精品解析：云南省玉溪第一中学2026-2027学年高三上学期期中考试数学试题

玉溪一中高2027届高三上学期期中考数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的几何意义可得，再根据复数的除法运算求解即可. 【详解】由题意可得， 所以. 2. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求解集合，再利用集合的交集运算即可. 【详解】解一元二次不等式，因式分解得， 解得，即 ； 解对数不等式 ，可得，解得，即； 则. 3. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，可得， 即，则， 则，故. 4. 已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得，渐近线的斜率，所以， 因为，所以即，则离心率. 5. 《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上、下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其上、下底面的周长分别为4，8，方亭的高为3，则方亭的体积为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据台体体积公式求得正确答案. 【详解】上底面周长为，边长为，面积为. 下底面周长为，边长为，面积为. 所以方亭的体积为. 6. 已知盒子中有9个大小相同、质地均匀的球，其中有5个红球、4个白球，不放回地取球两次，第一次任取1个球，第二次任取2个球，求第二次取到2个红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分第一次取红球或白球两种情况讨论，再利用全概率公式求解即可. 【详解】设事件：第一次取到红球； 事件：第一次取到白球； 事件：第二次取到2个红球， 则，， , 由全概率公式得 =. 7. 设函数，若将的图象沿轴的正方向平移个单位长度，所得图象与的图象关于轴对称，则满足条件的的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】平移后函数为，与关于轴对称可知函数值互为相反数，利用正弦相等得方程，排除不恒成立情形，得到的取值个数. 【详解】将向右平移个单位得 . 由题意，与的图象关于轴对称，即恒成立， 即. 分两种情形讨论： ①，对任意不恒成立，舍去； ②，化简得 ，即. 由得， 对应，因此的取值个数为3. 8. 若曲线关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，结合题设可得，设，进而由可得，进而求解即可. 【详解】由，得，则，解得或， 则函数的定义域为， 要使函数关于直线对称，则， 设，其图象关于对称， 则，即 则对于恒成立， 故，则，所以. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 直线与曲线恰有两个交点，则实数的值可能是（ ） A. 5 B. 4 C. D. 3 【答案】BC 【解析】 【分析】由曲线表示圆在轴的上半部分，利用直线与圆相切求出的值，结合图形求出范围，结合选项即可得解. 【详解】 曲线表示圆在轴的上半部分，且含端点， 当直线与圆左上部分相切时，，解得或（舍去）， 当点在直线上时，， 由图可知，实数m的取值范围为， 结合选项，知实数的值可能是4，. 故选：BC 10. 记为数列的前n项和．已知n为奇数时，n为偶数时，则（ ） A. 2026是数列中的项 B. 数列是公比为2的等比数列 C. D. 若，则数列的前n项和小于 【答案】AD 【解析】 【分析】由的通项公式即可判断AC；由即可判断B；由裂项相消即可判断D． 【详解】对于A，当为偶数时，令，符合题意，故A正确； 对于B，由题知，， 故数列是公比为4的等比数列，故B错误； 对于C，由题知，， 所以，故C错误； 对于D，，， 设数列的前项和为， 则，故D正确； 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是单调函数 C. 若，则 D. 若时，恒成立，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，直接计算可得A正确；B选项，求导，得到只有时，，其他情况均有，故在R上单调递增；C选项，在AB基础上得到；D选项，先得到，时，，满足要求；时，参变分离，构造函数，求出最值. 【详解】A选项，， 所以，A正确； B选项，，由于，当且仅当， 即时，等号成立，又，当且仅当，时，等号成立， 所以只有时，，其他情况均有， 所以在R上单调递增，B正确； C选项，若，则， 由B可知，在R上单调递增，故， 由A可知，，即， 所以，，C错误； D选项，，又在R上单调递增，故只有， ，即，故， 显然当时，，满足要求； 当时，，令，则， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值，且，所以，D正确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列的公差，前项和为，若，且，，成等比数列，则_________． 【答案】 【解析】 【详解】依题意得，化简得， 因为成等比数列，由等比中项性质得， 因为，，所以  ，展开并整理得：， 因为，得，又，解得，则， 所以. 13. 已知，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【详解】， 已知，设，则， 当且仅当时取等， 则，当时取等， 所以的最大值为. 14. 已知三棱锥中，，为的中点，过点作三棱锥外接球的截面，则截面面积的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】取线段的中点，根据长度关系求出点为三棱锥的外接球球心，再根据的关系求出的最小值即可. 【详解】取线段的中点，连接， 因，，， 则由勾股定理可知，，，则， 则点为三棱锥的外接球球心，外接球半径为 因，则由勾股定理可知，， 因为的中点，则， 设球心到过点的三棱锥外接球的截面的距离为，截面圆的半径为， 则， 欲使截面面积最小，即最小，则要求最大， 当垂直截面时，最大，最大值为， 则的最小值为，则截面面积的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1）​ （2）​ 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理把边化为对应角的正弦，再结合三角形内角和化简已知等式，求出． （2）先由三角形面积公式求出，再利用余弦定理求出，从而得到周长． 【小问1详解】 设的外接圆半径为，由正弦定理，，其中． 代入已知等式，得． 由，，所以． 又因为，所以，从而． 所以． 【小问2详解】 由第（1）问，，且． 由三角形面积公式，得． 于是． 因为，所以，从而． 由余弦定理，． 因为，所以． 故的周长为． 16. 已知数列是以为首项，4为公比的等比数列，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算，再利用累加法可求. （2）利用，计算，从而得到，再利用错位相减法可求和. 【小问1详解】 由题意得，， 当时，由累加法，得 ， 当时，，满足上式， 综上所述，． 【小问2详解】 由（1）得，，则， ， ， 所以 ， 所以． 17. 已知四棱锥中，底面为矩形，底面，，，． （1）证明：； （2）若四棱锥体积，求二面角的余弦值． 【答案】（1）以为原点，作，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 已知，，， 得，，，设， ，， 则， ，即． （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可； （2）根据锥体体积公式计算高，结合空间向量研究二面角计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意得，底面矩形面积， ，解得，即， ，，， 设平面法向量，，即， 令，得， 设平面法向量，，即， 令，得， 设二面角的平面角为，为锐角，. 18. 已知椭圆：，，椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点． （1）若，求椭圆的离心率； （2）若，，是上两个不同的点（，，不共线），求的最大值； （3）设经过点的直线交椭圆于，两点（点，均在轴上方），若存在直线，使得的面积为，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由求、再求；（2）相切时张角最大，由求斜率，用二倍角公式求正切；（3）联立后把面积化为的二次函数，配方求最值． 【小问1详解】 因为，所以，又，由得，所以． 由椭圆方程知，所以，． 所以椭圆的离心率为． 【小问2详解】 当时，，则：，即．此时，在椭圆外部． 过作椭圆的两条切线，当、分别为两切线与椭圆的切点时，最大（两射线再张开就会与椭圆无公共点）． 设过的直线为，联立方程组， 消去，得． 直线与椭圆相切时，即， 解得，即． 由得直线的斜率． 椭圆关于轴对称，在轴上，所以两条切线关于轴对称．设切线与轴所成锐角为，则，． 因为，所以，由二倍角公式得． 所以的最大值为． 【小问3详解】 依题意设：，（），代入：，消去， 整理得， 由化简得①． 设，，由韦达定理得， 又在椭圆外，所以在线段的延长线上，故，而 令，则， 因为，均在轴上方，所以，即，故；又，所以． 由①，，，得 当时，取得最大值，所以，所以，即， 综上，实数的取值范围为． 19. 若曲线的切线与曲线共有个公共点（其中），则称为曲线的“切线”． （1）若曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为，的导数为，求的值； （2）曲线在点处的切线为切线，求的值； （3）设，是否存在，使得曲线在点处的切线为切线？若存在，探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）1 （3）存在唯一实数，使得曲线在点处的切线为切线 【解析】 【分析】（1）直接利用两点斜率公式计算即可； （2）求出切线方程，联立曲线方程，确定交点个数即可求解； （3）求出曲线在点处的切线方程，，利用导数分析函数的单调性与极小值，然后构造，其中，分析函数的单调性，结合正切函数的值域可得出结论. 【小问1详解】 曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为， 所以切线斜率为，所以． 【小问2详解】 因为，所以． 所以曲线在点处的切线斜率为， 此时切线方程为，得， 即，解得，即切线与曲线有且只有一个交点， 所以曲线在点处的切线为切线，； 【小问3详解】 存在，理由如下：因为，所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． 令， 所以， 因为，所以， 当，时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以的所有极大值为， 当时，极大值为，即． 当为正整数时，极大值均小于，所以在无零点． 当为负整数时，极大值均大于，的所有极小值为 ， 当时，极小值， 令，其中， 则， 故函数在上单调递减，当时，， 故， 且随着的增大，极小值越来越小， 因此曲线在点处的切线为切线，等价于有三个零点， 等价于，即有解． 又，注意到的值域为，又图象不间断， 所以存在，使得， 则， 又图象不间断，所以存在唯一实数，满足， 所以存在唯一实数，使得曲线在点处的切线为切线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪一中高2027届高三上学期期中考数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则复数（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上、下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其上、下底面的周长分别为4，8，方亭的高为3，则方亭的体积为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 6. 已知盒子中有9个大小相同、质地均匀的球，其中有5个红球、4个白球，不放回地取球两次，第一次任取1个球，第二次任取2个球，求第二次取到2个红球的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，若将的图象沿轴的正方向平移个单位长度，所得图象与的图象关于轴对称，则满足条件的的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 若曲线关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 直线与曲线恰有两个交点，则实数的值可能是（ ） A. 5 B. 4 C. D. 3 10. 记为数列的前n项和．已知n为奇数时，n为偶数时，则（ ） A. 2026是数列中的项 B. 数列是公比为2的等比数列 C. D. 若，则数列的前n项和小于 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是单调函数 C. 若，则 D. 若时，恒成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列的公差，前项和为，若，且，，成等比数列，则_________． 13. 已知，则的最大值为________． 14. 已知三棱锥中，，为的中点，过点作三棱锥外接球的截面，则截面面积的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求； （2）若，的面积为，求的周长． 16. 已知数列是以为首项，4为公比的等比数列，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 已知四棱锥中，底面为矩形，底面，，，． （1）证明：； （2）若四棱锥体积，求二面角的余弦值． 18. 已知椭圆：，，椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点． （1）若，求椭圆的离心率； （2）若，，是上两个不同的点（，，不共线），求的最大值； （3）设经过点的直线交椭圆于，两点（点，均在轴上方），若存在直线，使得的面积为，求实数的取值范围． 19. 若曲线的切线与曲线共有个公共点（其中），则称为曲线的“切线”． （1）若曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为，的导数为，求的值； （2）曲线在点处的切线为切线，求的值； （3）设，是否存在，使得曲线在点处的切线为切线？若存在，探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $