2027届高考物理一轮复习讲义 模型与方法3 小船渡河

模型《小船渡河问题》

模型讲解

【模型定义】如图所示为一条宽为d的大河，小明驾着小船从A点出发，欲将一批货物运送到对岸。已知河水流速为v水，小船在静水中的航速为v船。

船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动；

三个速度：v船（船在静水中的速度）、v水（水流速度）、v（船的实际速度）；

【要点点拨】

（1）怎么求解小船渡河过程所用的时间？小船如何渡河时间最短？最短时间为多少？此时渡河位移为多大？

（2）小船如何渡河才能使渡河位移最小？最小位移为多大？

（3）小船渡河时间的长短与水流速度是否有关？

【解题方法】

（1）由于水流速度始终沿河岸方向，不能提供指向河岸的分速度，用河的宽度除以垂直于河岸方向的速度得出过河时间。因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可。由图可知，，此时船渡河的位移大小，位移方向满足。

（2）情况一：v水<v船

最短的位移为河宽d，此时合速度垂直河岸，小船可到达正对岸。船头与上游河岸夹角θ满足：v船cosθ=v水，如图所示。渡河所用时间。

情况二：v水>v船

如图所示，以v水矢量的末端为圆心，以v船的大小为半径作圆，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方

向与河岸的夹角最大（设为α），此时航程最短，小船不能到达正对岸。由图可知，最短位移为。此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且cosθ′＝。

（3）无关。

典型母题

1．若河水的流速大小与水到河岸的距离有关，河中心水的流速最大，河岸边缘处水的流速最小。现假设河的宽度为120m，河中心水的流速大小为3m/s，船在静水中的速度大小为4m/s，要使船以最短时间渡河，则错误的是（    ）

A．船渡河的最短时间是24s

B．在行驶过程中，船头始终与河岸垂直

C．船在河水中航行的轨迹是一条曲线

D．船在河水中最大速度为5m/s

2．小船要横渡一条200m宽的河，水流速度为3m/s，船在静水中的航速是5m/s，问：（sin53°=0.8，cos53°=0.6）

（1）当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？

（2）要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？

（3）如果水流速度变为10m/s，要使小船航程最短，应如何航行？

变式练习

3．如图所示为某人游珠江，他以一定的速度且面部始终垂直于河岸向对岸游去。设江中各处水流速度相等，他游过的路程、过河所用的时间与水速的关系是（　　）

A．水速大时，路程长，时间长 B．水速大时，路程长，时间不变

C．水速大时，路程长，时间短 D．路程、时间与水速无关

4．一只小船渡过两岸平行的河流，河中水流速度各处相同且恒定不变，方向平行于河岸。小船的初速度均相同，且船头方向始终垂直于河岸，小船相对于水分别做匀加速、匀减速和匀速直线运动，其运动轨迹

如图所示。下列说法错误的是（　　）

A．沿AC和AD轨迹小船都是做匀变速运动 B．AD是匀减速运动的轨迹

C．沿AC轨迹渡河所用时间最短 D．小船沿AD轨迹渡河，船靠岸时速度最大