精品解析：山东烟台市莱州市2026-2027学年七年级上学期期中考试数学试题

2026—2027学年第一学期秋季适应性检测初二数学试题 注意事项： 本试卷分试题卷和答题卡，试题卷共8页，共3道大题，26道小题，满分120分．考试时间为120分钟． 答题前，请将自己的班级、姓名、座号填写在相应的位置上． 一．选择题（本题共12个小题，每小题均给出标号为A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的） 1. 下列图形为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知三角形两边的长度分别是和，则第三边的长可能是（ ） A. B. C. D. 3. 一个三角形三个内角度数的比是，这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断 4. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，不是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 如图，在中，，图中以为高的三角形共有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 6. 如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（ ） A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边高的交点 D. 三边垂直平分线的交点 7. 如图，，，添加下列条件，不能判定的是（ ）． A. B. C. D. 8. 小强利用全等三角形的知识测量池塘两端、的距离，但是在水中不方便测量，如果，则只需测出其长度的线段是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，圆柱的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（ ） A. 12cm B. 10cm C. 15cm D. 17cm 10. 如图，在中，，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 11. 一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图的隧道（下半部分为矩形,上半部分为半圆形），则卡车的外形高必须低于（　　）． A. 4.1米 B. 4.0米 C. 3.9米 D. 3.8米 12. 如图，正方形纸片的边长为，点是边的中点，将这张正方形纸片折叠，使点落到边上的点处，折痕交边于点，交边于点．则的值是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本题共8个小题） 13. 如图，瓷器上的纹饰是中国古代传统文化的重要载体之一，如图所示的图形是某瓷器上的纹饰，该图形是轴对称图形，其对称轴的条数为________． 14. 等腰三角形中一个角是，则底角的度数为________． 15. 如图，已知，平分，将直角尺如图所示摆放，使边在上，边与交于点P，与交于点Q，则的长度为______． 16. 如图，，，若，，则的长是______． 17. “出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形、四边形、四边形均为正方形．若，，则______． 18. 如图，已知，平分，在上有一点，，现要在、上分别找点、，使最小，则其最小值是________． 三．解答题（本题共8个小题，要写出必要的解答过程或推理步骤） 19. 如图，由边长均为1的小正方形构成的正方形网格中，点A，B，C，M，N均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格解决下列问题： （1）求的面积； （2）画出关于直线对称的； （3）在直线上找一点P，使（保留画图痕迹，并标出点P位置）． 20. 如图是一个四边形木架． （1）加上木条后，木架不易变形，其中蕴含的数学道理是________； （2）若，平分，且，求的长． 21. 如图，已知是的角平分线，是的边上的高，与交于点，，，求和的度数． 22. 如图，，在中，， （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作的角平分线交于点D，在，上求作点M，N，使A，D关于直线对称；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，，若，，则与的周长和为 ．（如需画草图，请使用图2） 23. 已知某开发区有一块四边形的空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，． （1）若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？ （2）若从点B修一条小路到边，求小路的最短长度． 24. 如图，在中，，，，． （1）判断线段与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的长． 25. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量校园内旗杆的高度 测量工具 皮尺等 模型抽象 注：线段表示旗杆，垂直地面于点 测绘过程 第一次操作：如图，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺量出的长度．第二次操作：如图，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点处用皮尺量出的长度． 数据信息 图中的长度为；图中的长度为． 请根据表格中提供的信息，求学校旗杆的高度． 26. 如图，是的平分线，点在射线上，、是直线上的两动点，点在点的右侧，且，作线段的垂直平分线，分别交直线、于点、点，连接、． （1）①如图，当、两点都在射线上时，猜想线段与数量关系是________． ②小明想运用添加辅助线、构造全等三角形的方法，证明①中的数量关系，如图．请你帮助小明完善说理过程． 理由如下：连接， 垂直平分， ， 是等腰三角形， ． 是的平分线， ， ， （请你完成剩下的说理过程） （2）如图，当、两点都在射线的反向延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期秋季适应性检测初二数学试题 注意事项： 本试卷分试题卷和答题卡，试题卷共8页，共3道大题，26道小题，满分120分．考试时间为120分钟． 答题前，请将自己的班级、姓名、座号填写在相应的位置上． 一．选择题（本题共12个小题，每小题均给出标号为A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的） 1. 下列图形为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 2. 已知三角形两边的长度分别是和，则第三边的长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设第三边长为，根据“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”即可确定第三边的范围． 【详解】解：设第三边长为， 则， 即， 故第三边长可能是． 3. 一个三角形三个内角度数的比是，这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】三角形按角分类由最大角的度数决定，需先结合内角和与角度比求出最大角的度数． 【详解】解：∵ 三角形内角和为，三个内角度数的比为． ∴最大角的度数为． ∴这个三角形是直角三角形． 4. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，不是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．，是勾股数，不符合题意； B．，是勾股数，不符合题意； C．，是勾股数，不符合题意； D．，，，不是勾股数，符合题意． 5. 如图，在中，，图中以为高的三角形共有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高，理解三角形的高定义是解题的关键． 由于于D，找出所有一边在直线上且以A为顶点的三角形即可解答． 【详解】解：∵于D， ∴图中有一边在直线上，且以A为顶点的三角形有， 共6个， ∴以为高的三角形有6个． 故选：D． 6. 如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（ ） A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边高的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知支撑点应是三角形的重心，根据三角形的重心是三角形三边中线的交点即可判断． 【详解】解：∵支撑点应是三角形的重心， ∴三角形的重心是三角形三边中线的交点． 故选：． 【点睛】此题考查了三角形重心这一知识点，知道三角形重心是三角形三边中线的交点是解题的关键． 7. 如图，，，添加下列条件，不能判定的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等，熟记判定定理的内容是解题关键．由可推出，结合各选项的条件即可作出判断． 【详解】解：∵， ∴，即； 若，则通过可证，故A不符合题意； 若，则通过可证，故B不符合题意； 若，则通过可证，故C不符合题意； 若时，不能推出，故D符合题意； 故选：D． 8. 小强利用全等三角形的知识测量池塘两端、的距离，但是在水中不方便测量，如果，则只需测出其长度的线段是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用．利用全等三角形对应边相等可知要想求得的长，只需求得其对应边的长，据此可以得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 则只需测出其长度的线段是， 故选：A． 9. 如图，圆柱的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（ ） A. 12cm B. 10cm C. 15cm D. 17cm 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆柱侧面展开图，勾股定理等知识．画出圆柱侧面展开图，根据“两点之间，线段最短”，线段长度即为蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程，求出，根据勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，矩形为圆柱侧面展开图，B为边中点，根据“两点之间，线段最短”，线段长度即为蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程． 由题意得， 在中，根据勾股定理得． 故选：C 10. 如图，在中，，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用证明，得出，结合三角形外角的性质推导出即可求解． 【详解】解：在和中， ， ， ， ，即， ， ， ． 11. 一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图的隧道（下半部分为矩形,上半部分为半圆形），则卡车的外形高必须低于（　　）． A. 4.1米 B. 4.0米 C. 3.9米 D. 3.8米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆中的垂径定理与勾股定理的应用，掌握垂径定理常考模型是解题关键． 根据题意，卡车应在最中间通行，其高度要比距离隧道中线1.2米处的洞壁低，用勾股定理计算出高度即可． 【详解】解：如图，卡车应在最中间通行， ∵车宽为2.4米， ∴米， 由题意可知，半圆形的半径米， 在直角中，， ∴米， ∵下半部分为矩形， ∴米， ∴米， ∴卡车的外形高必须低于4.1米． 故选：A． 12. 如图，正方形纸片的边长为，点是边的中点，将这张正方形纸片折叠，使点落到边上的点处，折痕交边于点，交边于点．则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质及勾股定理的应用，解题的关键是利用折叠性质得对应边相等，结合勾股定理列方程求解． 【详解】解：∵正方形边长为，是中点， ∴ 设，则，由折叠性质得． 在中，由勾股定理：， 即， 解得． ∴，， ∴． 二．填空题（本题共8个小题） 13. 如图，瓷器上的纹饰是中国古代传统文化的重要载体之一，如图所示的图形是某瓷器上的纹饰，该图形是轴对称图形，其对称轴的条数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，寻找能使图形沿直线折叠后完全重合的直线数量． 【详解】解：观察图形， 该图形共有4条对称轴． 14. 等腰三角形中一个角是，则底角的度数为________． 【答案】或 【解析】 【分析】等腰三角形两底角相等，已知的角可能为顶角也可能为底角，需结合三角形内角和定理分情况计算并验证合理性． 【详解】解：∵等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和为， ∴分两种情况讨论 1． 当已知的角为底角时，底角度数即为， 此时两个底角和为，可构成三角形，该情况成立； 2． 当已知的角为顶角时，两个底角度数相等， 单个底角的度数为， 此时三个内角和为，可构成三角形，该情况成立； ∴该等腰三角形的底角为或． 15. 如图，已知，平分，将直角尺如图所示摆放，使边在上，边与交于点P，与交于点Q，则的长度为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，解答的关键是等腰三角形的判定． 先由平行的性质得，再由角平分线的性质得，进而得，即可得． 【详解】解：由题意可知，，， 两直线平行，内错角相等， 平分， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，，，若，，则的长是______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据平行线的性质得，结合已知条件可依据“”判定和全等得，由此得，则，再根据，得，据此即可得出的长． 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，理解平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 即的长是 故答案为：． 17. “出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形、四边形、四边形均为正方形．若，，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据正方形的面积求出边长，，根据正方形的边长求出，在中利用勾股定理求出，进而得到正方形的边长． 【详解】解：∵为正方形， ， ∴， ∵为正方形，， ∴，， ∴中，， ∵为正方形， ∴． 18. 如图，已知，平分，在上有一点，，现要在、上分别找点、，使最小，则其最小值是________． 【答案】5 【解析】 【分析】作M关于的对称点P，过点P作于N，交于Q，则此时的值最小，可求，，，再根据含角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：作M关于的对称点P，过点P作于N，交于Q，则此时的值最小， ∵，平分，在上有一点， ∴关于对称， ∴点P在上， ∴，，， ∵， ∴ ∴最小值是． 三．解答题（本题共8个小题，要写出必要的解答过程或推理步骤） 19. 如图，由边长均为1的小正方形构成的正方形网格中，点A，B，C，M，N均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格解决下列问题： （1）求的面积； （2）画出关于直线对称的； （3）在直线上找一点P，使（保留画图痕迹，并标出点P位置）． 【答案】（1）2 （2） 解：如图，为所求； （3） 解：如图，点为所求； 【解析】 【分析】本题考查了轴对称、网格图求三角形面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据网格将三角形面积转化成一个长方形的面积减去三个三角形面积即可解题； （2）根据轴对称的定义作图即可； （3）连接交于点，点为所求． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接交于点，点为所求； 理由如下： 连接交于点，交于点，过点作线段， 由图可知，点和点关于轴对称， ∴， ∴． 20. 如图是一个四边形木架． （1）加上木条后，木架不易变形，其中蕴含的数学道理是________； （2）若，平分，且，求的长． 【答案】（1）三角形具有稳定性； （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的稳定性解答即可； （2）由平分，可得，然后证明，再根据全等三角形的性质即可得证． 【小问1详解】 解：∵四边形木架加上木条后，则四边形由和拼接而成， ∵三角形具有稳定性， ∴此时木架不易变形． 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， 在和中， ∴， ∴． 21. 如图，已知是的角平分线，是的边上的高，与交于点，，，求和的度数． 【答案】 【解析】 【分析】先利用角平分线定义求出，再由高的定义得到直角，求出，最后利用三角形内角和定理求． 【详解】解：是的角平分线，， ， 是边上的高， ， 即， 在中，， ， 在中，根据三角形内角和为， 则， ． 22. 如图，，在中，， （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作的角平分线交于点D，在，上求作点M，N，使A，D关于直线对称；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，，若，，则与的周长和为 ．（如需画草图，请使用图2） 【答案】（1） 如图所示，和即为所求； （2）24 【解析】 【分析】（1）根据尺规作图作角平分线和垂直平分线的作法作图即可； （2）由作图知， 是的垂直平分线，则，，然后根据三角形周长公式求解即可． 【小问1详解】 解：以点为圆心，适当长为半径画弧交，于两点，再分别以它们为圆心，适当长为半径画弧，交于一点，连接该点与点，交于点， 再以点，点为圆心，适当长为半径画弧交于两点，连接两点分别交，于，，作直线． 【小问2详解】 由作图知， 是的垂直平分线， 则，， ∵，，， ∴， ∴与的周长和为： ． 故答案为：24． 【点睛】本题考查尺规作图—作角平分线及垂直平分线，以及线段垂直平分线的性质，以及勾股定理等知识，掌握基本作图的作法是解决问题的关键． 23. 已知某开发区有一块四边形的空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，． （1）若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？ （2）若从点B修一条小路到边，求小路的最短长度． 【答案】（1）7200元 （2） 【解析】 【分析】本题主要运用勾股定理及其逆定理求解，解决问题的关键在于熟练掌握勾股定理解直角三角形，勾股定理的逆定理判定直角三角形． （1）连接，在中，根据勾股定理得到的长为5，根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，，根据四边形由和构成，即可求解； （2）在中，根据三角形面积的两种不同表示方法列出等式，即，进而求出的长度． 【小问1详解】 解：连接，在中， ， 在中，，， 而， 即， ∴是直角三角形，， ∴ ． ∴需花费（元）． 【小问2详解】 解：如图，过点B作，垂足为E， ∴在中，， 即，即． ∴小路的最短长度为． 24. 如图，在中，，，，． （1）判断线段与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的长． 【答案】（1） ，理由： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即； （2） 【解析】 【分析】本题考查垂直的定义，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的三线合一，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据垂直得到，再根据等量代换得到，再根据三角形的内角和定理证明即可； （2）先根据等腰三角形的三线合一求出长，根据得到，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 25. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量校园内旗杆的高度 测量工具 皮尺等 模型抽象 注：线段表示旗杆，垂直地面于点 测绘过程 第一次操作：如图，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺量出的长度．第二次操作：如图，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点处用皮尺量出的长度． 数据信息 图中的长度为；图中的长度为． 请根据表格中提供的信息，求学校旗杆的高度． 【答案】学校旗杆的高度为 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设学校旗杆的高度为，则图②中，，，，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设学校旗杆的高度为，则图中，，，， 在中，由勾股定理得： ∴． 解得：， 答：学校旗杆的高度为． 26. 如图，是的平分线，点在射线上，、是直线上的两动点，点在点的右侧，且，作线段的垂直平分线，分别交直线、于点、点，连接、． （1）①如图，当、两点都在射线上时，猜想线段与数量关系是________． ②小明想运用添加辅助线、构造全等三角形的方法，证明①中的数量关系，如图．请你帮助小明完善说理过程． 理由如下：连接， 垂直平分， ， 是等腰三角形， ． 是的平分线， ， ， （请你完成剩下的说理过程） （2）如图，当、两点都在射线的反向延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由． 【答案】（1）①； ②解：剩下的说理过程： 在和中， ， ， ． （2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，连接． ∵垂直平分， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴． 【解析】 【分析】（1）①根据题干猜想即可； ②先利用线段垂直平分线的性质得到，再结合角平分线的定义和等腰三角形的性质，通过等量代换得到角相等，最后构造全等三角形证明． （2）同理，仍利用角平分线、垂直平分线的性质，证明三角形全等，进而推导． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $