专题07 角度中的五类动态模型（几何模型讲义）数学新教材北师大版七年级上册

专题07 角度中的五类动态模型 角度的动态（旋转）模型属于七年级上期必考压轴题型，是尖子生必须要攻克的一块重要内容，对考生的综合素养要求较高。绝大部分学生对角度旋转问题信心不足，原因就是很多角度旋转问题需要自己画出图形，与分类讨论思想、数形结合思想等结合得很紧密，思考性强，难度大。本专题重点研究与角有关的旋转模型（角度的和差倍分模型（求值模型）、‌定值模型、存在性模型（探究型）‌、分类讨论模型、新定义模型）。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.旋转中的角度的和差倍分模型（求值模型） 2 模型2.旋转中的‌定值模型 6 模型3.旋转中的存在性模型（探究型） 10 模型4.旋转中的分类讨论模型 13 模型5.旋转中的新定义模型 16 易错点与方法总结 21 模型运用 22 A组（基础题） 22 B组（能力提升题） 27 C组（综合压轴题） 33 古希腊时期，欧几里得《几何原本》通过公理化体系奠定了几何演绎基础，隐含了角度变化的静态分析‌。阿基米德利用穷竭法研究曲线与角度关系，为动态模型提供方法论雏形‌。17世纪笛卡尔坐标系建立后，角度动态问题开始与代数结合。现代初中数学教育工作者将角度动态问题被归纳为五类核心模型（动态角度问题类似），即：角度的和差倍分模型（求值模型）、‌定值模型、存在性模型（探究型）‌、分类讨论模型、新定义模型。 1）角的和差：∠AOC=∠AOB+∠ BOC，∠AOB=∠AOC-∠BOC； 2）角平分线定义：平分后两角相等，∠AOC=∠COB=1/2∠AOB； 3）旋转核心公式：转过角度=角速度×时间；平角180°，周角360°； 4）一元一次方程、不等式，分类讨论思想； 5）核心思想：以静制动，设时间t，表示射线转过的角度，分段表达目标夹角。 模型1.旋转中的角度的和差倍分模型（求值模型） 【模型提炼与证明】 1、角度旋转模型解题步骤： ①找——根据题意找到目标角度；②表——表示出目标角度： 1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间； 2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间； 3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大。 变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角 ③列——根据题意列方程求解。 注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。 一副三角板有两个，一个是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一个是含特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。 总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平分线也旋转了同样的度数）。抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）已知分别在内部旋转，从出发绕点以的速度逆时针旋转，从出发绕点以的速度逆时针旋转，．设运动时间为秒．    (1)求的度数．（用含的代数式表示）(2)当，求证：平分． (3)运动过程中，当时，，求的值． 【典例2】（25-26湖南株洲·七年级期末）点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处． (1)如图1，当三角板的一边与射线重合时，则________； (2)如图2，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的平分线，求和的度数；(3)将三角板绕点逆时针旋转至图3所示的位置时，，求的度数． 【典例3】（25-26七年级上·四川达州·期末）如图1，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方．将直角三角板绕着点O按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒． (1)若射线保持位置不变，当直角三角板旋转到如图2的位置时，恰好平分，此时，与之间有何数量关系？并说明理由．(2)若射线的初始位置不变，且． ①在直角三角板旋转的过程中，若射线保持位置不变，当边与射线相交时（如图3），求的值．②在直角三角板旋转的过程中，将射线绕着点O按每秒的速度顺时针旋转（随三角板旋转停止而停止），是否存在某个时刻，使得射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值．若不存在，请说明理由． 模型2.旋转中的‌定值模型 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·河南驻马店·期末）如图，线段在线段上运动，点、点分别是、的中点．(1)若线段，，求的长．(2)若，，由此可以猜想______（用、表示）．(3)我们发现角的很多规律和线段一样：如图，在的内部，绕点逆时针旋转（初始位置、重合），、分别平分和，若，，在旋转过程中，的大小是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由． 【典例2】（25-26七年级上·山西运城·期末）活动课上，王老师将一副三角尺按图①位置摆放在直线上，45°角的顶点与60°的顶点重合于点，斜边与直角边在直线上，然后将直角三角尺绕点按15°/秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转时间为秒． (1)旋转前，_________，_________； (2)“希望”小组同学发现：当时，是的角平分线，请利用图②说明理由； (3)“飞翔”小组同学发现：若直角三角板旋转至如图③的位置时，为定值．请你判断是否正确，如果正确，请求出该度数；如果不正确，请说明理由． 【典例3】（25-26江苏南京·七年级校考期末）如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC＝∠AOD，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s，运动时间为t秒（0＜t＜12，本题出现的角均小于平角） （1）图中一定有　 　个直角；当t＝2时，∠MON的度数为　 　，∠BON的度数为　 　； （2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，当∠EOF为直角时，请求出t的值； （3）当射线OM在∠COB内部，且是定值时，求t的取值范围，并求出这个定值． 模型3.旋转中的存在性模型（探究型） 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·河北承德·期末）已知，作射线，再分别作和的平分线，．(1)如图1，当平分时，求的度数． (2)如图2，嘉嘉说：“若在内旋转，因为和的度数不能确定，所以的度数不能计算．”琪琪说：“你说得不对，的度数能算．且的度数不变．”请你判断嘉嘉和琪琪谁的说法正确，并说明理由．(3)当射线在外绕点旋转且为钝角时，在备用图中画出图形、并探究的度数．（不必写出过程） 【典例2】（25-26七年级上·天津河北·期末）如图①，点为直线上一点，，将一直角三角板的角的顶点放在店处，斜边在射线上，直角顶点在直线的下方． (1)在图①中，求和的度数；(2)将图①中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，边恰好平分，第秒时，边在的平分线上，请分别求出的值；(3)将图①中的三角板绕点顺时针方向旋转至图②，使边在的内部，边在的外部，请研究：与之间的数量关系，并说明理由． 【典例3】（25-26七年级上·贵州黔西·期末）如图，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转：    (1)填空：如图，，，三点共线，且，则______°； (2)第三节腿部运动中，如图，洋洋发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请判断洋洋的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由；(3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图．运动停止时，直接写出______；请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系． 模型4.旋转中的分类讨论模型 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）如图1，已知，射线以每秒的速度，从射线开始逆时针向射线旋转，到达射线之后又以同样的速度顺时针返回，直到到达射线停止，射线从射线开始，以每秒的速度顺时针向射线旋转，直到到达各自的目的地才停止．设旋转时间为t秒．(1)当秒时，求出的度数．(2)在运动过程中，当达到时，求t的值． (3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线、射线、射线其中一条射线是另外两条射线组成的角的角平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 【典例2】（25-26七年级上·福建福州·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若，则是的内半角． (1)如图①所示，已知，，是的内半角，则_________． (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ (3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，记为初始位置，将三角板绕顶点O以秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线，，，能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 模型5.旋转中的新定义模型 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·福建厦门·期末）定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”，如图1，点P在直线l上，射线位于直线l同侧，若平分，则有，所以我们称射线是射线的“双倍和谐线”． (1)如图1，射线是不是射线，的“双倍和谐线”？并说明理由． (2)如图2，点O在直线上，，，射线从出发，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，当射线与射线重合时，运动停止． ①当射线是射线的“双倍和谐线”时，求t的值． ②若在射线旋转的同时，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分，当射线位于射线左侧且射线是射线的“双倍和谐线”时，求的度数． 【典例2】（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角，如图1，若射线，在的内部，且，则是的内余角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，，若是的内余角，则________； (2)如图2，若，是的内余角，平分，平分．的大小是否随着的变化而改变？若不变，求出的度数； (3)把一块含有角的三角板按图3方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4将三角板绕顶点以5度/秒的速度按逆时针方向旋转，旋转时间为秒．当，同时射线，，，中，两条射线构成的角是另外两条射线构成的角的内余角时，求出的值． 模型常见易错点 1）混淆 “射线在角内部” 和 “射线绕点自由旋转”（头号扣分点） 错误：题干说自由旋转，只算内部一种情况，漏掉外侧异侧 解决方案：看到无限制旋转，立刻分同侧、异侧、交叉；写明 “在角内部” 则不用讨论外侧。 2）双射线旋转，相遇追及搞反和、差 错误：反向旋转用角度差，同向旋转用角度和 解决方案：面对面反向旋转→角度相加；同向追赶→快的角度减慢的角度。 3）折返旋转不分段，全程用同一个角度表达式 错误：掉头之后，表达式不变，直接计算 解决方案：先算出射线转到边界的临界时间，按时间分段，每一段单独写夹角表达式。 4）解出t<0或者超出区间，不检验直接保留 错误：算出负数时间、超出本区间范围的解，直接写答案 解决方案：时间t非负；分段方程解出来之后，必须检查t落在当前区间内，不符合直接舍去。 5）定值模型无脑套用，不看OP的位置 错误：死记∠MON=1/2∠AOB，不管OP在角内还是角外 解决方案：OP在角内部是和的形式；OP在角外部是差的形式，推导跟着图形变化。 6）忽略周角、平角限制，角度超过360°不会处理 解决方案：角度超过360°，可以减去360°，等效为一周内的位置。 7）两条射线同时折返，分不清谁先掉头 解决方案：分别算出每条射线到达边界的时间，收集全部临界时间，从小到大排序划分区间。 解题方法总结 角度动态问题步骤： 1）审题圈画：圈关键词：角内旋转/自由旋转、起始边、角速度、旋转方向、是否折返； 2）求临界时间：折返题先算射线转到边界的时间，划分t区间； 3）设元：设旋转时间t ( t ≥0)； 4）表示转过角度：旋转角度 = 角速度×时间，写出每条射线转过角度； 5）分类写夹角：自由旋转分同侧、异侧；折返旋转按区间写目标角度； 6）列方程求解：根据相等、倍数、和差、重合列方程； 6）检验取舍：检验t ≥0、落在对应区间内，舍去不合理解，最后作答。 口诀：角度动态五类藏，单旋双旋追及忙；角分定值有规律，内外多解细端详；遇到折返先分段，临界时刻标记上；设t表角是根本，验根舍错稳得分。 1．（25-26七年级上·河北·阶段练习）题目： “一块含角的直角三角板和一块含角的直角三角板拼成如图1所示的图案后， 三角板固定不动， 将三角板绕顶点B旋转一周， 如图2． 当时（注： 均指图中不超过的角）， 求旋转角的度数．”对于其答案， 甲答：， 乙答：， 则正确的是 （    ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 2．（25-26七年级下·重庆巫山·期中）如图，点O在直线上，过O作射线，一块三角板的直角顶点与点O重合，边在射线上，边在直线的下方．若三角板绕点O按每秒的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为（　　） A．5 B．6 C．5或23 D．6或24 3．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）如图，点O是直线上的一点，射线在直线的上方且，有一大小为的可绕其顶点O旋转一周，其中射线分别平分、，当时， ． 4．（25-26七年级上·河南郑州·开学考试）如图，和都是直角．固定不动，将绕点O旋转，在旋转过程中，下列结论正确的有 ． ①如果，那么；②是定值 ③若变小，则变大；④ 5．（25-26七年级上·广东广州·期末）如图，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线，比它的补角大，将一直角三角板的直角点放在点O处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角板绕点O按每秒的速度逆时针旋转一周．设旋转时间为t秒．(1)求的度数；(2)若射线的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出t的取值，若不存在，请说明理由；(3)若在三角板开始转动的同时，射线也绕O点以每秒的速度顺时针旋转一周．从旋转开始多长时间．射线平分．直接写出t的值． 6．（25-26七年级上·江苏·期末）如图1，点、、依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图，设旋转时间为的值在到之间，单位：秒．(1)当时，求的度数；(2)在运动过程中，当第二次达到时，求的值；(3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线与射线的夹角为？如果存在，请直接写出的值；如果不存在，请说明理由． 1．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，是一条射线，将一把直角三角尺的直角顶点放在处，，将绕着点按每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，分别作出、的角平分线、．在旋转过程中，当或中有一条射线与平行时，的值为（   ）．（注：本题中所有的角均是指大于0度且小于或等于180度的角） A． B． C．或 D．或 2．（25-26七年级下·江苏·期中）一副直角三角板如图1摆放在直线上，（直角三角板和直角三角板，，，，），如图2保持三角板不动，将三角板绕点旋转（旋转角）．在旋转过程中，当三角板的一边平行于时，此时 ． 3．（25-26七年级下·江苏苏州·开学考试）如图，于点O，，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，，则x与y之间的数量关系为 ． 4．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）我们常借助直角三角板进行一些数学问题的探究．如图1所示，在直角三角板中，，，点在直线上，先将边与重合，然后将三角板绕着点按每秒1度的速度顺时针旋转，旋转后的三角板记作，设运动时间为秒，且． (1)当与重合时，______；(2)当时，求的值；(3)如果把原题中的直角三角板换成普通的三角形纸片，不妨设，其他条件不变，在的内部作一条射线，使，如果在旋转过程中，始终有成立，直接写出与的数量关系． 5．（25-26七年级上·江苏南京·期末）【操作拼图】已知一副直角三角尺先按如图的方式拼接在一起，其中与直线重合，． (1)在上述所拼图形中，的度数为 °． (2)【问题探究】在上述所拼图形基础上，让三角尺固定不动，将三角尺绕着点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，且两块三角尺均在直线的上方．设三角尺的旋转时间为，在旋转过程中，请求出当时t的值． (3)【拓展延伸】在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为．在旋转过程中，当与三角尺的某一边平行时，请直接写出的值． 6.（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图1，将一副直角三角板摆放在直线上（直角三角板和直角三角板），，，，保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转（如图2），旋转时间为t（）秒．      计算  当平分时，求t的值；判断  判断与的数量关系，并说明理由； 操作  若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当三角板停止时，三角板也停止，直接写出在旋转过程中，与的数量关系． 1．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，已知，将绕点旋转，使射线的夹角为，平分，，，则的度数为 （用含的代数式表示）．    2．（25-26七年级下·重庆石柱·开学考试）如图1，点在直线上，．已知，的两边分别与射线重合，现将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，设旋转的时间为秒．（题目中所指的角均大于且小于） (1)如图 2 所示，当时，若，且射线在内部，则_______，此时的值为______；(2)当时，若平分，请探究与的数量关系，并说明理由． 3.（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）已知，是内部的一条射线，且． (1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2所示，是直角，从点出发在内引射线，满足，若平，求的度数；(3)如图3所示，若，射线，射线分别从出发，并分别以每秒1D和每秒20的速度绕着点逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为秒．当，求的值． 4.（25-26七年级上·辽宁辽阳·期末）定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的 则这条射线叫原来角的“新生线”． (1)如图1，，射线　　的“新生线”（填“是”或“不是”）； (2)点M、O、N在同一直线上，①在图2中， ，射线在的内部，并且是的“新生线”， 平分， 求的大小；②如图3，，，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为秒，若在射线旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线与射线重合时，运动都停止．当射线是的“新生线”时，直接写出t的值． 5.（25-26七年级上·广东·期末）【概念提出】已知及射线，我们称的值为与的“关联度”，并用符号表示，其中都在到之间（含和）．（1）若，则 ；（2）尺规作图：如图1，已知，作一条射线，使得．（要求：保留作图痕迹，写出必要的说明） 【拓展延伸】（3）如图2，已知，射线与射线重合，射线位于内部或边上，将图2中的绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转，的值随旋转时间及的位置变化而变化．①如图3，当旋转时间为45秒时，的最小值为 ； ②在旋转一周的过程中，当旋转时间为 秒时，． 6．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上，旋转时间记为秒． (1)如图2，当秒时，求的度数；(2)当____秒时，平分； (3)若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至直线上时同时停止．①当时，求t的值；②请直接写出在旋转过程中，与的数量关系（数量关系中不含t）：_______． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 角度中的五类动态模型 角度的动态（旋转）模型属于七年级上期必考压轴题型，是尖子生必须要攻克的一块重要内容，对考生的综合素养要求较高。绝大部分学生对角度旋转问题信心不足，原因就是很多角度旋转问题需要自己画出图形，与分类讨论思想、数形结合思想等结合得很紧密，思考性强，难度大。本专题重点研究与角有关的旋转模型（角度的和差倍分模型（求值模型）、‌定值模型、存在性模型（探究型）‌、分类讨论模型、新定义模型）。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.旋转中的角度的和差倍分模型（求值模型） 2 模型2.旋转中的‌定值模型 6 模型3.旋转中的存在性模型（探究型） 10 模型4.旋转中的分类讨论模型 13 模型5.旋转中的新定义模型 16 易错点与方法总结 21 模型运用 22 A组（基础题） 22 B组（能力提升题） 27 C组（综合压轴题） 33 古希腊时期，欧几里得《几何原本》通过公理化体系奠定了几何演绎基础，隐含了角度变化的静态分析‌。阿基米德利用穷竭法研究曲线与角度关系，为动态模型提供方法论雏形‌。17世纪笛卡尔坐标系建立后，角度动态问题开始与代数结合。现代初中数学教育工作者将角度动态问题被归纳为五类核心模型（动态角度问题类似），即：角度的和差倍分模型（求值模型）、‌定值模型、存在性模型（探究型）‌、分类讨论模型、新定义模型。 1）角的和差：∠AOC=∠AOB+∠ BOC，∠AOB=∠AOC-∠BOC； 2）角平分线定义：平分后两角相等，∠AOC=∠COB=1/2∠AOB； 3）旋转核心公式：转过角度=角速度×时间；平角180°，周角360°； 4）一元一次方程、不等式，分类讨论思想； 5）核心思想：以静制动，设时间t，表示射线转过的角度，分段表达目标夹角。 模型1.旋转中的角度的和差倍分模型（求值模型） 【模型提炼与证明】 1、角度旋转模型解题步骤： ①找——根据题意找到目标角度；②表——表示出目标角度： 1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间； 2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间； 3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大。 变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角 ③列——根据题意列方程求解。 注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。 一副三角板有两个，一个是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一个是含特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。 总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平分线也旋转了同样的度数）。抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）已知分别在内部旋转，从出发绕点以的速度逆时针旋转，从出发绕点以的速度逆时针旋转，．设运动时间为秒．    (1)求的度数．（用含的代数式表示）(2)当，求证：平分． (3)运动过程中，当时，，求的值． 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【详解】（1）解：从出发绕点以的速度逆时针旋转，从出发绕点以的速度逆时针旋转，运动时间为秒，则， 设，则，则， ，∴，即，； （2）解：，， 又，，解得，，即， ∴，，即平分． （3）解：当时，． 从出发绕点以的速度逆时针旋转，从出发绕点以的速度逆时针旋转，运动时间为秒，则，．∴ ，，解得，设，则， ，解得：， 由（1）知 【典例2】（25-26湖南株洲·七年级期末）点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处． (1)如图1，当三角板的一边与射线重合时，则________； (2)如图2，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的平分线，求和的度数；(3)将三角板绕点逆时针旋转至图3所示的位置时，，求的度数． 【答案】(1)25°(2)∠AOM＝50°，∠CON＝25°(3)＝70° 【解析】（1）解：∵∠MON＝90°，∠BOC＝65°， ∴∠MOC＝∠MON−∠BOC＝90°−65°＝25°，故答案为：25°； （2）∵∠BOC＝65°，OC是∠MOB的角平分线，∴∠MOB＝2∠BOC＝130°， ∴∠AOM＝180°−∠MOB＝180°−130°＝50°，∠BON＝∠MOB−∠MON＝130°−90°＝40°， ∠CON＝∠COB−∠BON＝65°−40°＝25°，即∠AOM＝50°，∠CON＝25°； （3）∵∠AOM＋∠MON＋∠NOC＋∠BOC＝180°，∠BOC＝65°，∠MON＝90°， ∴∠AOM＋∠MON＝180°−65°−90°＝25°， ∵∠AOM＝4∠NOC，∴∠NOC＝5°，∴∠NOB＝∠NOC＋∠BOC＝70°． 【典例3】（25-26七年级上·四川达州·期末）如图1，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方．将直角三角板绕着点O按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒． (1)若射线保持位置不变，当直角三角板旋转到如图2的位置时，恰好平分，此时，与之间有何数量关系？并说明理由．(2)若射线的初始位置不变，且． ①在直角三角板旋转的过程中，若射线保持位置不变，当边与射线相交时（如图3），求的值．②在直角三角板旋转的过程中，将射线绕着点O按每秒的速度顺时针旋转（随三角板旋转停止而停止），是否存在某个时刻，使得射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)①；②，，， 【详解】（1）解：与之间的数量关系为，理由如下： ，，， 平分，，． （2）①∵， ∴； ②由题意得： 当平分时，，即，解得； 当在上方，第一次平分时，，即，解得； 当在下方，第二次平分时，，即，解得； 当第二次平分时，，即，解得：． 综上，的值为，，，． 模型2.旋转中的‌定值模型 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·河南驻马店·期末）如图，线段在线段上运动，点、点分别是、的中点．(1)若线段，，求的长．(2)若，，由此可以猜想______（用、表示）．(3)我们发现角的很多规律和线段一样：如图，在的内部，绕点逆时针旋转（初始位置、重合），、分别平分和，若，，在旋转过程中，的大小是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)的度数不变，恒为 【详解】（1）解：∵，，∴， ∵点、点分别是，的中点，∴，， ，∴； （2）解：∵，，∴， ∵分别是的中点，∴，， ， ，故答案为：； （3）解：的度数不变，恒为 ∵，，∴， ∵分别平分和，∴， ， ∴；综上，的度数不变，恒为． 【典例2】（25-26七年级上·山西运城·期末）活动课上，王老师将一副三角尺按图①位置摆放在直线上，45°角的顶点与60°的顶点重合于点，斜边与直角边在直线上，然后将直角三角尺绕点按15°/秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转时间为秒． (1)旋转前，_________，_________； (2)“希望”小组同学发现：当时，是的角平分线，请利用图②说明理由； (3)“飞翔”小组同学发现：若直角三角板旋转至如图③的位置时，为定值．请你判断是否正确，如果正确，请求出该度数；如果不正确，请说明理由． 【答案】(1)，(2)见解析(3)正确，； 【详解】（1）解：， ，故答案为：，． （2）解：直角三角尺绕点按15°/秒的速度顺时针方向旋转，当时， ，则, ∵,∴是的角平分线． （3）解：正确，； 直角三角板旋转至如图③的位置时， ，，． 【典例3】（25-26江苏南京·七年级校考期末）如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC＝∠AOD，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s，运动时间为t秒（0＜t＜12，本题出现的角均小于平角） （1）图中一定有　 　个直角；当t＝2时，∠MON的度数为　 　，∠BON的度数为　 　； （2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，当∠EOF为直角时，请求出t的值； （3）当射线OM在∠COB内部，且是定值时，求t的取值范围，并求出这个定值． 【答案】(1)4；144°，114°；(2)t的值为10s；(3)当射线OM在∠COB内部，且是定值时，t的取值范围为＜t＜6，这个定值是3 【详解】（1）如图所示，∵两条直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝∠AOD， ∴∠AOC＝∠AOD＝90°，∴∠BOC＝∠BOD＝90°，∴图中一定有4个直角； 当t＝2时，∠BOM＝30°，∠NON＝24°， ∴∠MON＝30°+90°+24°＝144°，∠BON＝90°+24°＝114°；故答案为：4；144°，114°； （2）如图所示，∠BOM＝15t，∠NOD＝12t，∠COM＝15t﹣90°， ∵OE平分∠COM，OF平分∠NOD， ∴∠COE＝∠COM＝（15t﹣90°），∠DOF＝∠DON＝×12t， ∵当∠EOF为直角时，∠COE+∠DOF＝90°， ∴（15t﹣90°）＝×12t，解得t＝10，∴当∠EOF为直角时，t的值为10s； （3）当∠MON＝180°时，∠BOM+∠BOD+∠DON＝180°，∴15t+90°+12t＝180°，解得t＝， 当∠BOM＝90°时，15t＝90°，解得t＝6， ①如图所示，当0＜t＜时，∠MON＝∠BOM+∠BOD+∠DON＝15t+90°+12t ∴＝，（不是定值） ②如图所示，当＜t＜6时，∠COM＝90°﹣15t，∠BON＝90°+12t， ∠MON＝360°﹣（∠BOM+∠BOD+∠DON）＝360°﹣（15t+90°+12t）＝270°﹣27t， ∴＝=3，（是定值） 综上所述，当射线OM在∠COB内部，且是定值时， t的取值范围为＜t＜6，这个定值是3． 模型3.旋转中的存在性模型（探究型） 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·河北承德·期末）已知，作射线，再分别作和的平分线，．(1)如图1，当平分时，求的度数． (2)如图2，嘉嘉说：“若在内旋转，因为和的度数不能确定，所以的度数不能计算．”琪琪说：“你说得不对，的度数能算．且的度数不变．”请你判断嘉嘉和琪琪谁的说法正确，并说明理由．(3)当射线在外绕点旋转且为钝角时，在备用图中画出图形、并探究的度数．（不必写出过程） 【答案】(1)(2)琪琪的说法正确，嘉嘉的说法不正确，理由见解析(3)为或 【详解】（1）解：∵，分别平分和， ∴，，∴， ∵平分，∴， ∵，∴， ∴，∴； （2）解：琪琪的说法正确，嘉嘉的说法不正确，理由如下： ∵平分，平分，∴，， ∴； （3）解：设旋转角为，①当时，如图， ∵平分，平分，∴． ∵，，∴； ②当时，在的下方，如图， ∵平分，平分，∴． ∵，， ∴；综上分析可知：或． 【典例2】（25-26七年级上·天津河北·期末）如图①，点为直线上一点，，将一直角三角板的角的顶点放在店处，斜边在射线上，直角顶点在直线的下方． (1)在图①中，求和的度数；(2)将图①中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，边恰好平分，第秒时，边在的平分线上，请分别求出的值；(3)将图①中的三角板绕点顺时针方向旋转至图②，使边在的内部，边在的外部，请研究：与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，(2)，(3) 【详解】（1）．． （2）如图所示，设当边旋转到时，恰好平分，则 旋转的角度为：．． 如图所示，设当边旋转到时，恰好平分，则 旋转的角度为：．． （3）由题意可知： ∵， ，得． 【典例3】（25-26七年级上·贵州黔西·期末）如图，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转：    (1)填空：如图，，，三点共线，且，则______°； (2)第三节腿部运动中，如图，洋洋发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请判断洋洋的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由；(3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图．运动停止时，直接写出______；请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系． 【答案】(1)；(2)小田的发现是正确的，这个定值是； (3)；当时，；当时，． 【详解】（1）如图，∵，，三点共线，∴， ∵，∴，故答案为：； （2）小田的发现是正确的，这个定值是，理由，如图， ∵，设，则， ∴，， ∴，∴小田的发现是正确的，这个定值是； （3）如图，∵，∴，， 设运动时间为，则，则， 运动停止时，即时，如图，旋转的角度为， ∴，故答案为：； 当点，，三点共线时，； ∴当时，，，∴； 当时，，，∴， 综上，当时，；当时，． 模型4.旋转中的分类讨论模型 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）如图1，已知，射线以每秒的速度，从射线开始逆时针向射线旋转，到达射线之后又以同样的速度顺时针返回，直到到达射线停止，射线从射线开始，以每秒的速度顺时针向射线旋转，直到到达各自的目的地才停止．设旋转时间为t秒．(1)当秒时，求出的度数．(2)在运动过程中，当达到时，求t的值． (3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线、射线、射线其中一条射线是另外两条射线组成的角的角平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)的值为秒或秒或秒(3)存在，的值为秒或秒或秒 【详解】（1）解：当时，，，则； （2）解：当秒时，，解得； 当秒时，；解得； 当秒时，，解得； 综上所述，的值为秒或秒或秒； （3）解：存在． 当秒时，平分，，解得； 当秒时，平分，，解得； 当秒时，平分，，解得． 综上所述，的值为秒或秒或秒． 【典例2】（25-26七年级上·福建福州·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若，则是的内半角． (1)如图①所示，已知，，是的内半角，则_________． (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ (3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，记为初始位置，将三角板绕顶点O以秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线，，，能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1)(2)当旋转的角度为时，是的内半角，理由见解析 (3)能，秒；30秒；90秒 【详解】（1）解∶∵，是的内半角，∴， ∵，∴，；故答案∶； （2）解：当旋转的角度为时，是的内半角；理由如下： 由旋转得：，∴ ， ∵∴，， ∵是的内半角，∴，∴，解得：﹔ （3）在旋转一周的过程中，射线，，，能构成内半角，理由如下； 设按顺时针方向旋转一个角度，旋转的时间为t， 如图1：∵是的内半角，， ∴，∴，解得：， 如图2，∵是的内半角，， ∴，∴，解得：，， 如图3，是的内半角，， ∴，∴，解得：，， 模型5.旋转中的新定义模型 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·福建厦门·期末）定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”，如图1，点P在直线l上，射线位于直线l同侧，若平分，则有，所以我们称射线是射线的“双倍和谐线”． (1)如图1，射线是不是射线，的“双倍和谐线”？并说明理由． (2)如图2，点O在直线上，，，射线从出发，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，当射线与射线重合时，运动停止． ①当射线是射线的“双倍和谐线”时，求t的值． ②若在射线旋转的同时，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分，当射线位于射线左侧且射线是射线的“双倍和谐线”时，求的度数． 【答案】(1)射线是射线，的“双倍和谐线”，理由见解析 (2)①当射线是射线、的“双倍和谐线”时，t的值为或；②当射线是射线、的“双倍和谐线”时，的度数为或 【详解】（1）是，∵平分，∴， ∴射线与射线形成的角是射线与射线组成的角的2倍， ∴射线是射线，的“双倍和谐线”； （2）①解：由题意得：，， ∵射线是射线，的“双倍和谐线”，∴或， 如图所示：当时，则：，解得：； 如图所示：当时，则：，解得：； 综上，射线是射线，的“双倍和谐线”时，t的值为或； ②解：由题意得：，，，， ∵当射线与射线重合时，运动停止，∴此时， ∴，解得：．∴当秒时，运动停止，此时， ∵射线位于射线左侧且射线是射线，的“双倍和谐线”， ∴或， （i）如图所示：当时， 即：， 则：，解得：，∴； （ii）如图所示：当时，即：， 则：，解得：，∴； 综上，当射线是射线、的“双倍和谐线”时，的度数为或． 【典例2】（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角，如图1，若射线，在的内部，且，则是的内余角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，，若是的内余角，则________； (2)如图2，若，是的内余角，平分，平分．的大小是否随着的变化而改变？若不变，求出的度数； (3)把一块含有角的三角板按图3方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4将三角板绕顶点以5度/秒的速度按逆时针方向旋转，旋转时间为秒．当，同时射线，，，中，两条射线构成的角是另外两条射线构成的角的内余角时，求出的值． 【答案】(1)(2)不变，是定值(3)9秒或63秒 【详解】（1）∵，，是的内余角， ∴，故答案为：； （2）的大小不随着的变化而改变，理由如下： ∵，是的内余角，∴ ∴ ∵平分，平分．∴ ∴； （3）根据题意，分是的内余角、是的内余角两种情况分析， ①如图，若是的内余角， ∴，，∴，解得； ②如图：若是的内余角， ∴，， ∴，解得； ∴射线，，，构成内余角时，为9秒或63秒． 模型常见易错点 1）混淆 “射线在角内部” 和 “射线绕点自由旋转”（头号扣分点） 错误：题干说自由旋转，只算内部一种情况，漏掉外侧异侧 解决方案：看到无限制旋转，立刻分同侧、异侧、交叉；写明 “在角内部” 则不用讨论外侧。 2）双射线旋转，相遇追及搞反和、差 错误：反向旋转用角度差，同向旋转用角度和 解决方案：面对面反向旋转→角度相加；同向追赶→快的角度减慢的角度。 3）折返旋转不分段，全程用同一个角度表达式 错误：掉头之后，表达式不变，直接计算 解决方案：先算出射线转到边界的临界时间，按时间分段，每一段单独写夹角表达式。 4）解出t<0或者超出区间，不检验直接保留 错误：算出负数时间、超出本区间范围的解，直接写答案 解决方案：时间t非负；分段方程解出来之后，必须检查t落在当前区间内，不符合直接舍去。 5）定值模型无脑套用，不看OP的位置 错误：死记∠MON=1/2∠AOB，不管OP在角内还是角外 解决方案：OP在角内部是和的形式；OP在角外部是差的形式，推导跟着图形变化。 6）忽略周角、平角限制，角度超过360°不会处理 解决方案：角度超过360°，可以减去360°，等效为一周内的位置。 7）两条射线同时折返，分不清谁先掉头 解决方案：分别算出每条射线到达边界的时间，收集全部临界时间，从小到大排序划分区间。 解题方法总结 角度动态问题步骤： 1）审题圈画：圈关键词：角内旋转/自由旋转、起始边、角速度、旋转方向、是否折返； 2）求临界时间：折返题先算射线转到边界的时间，划分t区间； 3）设元：设旋转时间t ( t ≥0)； 4）表示转过角度：旋转角度 = 角速度×时间，写出每条射线转过角度； 5）分类写夹角：自由旋转分同侧、异侧；折返旋转按区间写目标角度； 6）列方程求解：根据相等、倍数、和差、重合列方程； 6）检验取舍：检验t ≥0、落在对应区间内，舍去不合理解，最后作答。 口诀：角度动态五类藏，单旋双旋追及忙；角分定值有规律，内外多解细端详；遇到折返先分段，临界时刻标记上；设t表角是根本，验根舍错稳得分。 1．（25-26七年级上·河北·阶段练习）题目： “一块含角的直角三角板和一块含角的直角三角板拼成如图1所示的图案后， 三角板固定不动， 将三角板绕顶点B旋转一周， 如图2． 当时（注： 均指图中不超过的角）， 求旋转角的度数．”对于其答案， 甲答：， 乙答：， 则正确的是 （    ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 【答案】C 【详解】解：由题意，可知：，∴， 当两个三角板不重合时，如图：则：， 当两个三角板有重合部分时，如图：∵，∴， ∴，∴；故甲、乙答案合在一起才完整；故选C． 2．（25-26七年级下·重庆巫山·期中）如图，点O在直线上，过O作射线，一块三角板的直角顶点与点O重合，边在射线上，边在直线的下方．若三角板绕点O按每秒的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为（　　） A．5 B．6 C．5或23 D．6或24 【答案】D 【详解】解：∵，∴， 如图，平分，当旋转到直线上时，满足题意，∴． ∵，， ∴．根据题意得：或， 解得：或，∴t的值为6或24．故选：D． 3．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）如图，点O是直线上的一点，射线在直线的上方且，有一大小为的可绕其顶点O旋转一周，其中射线分别平分、，当时， ． 【答案】/12度 【详解】解：设，当点E在直线上方时，则， ∵平分，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，解得：，即； 当点E在直线下方时，则， ∵平分，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，解得：，此时， ∴此情况不存在，舍去；故答案为： 4．（25-26七年级上·河南郑州·开学考试）如图，和都是直角．固定不动，将绕点O旋转，在旋转过程中，下列结论正确的有 ． ①如果，那么；②是定值 ③若变小，则变大；④ 【答案】①②③④ 【详解】解：，， ，， ， 即，即， 当，则，故①正确； ，，故②正确； ，若变小，则变大，故③正确； ， ，，故④正确；综上所述，故答案为：①②③④． 5．（25-26七年级上·广东广州·期末）如图，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线，比它的补角大，将一直角三角板的直角点放在点O处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角板绕点O按每秒的速度逆时针旋转一周．设旋转时间为t秒．(1)求的度数；(2)若射线的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出t的取值，若不存在，请说明理由；(3)若在三角板开始转动的同时，射线也绕O点以每秒的速度顺时针旋转一周．从旋转开始多长时间．射线平分．直接写出t的值． 【答案】(1)；(2)存在，或19.5，理由见解析；(3)或29 【详解】（1）解：设，则其补角为， 由题意得：，解得：，即； （2）存在，理由如下：①当在直线上方时，此时平分， ∵，∴，当没有旋转时，， 所以旋转了，则旋转的时间（秒）， ②当在直线下方时，如图， ∵，且，即：， ∵旋转了，∴，∴，解得：， 综上所述，当或19.5时，； （3）①、同时旋转，如图所示，， ∵，∴， ∵，∴，解得：，∴t的值为3， ②∵，， ∴，解得：，∴t的值为29， 综上所述，当或29时，射线平分． 6．（25-26七年级上·江苏·期末）如图1，点、、依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图，设旋转时间为的值在到之间，单位：秒．(1)当时，求的度数；(2)在运动过程中，当第二次达到时，求的值；(3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线与射线的夹角为？如果存在，请直接写出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)的度数是(2)的值是秒(3)存在，的值是秒或秒 【详解】（1）解：当时，，， ，答：的度数是； （2）根据题意，当第二次达到时，，解得， 答：当第二次达到时，的值是秒； （3）存在这样的，使得射线与射线的夹角为，理由如下： 当射线与射线第一次夹角为时，两条射线共旋转，，解得； 当射线与射线第二次夹角为时，两条射线共旋转，，解得， 综上所述，的值是秒或秒． 1．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，是一条射线，将一把直角三角尺的直角顶点放在处，，将绕着点按每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，分别作出、的角平分线、．在旋转过程中，当或中有一条射线与平行时，的值为（   ）．（注：本题中所有的角均是指大于0度且小于或等于180度的角） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：①如图，当时，∵，∴， ∵平分，∴， ∴，即：，解得：； ②如图，当时，∵，∴， ∵平分，∴，∴，解得：， 综上所述，在旋转过程中，当或中有一条射线与平行时，的值为秒或秒，故选：C． 2．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）一副直角三角板如图1摆放在直线上，（直角三角板和直角三角板，，，，），如图2保持三角板不动，将三角板绕点旋转（旋转角）．在旋转过程中，当三角板的一边平行于时，此时 ． 【答案】75或120或165 【详解】解：如图，当时， 此时与重合，∴； 如图，当时，∴； 如图，当时，∴， ∵，∴； 综上，或或．故答案为：75或120或165． 3．（25-26七年级下·江苏苏州·开学考试）如图，于点O，，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，，则x与y之间的数量关系为 ． 【答案】或 【详解】解：设运动的时间为秒， ∵于点，∴， ∴，∴. 当与成一条直线时，则，∴. (秒)， (秒)，∴秒时停止运动. 当时，， ∴，∴； 当时，，，∴. 综上所述，与之间的数量关系为或，故答案为：或． 4．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）我们常借助直角三角板进行一些数学问题的探究．如图1所示，在直角三角板中，，，点在直线上，先将边与重合，然后将三角板绕着点按每秒1度的速度顺时针旋转，旋转后的三角板记作，设运动时间为秒，且． (1)当与重合时，______；(2)当时，求的值；(3)如果把原题中的直角三角板换成普通的三角形纸片，不妨设，其他条件不变，在的内部作一条射线，使，如果在旋转过程中，始终有成立，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)120(2)70或170(3) 【详解】（1）解：∵，∴， ∵与重合，∴，∴．故答案为：120． （2）解：①当在上方时，则，∴； ②当在下方时，则，∴； ∴综上所述，的值为70或170． （3）解：在旋转过程中，，则， ∵，，∴，， ∴， ∵，∴，整理得：． 5．（25-26七年级上·江苏南京·期末）【操作拼图】已知一副直角三角尺先按如图的方式拼接在一起，其中与直线重合，． (1)在上述所拼图形中，的度数为 °． (2)【问题探究】在上述所拼图形基础上，让三角尺固定不动，将三角尺绕着点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，且两块三角尺均在直线的上方．设三角尺的旋转时间为，在旋转过程中，请求出当时t的值． (3)【拓展延伸】在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为．在旋转过程中，当与三角尺的某一边平行时，请直接写出的值． 【答案】(1)75(2)12或(3)或15 【详解】（1）解：∵， ，∴；故答案为：75． （2）解：当和重合时，，则， 当和重合时，，则， 当和重合时，，则， ①当时，，，∴，解得：； ②当时，，∴，解得：； ③当时，，∴，t无解； 综上所述，或． （3）解：当和重合时，，则， ∴转动过程中，， ①当时，， ∴，∴， 即，解得：； ②当时，，∴， ∴，即，解得：； ③当时，，∴和重合， ∴，即，解得：； 当时，，且位于下面，不符合题意，舍去； 综上所述，或15． 6.（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图1，将一副直角三角板摆放在直线上（直角三角板和直角三角板），，，，保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转（如图2），旋转时间为t（）秒．      计算  当平分时，求t的值；判断  判断与的数量关系，并说明理由； 操作  若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当三角板停止时，三角板也停止，直接写出在旋转过程中，与的数量关系． 【答案】计算：；判断：当时，，当时，；操作： 【详解】解：计算∵，平分，∴， ∵三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转，∴．∴t的值为2.25． 判断 当时，如图1，据题意，得，∴， ∵，∴，∴， 当时，如图2，据题意，得，∴， ∵，∴，∴； 操作 ∵，，∴， ∴， ∵，∴，则． 1．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，已知，将绕点旋转，使射线的夹角为，平分，，，则的度数为 （用含的代数式表示）．    【答案】或 【详解】解：如图，当在外部时，   ， 由题意可得：， ，， 平分，， ； 如图，当在内部时，   ， 由题意可得：， ，， 平分，， ； 综上所述：的度数为或， 故答案为：或． 2．（25-26七年级下·重庆石柱·开学考试）如图1，点在直线上，．已知，的两边分别与射线重合，现将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，设旋转的时间为秒．（题目中所指的角均大于且小于） (1)如图 2 所示，当时，若，且射线在内部，则_______，此时的值为______；(2)当时，若平分，请探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)108，24 (2)或 【详解】（1）解：设，则， ，则，解得：， ， ∵绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转， （秒），故答案为： 108，24 ． （2）解：当在内部，如图所示， 设，，， 平分，， ，，即； 当时，在的外部（时，重合）， ，， ∵平分，，， ，即， 综上所述：或． 3.（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）已知，是内部的一条射线，且． (1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2所示，是直角，从点出发在内引射线，满足，若平，求的度数；(3)如图3所示，若，射线，射线分别从出发，并分别以每秒1D和每秒20的速度绕着点逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为秒．当，求的值． 【答案】(1)(2)(3)当时， 【详解】（1）解：，，， 平分，平分，，， ，，； （2）解：，，，， ，， 平分，，； （3）解：，，， ， ，，，， ， ，，，∴当时候，． 4.（25-26七年级上·辽宁辽阳·期末）定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的 则这条射线叫原来角的“新生线”． (1)如图1，，射线　　的“新生线”（填“是”或“不是”）； (2)点M、O、N在同一直线上，①在图2中， ，射线在的内部，并且是的“新生线”， 平分， 求的大小；②如图3，，，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为秒，若在射线旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线与射线重合时，运动都停止．当射线是的“新生线”时，直接写出t的值． 【答案】(1)是 (2)或；27.2或或 【详解】（1）解：∵，设，则， ∴，∴， ∴是的，∴是的新生线，故答案为：是； （2）解：①射线在的内部，并且是的“新生线”， 当时，如图所示， ∵点、、在同一直线上，，∴． ∴，∴． ∵平分，∴； 当时，如图所示， 同理，，∴， ∵平分，∴；综上所述，的大小为或； ②射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，绕点O以每秒的速度逆时针旋转， ∴到的时间范围为：． ∵，，∴， ∴当追上的时间为：，解得：； 当追上的时间为：，解得：． 第一种情况，当在右侧时，即，如图， ∴，，， ∵射线平分，∴． ∵， 当时，∴，解得：； 当时， ，∴，解得：； 第二种情况，当在左侧时，即，如图， 当时，∵， ∴，∴，解得：； 第三种情况，当在内部，且在左侧，即，如图， 当时，∵， ∴，∴， 解得：，不合题意，舍去； 第四种情况，当在内部，且在右侧，即，如图， 当时，∵， ∴， ∵，∴， 解得：，不合题意，舍去； 当时，∴，解得：，不合题意，舍去． 综上可知t的值为27.2或或． 5.（25-26七年级上·广东·期末）【概念提出】已知及射线，我们称的值为与的“关联度”，并用符号表示，其中都在到之间（含和）．（1）若，则 ；（2）尺规作图：如图1，已知，作一条射线，使得．（要求：保留作图痕迹，写出必要的说明） 【拓展延伸】（3）如图2，已知，射线与射线重合，射线位于内部或边上，将图2中的绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转，的值随旋转时间及的位置变化而变化．①如图3，当旋转时间为45秒时，的最小值为 ； ②在旋转一周的过程中，当旋转时间为 秒时，． 【答案】（1）1或；（2）见解析；（3）① 2 ；② 75 【详解】（1）解：若射线在的内部，则， ； 若射线在的外部，则， ；综上所述，或．故答案为：1或． （2）解：，，， 若射线在下方，此时， ，即（不符合题意，舍去）； 若射线在内部，此时， ，，即射线为的三等分线， 由于尺规作图不能三等分任意角，故不符合题意，舍去； 若射线在上方，此时， ，，如下图，则射线即为所求： （3）解：①当旋转时间为45秒时，，， 射线位于内部或边上，下面分2种情况讨论： 当，此时， ， 由图可知，，； 当，此时， ；综上所述，的最小值为2．故答案为：2． ②当射线在内部或边上时，则有， 此时，不符合题意， 射线不能在内部或边上，即的两边都在的外部，设旋转时间为秒， 当射线从图2的位置旋转至，则， 当射线从图2的位置旋转至，则，； 当时，如图， 则，此时， 当，此时， ， 此时的最小值为3，不符合题意，在范围内不存在符合题意的旋转时间； 当时，如图，则，此时， 当，此时， ， 此时的最小值为3，不符合题意，在范围内不存在符合题意的旋转时间； 当时，如图， 当，由①中的结论有：，符合题意； 当，此时有或， 令，则或，解得：或， 射线位于内部或边上，或， 当时，， 当时，， 当时，．故答案为：75． 6．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上，旋转时间记为秒． (1)如图2，当秒时，求的度数；(2)当____秒时，平分； (3)若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至直线上时同时停止．①当时，求t的值；②请直接写出在旋转过程中，与的数量关系（数量关系中不含t）：_______． 【答案】(1)(2)(3)①或；② 【详解】（1）解：如图2，当秒时，，， ，； （2）解：平分，，， 将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，，解得：，故答案为：； （3）①在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转， ，，分两种情况：当相遇前时， 解得：； 当相遇后时，解得：； 综上所述，或； ②，理由如下：分两种情况：当在异侧时，如图： 由题意得： ，； 当在同侧时，如图：由题意得：， ， ；综上所述，． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $