数学一模模拟·一轮巩固卷02（北京专用）学易金卷：2027年高考第一次模拟考试

2027年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分 ：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 1.【答案】B 【解析】由题意，，，所以，即B选项正确. 故选：B 2．若复数满足，则（  ） A． B． C． D． 2.【答案】C 【解析】， 故选：C 3．下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 3.【答案】A 【解析】对于A，函数在上单调递增，在单调递减， 故由复合函数单调性法则（同增异减）得在上单调递减，故正确； 对于B，， 由二次函数性质在上单调递减，在上单调递增，故错误； 对于C，由反比例函数性质知在上单调递增，故错误； 对于D，， 故函数在上单调递减，在上单调递增，故错误； 故选：A 4．已知双曲线的焦距为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 4.【答案】B 【解析】由题意可得，，焦点为，则，解得，又， 则双曲线的渐近线方程为，则焦点到渐近线的距离为． 故选：B． 5．（改编题），则（   ） A．16 B．65 C．80 D．81 5.【答案】C 【解析】由于，则， 令，得，又因为，所以. 故选：C． 6．已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（   ） A．2 B．4 C． D．0 6.【答案】D 【解析】记向右方向的单位向量为，向上方向的单位向量为，则，，， 所以. 故选：D 7．已知数列，则“，（k为常数）”是“为等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7.【答案】B 【解析】若，则的奇数项和偶数项分别成等差数列，不一定为等差数列， 如通项公式为的数列，满足，不是等差数列； 反之，若为等差数列，设其公差为，则，即符合条件， 所以“，（k为常数）”是“为等差数列”的必要不充分条件. 故选：B 8．在中，内角、、的对边分别为、、，，，则（    ） A． B． C． D． 8.【答案】D 【解析】因为，，则，所以，由正弦定理可得， 则，所以，所以，故，所以， 因为为钝角，为锐角，所以，则， ，则，故ABC错，D对. 故选：D 9．（热点）在深度学习模型训练中，模型的训练损失值会随训练轮次增加而逐渐下降．当损失值低于初始损失值的时就要对模型进行调整，假设某深度学习模型的训练损失值（为初始损失值，t为训练轮次，k为衰减系数），已知训练到第10轮时（当时），训练损失值降至初始损失值的，则训练到第几轮就要对模型调整（参考数据）（   ） A．24 B．35 C．47 D．100 9.【答案】C 【解析】因为，所以当时，，即，解得，即， 所以，所以，所以，解得， 所以训练到第47轮就要对模型调整. 故选：C 10．设函数，若点为函数图象的一个对称中心，且在上的最大值为2，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．7 D．10 10.【答案】C 【解析】， 点是的对称中心，因此，代入得 ， 即，整理得； 当时，， 而根据解析式可知最大值为， 说明区间必须包含，因此 ， 解得； 结合且，时，，不满足；时，，满足条件. 因此的最小值为. 故选：C 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11. 函数的定义域为__________． 11.【答案】 【解析】由，解得且，则函数的定义域为. 故答案为： 12．过点作圆的切线，则切线长为___________． 12.【答案】3 【解析】圆，即的圆心，半径， 点，，所以所求切线长为. 故答案为：3 13．（新情景）在乐律学中，将一个纯五度音程分成7份得到8个音级，这8个音级的频率构成公比为的等比数列，则________；为研究纯五度音程与纯四度音程的关系，从该等比数列中寻找两项，，使得最小，则________．（参考数据：） 13.【答案】； 【解析】由题意；由， 令，得，从而 从而. 故答案为：； 14．（新考法）由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体（如图），  ，分别在上，满足，则几何体的体积为__________；___________. 14.【答案】； 【解析】几何体看作以为公共底面的两个三棱锥和的组合， 又因为在正四棱台中，，， 所以，又因为，连接，则为等腰直角三角形， 其面积为：， 连接，交于点，连接，交于点，则垂直于面且为三棱锥的高，平移到，则，即四边形是平行四边形， 所以， 又因为四边形是正方形，所以，分别是，的中点， 且，为等腰直角三角形， 所以，， ， 在直角三角形中，由勾股定理可得， 所以几何体的体积, 连接，交于点，连接，， 由题意可得，几何体是由两个全等的正四棱台组合， 所以平行且，所以四边形是平行四边形， 所以，且平行， 又因为是两个全等的正四棱台组合的组合体的高， 所以，为直角三角形，由勾股定理可得： . 故答案为：，. 15. 已知奇函数的定义域为，若对任意实数，都有，且当时，，则下列结论中正确的是________．（填入编号） ①； ②函数是周期函数； ③函数在区间上的零点个数是7个； ④对任意正整数n，． 15.【答案】②③④ 【解析】由，令，得：，． ∵为奇函数，，，，所以①错误，②正确； 函数在区间上的零点个数等价为的左右两函数的交点个数，分别作出与的图像如下所示： 由图像易知有7个交点，所以③正确； 对，由对称性可知：关于对称， 所以， 又大于0，，小于0，， 所以， 所以④正确． 故答案为：②③④ 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（13分） 已知函数两个相邻零点的距离为，且. （1）求、的值； （2）设，求的单调递增区间. 16．（13分） 【解析】（1）因为函数两个相邻零点的距离为， 故函数的最小正周期为，所以，即， 又因为，故. （2）因为 ， 由可得， 故函数的单调递增区间为. 17．（13分） 如图，在五面体中，为正方形，为矩形，，． （1）求证：∥平面； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使五面体存在且唯一确定．求直线与平面所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17．（13分） 【解析】(1)证明：因为四边形为正方形，所以∥且， 又因为四边形为矩形，所以∥且，因此∥且， 所以四边形是平行四边形，故∥， 又因为平面，平面，所以∥平面. （2）选择条件①： 由，又因为， ，平面，故平面， 因为，所以以为原点，分别以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，由，得：，，，， 则，，， 设平面的法向量为，则：， 令，解得，，得， 设直线与平面所成角为， 由线面角公式：. 选择条件②：因为 所以以 为原点，为 轴，为 轴，平面的法向量为 轴，建立空间直角坐标系 设，，，，由得 ， 由 得 ，即：， 化简得 ，代入 可得： （），所以，， ，， 设平面 的法向量为，则: ， 令，得，，即， ，设直线与平面所成角为， 由线面角公式可得：. 选择条件③：以为原点，为 轴，为 轴，平面的法向量为 轴，建立空间直角坐标系，由已知条件可得：，，，， 因为是矩形，所以，， 设，则 ， 是向量 与的夹角， 又因为，为锐角， 故， 由数量积公式可得： ， 将代入方程化简得： ，解得或 ​， 当时，，则， 当时，，则， 所以，， 当时：，五面体不唯一，不合题意. 18．（14分） （新情景）为了调查“AI赋能教学活动”的实施效果是否达到预期，对甲、乙两个学区的教师进行简单随机抽样，获得评价数据如下表： 学区 甲 乙 性别 男 女 男 女 达到预期 260人 200人 240人 190人 未达到预期 190人 150人 60人 110人 假设所有教师的评价相互独立.用频率估计概率. (1)估计甲学区教师的评价为“达到预期”的概率； (2)若教师的评价为“达到预期”，则赋分为5；若教师的评价为“未达到预期”，则赋分为0. （i）从这两个学区的所有男教师中随机抽取2人，所有女教师中随机抽取1人，记随机变量X为这3人的赋分之和，估计X的数学期望； （ii）记甲学区样本赋分的方差为，乙学区样本赋分的方差为，两学区所有样本赋分的方差为.比较，，的大小.（结论不要求证明） 18．（14分） 【解析】（1）解：设甲学区的教师评价为“达到预期”为事件， 由表格中的数据，甲学区教师的总人数为人， 其中评价为“达到预期”的人数为人， 所以，即估计甲学区教师评价为“达到预期”的概率为. （2）解：（i）由表格中的数据得，男教师达到预期的概率为， 女教师达到预期的概率为， 根据题意，随机变量的可能取值为， 可得， ， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 5 10 15 所以期望为. （ii）甲学区赋分为5的概率为，乙学区赋分为5的概率为， 两个学区所有样本赋分为5的概率为， 赋分数据为0或5时，其样本方差为， 由， ，， 因为，可得， 又由，所以. 19．（15分） 已知椭圆的离心率为，以椭圆E的短轴端点和焦点为顶点的四边形的周长为8． （1）求椭圆E的方程； （2）设O为坐标原点，过点（）且不与y轴平行的直线l与椭圆E交于不同的两点A、B，点B关于x轴的对称点为C，直线AC与x轴交于点D，设和的面积分别为，，当时，求t的值． 19．（15分） 【解析】（1）已知椭圆，离心率， 以短轴端点和焦点为顶点的四边形是菱形，边长均为，周长为，得，因此​， 由椭圆关系，故椭圆的方程为 . （2）设直线的方程为，，，则， 联立直线与椭圆方程： ，整理得， 由韦达定理得： ， 根据两点式得直线的方程为，令，得 ， 将代入点横坐标， 化简得 即， ， ， 由题知，故， 化简得，又，所以，解得. 20．（15分） 已知函数，直线l为曲线在点处的切线．O为坐标原点． （1）求函数的单调区间； （2）设，研究函数的零点个数； （3）若l与x轴、y轴分别交于点A，B，且为等腰直角三角形，求的面积． 20．（15分） 【解析】（1）定义域：，函数求导得.令，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上所述, 单调递减区间为：，单调递增区间为：. （2）由题可知， 所以研究函数的零点个数等价于研究的零点个数. ，令得. ，，单调递减； ，，单调递增. 所以函数有极小值同时也为最小值. 故恒成立，所以无零点. （3）函数求导得. 所以，切线：. 化简得. 所以由题可知分别令可得，. 为等腰直角三角形，且，故. 即， 因为，所以化简得. 若 即 . 代入：左边 ,右边 . 此时 都与原点重合,不能构成三角形,舍去. 若两边约去 ,得： 令 ,则 ,方程变为：. 情况1: ,即 , 设 , 时, , , 单调递增. 因为 ,故唯一解 即 ,此时 ,. 等腰直角三角形面积. 情况2: ,即 , 设 , 单调递增; , , 单调递减。 函数 有极大值同时也为最大值 . 所以 恒成立,方程无解. 综上,方程只有唯一解 , , ,面积 . 21.（15分） （改编题）设是如下形式的行列的数表， 其中位于第行第列的数为，且满足时，，时，． 已知集合． 给定数表和序列：，，…，，其中，对数表进行如下变换：将的减1，加1，其余各项不变，记为；将的减1，加1，其余各项不变，记为；以此类推得到…，简记为． 记，即数表的第行各数之和． （1）当时，给定序列：，，写出，，； （2）若序列：，，…，各项互不相同，且满足第三分量等于的项至多有个． （ⅰ）当时，是否存在序列：，，…，，使得，若存在，写出一个符合条件的序列，若不存在，说明理由； （ⅱ）求的最大值，使得存在序列：，，…，，满足． 21.（15分） 【解析】（1）当时，由题意得, 行和依次变化为，. （2）（ⅰ）不存在，当时，初始行和为，总和始终为，考察首位差，只有能使增加2.其余操作最多使其增加1，按第三分量分组： 第三分量 最大增量的依据 增量上界 不能涉及第1行，且至多操作1次 1 至多1次，另一次最多增加1 3 至多1次，其余两次各最多增加1 4 有利操作只有各至多1次 2 因此， 假设最终行和严格递增，记为，且，四个数都是整数，故， 首位差为3时，四个数只能是连续的整数，其和为，不可能等于， 首位差为4时，结合总和为，唯一可能是， 要达到，上表每组都必须达到最大增量， 组必须采用，对第2行的净影响为0， 组必须包含，且不能再采用使减少的操作，其中第2行先增加1，即使再采用，也只能减少1，所以这一组不能使第2行净影响减少， 组不能改变第2行， 组最多使第2行减少1，，与所需的矛盾. （ⅱ）先证上界， 对，初始时，总操作次数满足， 只有能使增加2，其余操作最多增加1，前者对应的三元组只能为，其中，故最多有次， 因此， 当时，右侧不大于，无法满足，， 再构造的合法序列， 初始首位差为，各组分别选中如下操作： 组选，使增加1， 各组先选，使增加2，再补上个各使增加1的操作，具体可选为： 先选这一次 再选这些操作 操作数 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 表中后列的操作都是让第1行减1，或让第7行加1，所以每个操作均使增加1， 每组共次，使增加， 先选，再选只说明选取方式，实际执行顺序不影响最终行和， 组选共5次，不超过7次，使增加5， 各组三元组互不相同，均满足，各组操作数依次为，均未超过对应的， 最终，故可以实现， 结合上界. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ 2027年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 6 准考证号： 注意事项 1. 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 目 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 典 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 此栏考生禁填 缺考口 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题4分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[AJ[B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 叔 3[A][B1[C1[D1 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 二、 填空题（每小题5分，共25分） 11 12. 13 14 妇 15. 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(13分) 剂 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(13分) F 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） (道9并)道S熊点谁 :必壬耄品，海习马的到狂鲜毋盖用避‘易锡海习璐品阴目酷号平巢 (女SI)·0z :壬盖易阳海☒马的到狂联毋黉用理‘是卦海☒醋号目晴艺安 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2027年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2027年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则（  ） A． B． C． D． 3．下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的焦距为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（改编题），则（   ） A．16 B．65 C．80 D．81 6．已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（   ） A．2 B．4 C． D．0 7．已知数列，则“，（k为常数）”是“为等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．在中，内角、、的对边分别为、、，，，则（    ） A． B． C． D． 9．（热点）在深度学习模型训练中，模型的训练损失值会随训练轮次增加而逐渐下降．当损失值低于初始损失值的时就要对模型进行调整，假设某深度学习模型的训练损失值（为初始损失值，t为训练轮次，k为衰减系数），已知训练到第10轮时（当时），训练损失值降至初始损失值的，则训练到第几轮就要对模型调整（参考数据）（   ） A．24 B．35 C．47 D．100 10．设函数，若点为函数图象的一个对称中心，且在上的最大值为2，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．7 D．10 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11. 函数的定义域为__________． 12．过点作圆的切线，则切线长为___________． 13．（新情景）在乐律学中，将一个纯五度音程分成7份得到8个音级，这8个音级的频率构成公比为的等比数列，则________；为研究纯五度音程与纯四度音程的关系，从该等比数列中寻找两项，，使得最小，则________．（参考数据：） 14．（新考法）由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体（如图），  ，分别在上，满足，则几何体的体积为__________；___________. 15. 已知奇函数的定义域为，若对任意实数，都有，且当时，，则下列结论中正确的是________．（填入编号） ①； ②函数是周期函数； ③函数在区间上的零点个数是7个； ④对任意正整数n，． 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（13分） 已知函数两个相邻零点的距离为，且. （1）求、的值； （2）设，求的单调递增区间. 17．（13分） 如图，在五面体中，为正方形，为矩形，，． （1）求证：∥平面； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使五面体存在且唯一确定．求直线与平面所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（14分） （新情景）为了调查“AI赋能教学活动”的实施效果是否达到预期，对甲、乙两个学区的教师进行简单随机抽样，获得评价数据如下表： 学区 甲 乙 性别 男 女 男 女 达到预期 260人 200人 240人 190人 未达到预期 190人 150人 60人 110人 假设所有教师的评价相互独立.用频率估计概率. (1)估计甲学区教师的评价为“达到预期”的概率； (2)若教师的评价为“达到预期”，则赋分为5；若教师的评价为“未达到预期”，则赋分为0. （i）从这两个学区的所有男教师中随机抽取2人，所有女教师中随机抽取1人，记随机变量X为这3人的赋分之和，估计X的数学期望； （ii）记甲学区样本赋分的方差为，乙学区样本赋分的方差为，两学区所有样本赋分的方差为.比较，，的大小.（结论不要求证明） 19．（15分） 已知椭圆的离心率为，以椭圆E的短轴端点和焦点为顶点的四边形的周长为8． （1）求椭圆E的方程； （2）设O为坐标原点，过点（）且不与y轴平行的直线l与椭圆E交于不同的两点A、B，点B关于x轴的对称点为C，直线AC与x轴交于点D，设和的面积分别为，，当时，求t的值． 20．（15分） 已知函数，直线l为曲线在点处的切线．O为坐标原点． （1）求函数的单调区间； （2）设，研究函数的零点个数； （3）若l与x轴、y轴分别交于点A，B，且为等腰直角三角形，求的面积． 21.（15分） （改编题）设是如下形式的行列的数表， 其中位于第行第列的数为，且满足时，，时，． 已知集合． 给定数表和序列：，，…，，其中，对数表进行如下变换：将的减1，加1，其余各项不变，记为；将的减1，加1，其余各项不变，记为；以此类推得到…，简记为． 记，即数表的第行各数之和． （1）当时，给定序列：，，写出，，； （2）若序列：，，…，各项互不相同，且满足第三分量等于的项至多有个． （ⅰ）当时，是否存在序列：，，…，，使得，若存在，写出一个符合条件的序列，若不存在，说明理由； （ⅱ）求的最大值，使得存在序列：，，…，，满足． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共40分） 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C A B C D B D C C 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11． 12． 13． ； 14．； 15．②③④ 三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 16．（13分） 【解析】（1）因为函数两个相邻零点的距离为， 故函数的最小正周期为，所以，即， 又因为，故.（6分） （2）因为 ，（10分） 由可得， 故函数的单调递增区间为.（13分） 17．（13分） 【解析】(1)证明：因为四边形为正方形，所以∥且， 又因为四边形为矩形，所以∥且，因此∥且， 所以四边形是平行四边形，故∥， 又因为平面，平面，所以∥平面.（6分） （2）选择条件①： 由，又因为， ，平面，故平面， 因为，所以以为原点，分别以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，由，得：，，，， 则，，， 设平面的法向量为，则：， 令，解得，，得， 设直线与平面所成角为， 由线面角公式：.（13分） 选择条件②：因为 所以以 为原点，为 轴，为 轴，平面的法向量为 轴，建立空间直角坐标系 设，，，，由得 ， 由 得 ，即：， 化简得 ，代入 可得： （），所以，， ，， 设平面 的法向量为，则: ， 令，得，，即， ，设直线与平面所成角为， 由线面角公式可得：.（13分） 选择条件③：以为原点，为 轴，为 轴，平面的法向量为 轴，建立空间直角坐标系，由已知条件可得：，，，， 因为是矩形，所以，， 设，则 ， 是向量 与的夹角， 又因为，为锐角， 故， 由数量积公式可得： ， 将代入方程化简得： ，解得或 ​， 当时，，则， 当时，，则， 所以，， 当时：，五面体不唯一，不合题意. （13分） 18．（14分） 【解析】（1）解：设甲学区的教师评价为“达到预期”为事件， 由表格中的数据，甲学区教师的总人数为人， 其中评价为“达到预期”的人数为人， 所以，即估计甲学区教师评价为“达到预期”的概率为.（4分） （2）解：（i）由表格中的数据得，男教师达到预期的概率为， 女教师达到预期的概率为， 根据题意，随机变量的可能取值为， 可得， ， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 5 10 15 所以期望为.（10分） （ii）甲学区赋分为5的概率为，乙学区赋分为5的概率为， 两个学区所有样本赋分为5的概率为， 赋分数据为0或5时，其样本方差为， 由， ，， 因为，可得， 又由，所以.（14分） 19．（15分） 【解析】（1）已知椭圆，离心率， 以短轴端点和焦点为顶点的四边形是菱形，边长均为，周长为，得，因此​， 由椭圆关系，故椭圆的方程为 .（5分） （2）设直线的方程为，，，则， 联立直线与椭圆方程： ，整理得，（8分） 由韦达定理得： ， 根据两点式得直线的方程为，令，得 ， 将代入点横坐标， 化简得 即，（12分） ， ， 由题知，故， 化简得，又，所以，解得.（15分） 20．（15分） 【解析】（1）定义域：，函数求导得.令，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上所述, 单调递减区间为：，单调递增区间为：.（5分） （2）由题可知， 所以研究函数的零点个数等价于研究的零点个数. ，令得. ，，单调递减； ，，单调递增. 所以函数有极小值同时也为最小值. 故恒成立，所以无零点. （10分） （3）函数求导得. 所以，切线：. 化简得. 所以由题可知分别令可得，. 为等腰直角三角形，且，故. 即， 因为，所以化简得. 若 即 . 代入：左边 ,右边 . 此时 都与原点重合,不能构成三角形,舍去. 若两边约去 ,得： 令 ,则 ,方程变为：. 情况1: ,即 , 设 , 时, , , 单调递增. 因为 ,故唯一解 即 ,此时 ,. 等腰直角三角形面积. 情况2: ,即 , 设 , 单调递增; , , 单调递减。 函数 有极大值同时也为最大值 . 所以 恒成立,方程无解. 综上,方程只有唯一解 , , ,面积 . （15分） 21.（15分） 【解析】（1）当时，由题意得, 行和依次变化为，.（5分） （2）（ⅰ）不存在，当时，初始行和为，总和始终为，考察首位差，只有能使增加2.其余操作最多使其增加1，按第三分量分组： 第三分量 最大增量的依据 增量上界 不能涉及第1行，且至多操作1次 1 至多1次，另一次最多增加1 3 至多1次，其余两次各最多增加1 4 有利操作只有各至多1次 2 因此， 假设最终行和严格递增，记为，且，四个数都是整数，故， 首位差为3时，四个数只能是连续的整数，其和为，不可能等于， 首位差为4时，结合总和为，唯一可能是， 要达到，上表每组都必须达到最大增量， 组必须采用，对第2行的净影响为0， 组必须包含，且不能再采用使减少的操作，其中第2行先增加1，即使再采用，也只能减少1，所以这一组不能使第2行净影响减少， 组不能改变第2行， 组最多使第2行减少1，，与所需的矛盾. （10分） （ⅱ）先证上界， 对，初始时，总操作次数满足， 只有能使增加2，其余操作最多增加1，前者对应的三元组只能为，其中，故最多有次， 因此， 当时，右侧不大于，无法满足，， 再构造的合法序列， 初始首位差为，各组分别选中如下操作： 组选，使增加1， 各组先选，使增加2，再补上个各使增加1的操作，具体可选为： 先选这一次 再选这些操作 操作数 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 表中后列的操作都是让第1行减1，或让第7行加1，所以每个操作均使增加1， 每组共次，使增加， 先选，再选只说明选取方式，实际执行顺序不影响最终行和， 组选共5次，不超过7次，使增加5， 各组三元组互不相同，均满足，各组操作数依次为，均未超过对应的， 最终，故可以实现， 结合上界.（15分） 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则（  ） A． B． C． D． 3．下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的焦距为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（改编题），则（   ） A．16 B．65 C．80 D．81 6．已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（   ） A．2 B．4 C． D．0 7．已知数列，则“，（k为常数）”是“为等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．在中，内角、、的对边分别为、、，，，则（    ） A． B． C． D． 9．（热点）在深度学习模型训练中，模型的训练损失值会随训练轮次增加而逐渐下降．当损失值低于初始损失值的时就要对模型进行调整，假设某深度学习模型的训练损失值（为初始损失值，t为训练轮次，k为衰减系数），已知训练到第10轮时（当时），训练损失值降至初始损失值的，则训练到第几轮就要对模型调整（参考数据）（   ） A．24 B．35 C．47 D．100 10．设函数，若点为函数图象的一个对称中心，且在上的最大值为2，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．7 D．10 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11. 函数的定义域为__________． 12．过点作圆的切线，则切线长为___________． 13．（新情景）在乐律学中，将一个纯五度音程分成7份得到8个音级，这8个音级的频率构成公比为的等比数列，则________；为研究纯五度音程与纯四度音程的关系，从该等比数列中寻找两项，，使得最小，则________．（参考数据：） 14．（新考法）由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体（如图），  ，分别在上，满足，则几何体的体积为__________；___________. 15. 已知奇函数的定义域为，若对任意实数，都有，且当时，，则下列结论中正确的是________．（填入编号） ①； ②函数是周期函数； ③函数在区间上的零点个数是7个； ④对任意正整数n，． 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（13分） 已知函数两个相邻零点的距离为，且. （1）求、的值； （2）设，求的单调递增区间. 17．（13分） 如图，在五面体中，为正方形，为矩形，，． （1）求证：∥平面； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使五面体存在且唯一确定．求直线与平面所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（14分） （新情景）为了调查“AI赋能教学活动”的实施效果是否达到预期，对甲、乙两个学区的教师进行简单随机抽样，获得评价数据如下表： 学区 甲 乙 性别 男 女 男 女 达到预期 260人 200人 240人 190人 未达到预期 190人 150人 60人 110人 假设所有教师的评价相互独立.用频率估计概率. (1)估计甲学区教师的评价为“达到预期”的概率； (2)若教师的评价为“达到预期”，则赋分为5；若教师的评价为“未达到预期”，则赋分为0. （i）从这两个学区的所有男教师中随机抽取2人，所有女教师中随机抽取1人，记随机变量X为这3人的赋分之和，估计X的数学期望； （ii）记甲学区样本赋分的方差为，乙学区样本赋分的方差为，两学区所有样本赋分的方差为.比较，，的大小.（结论不要求证明） 19．（15分） 已知椭圆的离心率为，以椭圆E的短轴端点和焦点为顶点的四边形的周长为8． （1）求椭圆E的方程； （2）设O为坐标原点，过点（）且不与y轴平行的直线l与椭圆E交于不同的两点A、B，点B关于x轴的对称点为C，直线AC与x轴交于点D，设和的面积分别为，，当时，求t的值． 20．（15分） 已知函数，直线l为曲线在点处的切线．O为坐标原点． （1）求函数的单调区间； （2）设，研究函数的零点个数； （3）若l与x轴、y轴分别交于点A，B，且为等腰直角三角形，求的面积． 21.（15分） （改编题）设是如下形式的行列的数表， 其中位于第行第列的数为，且满足时，，时，． 已知集合． 给定数表和序列：，，…，，其中，对数表进行如下变换：将的减1，加1，其余各项不变，记为；将的减1，加1，其余各项不变，记为；以此类推得到…，简记为． 记，即数表的第行各数之和． （1）当时，给定序列：，，写出，，； （2）若序列：，，…，各项互不相同，且满足第三分量等于的项至多有个． （ⅰ）当时，是否存在序列：，，…，，使得，若存在，写出一个符合条件的序列，若不存在，说明理由； （ⅱ）求的最大值，使得存在序列：，，…，，满足． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $