，求证：； （3）拓展应用： 如图4，在四边形中，，，，，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $