精品解析：北京市丰台区2026-2027学年第一学期期中练习高二数学试卷

2026-2027学年度第一学期期中练习高二数学 考试时间：120分钟 第I卷（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以，所以解得. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用倾斜角与斜率的关系计算即可. 【详解】设该直线的倾斜角为，则，所以. 3. 圆心为且过点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出半径，可写出标准方程． 【详解】由题意半径为， 圆标准方程为． 故选：B. 【点睛】本题考查圆的标准方程．求出圆心坐标和半径是求圆标准方程的基本方法． 4. 如图，在平行六面体中，与交于点，设，，，则与向量相等的是（ ）    A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算计算即可. 【详解】易知 . 5. 已知直线，，若，则实数（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】因为，故. 6. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可知，要使直线与平面垂直，即求直线的方向向量和平面的法向量共线即可，结合向量坐标即得. 【详解】直线的方向向量为，平面的法向量为，要使，则. 对于A，由，向量不共线，所以不能使， 故错误； 对于B，由，向量不共线，所以不能使， 故错误； 对于C，，，则，所以，所以，故正确； 对于D，由，向量不共线，所以不能使， 故错误. 7. 如图，正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，则直线与平面所成角的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】取的中点，连接，如图所示， 在等边三角形中，由为的中点，则， 又平面，平面，所以， 由，平面，则平面， 所以斜线在平面内的射影为， 所以为直线与平面所成的角， 由正三棱柱的底面边长为，侧棱长为， 所以， 在等边三角形中有：， 在直角中，， 又，所以， 所以直线与平面所成角的大小是. 8. 直线被圆所截得的弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出直线恒过的定点，写出圆的圆心和半径，判断定点在圆内部；利用弦长公式说明：当圆心与定点连线和动直线垂直时，弦心距最大，弦长最小，由弦长公式即可求出其最小值. 【详解】∵直线 直线恒过定点 ， 由，圆心 ，半径 ， ∴，即点在圆内， 故当 与该 直线垂直时，弦心距最大，则弦长最小 此时弦长最小值为. 9. 已知圆：与圆：，过动点分别作圆、圆的切线、(、分别为切点），若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用与全等，得到，得出点在线段的垂直平分线上，又由表示与两点间的距离，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由题意，在与中，，， 所以与全等，所以有， 则在线段的垂直平分线上， 根据、可求得其垂直平分线为， 又由表示与两点间的距离， 所以最小值就是到的距离， 由点到直线的距离公式，可得， 即的最小值. 故选：B. 【点睛】把表示与两点间的距离，转化为点到的距离是解答的关键，着重考查转化思想. 10. 古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆．人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，记动点所构成的曲线为，给出下列四个结论： ①的轨迹方程为； ②在上存在点，满足； ③若直线：，则上的点到直线距离的最大值为； ④若上至少有个点到直线的距离等于，则的取值范围为． 其中所有正确结论的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由距离比求出阿波罗尼斯圆的方程，再分别对四个结论逐一验证：通过轨迹方程判断两圆位置关系、利用直线过定点求距离最大值、根据圆上点到直线距离的个数条件列不等式求参数范围，最终统计正确结论的个数． 【详解】对于①，设动点，由，得， 代入，得， 展开整理，得，即，①正确； 对于②，设满足，平方得， 整理得，这是与⊙同心、半径为的圆， 两圆为同心圆且半径不同，无公共点，不存在满足条件的，②错误； 对于③，整理直线：为， 可知直线恒过定点， 圆心到定点的距离为， 圆心到直线的距离（直线与垂直时取等号）， 因此⊙上点到直线的最大距离为，③正确； 对于④，直线，即， 要使圆上至少个点到直线距离为，需圆心到直线的距离， 所以，解得，④错误． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 圆的圆心坐标为_________，半径为_________. 【答案】 ①. ②. 3 【解析】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程即可. 【详解】由即， 所以圆的圆心为，半径为. 12. 已知两条平行直线，，则与间的距离是___． 【答案】 【解析】 【分析】由平行线的距离公式求解 【详解】因为与平行，所以，得，，， 则与间的距离是. 13. 已知直线：，则直线的一个方向向量为_______． 【答案】（答案不唯一，所有与共线的非零向量均正确，如等）． 【解析】 【详解】因为直线：的斜率， 所以它的一个方向向量可以取. 14. 如图，在四面体中，已知，，，与所成角为，与所成角为，与所成角为，则与所成角的余弦值为_________． 【答案】 【解析】 【详解】，所以， 而， ， ， 且 所以. 15. 如图，在边长为的正方体中，是棱上的一个动点，给出下列四个结论： ①三棱锥的体积为定值； ②不存在点，使得平面； ③对每一个点，在棱上总存在一点，使得平面； ④点到的距离的最小值为． 其中正确结论的序号是_____． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】连接，求出三棱锥的体积可判断①；根据与不垂直可判断②；当点与点重合时，与平面相交可判断③；根据得异面直线之间的距离为1可判断④． 【详解】对于①，连接，因为平面， 所以上所有点到平面的距离相等，为， 因为，所以三棱锥的体积 为定值，故正确； 对于②，连接，因为，所以四边形为长方形， 所以与不垂直，故不存在点，使得平面，故正确； 对于③，当点与点重合时，与平面相交，故错误； 对于④，因为平面，平面，所以， 又，异面直线之间的距离为1， 所以当点在棱上运动时，点到的距离的最小值为，故正确． 故答案为：①②④ 【点睛】思路点睛：对于①，根据平面，得出上所有点到平面的距离相等，再求出，可得三棱锥的体积为定值. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知，，． （1）若，求； （2）求； （3）若向量与向量，共面，求实数的值． 【答案】（1） （2）7 （3） 【解析】 【分析】（1）因为，所以，再根据向量的数量积的运算求解 （2）由向量的模性质求解 （3）因为向量与向量，共面，所以设，再列方程求解 . 【小问1详解】 因为，所以，即. 所以，解得. 【小问2详解】 因为， 所以. 【小问3详解】 因为向量与向量，共面，所以设. 所以，所以，解得. 17. 已知△的三个顶点，，. （1）求边所在直线的方程； （2）求边上的中线所在直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两点求出直线的斜率，再结合点用直线的斜截式方程即可求解； （2）求出中点坐标，利用斜率公式求出斜率，再写出直线的点斜式方程即可求解． 【小问1详解】 因为边过，两点，所以， 所以边的方程为，即； 【小问2详解】 设的中点，则，，所以， 因为边的中线过点，且， 所以边上的中线的直线方程为，即． 18. 已知圆，圆. （1）判断圆和圆的位置关系； （2）过点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】（1）圆和圆相交. （2）或. 【解析】 【分析】（1）求出两圆的圆心距，再比较其与的大小关系，从而确定两圆的位置关系； （2）当过点的切线斜率不存在时，切线方程为，符合题意；当过点的切线斜率存在时，设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出方程，求得的值即可求解． 【小问1详解】 圆方程可整理为：， 则圆心，半径， 由圆方程可知：圆心，半径， 因为， 所以，所以圆和圆相交； 【小问2详解】 当过的切线斜率不存在时，即为时，其与圆相切； 当切线斜率存在时，可设所求切线的方程为：，即， 所以圆心到切线的距离，即，解得：， 代入切线方程得：， 综上，切线的方程为：或． 19. 如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，且，为的中点． （1）求证：直线平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）连接，设交于点，连接， 因为正方形，所以为中点， 因为为的中点， 所以为△的中位线， 所以， 因为平面，平面， 所以直线平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于 O，利用三角形中位线证，结合线面平行判定定理完成证明； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用法向量夹角公式算出二面角的余弦值； （3）沿用前面求出的平面的法向量，代入点到平面距离公式计算B到平面的距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面为正方形，所以， 因为平面，又因为平面， 所以，，故可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 设为平面的一个法向量， 又因为，， 所以，令，可得，， 所以， 由轴平面，故平面的法向量可为， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 由（2）知，为平面的一个法向量， 因为，所以点到平面的距离为． 20. 在平面直角坐标系中，已知圆的半径为. 条件①：圆经过点与点； 条件②：圆心是直线与直线的交点； 条件③：圆经过点，且圆心在轴上. 从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得圆存在且唯一确定，完成下列问题： （1）求圆的方程； （2）已知点，直线与圆交于，两点，若四边形为平行四边形，求的值. 注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）条件①不符题意，可选择条件②（或条件③），圆的方程为 （2）. 【解析】 【分析】（1）通过代入点求方程可求出条件①不满足题意，条件②可直接求出圆心坐标，条件③可通过半径求出圆心坐标，即可求得圆方程； （2）设，，通过四边形为平行四边形得出，，再通过点差法可求出直线方程，再通过直线方程与圆方程联立即可得出，即可求解. 【小问1详解】 若选择条件①，设圆心， 由题意得， 解得或，圆不能唯一确定， 故条件①不符题意. 若选择条件②，求两直线的交点坐标， 由题意得， 解得，即圆心为， 所以圆的方程为：. 若选择条件③，设圆心， 由题意得，解得， 所以圆的方程为：. 【小问2详解】 圆的方程为：，圆心， 因为四边形为平行四边形，所以中点即为中点， 因为，，所以中点为， 设，，则有，， 因为在圆上， 所以，得到，所以， 因为中点在上，所以直线， 有， 解得，，所以， 所以，， 所以. 21. 对于任意集合，定义函数，对于任意两个集合，，定义.已知，. （1）写出和的值； （2）用表示有限集合中元素的个数，求 的最小值； （3）有多少个集合对，满足，，且 【答案】（1），． （2）4 （3）128 【解析】 【分析】（1）通过新定义可求值； （2）首先得出且,且两种情况下的结论，据此结论找出满足条件的集合，从而求出的最小值； （3）由，，且求出集合，所满足的条件，进而确定集合对的个数. 【小问1详解】 ，． 【小问2详解】 对于集合，， 且，则； 且，则. 所以要使的值最小， ，，一定属于集合；，，，是否属于不影响 的值； 集合不能含有之外的元素. 所以当为集合的子集与集合的并集时，取到最小值. 【小问3详解】 因为， 所以.由定义可知：. 对任意元素，有， . 所以，所以. 由知：. 所以. 所以，所以，即. 因为，， 所以满足题意的集合对的个数为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期期中练习高二数学 考试时间：120分钟 第I卷（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 圆心为且过点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平行六面体中，与交于点，设，，，则与向量相等的是（ ）    A. B. C. D. 5. 已知直线，，若，则实数（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，则直线与平面所成角的大小是（ ） A. B. C. D. 8. 直线被圆所截得的弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知圆：与圆：，过动点分别作圆、圆的切线、(、分别为切点），若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 10. 古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆．人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，记动点所构成的曲线为，给出下列四个结论： ①的轨迹方程为； ②在上存在点，满足； ③若直线：，则上的点到直线距离的最大值为； ④若上至少有个点到直线的距离等于，则的取值范围为． 其中所有正确结论的个数为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 圆的圆心坐标为_________，半径为_________. 12. 已知两条平行直线，，则与间的距离是___． 13. 已知直线：，则直线的一个方向向量为_______． 14. 如图，在四面体中，已知，，，与所成角为，与所成角为，与所成角为，则与所成角的余弦值为_________． 15. 如图，在边长为的正方体中，是棱上的一个动点，给出下列四个结论： ①三棱锥的体积为定值； ②不存在点，使得平面； ③对每一个点，在棱上总存在一点，使得平面； ④点到的距离的最小值为． 其中正确结论的序号是_____． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知，，． （1）若，求； （2）求； （3）若向量与向量，共面，求实数的值． 17. 已知△的三个顶点，，. （1）求边所在直线的方程； （2）求边上的中线所在直线的方程． 18. 已知圆，圆. （1）判断圆和圆的位置关系； （2）过点作圆的切线，求切线的方程. 19. 如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，且，为的中点． （1）求证：直线平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 20. 在平面直角坐标系中，已知圆的半径为. 条件①：圆经过点与点； 条件②：圆心是直线与直线的交点； 条件③：圆经过点，且圆心在轴上. 从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得圆存在且唯一确定，完成下列问题： （1）求圆的方程； （2）已知点，直线与圆交于，两点，若四边形为平行四边形，求的值. 注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 21. 对于任意集合，定义函数，对于任意两个集合，，定义.已知，. （1）写出和的值； （2）用表示有限集合中元素的个数，求 的最小值； （3）有多少个集合对，满足，，且 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $