16.2 整式的除法（第4课时 整式的除法）（导学案）数学新教材人教版八年级上册

16.2 整式的乘法（第4课时 整式的除法）（导学案） 【学习目标】 1. 理解同底数幂除法的运算性质及零指数幂的意义，能说明其成立的条件（a≠0，m、n都是正整数，m>n），并会运用性质进行同底数幂的除法运算。 2. 掌握单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则，能熟练运用法则进行整式的除法及整式混合运算，发展运算能力与综合解题能力。 3. 经历从特殊到一般探究整式除法法则的过程，体会类比（由数的除法类比到整式的除法）、转化（化整式除法为同底数幂除法、化多项式除法为单项式除法）的数学思想，发展推理能力和有条理的表达能力。 【学习重点】 同底数幂的除法性质、零指数幂、单项式除以单项式和多项式除以单项式的法则及其应用。 【学习难点】 同底数幂除法法则的归纳与零指数幂规定条件的理解；多项式除以单项式的转化中不漏项、符号处理及整式混合运算的顺序。 【自主预习】阅读教材，完成以下问题： 1. 同底数幂的除法 同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 am÷an=am−n（a≠0，m、n都是正整数，且m>n）。 因为0不能作除数，所以底数a≠0。 2. 零指数幂 规定 a0=1（a≠0），即任何不等于0的数的0次幂都等于1。 3. 单项式除以单项式 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 例如：12a3b2x3÷3ab2=4a2x3。 4. 多项式除以单项式 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 例如：(6a2+2ab)÷2a=3a+b。 5. 整式混合运算的顺序 先乘方，再乘除，后加减；有括号的先算括号里面的；连除从左到右。 【课堂探究】 探究一、同底数幂相除与零指数幂 【复习引入】计算：25×23=28；x6·x4=x10。 想一想（想乘算除）：因为23×25=28，所以28÷23=25；因为x4·x6=x10，所以x10÷x6=x4。 观察发现：8−3=5，10−6=4，规律是“同底数幂相除，底数不变，指数相减”。 【新知探究】 把指数换成字母：因为2m−n·2n=2(m−n)+n=2m，所以2m÷2n=2m−n。 把底数换成字母：计算am÷an，就是求一个式子，使它与an的积等于am。因为am−n·an=a(m−n)+n=am，所以am÷an=am−n。 【结论】同底数幂相除法则：am÷an=am−n（a≠0，m、n为正整数，m>n），即同底数幂相除，底数不变，指数相减。 思考：底数a为什么不能为0？因为0不能作除数，底数为0时式子无意义。 零指数幂：当a≠0时，am÷am=1；按同底数幂除法计算，am÷am=am−m=a0。因此规定a0=1（a≠0），即任何不等于0的数的0次幂都等于1。 例1 计算：（1）x8÷x2；（2）(ab)5÷(ab)2。 解：（1）x8÷x2=x8−2=x6。 （2）把(ab)看成一个整体，(ab)5÷(ab)2=(ab)5−2=(ab)3=a3b3。 例2 小丽在学习了“任何不等于0的数的0次幂都等于1”后，遇到这样一道题：如果(x−2)x+3=1，求x的值。她求出的结果为x=−3，老师说她考虑问题不够全面，你能帮小丽解答这个问题吗？ 解：幂（式）的值为1，需分类考虑。 当x−2=1，即x=3时，(3−2)6=16=1，满足题意； 当x−2=−1，即x=1时，(1−2)4=(−1)4=1，满足题意； 当x+3=0，即x=−3时，(−3−2)0=(−5)0=1，满足题意。 所以x的值为3、1或−3。 【方法点拨】幂（式）的值为1，常需考虑三种情况：①底数为1；②底数为−1且指数为偶数；③指数为0且底数不为0。 探究二、单项式除以单项式 【问题引入】同底数幂的除法运用了乘法的逆运算，单项式除以单项式也可以用同样的方法。尝试计算：(12a3b2x3)÷(3ab2)。 【新知探究】设商为4a2x3，因为(4a2x3)·(3ab2)=12a3b2x3，所以(12a3b2x3)÷(3ab2)=4a2x3。 观察商式4a2x3：系数4=12÷3；a的指数2=3−1；b的指数0=2−2（而b0=1）；x的指数3=3−0。 【结论】单项式除以单项式法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 例3 计算：（1）28x4y2÷7x3y；（2）(−5a5b3c)÷15a4b。 解：（1）28x4y2÷7x3y=(28÷7)x4−3y2−1=4xy。 （2）(−5a5b3c)÷15a4b=[(−5)÷15]a5−4b3−1c=−1/3ab2c。 例4 计算：(−8x5)÷3x3÷(−x)。 解：原式=[(−8)÷3]x5−3÷(−x)=−8/3x2÷(−x)=8/3x。 【方法点拨】单项式除以单项式要“三看清”：看清系数（先定符号再相除）、看清同底数幂（指数相减）、看清只在被除式中含有的字母（连同指数作为商的一个因式）；连除时从左到右依次进行。 探究三、多项式除以单项式 【问题引入】根据分配律，有(a+b)m=am+bm，所以(am+bm)÷m=a+b；又am÷m+bm÷m=a+b，因此(am+bm)÷m=am÷m+bm÷m。 【新知探究】根据乘除互逆，(am+bm)÷m就是要求一个多项式，使它与m的积等于am+bm。由分配律得a+b，又am÷m+bm÷m=a+b，所以(am+bm)÷m=am÷m+bm÷m。 【结论】多项式除以单项式法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 【解决问题】张大爷家有一块长方形田地，它的面积是(6a2+2ab)m2，宽为2a m，求田地的长。 由面积=长×宽，得长=面积÷宽，列式为(6a2+2ab)÷2a=6a2÷2a+2ab÷2a=3a+b(m)，即田地的长为(3a+b)m。 例5 计算：（1）(12a3−6a2+3a)÷3a；（2）(5a3−15a2+25a)÷5a；（3）(−2x2y3z3+8xy2z−4xz)÷(−4xz)。 解：（1）原式=12a3÷3a−6a2÷3a+3a÷3a=4a2−2a+1。 （2）原式=5a3÷5a−15a2÷5a+25a÷5a=a2−3a+5。 （3）原式=(−2x2y3z3)÷(−4xz)+8xy2z÷(−4xz)+(−4xz)÷(−4xz)=1/2xy3z2−2y2+1。 例6 先化简，再求值：[x(x2y2−xy)−y(x2−x3y)]÷3x2y，其中x、y满足(x+1)2+|y+3|=0。 解：原式=(x3y2−x2y−x2y+x3y2)÷3x2y=(2x3y2−2x2y)÷3x2y=2/3xy−2/3。 ∵(x+1)2+|y+3|=0，∴x+1=0，y+3=0，∴x=−1，y=−3。 ∴原式=2/3×(−1)×(−3)−2/3=4/3。 【方法点拨】多项式除以单项式要“逐项除、不漏项、看符号”：除数为负时，商的各项符号都要改变；化简求值时先算括号内的乘法，再按法则做除法。 探究四、整式的混合运算 【归纳】整式混合运算的顺序：先乘方，再乘除，后加减；有括号的先算括号里面的；同级运算从左到右，连除从左到右依次进行。 例7 计算：(−2)2+4×(−1)2023−|−23|+(π−3)0。 解：原式=4+4×(−1)−8+1=4−4−8+1=−7。 【温馨提示】π−3≠0，所以(π−3)0=1；注意−23=−8，而|−23|=8。 【知识总结】 1. 同底数幂相除：am÷an=am−n（a≠0，m、n为正整数，m>n），即底数不变，指数相减。 2. 零指数幂：a0=1（a≠0），即任何不等于0的数的0次幂都等于1。 3. 单项式除以单项式：系数相除，同底数幂分别相除，只在被除式里含有的字母连同它的指数作为商的一个因式。 4. 多项式除以单项式：逐项相除，再把所得的商相加（不漏项、注意符号）。 5. 混合运算：先乘方，再乘除，后加减；有括号先算括号里面的；连除从左到右。 易错提醒：a≠0是零指数幂的前提；指数相减而不是相除；底数为多项式时要看成一个整体；多项式除法不要漏项；除以负数时注意符号。 【课堂练习】 1. 下列运算正确的是（　　） A．2a+3a=5a2　　B．(a3)2=a5　　C．2a6÷a2=2a3　　D．a2·a4=a6 答案：D。 解：A项2a+3a=5a，不符合题意；B项(a3)2=a6，不符合题意；C项2a6÷a2=2a4，不符合题意；D项a2·a4=a6，符合题意。 2. 计算：（1）(10ab3)÷(−5ab)；（2）(−8a2b3)÷6ab2；（3）(−21x2y4)÷(−3x2y3)；（4）(6×108)÷(3×105)。 解：（1）原式=−2b2；（2）原式=−4/3ab；（3）原式=7y；（4）原式=2×103=2000。 3. 计算：（1）(6ab+5a)÷a；（2）(15x2y−10xy2)÷5xy。 解：（1）原式=6ab÷a+5a÷a=6b+5；（2）原式=15x2y÷5xy−10xy2÷5xy=3x−2y。 4. 已知3m×3×9m=310，求(−m2)3÷(m3·m2)的值。 解：∵3m×3×9m=3m+1+2m=310，∴3m+1=10，∴m=3。 ∴(−m2)3÷(m3·m2)=−m6÷m5=−m=−3。 5. 木星的质量约是1.9×1024吨，地球的质量约是5.98×1021吨，木星的质量约为地球质量的多少倍？ 解：(1.9×1024)÷(5.98×1021)=(1.9÷5.98)×1024−21≈0.32×103=320。 答：木星的质量约为地球质量的320倍。 6. 先化简，再求值：(a2b−2ab2−b3)÷b−(a+b)2，其中a=1/2，b=−1。 解：原式=a2−2ab−b2−(a2+2ab+b2)=−4ab−2b2。 当a=1/2，b=−1时，原式=−4×(1/2)×(−1)−2×1=2−2=0。 【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.2 整式的乘法（第4课时 整式的除法）（导学案） 【学习目标】 1. 理解同底数幂除法的运算性质及零指数幂的意义，能说明其成立的条件（a≠0，m、n都是正整数，m>n），并会运用性质进行同底数幂的除法运算。 2. 掌握单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则，能熟练运用法则进行整式的除法及整式混合运算，发展运算能力与综合解题能力。 3. 经历从特殊到一般探究整式除法法则的过程，体会类比（由数的除法类比到整式的除法）、转化（化整式除法为同底数幂除法、化多项式除法为单项式除法）的数学思想，发展推理能力和有条理的表达能力。 【学习重点】 同底数幂的除法性质、零指数幂、单项式除以单项式和多项式除以单项式的法则及其应用。 【学习难点】 同底数幂除法法则的归纳与零指数幂规定条件的理解；多项式除以单项式的转化中不漏项、符号处理及整式混合运算的顺序。 【自主预习】阅读教材，完成以下问题： 1. 同底数幂的除法 同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 am÷an=　　　　　　　　　（a≠0，m、n都是正整数，且m>n）。 因为0不能作除数，所以底数a　　　　。 2. 零指数幂 规定 a0=　　　　（a≠0），即任何不等于0的数的0次幂都等于　　　　。 3. 单项式除以单项式 单项式相除，把　　　　与　　　　　　分别相除作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的　　　　作为商的一个因式。 例如：12a3b2x3÷3ab2=　　　　　　　　　　　　　。 4. 多项式除以单项式 多项式除以单项式，先把这个多项式的　　　　　除以这个单项式，再把所得的商　　　　。 例如：(6a2+2ab)÷2a=　　　　　　。 5. 整式混合运算的顺序 先　　　　，再　　　　，后　　　　；有括号的先算　　　　　　　；连除从　　　　到　　　　。 【课堂探究】 探究一、同底数幂相除与零指数幂 【复习引入】计算：25×23=　　　　　　　；x6·x4=　　　　　　　　。 想一想（想乘算除）：因为23×25=28，所以28÷23=　　　　　　　；因为x4·x6=x10，所以x10÷x6=　　　　　　　。 观察发现：8−3=5，10−6=4，规律是“同底数幂相除，底数不变，指数相减”。 【新知探究】 把指数换成字母：因为2m−n·2n=2(m−n)+n=2m，所以2m÷2n=2m−n。 把底数换成字母：计算am÷an，就是求一个式子，使它与an的积等于am。因为am−n·an=a(m−n)+n=am，所以am÷an=am−n。 【结论】同底数幂相除法则：am÷an=am−n（a≠0，m、n为正整数，m>n），即同底数幂相除，底数不变，指数相减。 思考：底数a为什么不能为0？　　　　　　　　　　　　　　。 零指数幂：当a≠0时，am÷am=1；按同底数幂除法计算，am÷am=am−m=a0。因此规定a0=　　　　（a≠0），即任何不等于0的数的0次幂都等于1。 例1 计算：（1）x8÷x2；（2）(ab)5÷(ab)2。 例2 小丽在学习了“任何不等于0的数的0次幂都等于1”后，遇到这样一道题：如果(x−2)x+3=1，求x的值。她求出的结果为x=−3，老师说她考虑问题不够全面，你能帮小丽解答这个问题吗？ 【方法点拨】幂（式）的值为1，常需考虑三种情况：①底数为1；②底数为−1且指数为偶数；③指数为0且底数不为0。 探究二、单项式除以单项式 【问题引入】同底数幂的除法运用了乘法的逆运算，单项式除以单项式也可以用同样的方法。尝试计算：(12a3b2x3)÷(3ab2)。 【新知探究】设商为4a2x3，因为(4a2x3)·(3ab2)=12a3b2x3，所以(12a3b2x3)÷(3ab2)=4a2x3。 观察商式4a2x3：系数4=12÷3；a的指数2=3−1；b的指数0=2−2（而b0=1）；x的指数3=3−0。 【结论】单项式除以单项式法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 例3 计算：（1）28x4y2÷7x3y；（2）(−5a5b3c)÷15a4b。 例4 计算：(−8x5)÷3x3÷(−x)。 【方法点拨】单项式除以单项式要“三看清”：看清系数（先定符号再相除）、看清同底数幂（指数相减）、看清只在被除式中含有的字母（连同指数作为商的一个因式）；连除时从左到右依次进行。 探究三、多项式除以单项式 【问题引入】根据分配律，有(a+b)m=am+bm，所以(am+bm)÷m=a+b；又am÷m+bm÷m=a+b，因此(am+bm)÷m=am÷m+bm÷m。 【新知探究】根据乘除互逆，(am+bm)÷m就是要求一个多项式，使它与m的积等于am+bm。由分配律得a+b，又am÷m+bm÷m=a+b，所以(am+bm)÷m=am÷m+bm÷m。 【结论】多项式除以单项式法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 【解决问题】张大爷家有一块长方形田地，它的面积是(6a2+2ab)m2，宽为2a m，求田地的长。 由面积=长×宽，得长=面积÷宽，列式为(6a2+2ab)÷2a=6a2÷2a+2ab÷2a=　　　　　　(m)，即田地的长为(3a+b)m。 例5 计算：（1）(12a3−6a2+3a)÷3a；（2）(5a3−15a2+25a)÷5a；（3）(−2x2y3z3+8xy2z−4xz)÷(−4xz)。 例6 先化简，再求值：[x(x2y2−xy)−y(x2−x3y)]÷3x2y，其中x、y满足(x+1)2+|y+3|=0。 【方法点拨】多项式除以单项式要“逐项除、不漏项、看符号”：除数为负时，商的各项符号都要改变；化简求值时先算括号内的乘法，再按法则做除法。 探究四、整式的混合运算 【归纳】整式混合运算的顺序：先乘方，再乘除，后加减；有括号的先算括号里面的；同级运算从左到右，连除从左到右依次进行。 例7 计算：(−2)2+4×(−1)2023−|−23|+(π−3)0。 【温馨提示】π−3≠0，所以(π−3)0=1；注意−23=−8，而|−23|=8。 【知识总结】 1. 同底数幂相除：am÷an=am−n（a≠0，m、n为正整数，m>n），即底数不变，指数相减。 2. 零指数幂：a0=1（a≠0），即任何不等于0的数的0次幂都等于1。 3. 单项式除以单项式：系数相除，同底数幂分别相除，只在被除式里含有的字母连同它的指数作为商的一个因式。 4. 多项式除以单项式：逐项相除，再把所得的商相加（不漏项、注意符号）。 5. 混合运算：先乘方，再乘除，后加减；有括号先算括号里面的；连除从左到右。 易错提醒：a≠0是零指数幂的前提；指数相减而不是相除；底数为多项式时要看成一个整体；多项式除法不要漏项；除以负数时注意符号。 【课堂练习】 1. 下列运算正确的是（　　） A．2a+3a=5a2　　B．(a3)2=a5　　C．2a6÷a2=2a3　　D．a2·a4=a6 2. 计算：（1）(10ab3)÷(−5ab)；（2）(−8a2b3)÷6ab2；（3）(−21x2y4)÷(−3x2y3)；（4）(6×108)÷(3×105)。 3. 计算：（1）(6ab+5a)÷a；（2）(15x2y−10xy2)÷5xy。 4. 已知3m×3×9m=310，求(−m2)3÷(m3·m2)的值。 5. 木星的质量约是1.9×1024吨，地球的质量约是5.98×1021吨，木星的质量约为地球质量的多少倍？ 6. 先化简，再求值：(a2b−2ab2−b3)÷b−(a+b)2，其中a=1/2，b=−1。 【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $