第16章 整式的乘法-【重点班提分练】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步知识册（人教版2024）

第十六章 整式的乘法 知识·学习区 同底数幂的乘法一am·a”=am+m(（m,n都是正整数) 幂的 运算 幂的乘方一（a")”=amm(m,n都是正整数) 0 积的乘方一（ab)"=ab”（n是正整数) 注意运算顺序及 符号的变化 把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积 单项式与单项式相乘 的因式，对于只在一个单项式里含有的字 母，则连同它的指数作为积的一个因式 整式的 乘法 单项式与多项式相乘 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得 的积相加 多项式与多项式相乘 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式 的每一项，再把所得的积相加 同底数幂的除法一a÷a=am-"(a≠0，m,n都是正整数，m>n) 整式的乘法 o零指数幂一a°=1（a≠0) 整式的 ● 除法 把系数与同底数幂分别相除作为商的因式， 单项式除以单项式 对于只在被除式里含有的字母，则连同它的 指数作为商的一个因式 多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项除以这个单项 式，再把所得的商相加 平方差公式一(a+b)(a-b)=a2-b 乘法 公式 完全平方公式一（a±b)2=a2±2ab+b2 19 重点班提分练数学八年级上册 技巧·提升区 扫码批改 ⊙重点题讲解 技巧提分1对称式求值 模型解读 ◇模型对称式求值 (1)由(a+b)2=a2+2ab+b2可得：①a2+b2 (a+b)2-2ab;②2ab=(a+b)2-(a2+b2) 利用完全平方公式求对 称式的值： (2)由(a-b)2=a2-2ab+b2可得：①a2+b2= 已知①a+b,②a-b, (a-b)2+2ab;②2ab=(a2+b2)-(a-b)2 ③ab,④a2+b2中任意 两个代数式的值，可以求 (3)由(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2= 出另外两个代数式的值 a2-2ab+b2可得：①4ab=(a+b)2-(a-b)2; ②a2+62-（a+b)2+(a-b)2 对称式求值的核心是利用完全平方公式进行代数运 P,名师点晴 算和变形，该知识点的重点是对完全平方公式的熟 记及应用，难点是对公式结构特征的理解 模型演练 1.已知实数a,b满足a+b=4, 2.如果实数a,b满足(a+b)2=4,ab=1, a2+b2=10.若y=(a-b)2,则 那么a2+b的值为（) y=( A.1 B.2 A.-2 B.1 C.3 D.4 C.2 D.4 20 第十六章)整式的乘法 技巧提分2 配方法 模型解读 ◇模型配方法 对于形如ax2+bx+c(a≠0)的多项式，如果不是完全平方式，我们可以先添 加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不 变，把多项式变形为a(x+m)2+n的形式，我们把这样的变形方法叫作配方法.运 用配方法能够求解多项式的最值问题 例如，x2+4x-5=x2+4x+22-22-5=(x+2)2-4-5=(x+2)2-9.因为 (x+2)2≥0，所以x2+4x-5≥-9，即x2+4x-5的最小值为-9 模型演练 1.不论x,y为何值，代数式x2+y2+ (2)求-x2+2x+4的最大值. 2x-4y+7的值( (3)【拓展】 A.总不小于7 B.总不小于2 ①不论x,y为何实数，代数式x2+ C.可为任何实数 D.可能为负数 y2+2y-4x+6的值 (填 2.《@)中考新角度·阅读理解 序号) 【阅读材料】 A.总不小于1B.总不大于1 求y2+4y+8的最小值. C.总不小于6D.可为任何实数 獬：y2+4y+8=y2+4y+4+4= ②已知a2+b2-10a-12b+61= (y+2)2+4. 0,求a-b的值. (y+2)2≥0即(y+2)2的最 小值为0， .y2+4y+8的最小值为4. 【解决问题】 (1)若a为任意实数，则代数式 a2-2a-1的最小值为 21 重点班提分练数学八年级上册 满分·冲刺区 压轴满分集训 1.在下列各式中，计算结果等于a°的是 方形纸片按如图所示的方式拼成了 （) 一个正方形，请你通过拼图写出（b+ A.a+a B.a2.a a)2,ab,（b-a)2之间的等量关系： C.a8÷a3 D.(-a）2.a4 2.如果x=2”+1,y=2+4"(m为整数)， 【知识应用】 那么用含x的代数式表示y为( (2)若2a-b=7,ab=2,求(2a+b)2 A.y=2x B.y=x2 的值. Cy=(x-1)2+2 D.y=x2+1 【知识迁移】 3.已知3”=2,9=4，则3a-6的值 (3)如图2，为创办文明校园，美 为 化校园环境，某校计划要在面积为 4.若3+3+…+3=3×3×…×3，其 234m2的长方形空地ABCD(AB> 81个3相加 n个3相乘 AD)中划出长方形AEFG和长方形 中a,n都是大于1的整数，a<n, PQCH,两个长方形重合部分刚好建 则a”= 一个长为3m,宽为2m的喷泉水池 5.如图，两个正方形的边长分别为a, PMFN,现将图中阴影部分区域作 b.如果a+b=20,ab=72,那么阴影 为花圃，且花圃总周长为52m,则 部分的面积为 AB-AD的长为多少米？ B 6.已知m2+kmn+4n2是一个完全平方 图1 图2 式，则k= 7.【知识生成】 (1)通常，用两种不同的方法计算 同一个图形的面积，可以得到一个恒 等式. 如图1，有四张长为b、宽为a的长当A,F,G三点共线且AG⊥ BC时，AF+FG的值最小， 此时，CF+FG的最小值为AG 的长 AB=AC,点G为BC的中点， .∴.AG⊥BC. BC=8,△ABC的面积为32， 1 六2×8x4G=32, .AG=8, ∴.CF+FG的最小值为8. 7.(1)(16-t)cm. 提示：由题意可知AP=t,BQ=2t. AB=16 cm,..BP=AB-AP=(16-t)cm. (2)解：当点Q在BC边上运动，△PQB为等 腰三角形时，有BP=BQ, 即16-t=2,解得1=3， 16 :出发gs后，△PQB是等腰三角形， 16 (3)解：当CQ=BQ时，如图1所示，则 LC=∠CBQ. .∠ABC=90°， ∴.∠CBQ+∠ABQ=90°. .∠A+∠C=90°， B P← .∠A=∠ABQ, 图1 ..BQ=AQ, CQ=AQ=AC=10 cm, ∴.BC+CQ=22cm, ∴.t=22÷2=11(s). 当CQ=BC时，如图2所示， 则BC+CQ=2BC=24cm, ∴.t=24÷2=12(s). 综上所述，当点Q在CA边 图2 上运动时，出发11s或12s 后，△BCQ是以CQ为腰的等腰三角形 第十六章整式的乘法 技巧·提升区 技巧提分1对称式求值 1.Da+b=4,.（a+b)2=16,.a2+2ab+b2= 16.a2+b2=10,.10+2ab=16,∴.ab=3,∴.y= (a-b)2=a2-2ab+b2=10-2×3=10-6=4. 2.Ba2+b2=(a+b)2-2ab=4-2×1=2. 技巧提分2配方法 1.Bx2+y2+2x-4y+7=x2+2x+1+y2-4y+4+2= (x+1)2+(y-2)2+2.,(x+1)2≥0，(y-2)2≥ 0,∴.(x+1)2+(y-2)2+2≥2，.x2+y2+2x-4y+ 7≥2. 2.（1)-2. 提示：a2-2a-1=a2-2a+1-1-1=(a-1)2- 2..（a-1)2≥0，∴.a2-2a-1≥-2. (2)解：-x2+2x+4=-(x2-2x+1)+1+4= -(x-1)2+5. .(x-1)2≥0， .-(x-1)2≤0， .-(x-1)2+5≤5， 即-x2+2x+4的最大值为5. (3)①A. 提示：x2+y2+2y-4x+6=x2-4x+4+y2+2y+1+1= (x-2)2+(y+1)2+1. (x-2)2≥0，(y+1)2≥0，∴.x2+y2+2y-4x+6 的最小值为1，故A正确. ②解：a2+b2-10a-12b+61=0, .(a2-10a+25)+(b2-12b+36)=0,即 （a-5)2+(b-6)2=0, ∴.a-5=0,b-6=0, ∴.a=5,b=6, .a-b=5-6=-1. 满分·冲刺区 压轴满分集训 1.DA.a3+a3=2a3≠a°，故该选项不符合题 意；B.a2·a3=a3≠a,故该选项不符合题意； C.al8÷a3=a5≠a,故该选项不符合题意； D.(-a)2·a4=a,故该选项符合题意 2.Cx=2m+1,.2m=x-1,∴.y=2+4=2+ (22)m=2+22m=2+(2m)2=2+(x-1)2. 1 3. 3=2,9=4,3如地=30÷30=(3)3÷ (92=21 -42=2 4.8由题意，得81×3“=3"，即3+=3m, 4+a=am,:n-a+4 4 =1+一.a,n都是大于 a 1的整数，a<n,∴.符合题意的只有a=2,n= 3,∴.a"=23=8. 5.92.a+b=20,ab=72,.a2+b2=(a+b)2- 2ab=400-144=256,∴.阴影部分的面积= -a-6j=7a2+-0)=×(256 72)=92. 6.±4m2+kmn+4n2是一个完全平方式， ∴.m2+kmn+4n2=(m±2n)2=m2±4mn+4n2, .∴.k=±4. 7.(1)(b+a)2-(b-a)2=4ab. 提示：由题图1可知，大正方形边长为(b+ a),中间小正方形边长为(b-a).,大正方形 的面积-中间小正方形的面积=4个长方形 的面积之和，∴.(b+a)2-(b-a)2=4ab. 解：(2)由(1)可得，(2a+b)2-(2a-b)2=8ab. .'2a-b=7,ab=2, .(2a+b)2-72=8×2, .(2a+b)2=65. (3)设AB=a,AD=b, 由题意得，ab=234,PN=MF=2,PM=NF=3, .GD+QN+ME+BH=2(6-2)=26-4,BE+ MH+GN+DQ=2(a-3)=2a-6. 花圃总周长为52， .2b-4+2a-6=52, ∴.a+b=31. 由(1)可得，(a+b)2-(a-b)2=4ab, .312-(a-b)2=4×234, ∴.(a-b)2=25, 解得a-b=5或a-b=-5. AB>AD, ∴.a-b>0, .a-b=5, .AB-AD的长为5m. 第十七章因式分解 技巧·提升区 技巧提分1分组分解法 1.C2x3-x2+2x-1=(2x3-x2)+(2x-1)=x2· (2x-1)+(2x-1)=（2x-1)(x2+1),由此可知 2x-1是2x3-x2+2x-1的因式，而x2,2x,2x+1 都不是它的因式 2.Bx2-1=(x+1)(x-1),故A选项不符合题 意；x4-x3+x2-1=(x4-x3)+(x2-1)=x3(x-1)+ (x+1)(x-1)=(x-1)(x3+x+1),故B选项符合 题意；x3+1=(x+1)(x2-x+1),故C选项不符 合题意；x4-x3-x2-1=(x4-x2)-（x3+1)= x2(x2-1)-(x+1)(x2-x+1)=x2(x+1)(x-1) (x+1)(x2-x+1)=(x+1)[x2(x-1)-(x2-x+ 1)]=(x+1)(x3-x2-x2+x-1)=(x+1)(x3- 2x2+x-1),故D选项不符合题意. 3.Ba2-2ab+b2-c2=(a2-2ab+b2)-c2= (a-b)2-c2=(a-b+c)(a-b-c). 4.(x-3)(x+7)原式=x2-9+4x-12=(x+3)· (x-3)+4(x-3)=(x-3)(x+7). 5.解：(1)ab-2a-2b+4 =(ab-2a)-(2b-4) =a(b-2)-2(b-2) =(a-2)(b-2): (2).·m2+2mn+2n2-6n+9=0, ∴.(m2+2mn+n2)+(n2-6n+9)=0, .(m+n)2+(n-3)2=0, 「m+n=0, m=-3, 解得 1n-3=0,1n=3.