内蒙古赤峰市松山区2026——2027学年九年级上学期数学期中试卷

2026-2027学年度上学期期中质量监测 九年级数学 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（每小题3分，计24分） 1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是： A． B． C． D． 2．如果4是方程的一个根，则这个方程的其他根是： A． B． C． D． 3．二次函数图像的顶点坐标是： A． B． C． D． 4．若代数式和的值互为相反数，则x的值为： A．1或 B．或 C．1或 D．1或2 5．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则根据题意列出方程是： A． B． C． D． 6．二次函数的图像与x轴的交点个数是： A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定 7．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）发生变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，其图像如图所示，当时，．观察图像，下列说法不正确的是： A．与V的函数关系式是（） B．当时， C．当时，的变化范围是 D．当时， 8．二次函数的图像如图所示，则下列结论：①，②，③，④，⑤（）中正确的是： A．①②④ B．②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分） 9．将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的新抛物线是______________． 10．如图，线段的长为1，线段上的点C满足关系式，则线段的长为______________． 11．读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄，则他去世时年龄为______． 12．反比例函数（）的图像如图所示，点是反比例函数图像上一点，过点A作轴于点B，连接，则的面积是______________． 三、解答题（共6小题，满分64分） 13．（每小题5分，计10分） （1）解方程：． （2）已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长．如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由． 14．（10分）已知二次函数． （1）利用配方将化为的形式，并写出抛物线的顶点坐标； （2）当时，请直接写出函数值y的取值范围． 15．（10分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利和减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，则每天可多售2件．商场若想每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 16．（10分）如图，在平面直角坐标系中，函数（）与反比例函数（）交于A、B两点，点C在x轴上，且，若，求反比例函数解析式． 17．（10分）如图，一位篮球运动员在与篮圈水平距离为处起跳投篮时，球运行的高度与运行的水平距离之间满足关系式，当球运行的水平距离为时，球离地面高度为，球在空中达到最大高度后，准确落入篮筐内，已知篮筐中心与地面的距离为，当球运行的水平距离为多少时，球在空中达到最大高度？最大高度为多少？ 18．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D． （1）求此二次函数解析式； （2）如图①，在x轴上找一点E，使得的周长最小，求点E的坐标； （3）如图②，F为直线上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度上学期期中质量监测 九年级数学参考答案 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题 意的选项.本大题共8个小题，每小题3分，共24分) 题号 3 4 答案 C D A A D 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分) 9.y=6(+2)-4或y=6x2+24x-4 5-1 10. 2 11.36 12.2 三、解答题（本大题共6个小题，计64分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤，个别题有多种解法，阅卷时重点关注) 13题（本题10分，每小题5分） (1)x2-2x-1=0(用任何方法解方程均可，得到方程两个解，过程无瑕疵) 解：原方程可变为2-2x=1… …1分 方程两边同时加一次项一半的平方得：x2-2x+1=2 2分 左边写成完全平方式：(x-1}=2 …3分 两边同时开平方得：x-1=士V2 …4分 ∴x=1+V2.x=1-V2 …5分 (2)△ABC是直角三角形，… …1分 理由：，方程有两个相等的实数根， .△=(-2c)-4(a+b)(a-b)=0 …3分 a2=b2+c2,… …4分 ∴△ABC是直角三角形；… …5分 14.(本题满分10分) 解：(1)由题意可得： y=-x+2x+3 2 =方(-46 …2分 =-27x-2-4-6} =6x-2y+5 …4分 顶点坐标为： (2,5) …6分 (2)当-1<x<3时， 1 y= 当x=-1 2,且y的最大值为5…8分 1 <y≤5 则y的取值范围为：2 …10分 15.(本题10分) 解：设每件衬衫降价x元，则每件盈利(40-)元， 平均每天可售出(20+2)件， …2分 依题意得：(40-x(20+2x)=1200 …4分 整理得：x2-30x+200=0. …6分 解得：x=10.x2=20 …8分 当降价20元时，销售量大，减少了库存… …9分 答：每件衬衫应降价20元.… …10分 16.(本题满分10分) 解：如图，过点A作AD⊥OC于点D, …1分 AC=A0. CD=DO. …3分 y=- :函数y=mx(m<0)与反比例函数x(k≠0)交于A、B两点， A、B关于原点对称，… …4分 ∴.OA=OB,…(可用其他方法证明OA=OB) …6分 S△ABc=12 ·.SA4oc=。SAc=6 2 …7分 1 1 .S△40n S△4oc ×6= 2 2 …8分 ·k=6 …9分 又：该反比例函数图像在第二、四象限，即k<0, ∴.k=-6, 6 y=-9 ∴.反比例函数解析式为： 10分 17.(本题满分10分) 解：依题意，抛物线y=ar2+x+c 经过点（1.5,3.3)和(4,3.05) a×1.52+1.5+c=3.3 a×42+4+c=3.05 ,…2分 a=-0.2 解得(c=2.25 。。。。。。。。。。。。。。。 …4分 y=-0.2x2+x+2.25=0.2(x-2.5)2+3.5 …6分 当球运行的水平距离为2.5m时，…8分 达到最大高度为3.5m.…10分 3.05m 0 4m 18.(本题满分14分) 9a-3b+3=0 解：1将1(-3,0)，B(L,0)代入y=a2+bx+3得a+b+3=0 …2分 a=-1 解之得： b=-2 3分 此函数解析式为y三-X-2X十3。…4分 (2)作点C关于x轴对称的点C,连接CD交x轴于点B, 此时△CDE的周长最t小，…5分 如图O所示.：C(0,3),C0,-3).设直线CD的解折式为y=+b,则有 b=-3 b=-3 -k+b=4解得k=-7 …6分 C 图① ∴.直线CD的解析式为y=-7x-3 8分 当y=-7x-3中y=0时， t、3 7 ,当△CDE的周长最小时，点E的坐标为(0 …9分 (2)存在。…10分 理由如下：（直接写P点坐标即可）(（2，-5)或（10) …14分 c=3 a=1, 设直线AC的解析式为y=ax+C,则有-3a+c=0,解得c=3,:直线AC的解析式为y=x+3 假设存在，设点F(m,m+3),△AFP为等腰直角三角形的三种情况（如图②所示）： FA(F) (P) 图② O当∠PAF=90°时，点P(m,m-3),:点P在抛物线y=-r-2x+3上， -m-3=-m-2m+3,解得m=-3(舍去)，m,=2,此时点P的坐标为(2,5)， @当∠AFP=90°时，点P(2m+3,0）.:点P在抛物线y=-x-2x+3上， .0=-(2m+3-2×(2m+3列+3，解得m=-3(合去)，m,=-1, 此时点P的坐标为(，0）， ③当∠APF=90°时，点P(m,0),:点P在抛物线y=-x-2x+3上， 0=-m-2m+3,解得m=-3(舍去)，m,=1,此时点P的坐标为，0) 综上可知，在抛物线上存在点P,使得△AFP为等腰直角三角形，点P的坐标为(2，-5)或L,0）…14分