第七单元 可能性「从课本到奥数」导图知识卡片+基础夯实+奥数培优考点讲练 共38题-2026-2027学年人教版新教材五年级数学上册举一反三系列

nullnull 2026-2027学年人教版数学五年级上册举一反三系列初等奥数「新教材」 第七单元《可能性》「从课本到奥数」 （知识梳理卡片+基础夯实+奥数培优考点讲练 共38题●原卷版） 目录 【思维导图-知识梳理 技巧点拨】 1 【追溯课本-基础夯实 能力检测】 2 【奥数思维-课本提升 知识拓展】 6 【奥数拓展一】事件的确定性与不确定性 6 【奥数拓展二】判断事件发生的可能性的大小 6 【奥数拓展三】可能性大小的应用 7 【奥数拓展四】概率的认识 8 【奥数拓展五】游戏规则的公平性 9 【奥数拓展六】简单事件发生的可能性求解 10 1．（26-27五年级上·全国·课后作业）有A、B、C三张卡片，随机抽1张，不可能出现的情况是（    ）。 A．抽到A B．抽到D C．抽到C 2．（26-27五年级上·河北·课后作业）一个不透明的盒子里装有5个红球和3个白球，从中任意摸出一个球，摸到（ ）的可能性大。 A． 红球 B． 白球 C． 无法确定 3．（26-27五年级上·全国·课后作业）下列事件，属于确定事件的是（    ）。 A．周末出门遇见好朋友 B．三角形有3条边 C．刮奖刮出“再来一次” 4．（26-27五年级上·河北·课后作业）甲、乙两人轮流掷表面涂色的小正方体，约定红色面朝上算甲赢1分，黄色面朝上算乙赢1分。用下面（    ）种涂色的小正方体是最公平的。 A．2红2蓝2黄 B．3红1绿2黄 C．1红3蓝2黄 D．1红1蓝1绿3黄 5．（25-26五年级上·河北唐山·期中）从装有99个红球、5个蓝球和1个白球的袋子中任意摸出一个球，下列说法错误的是（    ）。 A．不一定是红球 B．可能是蓝球 C．不可能是白球 6．（26-27五年级上·全国·课后作业）盒子里全部是红色纽扣，从中任意拿出1枚，( )拿到红色纽扣，( )拿到银色纽扣。（填“一定”“可能”“不可能”） 7．（26-27五年级上·全国·课后作业）袋子中有7个绿球、2个白球，没有其他颜色球。随手摸一个，( )摸到绿球，( )摸到黑球。 8．（26-27五年级上·河北·课后作业）五（1）班举行诗朗诵比赛，规则是转动转盘，指针指到哪个诗人，就背这位诗人的诗（如图）。芳芳转动转盘，她( )背诵“王师北定中原日，家祭无忘告乃翁”；她( )背诵“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”。（填“可能”或“不可能”） 9．（26-27五年级上·全国·课后作业）一个盒子里装有黑球和白球，连续摸40次（摸后放回），摸到黑球28次，白球12次，由此推测盒内( )球的数量更多。 10．（26-27五年级上·全国·课后作业）两个袋子都装有8个球：A袋红、橙球数量相等，B袋红球7个、橙球1个。分别摸35次，( )袋两种球的摸到次数差距会更大。 11．（26-27五年级上·全国·课后作业）袋子里装有白、紫、橙三种颜色的玻璃球，每种颜色各若干个，只按颜色区分结果，随手摸1个球，会出现( )种可能结果。 12．（26-27五年级上·全国·课后作业）北方的12月一定下雪。( )（判断对错） 13．（26-27五年级上·四川绵阳·期中）抛硬币20次，一定10次正面朝上，10次反面朝上。( )（判断对错） 14．（26-27五年级上·全国·课后作业）有三个不透明盒子： ①A盒：全部是蓝色卡片；②B盒：蓝色卡片＋黄色卡片；③C盒：全部是黄色卡片。 小亮想要：“摸到黄色卡片”这件事是随机现象。他应该选择哪个盒子？请完整说明理由。 15．（26-27五年级上·全国·课后作业）一组卡片共6张：红圆、红方、红三角、蓝圆、蓝方、蓝三角。 (1)单从颜色分类，有几种可能结果？ (2)单从图形形状分类，有几种可能结果？ (3)同时结合颜色＋形状区分，任意抽一张有多少种完全不同的结果？ 16．（26-27五年级上·全国·课后作业）盒子里有4个黄球、6个红球。小丽说：“这个盒子红球数量更多，随便摸一个，一定摸到红球。”她的说法对吗？请说明理由。 17．（2026五年级上·全国·专题练习）十一黄金周到了，某超市为吸引顾客，设置了抽奖活动，奖项设置如下： 等级 一等奖 二等奖 三等奖 四等奖 个数 10 20 50 100 (1)获得哪种奖的可能性最大？获得哪种奖的可能性最小？ (2)当王阿姨去抽奖时，知道一等奖被抽走了1个，二等奖被抽走了11个，三等奖被抽走了12个，四等奖被抽走了64个。王阿姨获得哪种奖的可能性最大？获得哪种奖的可能性最小？（提示：抽走了不放回） 18．（26-27五年级上·全国·课后作业）三个密封木箱，木箱1装2个黑球、木箱2装2个白球、木箱3装1黑1白，三个木箱的标签全部贴错。现在只允许从其中一个木箱摸出1个球，准确判断三个木箱内分别装什么球，请写出操作步骤与完整判断逻辑。 19．（26-27五年级上·全国·课后作业）有张卡牌：方块6、方块8、梅花6、梅花8，随机摸取一张。 (1)按花色分，有哪几种可能？共几种？ (2)按点数分，有哪几种可能？共几种？ 20．（26-27五年级上·全国·课后作业）两个完全相同的箱子，一号箱：5个黑球、1个白球；二号箱：1个黑球、5个白球。小明随机选一个箱子，连续摸3次（每次摸完放回），三次摸到的都是黑球。请问小明更有可能选的是几号箱子？结合本课知识说明理由。 21．（25-26五年级上·湖北武汉·期中）按要求涂一涂。 (1)指针可能停在灰色、白色或黑色区域。 (2)指针可能停在灰色、白色和黑色区域。并且停在灰色区域的可能性最大，停在黑色区域的可能性最小。 22．（26-27五年级上·全国·单元测试）如下图，盒子里有大小、质地相同的三种球，分别是、、，任意摸一个，要使摸出的可能性最大，摸出的可能性最小，盒子里的球可能是怎样的？请你涂一涂。 【奥数拓展一】事件的确定性与不确定性 【典例精讲】（25-26五年级上·河北邢台·期末）盒子里装有3个大小完全相同的小球，分别标注数字1、3、5，任意摸一个，有_____种可能性，要想使摸到5的可能性最大，摸到1的可能性最小，摸到3的可能性与它们不同，至少往盒子里再放入_____个标有5的小球，至少再放入_____个标有3的小球。 【举一反三练习1】佳佳、青青、羽羽三人是五（1）、五（2）、五（3）的体育强将。在学校运动会上，她们分别获得了跳远、跳绳和百米赛跑中的某一项冠军，但谁是哪个班的、是哪项的体育强将还不清楚，只知道五（2）班同学获得了跳绳冠军，五（1）班同学没有获得百米赛跑冠军。佳佳没有获得跳远冠军。青青也没有获得跳远冠军，也不是五（2）班的学生。佳佳、青青、羽羽分别是哪个班的学生？分别获得哪项冠军？ 【举一反三练习2】54张扑克牌，甲、乙两人轮流抓牌，每人每次最少抓1张，最多抓5张，谁抓到最后1张牌谁赢，怎样抓牌才能确保甲胜利? 【奥数拓展二】判断事件发生的可能性的大小 【典例精讲】（25-26五年级上·北京海淀·期末）下面的袋中装有红、黄、蓝三种除颜色外完全相同的球。四位同学想通过摸球来推测袋中球的情况。摸球规则：每次从袋中任意摸一个球，记录颜色后再放回摇匀，每人各摸20次。四位同学摸球的结果如下： 淘气 笑笑 奇思 妙想 红球（次） 12 9 11 12 黄球（次） 6 10 8 8 蓝球（次） 2 1 1 0 根据这四位同学的摸球结果。以下分析合理的（    ）。 ①四位同学都是摸到蓝球的次数最少，袋中蓝球个数有可能是最少的。 ②妙想虽然现在没有摸到蓝球，但如果再摸1次，她肯定就能摸到蓝球了。 ③淘气、奇思和妙想摸出红球的次数都比黄球多，笑笑肯定记录错了。 ④四位同学共摸出红球44次，黄球32次，袋中红球个数可能多于黄球。 A．只有① B．只有①② C．只有①④ D．只有③④ 【举一反三练习1】（25-26五年级上·河北唐山·期末）口袋中有一些大小相同的糖，任意摸出1颗糖，要使摸出水果糖的可能性最小，摸出奶糖的可能性最大，还有可能摸出酥心糖，口袋中至少要装（    ）颗糖。 A．4 B．5 C．6 D．7 【举一反三练习2】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）桌子上放有59枚棋子，甲、乙两人轮流从中拿走3枚或4枚棋子（两人每次一共拿走7枚），规定谁拿走最后一枚棋子谁就获胜。如果甲先拿，那么他有获胜的可能吗？如果甲有获胜的可能，请你为甲设计一个获胜的方案。 【奥数拓展三】可能性大小的应用 【典例精讲】（25-26六年级下·山东日照·期末）汉字是世界上最古老的文字之一。聪聪和乐乐玩拼汉字游戏，从下边六张卡片中任意抽出两张，当两张卡片上的字拼成“朋”字，聪聪赢；当两张卡片上的字拼成“明”字，乐乐赢，各抽一次，两个人赢的可能性相比，( )大。 月 月 月 日 日 月 【举一反三练习1】（25-26五年级上·陕西汉中·期末）某小学举办了主题为“小学生要不要参加兴趣小组”的辩论比赛，王老师通过抽下面的数字卡片来决定五（1）班和五（2）班谁是正方。王老师抽到卡片上的数是质数，五（1）班是正方；抽到卡片上的数是合数，五（2）班是正方，这个游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你设计一个对双方都公平的游戏规则。 【举一反三练习2】（24-25五年级上·山西晋中·期中）随着“双十一”的来临，商场计划推出一项转盘抽奖活动（让所有抽奖的人都可以获奖），旨在吸引更多的顾客。其中一等奖是价值500元的商品，二等奖是价值100的商品，三等奖则是价值10元的商品，请你在下面转盘中设计出每个等级奖的区域，并说一说你这样设计的理由。 【奥数拓展四】概率的认识 【典例精讲】任意抛掷3次硬币，有2次正面向上，1次反面向上。 （1）那么第4次掷硬币时正面向上的概率是( )。 （2）如果掷4次硬币，有3次正面朝上的概率是( )。 【举一反三练习1】一个袋中装有4个白球，5个黑球和6个光球，从中任取4个球，则含有3个黑球的概率为( )。 【举一反三练习2】桌面上放有17张卡片，标号分别为1-17，现在把卡片面朝下放在桌上．每次任意拿出一张，拿后放回，拿到单数算甲赢，拿到双数算乙赢．甲赢的可能性是多少？乙赢的可能性是多少？这个规则公平吗？如果不公平，怎样改才公平． 【奥数拓展五】游戏规则的公平性 【典例精讲】（25-26六年级上·重庆沙坪坝·期末）某班同学在策划儿童节玩套圈游戏，以在一定距离外套中一个锥形桶为胜。为了提高玩游戏的成功效率，设计成每次12人同时玩，但在围成什么形状时发生了争议：有人建议围成正方形，有人建议围成圆形。你认为哪种合适？为什么？ 【举一反三练习1】（2025五年级上·全国·专题练习）小宇、小恒两人玩卡片游戏，各拿4张卡片。每人出1张，若差为奇数，则小宇胜；若差为偶数（不为0），则小恒胜；若差为0，则重新开始。你觉得这个游戏规则公平吗？为什么？若不公平，你能换1张卡片使游戏公平吗？ 【举一反三练习2】（25-26五年级上·全国·课后作业）小宇和小恒抽卡片，从4，3，7，8这四张卡片中任意抽取两张。如果它们的积是2的倍数，小宇获胜；如果它们的积是3的倍数，小恒获胜；如果它们的积既是2的倍数，又是3的倍数就重来一次。 （1）这个游戏公平吗？为什么？ （2）如果不公平，请你换一张卡片使这个游戏公平。 【奥数拓展六】简单事件发生的可能性求解 【典例精讲】（25-26五年级上·全国·阶段检测）盒子里装着20支圆珠笔，其中有5支红色的，7支蓝色的，8支黑色的。从中随意抽出4支，每种颜色的笔都被抽出的概率是多少？ 【举一反三练习1】学校门口经常有小贩搞摸奖活动。某小贩在一只黑色口袋里装有颜色不同的50只小球，其中红球1只，黄球2只，绿球10只，其余为白球。搅拌均匀后，每2元摸1个球，奖品的情况标注在球上（如图）。如果花4元钱，同时摸2个球，那么获10元奖品的概率为______。 【举一反三练习2】口袋里有6个标有数字1，2，3，4，5，6的小球。     （1）任意摸出一个球，有________种可能结果，每种结果出现的可能性都是________。     （2）任意摸出一个球：是单数的可能性是________，是双数的可能性是________。小于3的可能性是________，大于3的可能性是________。     （3）任意摸出两个球，两数和有________种可能。两数和是单数的可能性是________，是双数的可能性是________；大于6的可能性是________，小于6的可能性是________。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年人教版数学五年级上册举一反三系列初等奥数「新教材」 第七单元《可能性》「从课本到奥数」 (知识梳理卡片+基础夯实+奥数培优考点讲练共38题●原卷版) 目录 【思维导图-知识梳理技巧点拨】 1 【追溯课本-基础夯实能力检测】· 2 【奥数思维-课本提升知识拓展】··… 6 【奥数拓展一】事件的确定性与不确定性 【奥数拓展二】判断事件发生的可能性的大小 6 【奥数拓展三】可能性大小的应用. …7 【奥数拓展四】概率的认识.·... 【奥数拓展五】游戏规则的公平性 【奥数拓展六】简单事件发生的可能性求解 ……….10 思维导图 知识梳理技巧点拨 1可能性的大小 4摸球游戏中的可能性（按颜色比较） ①事件发生的可能性有大有小， 11个1111 一定会发生 在盒子里放入不同颜色的小球。摸出一个，记录颜色，再放回去摇匀，重复多次 核心思想 ©可能发生 ●不可能发生 在一定条件下 颜色红蓝黄 通过观案。实验 次数1293536 ②在一定条件下，有生事件发生的可能性相同。 收集数掘。分析 推理等方法， 研究 事件发生的可能性 次数最多的颜色，摸出的可能性最大 88H 次数最少的颜色，摸出的可能性最小 的大小。 太阳从西边升起 反面胡上的可能性相同， 花中的 5从课本到奥数一—压轴题解题技巧 不可能发生 可能发生 可能发生 ★技巧一：明确事件类型。 第七单元 判断是“一定、可能、不可能”。 2摸球游戏中的可能性 从盒子里摸球，每次摸出一个，记录颜色，再放回去摇匀，重复多次 可能性 ★技巧二：收集数据，找规律， 通过多次试验，记录数据。比较次数，推断可能性的大小 自 颜色记录次数 ★技巧三：利用数学模型 1正正正T17 携出盖的次数 列表、画树状图、找规律，帮助分析复杂问题。 8下3 比塘【的次致 多，可能性大。 ★技巧四：转化与假设。 一般情况下，某种颜色球的数量越多。摸出它的可能性越大， 把复杂问题转化为简单问题，或用假设法解决 3掷骰子游戏中的可能性 易错点拨-一一一一一一 翔一个骰子，朝上的点数可能是1、2.3.4、5.6， 每个点数出现的可能性相同。 点数123456 @实膜发不具水生 可能性相同相网相网相网相同相同 1③忽略放回去摇匀”的条件 不放回城不匀，会影响结果的公平性。 每种结果出现的可能性。合 判断事件的可能性 摸球游戏 拥股子 摸球比较（按颜色） 学习小贴士 常见 生话中外外有数学 、题 ①明天会下雨 球，摸出哪种颜色 动手实验 ②太阳从北边升起。 的可能性大？ ①任意买一张电影票，座位号 可能性= 摸出红球的可能性最大， 认真记录， 合理推 白球和黄球的可能性最小。 你就是小小数学家！ 是奇数 第1页共10页 追溯课本 基础夯实能力检测 1.（26-27五年级上·全国·课后作业)有A、B、C三张卡片，随机抽1张，不可能出现的情况是()。 A.抽到A B.抽到D C.抽到C 2.（26-27五年级上·河北·课后作业)一个不透明的盒子里装有5个红球和3个白球，从中任意摸 出一个球，摸到（)的可能性大。 A.红球 B.白球 C.无法确定 3.(26-27五年级上·全国·课后作业)下列事件，属于确定事件的是（)。 A.周末出门遇见好朋友 B.三角形有3条边 C.刮奖刮出“再来一次” 4.(26-27五年级上·河北·课后作业)甲、乙两人轮流掷表面涂色的小正方体，约定红色面朝上算 甲赢1分，黄色面朝上算乙赢1分。用下面()种涂色的小正方体是最公平的。 A.2红2蓝2黄B.3红1绿2黄 C.1红3蓝2黄 D.1红1蓝1绿3黄 5.（25-26五年级上·河北唐山·期中)从装有99个红球、5个蓝球和1个白球的袋子中任意摸出一 个球，下列说法错误的是()。 A.不一定是红球 B.可能是蓝球 C.不可能是白球 6.(26-27五年级上·全国·课后作业)盒子里全部是红色纽扣，从中任意拿出1枚，（)拿到 红色纽扣，（ )拿到银色纽扣。（填“一定”“可能”“不可能”） 7.(26-27五年级上·全国·课后作业)袋子中有7个绿球、2个白球，没有其他颜色球。随手摸一 个，()摸到绿球，()摸到黑球。 8.（26-27五年级上·河北·课后作业）)五（1)班举行诗朗诵比赛，规则是转动转盘，指针指到哪个 诗人，就背这位诗人的诗（如图）。芳芳转动转盘，她()背诵“王师北定中原日，家祭无忘告 乃翁”；她( )背诵“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”。（填“可能”或“不可能”） 郑恒曾 第2页共10页 9.(26-27五年级上·全国·课后作业)一个盒子里装有黑球和白球，连续摸40次（摸后放回），摸 到黑球28次，白球12次，由此推测盒内()球的数量更多。 10.（26-27五年级上·全国·课后作业)两个袋子都装有8个球：A袋红、橙球数量相等，B袋红球 7个、橙球1个。分别摸35次，（)袋两种球的摸到次数差距会更大。 11.(26-27五年级上·全国·课后作业)袋子里装有白、紫、橙三种颜色的玻璃球，每种颜色各若干 个，只按颜色区分结果，随手摸1个球，会出现()种可能结果。 12.（26-27五年级上·全国·课后作业)北方的12月一定下雪。（ )(判断对错) 13.(26-27五年级上·四川绵阳·期中)抛硬币20次，一定10次正面朝上，10次反面朝上。（) (判断对错) 14.（26-27五年级上·全国·课后作业)有三个不透明盒子： ①A盒：全部是蓝色卡片；②B盒：蓝色卡片+黄色卡片；③C盒：全部是黄色卡片。 小亮想要：“摸到黄色卡片”这件事是随机现象。他应该选择哪个盒子？请完整说明理由。 15.(26-27五年级上·全国·课后作业)一组卡片共6张：红圆、红方、红三角、蓝圆、蓝方、蓝三 角。 (1)单从颜色分类，有几种可能结果？ (2)单从图形形状分类，有几种可能结果？ (3)同时结合颜色十形状区分，任意抽一张有多少种完全不同的结果？ 16.（26-27五年级上·全国·课后作业)盒子里有4个黄球、6个红球。小丽说：“这个盒子红球数 量更多，随便摸一个，一定摸到红球。”她的说法对吗？请说明理由。 第3页共10页 17.（2026五年级上·全国·专题练习)十一黄金周到了，某超市为吸引顾客，设置了抽奖活动，奖 项设置如下： 等级 一等奖 二等奖 三等奖 四等奖 个数 10 20 50 100 (1)获得哪种奖的可能性最大？获得哪种奖的可能性最小？ (2)当王阿姨去抽奖时，知道一等奖被抽走了1个，二等奖被抽走了11个，三等奖被抽走了12个，四 等奖被抽走了64个。王阿姨获得哪种奖的可能性最大？获得哪种奖的可能性最小？（提示：抽走了不 放回) 18.(26-27五年级上·全国·课后作业)三个密封木箱，木箱1装2个黑球、木箱2装2个白球、木 箱3装1黑1白，三个木箱的标签全部贴错。现在只允许从其中一个木箱摸出1个球，准确判断三个 木箱内分别装什么球，请写出操作步骤与完整判断逻辑。 19.（26-27五年级上·全国·课后作业)有4张卡牌：方块6、方块8、梅花6、梅花8，随机摸取 一张。 (1)按花色分，有哪几种可能？共几种？ (2)按点数分，有哪几种可能？共几种？ 第4页共10页 20.（26-27五年级上·全国·课后作业)两个完全相同的箱子，一号箱：5个黑球、1个白球；二号 箱：1个黑球、5个白球。小明随机选一个箱子，连续摸3次（每次摸完放回），三次摸到的都是黑球。 请问小明更有可能选的是几号箱子？结合本课知识说明理由。 21.(25-26五年级上·湖北武汉·期中)按要求涂一涂。 第(1)题图 第(2)题图 (1)指针可能停在灰色、白色或黑色区域。 (2)指针可能停在灰色、白色和黑色区域。并且停在灰色区域的可能性最大，停在黑色区域的可能性最 小。 22.(26-27五年级上·全国·单元测试)如下图，盒子里有大小、质地相同的三种球，分别是○、●、 D,任意摸一个，要使摸出○的可能性最大，摸出D的可能性最小，盒子里的球可能是怎样的？请 你涂一涂。 oo 第5页共10页 奥数思维 课本提升知识拓展 【奥数拓展一】事件的确定性与不确定性 【典例精讲】(25-26五年级上·河北邢台·期末)盒子里装有3个大小完全相同的小球，分别标注 数字1、3、5，任意摸一个，有种可能性，要想使摸到5的可能性最大，摸到1的可能性最小， 摸到3的可能性与它们不同，至少往盒子里再放入个标有5的小球，至少再放入个标有3 的小球。 【举一反三练习1】佳佳、青青、羽羽三人是五（1)、五(2)、五(3)的体育强将。在学校运动 会上，她们分别获得了跳远、跳绳和百米赛跑中的某一项冠军，但谁是哪个班的、是哪项的体育强将 还不清楚，只知道五(2)班同学获得了跳绳冠军，五（1)班同学没有获得百米赛跑冠军。佳佳没有 获得跳远冠军。青青也没有获得跳远冠军，也不是五（2)班的学生。佳佳、青青、羽羽分别是哪个班 的学生？分别获得哪项冠军？ 【举一反三练习2】54张扑克牌，甲、乙两人轮流抓牌，每人每次最少抓1张，最多抓5张，谁抓 到最后1张牌谁赢，怎样抓牌才能确保甲胜利？ 【奥数拓展二】判断事件发生的可能性的大小 【典例精讲】(25-26五年级上·北京海淀·期末)下面的袋中装有红、黄、蓝三种除颜色外完全相 同的球。四位同学想通过摸球来推测袋中球的情况。摸球规则：每次从袋中任意摸一个球，记录颜色 后再放回摇匀，每人各摸20次。四位同学摸球的结果如下： 红、黄、 蓝三种颜 色的球 第6页共10页 淘气 笑笑 奇思 妙想 红球（次) 12 9 11 12 黄球（次） 6 10 8 8 蓝球（次） 2 0 根据这四位同学的摸球结果。以下分析合理的（)。 ①四位同学都是摸到蓝球的次数最少，袋中蓝球个数有可能是最少的。 ②妙想虽然现在没有摸到蓝球，但如果再摸1次，她肯定就能摸到蓝球了。 ③淘气、奇思和妙想摸出红球的次数都比黄球多，笑笑肯定记录错了。 ④四位同学共摸出红球44次，黄球32次，袋中红球个数可能多于黄球。 A.只有① B.只有①② C.只有①④ D.只有③④ 【举一反三练习1】（25-26五年级上·河北唐山·期末)口袋中有一些大小相同的糖，任意摸出1 颗糖，要使摸出水果糖的可能性最小，摸出奶糖的可能性最大，还有可能摸出酥心糖，口袋中至少要 装()颗糖。 A.4 B.5 C.6 D.7 【举一反三练习2】(23-24五年级上·辽宁·课后作业)桌子上放有59枚棋子，甲、乙两人轮流 从中拿走3枚或4枚棋子（两人每次一共拿走7枚），规定谁拿走最后一枚棋子谁就获胜。如果甲先 拿，那么他有获胜的可能吗？如果甲有获胜的可能，请你为甲设计一个获胜的方案。 【奥数拓展三】可能性大小的应用 【典例精讲】(25-26六年级下·山东日照·期末)汉字是世界上最古老的文字之一。聪聪和乐乐玩 拼汉字游戏，从下边六张卡片中任意抽出两张，当两张卡片上的字拼成“朋”字，聪聪赢；当两张卡 片上的字拼成“明”字，乐乐赢，各抽一次，两个人赢的可能性相比，（)大。 第7页共10页 月 月 月 日 日 月 【举一反三练习1】(25-26五年级上·陕西汉中·期末)某小学举办了主题为“小学生要不要参加 兴趣小组”的辩论比赛，王老师通过抽下面的数字卡片来决定五(1)班和五(2)班谁是正方。王老 师抽到卡片上的数是质数，五(1)班是正方抽到卡片上的数是合数，五(2)班是正方，这个游戏 公平吗？为什么？如果不公平，请你设计一个对双方都公平的游戏规则。 325746 【举一反三练习2】(24-25五年级上·山西晋中·期中)随着“双十一”的来临，商场计划推出一 项转盘抽奖活动（让所有抽奖的人都可以获奖），旨在吸引更多的顾客。其中一等奖是价值500元的 商品，二等奖是价值100的商品，三等奖则是价值10元的商品，请你在下面转盘中设计出每个等级奖 的区域，并说一说你这样设计的理由。 【奥数拓展四】概率的认识 【典例精讲】任意抛掷3次硬币，有2次正面向上，1次反面向上。 (1)那么第4次掷硬币时正面向上的概率是( )。 (2)如果掷4次硬币，有3次正面朝上的概率是( )。 【举一反三练习1】一个袋中装有4个白球，5个黑球和6个光球，从中任取4个球，则含有3个黑 球的概率为( )。 【举一反三练习2】桌面上放有17张卡片，标号分别为1-17，现在把卡片面朝下放在桌上.每次任 意拿出一张，拿后放回，拿到单数算甲赢，拿到双数算乙赢.甲赢的可能性是多少？乙赢的可能性是 第8页共10页 多少？这个规则公平吗？如果不公平，怎样改才公平. 【奥数拓展五】游戏规则的公平性 【典例精讲】（25-26六年级上·重庆沙坪坝·期末)某班同学在策划儿童节玩套圈游戏，以在一定 距离外套中一个锥形桶为胜。为了提高玩游戏的成功效率，设计成每次12人同时玩，但在围成什么形 状时发生了争议：有人建议围成正方形，有人建议围成圆形。你认为哪种合适？为什么？ 【举一反三练习1】（2025五年级上·全国·专题练习)小宇、小恒两人玩卡片游戏，各拿4张卡 片0279 。 每人出1张，若差为奇数，则小宇胜；若差为偶数（不为0），则小恒胜；若 差为0，则重新开始。你觉得这个游戏规则公平吗？为什么？若不公平，你能换1张卡片使游戏公平吗？ 第9页共10页 【举一反三练习2】（25-26五年级上·全国·课后作业)小宇和小恒抽卡片，从4,3,7,8这四 张卡片中任意抽取两张。如果它们的积是2的倍数，小宇获胜；如果它们的积是3的倍数，小恒获胜； 如果它们的积既是2的倍数，又是3的倍数就重来一次。 (1)这个游戏公平吗？为什么？ (2)如果不公平，请你换一张卡片使这个游戏公平。 【奥数拓展六】简单事件发生的可能性求解 【典例精讲】(25-26五年级上·全国·阶段检测)盒子里装着20支圆珠笔，其中有5支红色的，7 支蓝色的，8支黑色的。从中随意抽出4支，每种颜色的笔都被抽出的概率是多少？ 【举一反三练习1】学校门口经常有小贩搞摸奖活动。某小贩在一只黑色口袋里装有颜色不同的50 只小球，其中红球1只，黄球2只，绿球10只，其余为白球。搅拌均匀后，每2元摸1个球，奖品的 情况标注在球上（如图）。如果花4元钱，同时摸2个球，那么获10元奖品的概率为 8元奖品 5元奖品 1元奖品 无奖品 红球 黄球 绿球 白球 【举一反三练习2】口袋里有6个标有数字1,2,3,4,5,6的小球。 （1)任意摸出一个球，有 种可能结果，每种结果出现的可能性都是 (2)任意摸出一个球：是单数的可能性是 ，是双数的可能性是 。小于3的可能性是 大于3的可能性是 (3)任意摸出两个球，两数和有」 种可能。两数和是单数的可能性是 一，是双数的可能 性是 ;大于6的可能性是 ,小于6的可能性是 第10页共10页 2026-2027学年人教版数学五年级上册举一反三系列初等奥数「新教材」 第七单元《可能性》「从课本到奥数」 （知识梳理卡片+基础夯实+奥数培优考点讲练 共38题●解析版） 目录 【思维导图-知识梳理 技巧点拨】 2 【追溯课本-基础夯实 能力检测】 2 【奥数思维-课本提升 知识拓展】 11 【奥数拓展一】事件的确定性与不确定性 11 【奥数拓展二】判断事件发生的可能性的大小 12 【奥数拓展三】可能性大小的应用 15 【奥数拓展四】概率的认识 17 【奥数拓展五】游戏规则的公平性 19 【奥数拓展六】简单事件发生的可能性求解 21 1．（26-27五年级上·全国·课后作业）有A、B、C三张卡片，随机抽1张，不可能出现的情况是（    ）。 A．抽到A B．抽到D C．抽到C 【答案】B 【思路引导】有A、B、C三张卡片，随机抽1张，可能是A，也可能是B，还可能是C。 【规范解答】A．抽到A，可能抽到A。 B．抽到D，卡片中没有D，所以不可能出现的情况是抽到D。     C．抽到C，可能抽到C。 2．（26-27五年级上·河北·课后作业）一个不透明的盒子里装有5个红球和3个白球，从中任意摸出一个球，摸到（ ）的可能性大。 A． 红球 B． 白球 C． 无法确定 【答案】A 【思路引导】判断摸到哪种球的可能性大小，比较两种球的数量即可，数量越多，摸到的可能性越大。 【规范解答】，红球数量更多，因此摸到红球的可能性大。 3．（26-27五年级上·全国·课后作业）下列事件，属于确定事件的是（    ）。 A．周末出门遇见好朋友 B．三角形有3条边 C．刮奖刮出“再来一次” 【答案】B 【思路引导】确定事件：在一定条件下，结果是可以预先知道的，要么一定发生，要么不可能发生。 随机事件（不确定事件）：在一定条件下，结果无法预先确定，可能发生，也可能不发生。 逐一分析各项。 【规范解答】A．周末出门遇见好朋友：可能遇见，也可能遇不到，结果不确定，属于随机事件。 B．三角形有3条边：这是三角形的基本特征，是一定发生的事实，属于确定事件。 C．刮奖刮出“再来一次”：可能刮中，也可能刮不中，结果不确定，属于随机事件。 4．（26-27五年级上·河北·课后作业）甲、乙两人轮流掷表面涂色的小正方体，约定红色面朝上算甲赢1分，黄色面朝上算乙赢1分。用下面（    ）种涂色的小正方体是最公平的。 A．2红2蓝2黄 B．3红1绿2黄 C．1红3蓝2黄 D．1红1蓝1绿3黄 【答案】A 【思路引导】游戏公平需要红色面和黄色面的数量相等，保证两人赢的可能性相同。 【规范解答】A．红、黄，数量相等，游戏公平，该选项正确。 B．红、黄，数量不相等，游戏不公平，该选项错误。 C．红、黄，数量不相等，游戏不公平，该选项错误。 D．红、黄，数量不相等，游戏不公平，该选项错误。 5．（25-26五年级上·河北唐山·期中）从装有99个红球、5个蓝球和1个白球的袋子中任意摸出一个球，下列说法错误的是（    ）。 A．不一定是红球 B．可能是蓝球 C．不可能是白球 【答案】C 【思路引导】袋子中有红、蓝、白三种颜色的球，任意摸一个，三种球都有被摸到的可能，仅可能性大小不同。 【规范解答】A．不一定是红球。 袋子中除红球外还有蓝球、白球，摸出的球不一定是红球，说法正确； B．可能是蓝球。 袋子中存在蓝球，所以有可能摸出蓝球，说法正确； C．不可能是白球。 袋子中有1个白球，存在摸到白球的可能，说法错误。 6．（26-27五年级上·全国·课后作业）盒子里全部是红色纽扣，从中任意拿出1枚，( )拿到红色纽扣，( )拿到银色纽扣。（填“一定”“可能”“不可能”） 【答案】 一定 不可能 【思路引导】在一定条件下，有些事件的结果是可以预知的，是确定事件，可以用 “一定”“不可能”描述；有些事件的结果无法预知，是随机事件，可以用“可能”描述。 【规范解答】盒子里全部是红色纽扣，没有银色纽扣。任意拿出1枚，一定拿到红色纽扣，不可能拿到银色纽扣。 7．（26-27五年级上·全国·课后作业）袋子中有7个绿球、2个白球，没有其他颜色球。随手摸一个，( )摸到绿球，( )摸到黑球。 【答案】 可能 不可能 【思路引导】在一定条件下，一些事件的结果是可以预知的，具有确定性，确定的事件用“一定”或“不可能”来描述；一些事件的结果是不可预知的，具有不确定性，不确定的事件用“可能”来描述；可能性有大有小，哪种颜色的球的数量多，摸到它的可能性越大。 【规范解答】袋子里有绿球、白球，没有黑球，袋子里面存在绿球，所以可能摸到绿球；袋子没有黑球，不可能摸到黑球。 8．（26-27五年级上·河北·课后作业）五（1）班举行诗朗诵比赛，规则是转动转盘，指针指到哪个诗人，就背这位诗人的诗（如图）。芳芳转动转盘，她( )背诵“王师北定中原日，家祭无忘告乃翁”；她( )背诵“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”。（填“可能”或“不可能”） 【答案】 不可能 可能 【思路引导】无论在什么情况下，都会发生的事件，是“一定”会发生的事件。 在任何情况下，都不会发生的事件，是“不可能”事件。 在某种情况下会发生，而在其他情况下不会发生的事件，是“可能”事件。 【规范解答】“王师北定中原日，家祭无忘告乃翁”出自陆游写的《示儿》。转盘上面没有“陆游”的名字，所以不可能转到陆游，也就不可能背诵“王师北定中原日，家祭无忘告乃翁”。 “朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”出自李白写的《早发白帝城》。转盘上面有“李白”的名字，所以可能转到李白，也就可能背诵“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”。 9．（26-27五年级上·全国·课后作业）一个盒子里装有黑球和白球，连续摸40次（摸后放回），摸到黑球28次，白球12次，由此推测盒内( )球的数量更多。 【答案】黑 【思路引导】一个盒子里，某种颜色的球的数量越多，被摸到的可能性越大，则被摸到的次数也会越多。 【规范解答】因为，即摸到黑球的次数比白球的次数多。由此推测盒内黑球的数量更多。 10．（26-27五年级上·全国·课后作业）两个袋子都装有8个球：A袋红、橙球数量相等，B袋红球7个、橙球1个。分别摸35次，( )袋两种球的摸到次数差距会更大。 【答案】B 【思路引导】A袋中一共8个球，红球、橙球数量相等，也就是红球4个、橙球4个，摸到红球和橙球的可能性一样大，两种球摸到的次数会比较接近，差距小。B袋中一共8个球，红球7个、橙球1个，红球数量远远多于橙球，摸到红球的可能性远大于橙球，摸35次的时候，红球摸到的次数会明显比橙球多，两种球摸到次数的差距会更大。 【规范解答】分别摸35次，B袋两种球的摸到次数差距会更大。 11．（26-27五年级上·全国·课后作业）袋子里装有白、紫、橙三种颜色的玻璃球，每种颜色各若干个，只按颜色区分结果，随手摸1个球，会出现( )种可能结果。 【答案】 【思路引导】判断摸球有多少种可能结果，看一共有多少种不同颜色。本题有白、紫、橙三种不一样的颜色，每种颜色都有被摸到的机会，对应不同的结果。 【规范解答】袋子里装有白、紫、橙三种颜色的玻璃球，只按颜色区分结果。随手摸出个，有可能摸到白球，有可能摸到紫球，也有可能摸到橙球，所以会出现种可能结果。 12．（26-27五年级上·全国·课后作业）北方的12月一定下雪。( ) 【答案】× 【思路引导】根据事件发生的确定性和不确定性进行分析：北方的12月是冬天，可能下雪是客观规律，属于不确定事件中的可能事件。 【规范解答】北方12月有可能不下雪，不是一定下雪，原题说法错误； 故答案为：× 13．（26-27五年级上·四川绵阳·期中）抛硬币20次，一定10次正面朝上，10次反面朝上。( ) 【答案】× 【思路引导】抛硬币正面和反面朝上的可能性相等，只是代表事件发生的趋势，不代表一定会出现次数完全相等的情况。 【规范解答】抛硬币20次，正面和反面朝上的次数可能接近10次，不一定正好是10次正面朝上、10次反面朝上。原题说法错误。 故答案为：× 14．（26-27五年级上·全国·课后作业）有三个不透明盒子： ①A盒：全部是蓝色卡片；②B盒：蓝色卡片＋黄色卡片；③C盒：全部是黄色卡片。 小亮想要：“摸到黄色卡片”这件事是随机现象。他应该选择哪个盒子？请完整说明理由。 【答案】 他应该选择盒子。 盒：没有黄色卡片，不可能摸到黄色卡片，是确定现象，不属于随机现象。 盒：同时有蓝色、黄色卡片，摸到黄色卡片这件事可发生、可不发生，属于随机现象，所以选盒。 盒：全是黄色卡片，一定能摸到黄色卡片，是必然现象，不属于随机现象。 【思路引导】依据随机现象的特征：如果一件事可能发生，也可能不发生，结果不能事先确定，这件事就是随机现象。逐一分析三个盒子中摸黄色卡片的结果，选出符合要求的盒子。 【规范解答】①盒：全是蓝色卡片，从中摸卡片，不可能摸到黄色卡片，是确定现象，不符合要求。 ②盒：既有蓝色卡片又有黄色卡片，从中摸卡片，可能摸到黄色卡片，也可能摸到蓝色卡片，“摸到黄色卡片”是随机现象，符合要求。所以应该选择盒。 ③盒：全是黄色卡片，从中摸卡片，一定能摸到黄色卡片，是确定现象，不符合要求。 15．（26-27五年级上·全国·课后作业）一组卡片共6张：红圆、红方、红三角、蓝圆、蓝方、蓝三角。 (1)单从颜色分类，有几种可能结果？ (2)单从图形形状分类，有几种可能结果？ (3)同时结合颜色＋形状区分，任意抽一张有多少种完全不同的结果？ 【答案】(1)种 (2)种 (3)种 【思路引导】判断有多少种可能结果，关键看清分类标准。分类标准不同，结果种类也不同。第（）题以颜色作为分类依据，找出全部互不相同的颜色，第（）题以图形形状作为分类依据，找出所有不同的图形；第（）题要同时看颜色和形状，两个条件一起搭配，每一组颜色加形状的组合就是一种独立结果。 【规范解答】（1）按颜色分：卡片只有红色、蓝色，所以有种可能结果。 （2）按形状分：卡片有圆形、正方形、三角形，所以有种可能结果。 （3）颜色形状区分：红圆、红方、红三角、蓝圆、蓝方、蓝三角，所以一共种完全不同的结果 16．（26-27五年级上·全国·课后作业）盒子里有4个黄球、6个红球。小丽说：“这个盒子红球数量更多，随便摸一个，一定摸到红球。”她的说法对吗？请说明理由。 【答案】小丽的说法错误。红球数量多，摸到红球的可能性更大，但是盒子里同时还有黄球，也有可能摸到黄球，不能说一定摸到红球。 【思路引导】盒子里只有一种颜色的球，任意摸出一个，一定是这种颜色的球，盒子里有几种颜色的球，任意摸出一个，摸到这几种颜色的球都有可能，哪种颜色的球多，摸到那种颜色的球的可能性就大；据此即可解答。 【规范解答】略 17．（2026五年级上·全国·专题练习）十一黄金周到了，某超市为吸引顾客，设置了抽奖活动，奖项设置如下： 等级 一等奖 二等奖 三等奖 四等奖 个数 10 20 50 100 (1)获得哪种奖的可能性最大？获得哪种奖的可能性最小？ (2)当王阿姨去抽奖时，知道一等奖被抽走了1个，二等奖被抽走了11个，三等奖被抽走了12个，四等奖被抽走了64个。王阿姨获得哪种奖的可能性最大？获得哪种奖的可能性最小？（提示：抽走了不放回） 【答案】(1)获得四等奖的可能性最大，获得一等奖的可能性最小。 (2)王阿姨获三等奖的可能性最大，获得一等奖和二等奖的可能性最小。 【思路引导】（1）抽奖总奖券数量固定时，某个奖项剩下的数量越多，抽到它的可能性就越大，数量越少可能性就越小。先对比初始各奖项的数量即可。 （2）根据抽走不放回的规则，先算出每个奖项剩余的数量，剩下的数量越多，抽到的可能性越大，反之越小。 【规范解答】（1）10＜20＜50＜100 所以获得四等奖的可能性最大，获得一等奖的可能性最小。 （2）一等奖还剩有10－1＝9（个） 二等奖还剩有20－11＝9（个） 三等奖还剩有50－12＝38（个） 四等奖还剩有100－64＝36（个） 剩余最多的是三等奖38个，最少的是一等奖和二等奖。 所以王阿姨获三等奖的可能性最大，获得一等奖和二等奖的可能性最小。 18．（26-27五年级上·全国·课后作业）三个密封木箱，木箱1装2个黑球、木箱2装2个白球、木箱3装1黑1白，三个木箱的标签全部贴错。现在只允许从其中一个木箱摸出1个球，准确判断三个木箱内分别装什么球，请写出操作步骤与完整判断逻辑。 【答案】操作步骤与判断逻辑： 从贴有“1黑1白”标签的箱中摸出1个球（所有标签全部贴错，这个箱子不可能是一黑一白）； 情况①：摸出来是黑球，说明这个盒子实际装2个黑球。贴着“2白”标签的盒子，不能装2白，也不能装2黑，只能装1黑1白。剩下贴着“2黑”标签的盒子，里面就是2个白球。 情况②：摸出来是白球，说明这个盒子实际装2个白球。贴着“2黑”标签的盒子，不能装2黑，也不能装2白，只能装1黑1白。剩下贴着“2白”标签的盒子，里面就是2个黑球。 【思路引导】三个盒子标签全部贴错，优先选择贴着“1黑1白”标签的盒子入手，因为标签全错，这个盒子里面一定不可能是1黑1白，只能全黑或者全白，摸出1个球就能直接判断这个盒子真实装球情况，再用排除法推理剩下两个盒子。 【规范解答】略。 19．（26-27五年级上·全国·课后作业）有张卡牌：方块6、方块8、梅花6、梅花8，随机摸取一张。 (1)按花色分，有哪几种可能？共几种？ (2)按点数分，有哪几种可能？共几种？ 【答案】(1)花色种：方块、梅花 (2)点数种：、 【思路引导】（）先明确所有卡牌的花色集合，因为要按花色分类，所以提取卡牌中不重复的花色即可得到所有可能的结果，再统计数量。 （）再明确所有卡牌的点数集合，因为要按点数分类，所以提取卡牌中不重复的点数即可得到所有可能的结果，再统计数量。 【规范解答】（1）张卡牌的花色分别是方块、方块、梅花、梅花，不重复的花色有方块、梅花，共种，因此按花色分有种可能。 （2）张卡牌的点数分别是、、、，不重复的点数有、，共种，因此按点数分有种可能。 20．（26-27五年级上·全国·课后作业）两个完全相同的箱子，一号箱：5个黑球、1个白球；二号箱：1个黑球、5个白球。小明随机选一个箱子，连续摸3次（每次摸完放回），三次摸到的都是黑球。请问小明更有可能选的是几号箱子？结合本课知识说明理由。 【答案】更有可能选一号箱。理由：一号箱黑球数量远多于白球，多次摸球更容易连续摸到黑球；二号箱白球更多，连续3次摸到黑球的可能性极低。试验连续摸到黑球，说明箱内黑球占比更大，因此更可能是一号箱。 【思路引导】在多次放回摸球试验中，摸到某颜色球的次数越多，说明这个箱子里该颜色球的数量更多。对比两个箱子黑球数量，判断更可能选的箱子。 【规范解答】一号箱有5黑1白，黑球数量远多于白球；二号箱1黑5白，白球数量远多于黑球。 连续3次摸到黑球，说明箱内黑球占比更大。一号箱黑球多，更容易连续摸到黑球；二号箱黑球很少，连续三次摸到黑球的可能性很小。 答：小明更有可能选的是一号箱，理由略。 21．（25-26五年级上·湖北武汉·期中）按要求涂一涂。 (1)指针可能停在灰色、白色或黑色区域。 (2)指针可能停在灰色、白色和黑色区域。并且停在灰色区域的可能性最大，停在黑色区域的可能性最小。 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）指针可能停在灰色、白色或黑色区域，说明转盘上有灰色、白色或黑色区域，据此涂一涂。 （2）可能性的大小与区域的面积大小有关，哪种颜色的区域的面积大，则指针停在该区域的可能性就大，反之就小；要使停在灰色区域的可能性最大，停在黑色区域的可能性最小，则灰色区域的面积最大，黑色区域的面积最小，据此作图即可。 【规范解答】（1）略 （2）略 22．（26-27五年级上·全国·单元测试）如下图，盒子里有大小、质地相同的三种球，分别是、、，任意摸一个，要使摸出的可能性最大，摸出的可能性最小，盒子里的球可能是怎样的？请你涂一涂。 【答案】（涂法不唯一） 【思路引导】根据题目要求，的数量要最多，这样摸到的概率才最大．的数量最少，这样摸到的概率才最小。此题的答案不唯一，只要符合要求即可。 【规范解答】据分析可知，涂3个，涂4个，剩下的7个为，，这样任意摸一个，摸出的可能性最大，摸出的可能性最小。（答案不唯一）作图略。 【奥数拓展一】事件的确定性与不确定性 【典例精讲】（25-26五年级上·河北邢台·期末）盒子里装有3个大小完全相同的小球，分别标注数字1、3、5，任意摸一个，有_____种可能性，要想使摸到5的可能性最大，摸到1的可能性最小，摸到3的可能性与它们不同，至少往盒子里再放入_____个标有5的小球，至少再放入_____个标有3的小球。 【答案】 3 2 1 【思路引导】盒子里有3个不同数字的小球（1、3、5），任意摸一个，有3种可能性。 最开始时，标注数字1、3、5的小球各1个，要让摸到5的可能性最大，摸到1的可能性最小，摸到3的可能性与它们不同，即标注5的小球数量​＞标注3的小球数量​＞标注1的小球，现标注1的小球有1个，要使标注3的小球数量比标注1的小球数量多，还得最少，所以标注3的小球数量应该有2个，现有1个，所以需要再放入2－1＝1个；同理标注5的小球数量比标注3的小球数量多，还得最少，那么标注5的小球数量应该有3个，现有1个，所以需要再放入3－1＝2个。 【规范解答】要想使摸到5的可能性最大，摸到1的可能性最小，摸到3的可能性与它们不同，所以标注3的小球最少有2个，标注5的小球最少有3个。 2－1＝1（个） 3－1＝2（个） 因此，盒子里装有3个大小完全相同的小球，分别标注数字1、3、5，任意摸一个，有3种可能性，要想使摸到5的可能性最大，摸到1的可能性最小，摸到3的可能性与它们不同，至少往盒子里再放入2个标有5的小球，至少再放入1个标有3的小球。 【考点剖析】从最少数量的球（本题为1个）出发，推导其他球需要满足的最少数量，然后用目标数量减去现有数量，得到每种球需要添加的最少个数。 【举一反三练习1】佳佳、青青、羽羽三人是五（1）、五（2）、五（3）的体育强将。在学校运动会上，她们分别获得了跳远、跳绳和百米赛跑中的某一项冠军，但谁是哪个班的、是哪项的体育强将还不清楚，只知道五（2）班同学获得了跳绳冠军，五（1）班同学没有获得百米赛跑冠军。佳佳没有获得跳远冠军。青青也没有获得跳远冠军，也不是五（2）班的学生。佳佳、青青、羽羽分别是哪个班的学生？分别获得哪项冠军？ 【答案】佳佳是五（2）班的学生，获得跳绳冠军；青青是五（3）班的学生，获得百米赛跑冠军；羽羽是五（1）班的学生，获得跳远冠军。 【思路引导】根据“佳佳没有获得跳远冠军。青青也没有获得跳远冠军，也不是五（2）班的学生，五（1）班同学没有获得百米赛跑冠军”可知羽羽获得了跳远冠军，是五（1）的； 根据“五（2）班同学获得了跳绳冠军，青青也不是五（2）班的学生”，已知羽羽获得了跳远冠军，可知，佳佳获得了跳绳冠军，并且是五（2）班； 则剩下的青青获得百米赛跑冠军，是五（3）班的； 【规范解答】佳佳是五（2）班的学生，获得跳绳冠军；青青是五（3）班的学生，获得百米赛跑冠军；羽羽是五（1）班的学生，获得跳远冠军。 【考点剖析】解答本题时，一定要弄清楚已知信息，找到它们之间的关系。 【举一反三练习2】54张扑克牌，甲、乙两人轮流抓牌，每人每次最少抓1张，最多抓5张，谁抓到最后1张牌谁赢，怎样抓牌才能确保甲胜利? 【答案】甲让乙先抓。不管乙抓几张，甲抓取的牌数都要与乙抓的凑够6张牌。 【奥数拓展二】判断事件发生的可能性的大小 【典例精讲】（25-26五年级上·北京海淀·期末）下面的袋中装有红、黄、蓝三种除颜色外完全相同的球。四位同学想通过摸球来推测袋中球的情况。摸球规则：每次从袋中任意摸一个球，记录颜色后再放回摇匀，每人各摸20次。四位同学摸球的结果如下： 淘气 笑笑 奇思 妙想 红球（次） 12 9 11 12 黄球（次） 6 10 8 8 蓝球（次） 2 1 1 0 根据这四位同学的摸球结果。以下分析合理的（    ）。 ①四位同学都是摸到蓝球的次数最少，袋中蓝球个数有可能是最少的。 ②妙想虽然现在没有摸到蓝球，但如果再摸1次，她肯定就能摸到蓝球了。 ③淘气、奇思和妙想摸出红球的次数都比黄球多，笑笑肯定记录错了。 ④四位同学共摸出红球44次，黄球32次，袋中红球个数可能多于黄球。 A．只有① B．只有①② C．只有①④ D．只有③④ 【答案】C 【思路引导】由图中的统计表可知：淘气摸到红球的次数最多，蓝球的次数最少；笑笑摸到黄球的次数和红球的次数接近，蓝球的次数最少；奇思摸到红球的次数最多，蓝球的次数最少；妙想摸到红球的次数最多，蓝球的次数最少。根据总数一定的情况下，某种颜色的小球的数量越多，摸到的次数越多。反之摸到的次数越多，说明某种颜色的小球的数量可能越多。据此解答。 【规范解答】根据分析： ①四位同学都是摸到蓝球的次数最少，袋中蓝球个数有可能是最少的，分析合理。 ②妙想虽然现在没有摸到蓝球，但如果再摸一次，她肯定就能摸到蓝球了，再摸一次，摸到红球、蓝球、黄球都有可能，分析不合理。 ③淘气、奇思和妙想摸出红球的次数都比黄球多，笑笑肯定记录错了，数量越多，只能说明摸到的次数可能越多，不能表明一定会摸到最多的次数，分析不合理。 ④四位同学共摸到红球的次数（44次）大于摸到黄球的次数（32次），所以袋中红球的个数可能多于黄球，分析合理。 所以，分析合理的是①④。 故答案为：C 【考点剖析】这道题的关键是根据摸到小球的次数确定某种颜色小球的数量，需明确：摸到的次数越多，说明某种颜色的小数的数量可能越多，但不能理解为一定越多。 【举一反三练习1】（25-26五年级上·河北唐山·期末）口袋中有一些大小相同的糖，任意摸出1颗糖，要使摸出水果糖的可能性最小，摸出奶糖的可能性最大，还有可能摸出酥心糖，口袋中至少要装（    ）颗糖。 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【思路引导】口袋中哪种糖的数量越多，摸到该种糖的可能性就越大，哪种糖的数量越少，摸到哪种糖的可能性就越小。 要使摸到水果糖的可能性最小，则水果糖最少装1颗；有可能摸到酥心糖，则酥心糖比水果糖多，最少装2颗；要使摸到奶糖的可能性最大，奶糖比酥心糖多，最少装3颗。将三种糖的数量相加，求出总数量，即可解答。 【规范解答】由分析可知，口袋中最少装1颗水果糖、2颗酥心糖、3颗奶糖。 1＋2＋3＝6（颗） 口袋中至少要装6颗糖。 故答案为：C 【考点剖析】解决“可能性大小求最少总数量”的问题，关键是明白数量越多，摸出的可能性就越大；数量越少，摸出的可能性就越小，而且每种物品都至少有1颗；若要求一种摸出的可能性最大、一种最小，还能摸出其他种类，就按“可能性最小的种类放1颗，中间种类比前一种多放1颗，可能性最大的种类比中间种类多放1颗”来分，把所有种类的数量加起来，就是最少的总数量。 【举一反三练习2】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）桌子上放有59枚棋子，甲、乙两人轮流从中拿走3枚或4枚棋子（两人每次一共拿走7枚），规定谁拿走最后一枚棋子谁就获胜。如果甲先拿，那么他有获胜的可能吗？如果甲有获胜的可能，请你为甲设计一个获胜的方案。 【答案】甲有获胜的可能；方案见详解 【思路引导】根据题意，两人每次一共要拿走7枚棋子，可知在最后一次拿棋子之前，甲一定要拿到第52枚、第45枚、第38枚……第3枚棋子。所以甲先拿棋子时，可以先拿3枚棋子，使余下的棋子数是7的倍数，之后甲每次拿走的棋子数和乙拿走的棋子数凑成7，也就是说，乙拿走3枚棋子，甲就要拿走4枚棋子；乙拿走4枚棋子，甲就要拿走3枚棋子。两人每次一共拿走7枚棋子，才能保证甲获胜，据此解答。 【规范解答】59÷（3＋4） ＝59÷7 ＝8（次）……3（枚） 只要甲初次拿走3枚棋子，之后甲每次拿走的棋子数和乙每次拿走的棋子数凑成7就能保证甲获胜。 【考点剖析】甲要想获胜就一定要拿到第59枚棋子，所以甲先拿走多少枚棋子是解题关键。 【奥数拓展三】可能性大小的应用 【典例精讲】（25-26六年级下·山东日照·期末）汉字是世界上最古老的文字之一。聪聪和乐乐玩拼汉字游戏，从下边六张卡片中任意抽出两张，当两张卡片上的字拼成“朋”字，聪聪赢；当两张卡片上的字拼成“明”字，乐乐赢，各抽一次，两个人赢的可能性相比，( )大。 月 月 月 日 日 月 【答案】乐乐 【思路引导】首先统计卡片中“月”和“日”的数量，然后计算从6张卡片中任意抽出2张的所有可能情况总数。接着分别计算拼成“朋”字（两张“月”）和拼成“明”字（一张“日”、一张“月”）的情况数。最后通过比较两种情况数的多少，判断谁赢的可能性大。 【规范解答】统计卡片数量：卡片中共有4张“月”，2张“日”，总张数为6张。 任意抽出2张卡片的总情况数：6×5÷2＝15（种） 聪聪赢（拼成“朋”字）的情况数： 需要抽出2张“月”，从4张“月”中抽2张：4×3÷2＝6（种） 乐乐赢（拼成“明”字）的情况数： 需要抽出1张“日”和1张“月”，从2张“日”中抽1张，从4张“月”中抽1张：2×4＝8（种） 8＞6，即乐乐赢的情况数多于聪聪赢的情况数，所以乐乐赢的可能性大。 【举一反三练习1】（25-26五年级上·陕西汉中·期末）某小学举办了主题为“小学生要不要参加兴趣小组”的辩论比赛，王老师通过抽下面的数字卡片来决定五（1）班和五（2）班谁是正方。王老师抽到卡片上的数是质数，五（1）班是正方；抽到卡片上的数是合数，五（2）班是正方，这个游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你设计一个对双方都公平的游戏规则。 【答案】不公平；这些数中质数有4个，合数有2个。抽到质数和合数的可能性不相等。 将数字卡片3、2、5、7、4、6 平均分成两组，一组是3、2、5，另一组是7、4、6。王老师抽到卡片上的数在第一组，五（1）班是正方；抽到卡片上的数在第二组，五（2）班是正方。这样双方获胜的可能性都是，游戏就公平了。（答案不唯一） 【思路引导】①判断游戏是否公平： 质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。 合数是指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其它数（0除外）整除的数。 在数字3、2、5、7、4、6中，质数有3、2、5、7，共4个；合数有4、6，共2个。 因为抽到质数五（1）班是正方，抽到合数五（2）班是正方，而质数的个数多于合数的个数，所以五（1）班成为正方的可能性更大，这个游戏不公平。 ②设计公平的游戏规则： 要使游戏公平，双方获胜的可能性应该相等。可以将数字卡片平均分成两组，一组代表五（1）班，另一组代表五（2）班。 例如，将数字卡片3、2、5、7、4、6 平均分成两组，一组是3、2、5，另一组是7、4、6。王老师抽到卡片上的数在第一组，五（1）班是正方；抽到卡片上的数在第二组，五（2）班是正方。这样双方获胜的可能性都是，游戏就公平了。（答案不唯一） 【规范解答】①在数字3、2、5、7、4、6 中，质数有3、2、5、7，共4个；合数有4、6，共2个。 因为抽到质数五（1）班是正方，抽到合数五（2）班是正方，而质数的个数多于合数的个数，所以五（1）班成为正方的可能性更大，这个游戏不公平。 答：这个游戏不公平，因为质数的个数多于合数的个数，所以五（1）班成为正方的可能性更大。 ②设计公平的游戏规则略。（答案不唯一） 【考点剖析】本题考查质数与合数的概念以及游戏公平性的判断。 解题的关键在于明确质数与合数的定义，分别找出给定数字中质数与合数的个数，通过比较个数来判断游戏是否公平。若不公平，需要设计一个使双方获胜可能性相等的游戏规则。 【举一反三练习2】（24-25五年级上·山西晋中·期中）随着“双十一”的来临，商场计划推出一项转盘抽奖活动（让所有抽奖的人都可以获奖），旨在吸引更多的顾客。其中一等奖是价值500元的商品，二等奖是价值100的商品，三等奖则是价值10元的商品，请你在下面转盘中设计出每个等级奖的区域，并说一说你这样设计的理由。 【答案】； 一等奖价值最高，应让其中奖概率最低，所以只占1份；二等奖价值次之，中奖概率适中，占2份；三等奖价值最低，为了吸引更多顾客参与，所以占7份。这样的设计既保证所有顾客都能获奖，又能通过概率差异平衡奖项价值与商场成本，有效吸引顾客参与 “双十一” 活动。（答案不唯一） 【思路引导】要解决这道题，需结合概率与奖项价值的关系来设计转盘区域。核心思路是：奖项价值越高，中奖概率应越低（对应转盘区域越小）；奖项价值越低，中奖概率应越高（对应转盘区域越大），这样既吸引顾客参与，又能控制商场成本。首先确定转盘的总份数（图中转盘被分为10份），然后为一等奖、二等奖、三等奖分配合理的份数，再说明设计理由。 【规范解答】一等奖（500元）：分配1份 二等奖（100元）：分配2份 三等奖（10元）：分配7份 画图略。 理由略。（答案不唯一） 【考点剖析】解题关键：把握 “概率与奖项价值成反比” 的关系，确保高价值奖项区域小、低价值奖项区域大，同时保证所有区域之和为转盘总份数。 【奥数拓展四】概率的认识 【典例精讲】任意抛掷3次硬币，有2次正面向上，1次反面向上。 （1）那么第4次掷硬币时正面向上的概率是( )。 （2）如果掷4次硬币，有3次正面朝上的概率是( )。 【答案】 【思路引导】事件发生的情况分三类：在一定条件下必然发生的事件，叫必然事件；在一定条件下不可能发生的事件，叫不可能事件；在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫随机事件。在数学上，我们把随机事件发生可能性的大小的数字度量，称为随机事件的概率。严格来讲，概率是在同一条件下发生某种事件可能性的大小。 【规范解答】（1）第4次掷硬币时正面向上的概率是： 1÷2＝ 答：第4次掷硬币时正面向上的概率是。 （2）掷4次硬币的情况数有（正正正正）（正正正反）（正正反正）（正正反反）（正反正正）（正反正反）（正反反正）（正反反反）（反正正正）（反正正反）（反正反正）（反正反反）（反反正正）（反反正反）（反反反正）（反反反反），一共16种，其中3次正面朝上的有4种， 4÷16＝ 答：有3次正面朝上的概率是。 【考点剖析】（1）小题中，无论什么时候，第几次掷硬币，正面或反面朝上的概率都是； （2）求解掷4次硬币的情况，可用树状图来计算其概率，即易于理解又方便操作。 【举一反三练习1】一个袋中装有4个白球，5个黑球和6个光球，从中任取4个球，则含有3个黑球的概率为( )。 【答案】 【思路引导】求出袋子里球的总量，用取出4个球含3个黑球的情况总数÷取出4个球的情况总数即可求解。 【规范解答】4＋5＋6＝15（个） 取四个的所有情况＝15×14×13×12÷（4×3×2×1）＝32760÷24＝1365（种） 取四个里面有三个黑球的情况＝5×4×3÷（3×2×1）×（4＋6）＝100（种） 概率＝ 【考点剖析】此题主要考查了概率的认识，解答此题的关键是要明确：如果一个事件有m种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现n种结果，那么事件A的概率P（A）＝。 【举一反三练习2】桌面上放有17张卡片，标号分别为1-17，现在把卡片面朝下放在桌上．每次任意拿出一张，拿后放回，拿到单数算甲赢，拿到双数算乙赢．甲赢的可能性是多少？乙赢的可能性是多少？这个规则公平吗？如果不公平，怎样改才公平． 【答案】甲赢的可能性是 ；乙赢的可能性是 ；这个规则不公平．去掉一个单数，或增加一个双数就公平了． 【规范解答】共17个数字，单数有9个，双数有8个，用个数除以总数求出两人赢的可能性的大小；如果可能性相等就公平，否则不公平；要使两人赢的可能性相等才公平． 【奥数拓展五】游戏规则的公平性 【典例精讲】（25-26六年级上·重庆沙坪坝·期末）某班同学在策划儿童节玩套圈游戏，以在一定距离外套中一个锥形桶为胜。为了提高玩游戏的成功效率，设计成每次12人同时玩，但在围成什么形状时发生了争议：有人建议围成正方形，有人建议围成圆形。你认为哪种合适？为什么？ 【答案】圆形合适；圆上的每个点到圆心的距离相等，也就是每个人到锥形桶的距离相等，对于每个人套中的机会相同。 【思路引导】根据正方形的特征和圆的特征可知，正方形的边的中点到正方形中心的距离是最近的，但是旁边的距离都是都比这个距离大；圆上的任意一点到圆心的距离相等，由此即可判断。 【规范解答】我认为围成圆形合适。 因为围成正方形，每个人套锥形桶的距离不都相同，对于每个人套中的机会不同，所以不公平； 围成圆形，圆上的每个点到圆心的距离相等，也就是每个人到锥形桶的距离相等，对于每个人套中的机会相同，所以公平。 【考点剖析】明确圆的特征和正方形的特征是解答本题的关键。 【举一反三练习1】（2025五年级上·全国·专题练习）小宇、小恒两人玩卡片游戏，各拿4张卡片。每人出1张，若差为奇数，则小宇胜；若差为偶数（不为0），则小恒胜；若差为0，则重新开始。你觉得这个游戏规则公平吗？为什么？若不公平，你能换1张卡片使游戏公平吗？ 【答案】这个游戏规则不公平。因为两个数的差为偶数（不为0）的情况有4种，两个数的差为奇数的情况有8种，所以小宇胜的可能性大；将卡片7换成卡片4。 【思路引导】根据题意，四张卡片两人各出一张，第一问根据每一种出的情况一一罗列来判断游戏的公平性；第二问调整（1）出现不公平情况即可，见详解。 【规范解答】两人的卡片均为0、2、7、9（含2个偶数：0、2；2个奇数：7、9）。所有出卡组合共种，其中差为0的情况有4种（需重新开始），剩余12种有效情况。 根据奇偶性规则：差奇数的条件：一个数是奇数、另一个是偶数（奇数－偶数或偶数－奇数）。小宇出偶数（2种）、小恒出奇数（2种）有种，小宇出奇数（2种）、小恒出偶数（2种）有种，共8种。差为偶数（非零）的条件： 两个数同奇偶（奇数－奇数或偶数－偶数）。同偶数组合有种（差0的2种，剩余2种），同奇数组合有种（差为0的2种，剩余2种），共4种。因小宇胜（差为奇数）的情况（8种）多于小恒胜（差为偶数非零）的情况（4种），故游戏不公平。 调整方法：将卡片7（奇数）换成4（偶数），此时卡片为0、2、4、9（3个偶数、1个奇数）。此时差为奇数的情况为“偶数×奇数”＋“奇数×偶数”＝种，差为偶数（非0）的情况为种，双方获胜可能性相等，游戏公平。 答：这个游戏规则不公平。因为两个数的差为偶数（不为0）的情况有4种，两个数的差为奇数的情况有8种，所以小宇胜的可能性大；将卡片7换成卡片4。（换卡答案不唯一，只要调整后卡片奇偶数量为3和1即可。） 【考点剖析】注意罗列时做到不重复不遗漏。 【举一反三练习2】（25-26五年级上·全国·课后作业）小宇和小恒抽卡片，从4，3，7，8这四张卡片中任意抽取两张。如果它们的积是2的倍数，小宇获胜；如果它们的积是3的倍数，小恒获胜；如果它们的积既是2的倍数，又是3的倍数就重来一次。 （1）这个游戏公平吗？为什么？ （2）如果不公平，请你换一张卡片使这个游戏公平。 【答案】（1）不公平。因为在四张卡片中任意抽取两张，它们的积是2的倍数的可能性大于是3的倍数的可能性。 （2）将卡片8换成卡片6。 【思路引导】这是判断游戏公平性的问题，核心是先列出所有抽取情况的积，再分别统计小宇、小恒的获胜情况，比较概率是否相等：先找出从4、3、7、8中抽两张的所有组合，计算它们的积；分类统计 “只是2的倍数（小宇胜）”“只是3的倍数（小恒胜）”“既是2又是3的倍数（重来）” 的情况数；比较小宇和小恒的获胜概率，判断是否公平；若不公平，通过替换卡片调整两类倍数的情况数，使概率相等。 【规范解答】（1）判断游戏是否公平 首先列出所有抽取组合及积： ，，，，，， 分类统计： 只是2的倍数（小宇胜）：28、32、56（共3种） 只是3的倍数（小恒胜）：21（共1种） 既是2又是3的倍数（重来）：12、24（共2种） 小宇获胜概率：，小恒获胜概率：。因为，所以这个游戏不公平。 （2）把8换成6，此时乘积有12、28、24、21、18、42 六个数： 只是2的倍数的有：28（共1种） 只是3的倍数的有：21（共1种） 既是2又是3的倍数（重来）有：12、24、18、42（共3种） 小宇获胜概率：，小恒获胜概率：。 ＝，小宇小恒胜率相等，游戏变得公平。 【奥数拓展六】简单事件发生的可能性求解 【典例精讲】（25-26五年级上·全国·阶段检测）盒子里装着20支圆珠笔，其中有5支红色的，7支蓝色的，8支黑色的。从中随意抽出4支，每种颜色的笔都被抽出的概率是多少？ 【答案】 【思路引导】20支笔从中选出4支笔，总共20×19×18×17÷（4×3×2×1）种不同选法，每种颜色的笔都被抽出的情况是： ①2支红色1支蓝色1支黑色（5×4÷2）×7×8＝560种， ②1支红色2支蓝色1支黑色5×（7×6÷2）×8＝840种 ③1支红色1支蓝色2支黑色5×7×（8×7÷2）＝980种。 将所有的情况种类加在一起除以总共的选法即可求出种颜色的笔都被抽出的概率是多少。 【规范解答】（5×4÷2）×7×8＋5×（7×6÷2）×8＋5×7×（8×7÷2） ＝10×7×8＋5×21×8＋5×7×28 ＝560＋840＋980 ＝2380（种） 20×19×18×17÷（4×3×2×1） ＝116280÷24 ＝4845（种） 所以一共有2380种满足条件的概率是2380÷4845＝ 答：每种颜色的笔都被抽出的概率是。 【考点剖析】先计算出20支笔选出4支的种数，再计算出3种颜色都有的种数，然后用三种颜色都有的种数除以总种数即可求出每种颜色都被抽出的概率。 【举一反三练习1】学校门口经常有小贩搞摸奖活动。某小贩在一只黑色口袋里装有颜色不同的50只小球，其中红球1只，黄球2只，绿球10只，其余为白球。搅拌均匀后，每2元摸1个球，奖品的情况标注在球上（如图）。如果花4元钱，同时摸2个球，那么获10元奖品的概率为______。 【答案】 【思路引导】同时摸2个球，那么获10元奖品只能是摸出两个黄色的球，从50个球里面摸出2个球有1225种方法，从2个黄球中摸出2个只有1种方法，1除以1225得到获10元奖品的概率。 【规范解答】（种） 【考点剖析】本题也可以分别求出第一次摸出黄球的概率，再求出第二次摸出黄球的概率，相乘得到一次摸出2个黄球的概率。 【举一反三练习2】口袋里有6个标有数字1，2，3，4，5，6的小球。     （1）任意摸出一个球，有________种可能结果，每种结果出现的可能性都是________。     （2）任意摸出一个球：是单数的可能性是________，是双数的可能性是________。小于3的可能性是________，大于3的可能性是________。     （3）任意摸出两个球，两数和有________种可能。两数和是单数的可能性是________，是双数的可能性是________；大于6的可能性是________，小于6的可能性是________。 【答案】 6 9 【思路引导】（1）有几种球，任意摸出一个球就有几种可能结果，每种结果出现的可能性都相等； （2）判断出单数和双数的个数，判断出小于3的个数，大于3的个数，用除法计算，用分数表示可能性的大小； （3）计算出任意两个数的和，排除重复的，确定共有几种和。判断出两个数的和是单数的个数，双数的个数，大于6的个数，小于6的个数，然后用分数表示可能性的大小。 【规范解答】（1）共有6个小球，因此任意摸出一个球，有6种可能结果，每种结果出现的可能性都是1÷6＝； （2）单数有3个，是单数的可能性是3÷6＝；双数有3个，是双数的可能性是；小于3的数有2个，小于3的可能性是；大于3的数有3个，大于3的可能性是； （3）和有1＋2＝3，1＋3＝4，1＋4＝5，1＋5＝6，1＋6＝7，2＋3＝5，2＋4＝6，2＋5＝7，2＋6＝8，3＋4＝7，3＋5＝8，3＋6＝9，4＋5＝9，4＋6＝10，5＋6＝11，除去重复的和有3、4、5、6、7、8、9、20、11，两个数的和公9种可能，单数有5个，两个数的和是单数的可能性是， 双数有4个，两个数的和是双数的可能性是；大于6的有5个，大于6的可能性是；小于6的有3个，小于6的可能性是。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $