16.1 幂的运算（分层作业练知识）数学新教材人教版八年级上册

分层作业 16.1幂的运算 目 录 A组 巩固过关 知识点01 同底数幂相乘 知识点02 同底数幂乘法的逆用 知识点03 幂的乘方运算 知识点04 幂的乘方的逆用 知识点05 积的乘方运算 知识点06 积的乘方的逆用 知识点07 幂的混合运算 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 知识点01 同底数幂相乘 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 2．若，则的值为______． 3．计算： (1)； (2)． 知识点02 同底数幂乘法的逆用 4． 可写成（     ） A． B． C． D． 5．若，，则_______． 6．已知，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 知识点03 幂的乘方运算 7．计算 的结果是（     ） A． B． C． D． 8．计算：______． 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点04 幂的乘方的逆用 10．若，则（     ） A．7 B．10 C．16 D．25 11．已知，则________． 12．已知：，，，试比较a、b、c的大小． 知识点05 积的乘方运算 13．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 14．计算的结果为_______． 15．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点06 积的乘方的逆用 16． 的值为（     ） A． B． C．5 D． 17．若，则________． 18．比一比谁算得快． (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点07 幂的混合运算 19．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 20．计算：_______． 21．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（为正整数）． B组 能力进阶 1．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）已知，则的值为（    ） A．12 B．17 C．36 D．72 2．（25-26八年级上·云南曲靖·期末）计算的结果是（   ） A． B． C．1 D．2 3．（25-26八年级上·四川内江·期中）已知，则的值为（    ） A．4 B．8 C．32 D．128 4．（25-26八年级上·河南许昌·期末）若，，，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．若，，且，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知，则的值为________． 7．若，则x的值是_______． 8．已知，则的值为________． 9．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）已知：，则______． 10．（24-25八年级上·四川乐山·期末）观察等式：，，…，若，则______（用含m的代数式表示） 11．（25-26八年级上·四川南充·期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空： ________  ________  ________． (2)已知，，，，求证：． 12．（1）已知，求； （2）已知（x，y是正整数），求的值． C组 思维拔高 1．（25-26八年级上·江西宜春·期末）定义虚数单位，，则的计算结果为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·福建厦门·期中）规定：若实数a，b，c满足（且，），则记作．例如：，则．若，，，且，则p的值是（   ） A． B． C． D．9 3．（25-26八年级上·福建泉州·期中）在数学的世界里，新定义的运算常常能为我们探索数的规律打开新的窗口．有一种名为“幂记号”的新定义：如果、、是整数，且，那么我们规定一种记号，例如：，那么记作．现已知、是正整数，且，，，利用定义可以得到____．（用含、的代数式表示） 4．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个．先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于______． 5．（25-26八年级上·河南南阳·期末）某初中数学小组在学完“幂的运算”章节后就“幂的大小”展开了交流，请你仔细阅读并完成任务． 小亮：在比较幂的大小时，我想到了可以通过比较底数的大小来解决，比如比较 和 的大小时，先转换 因为，所以 即 小丽：你的思路没问题，我想到了可以通过比较指数的大小来解决，比如比较 和 的大小时，先转换 因为，所以 即 小佳：你们两个人的思路不同，角度不同，举一反三，值得学习． 任务： (1)比较和的大小； (2)已知且a，b均为正数，比较a、b的大小； (3)比较大小： （填“”“”或“”） 6．规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ， ，． (2)小明在研究这种运算时发现一个特征：， 小明给出了如下的证明： 设，则，即 所以，即， 所以． 试解决下列问题：   ①计算 ②请尝试运用这种方法证明． 拓展 链接中考 1．（2026·广西·中考真题）计算：（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏盐城·中考真题）计算：__________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 16.1幂的运算 目 录 A组 巩固过关 知识点01 同底数幂相乘 知识点02 同底数幂乘法的逆用 知识点03 幂的乘方运算 知识点04 幂的乘方的逆用 知识点05 积的乘方运算 知识点06 积的乘方的逆用 知识点07 幂的混合运算 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 知识点01 同底数幂相乘 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 2．若，则的值为______． 【答案】2 【分析】根据同底数幂的乘法法则列出关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 知识点02 同底数幂乘法的逆用 4． 可写成（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】拆分指数为与的和，匹配同底数幂相乘形式． 【详解】解：． 5．若，，则_______． 【答案】3 【分析】根据同底数幂乘法的逆运算拆分已知幂，代入数值计算即可． 【详解】解：根据同底数幂的乘法运算法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，因此有， ∵ ，， ∴ 将已知值代入上式，得， 解得． 6．已知，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查同底数幂乘法的逆用，熟练掌握同底数幂乘法的逆用是解题的关键； （1）由可代入进行求解即可； （2）由可代入进行求解即可； （3）由可代入进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴． 知识点03 幂的乘方运算 7．计算 的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 8．计算：______． 【答案】 【详解】解： ． 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】幂的乘方运算规则为：幂的乘方，底数不变，指数相乘，公式为（m、n为正整数）． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 知识点04 幂的乘方的逆用 10．若，则（     ） A．7 B．10 C．16 D．25 【答案】D 【详解】解：，， ． 11．已知，则________． 【答案】 【详解】解：∵ ∴ 12．已知：，，，试比较a、b、c的大小． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用，根据，，，即可求解． 【详解】解：，，， ∵， ∴， ∴． 知识点05 积的乘方运算 13．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据计算即可． 【详解】解：． 14．计算的结果为_______． 【答案】 【详解】解：． 15．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 知识点06 积的乘方的逆用 16． 的值为（     ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【详解】解： ． 17．若，则________． 【答案】 2 【详解】解：∵ 对于正整数n，有，本题中两个幂的指数均为8，满足该运算的使用条件， ∴ ， ∴ ． 18．比一比谁算得快． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)100000 (2)1 (3)1 (4)4 【分析】本题主要考查了积的乘方逆用，解题的关键是熟练掌握积的乘方运算法则，“积的乘方等于积中各个因式分别乘方”．逆用积的乘方运算法则，逐项进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 知识点07 幂的混合运算 19．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算，包括同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项及幂的乘方，需逐一验证各选项是否符合对应法则． 【详解】A． ，但选项结果为，错误，不符合题意； B． ，但选项结果为，错误，不符合题意； C． ，但选项结果为，错误，不符合题意； D． ，与选项结果一致，正确，符合题意； 故选：D． 20．计算：_______． 【答案】 【分析】先计算积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘法，再计算加减法即可． 【详解】解：原式 ． 21．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（为正整数）． 【答案】(1) (2)0 (3) (4) (5) 【分析】本题考查同底数幂的乘法，同底数的幂相乘，底数不变，指数相加，掌握运算法则并正确进行符号运算是解题的关键． （1）直接根据同底数幂的运算法则进行计算即可； （2）先根乘方的法则确定各项的正负，再根据同底数幂的运算法则进行计算即可； （3）直接根据同底数幂的运算法则进行计算即可； （4）先根乘方的法则确定各项的正负，再根据同底数幂的运算法则进行计算即可； （5）先根乘方的法则确定各项的正负，再根据同底数幂的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）原式； （2）原式； ； （3）原式； （4）原式； （5）原式（n为正整数）． ． B组 能力进阶 1．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）已知，则的值为（    ） A．12 B．17 C．36 D．72 【答案】D 【分析】本题考查了幂的运算法则的应用，利用幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则将所求式子转化为已知条件的形式，再代入计算，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 2．（25-26八年级上·云南曲靖·期末）计算的结果是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则以及积的乘方逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先将化为，然后利用积的乘方逆运算进行计算即可． 【详解】解：原式 故选：B． 3．（25-26八年级上·四川内江·期中）已知，则的值为（    ） A．4 B．8 C．32 D．128 【答案】B 【分析】本题考查指数运算，由方程可得，将和化为以2为底的幂形式，利用指数运算法则计算表达式值，关键是将底数统一为 2，利用已知条件代入求值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．（25-26八年级上·河南许昌·期末）若，，，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用幂的乘方运算法则，通过逐步代换变形，得到底数为3的幂，对比指数即可得到的值 【详解】解：∵ ，， ∴ 将代入，可得 ， 由幂的乘方法则得 ， ∵ ，将代入得 ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ 5．若，，且，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂的运算性质，熟练掌握“若（且），则”是解题的关键．先根据已知的指数等式求出、的值，再代入第三个指数等式，利用同底数幂的性质求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 故选：A． 6．已知，则的值为________． 【答案】16 【分析】将所求代数式变形为以为底的幂，利用同底数幂的乘法法则得到指数为，结合已知等式即可计算出结果． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴原式． 7．若，则x的值是_______． 【答案】1 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，幂的乘方． 逆用积的乘方得到，根据幂的乘方得到，进而根据列方程求解即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 解得 ． 故答案为：1． 8．已知，则的值为________． 【答案】4 【分析】先利用幂的乘方运算法则，把式子变形为含的形式，再代入已知条件计算． 【详解】解： 当时， 原式 ． 9．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）已知：，则______． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂相乘和幂的乘方的逆运算，解一元一次方程，掌握好相关的运算法则是关键． 将方程中的所有幂转换为以为底的幂，利用指数运算法则简化方程，再根据底数相同指数相等的原则求解． 【详解】解：根据幂的乘方运算法则进行化简，得， ，，，， ∴原方程化简为：， 合并，得， ∴， 解得． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·四川乐山·期末）观察等式：，，…，若，则______（用含m的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，幂的乘方的逆运算，由题意可知，将变形为，进而可得 ，由此可解． 【详解】解：由题意知，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·四川南充·期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空： ________  ________  ________． (2)已知，，，，求证：． 【答案】(1) (2) 证明：∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用，掌握其运算法则是关键． （1）根据题意的计算方法求解即可； （2）根据题意得到，，，结合题意，运用幂的乘方，同底数幂的计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）略 12．（1）已知，求； （2）已知（x，y是正整数），求的值． 【答案】（1）；（2）。 【分析】（1）利用幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则，将进行变形，转化为用和（即 ）表示的形式，再代入已知条件计算． （2）先把转化为以为底的幂，即，然后根据同底数幂乘法法则将变形为，再结合已知条件求出的值，进而计算出结果． 本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法等幂的运算性质，熟练掌握幂的乘方公式 、同底数幂乘法公式是解题的关键． 【详解】解：（1），， ， 把，代入上式，原式； （2） 又， 把代入，原式 C组 思维拔高 1．（25-26八年级上·江西宜春·期末）定义虚数单位，，则的计算结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字类规律探究、整式的运算，可先推导虚数单位的幂次的周期性，再利用周期性分组求和，最后计算剩余项的和得到结果． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ，即每4个连续的的幂次和为0． ∵，即原式包含506组完整的4项，剩余最后两项和． ∵的幂次周期为4， ∴ ，， ∴原式 ， 故选：C 2．（25-26八年级上·福建厦门·期中）规定：若实数a，b，c满足（且，），则记作．例如：，则．若，，，且，则p的值是（   ） A． B． C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查新定义运算，同底数幂的乘法，掌握相关知识是解决问题的关键．根据规定将符号转化为指数形式，再利用 和同底数幂相乘的法则求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ； ∵ ， ∴ ； ∵ ， ∴ ； 又 ∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ． 故选：A． 3．（25-26八年级上·福建泉州·期中）在数学的世界里，新定义的运算常常能为我们探索数的规律打开新的窗口．有一种名为“幂记号”的新定义：如果、、是整数，且，那么我们规定一种记号，例如：，那么记作．现已知、是正整数，且，，，利用定义可以得到____．（用含、的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，关键是根据新定义进行转换； 根据幂记号的定义，将已知条件转化为指数形式，再代入求解. 【详解】解：由已知，，根据定义得：； 同理，，得 ； 则：， 又∵， ∴ ， ∴ ， 故答案为： . 4．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个．先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于______． 【答案】128 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出，，最后逆用同底数幂相乘法则求出答案． 【详解】解：由题意可知，调整后三只袋中的球数： 甲袋：个，乙袋：（个），丙袋：（个）， 一共有（个）球，且调整后三只袋中球的个数相同， 调整后每只袋中球数为：（个）， ，， ，， ， 故答案为：128． 5．（25-26八年级上·河南南阳·期末）某初中数学小组在学完“幂的运算”章节后就“幂的大小”展开了交流，请你仔细阅读并完成任务． 小亮：在比较幂的大小时，我想到了可以通过比较底数的大小来解决，比如比较 和 的大小时，先转换 因为，所以 即 小丽：你的思路没问题，我想到了可以通过比较指数的大小来解决，比如比较 和 的大小时，先转换 因为，所以 即 小佳：你们两个人的思路不同，角度不同，举一反三，值得学习． 任务： (1)比较和的大小； (2)已知且a，b均为正数，比较a、b的大小； (3)比较大小： （填“”“”或“”） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． （1）根据，结合即可比较； （2）根据题意可知，，结合，再逆向推导a、b的大小即可； （3）由指数幂的运算，得，，再结合即可比较； 【详解】（1）解：，且， ，即； （2）解：， ， ， ， ； （3）解： ， ， 又， ， 即． 故答案为：． 6．规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ， ，． (2)小明在研究这种运算时发现一个特征：， 小明给出了如下的证明： 设，则，即 所以，即， 所以． 试解决下列问题：   ①计算 ②请尝试运用这种方法证明． 【答案】(1)2，0，±3 (2)①0； ②证明：设 ， ， ， ． 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，新定义运算，熟练掌握幂的乘方运算是解题的关键． （1）根据新定义运算法则即可； （2）①根据新定义运算法则，得即可；②设 ，再根据新定义运算法则即可． 【详解】（1）解：，即； ，即； ，即； 故答案为：2，0，±3； （2）①解： ； ②略 拓展 链接中考 1．（2026·广西·中考真题）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 2．（2026·江苏盐城·中考真题）计算：__________． 【答案】 【分析】运用同底数幂的乘法法则：“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”即可求解． 【详解】解：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $