精品解析：河北冀州中学2026-2027学年高一上学期第二次月考数学试题

2026级高一第二次月考 数学试题 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每小题5分共40分） 1. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，若，则（   ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知一元二次方程的两根为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 不等式的解集是（    ） A. B. C. D. 7. 若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于 的不等式 的解集不为，则实数 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分．全部选对6分，部分选对2分，有选错0分） 9. 下列命题中为假命题的是（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ， D. ， 10. 下列命题中，正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，且，则 C. 若，，则 D. 若，则 11. 已知关于x的不等式的解集是，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 不等式的解集是 D. 二次函数的零点是， 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每题5分共15分） 12. 计算：_________. 13. 已知，，若，且，则__________． 14. 若，且，则 的最小值为______ 四、解答题（共77分） 15. 解下列不等式： （1）； （2）； （3）． 16. 已知集合. （1）若的子集有两个，求实数的取值集合. （2）若且，求实数的取值集合. 17. 已知关于的一元二次方程的两个实根分别为，． （1），均为正根，求实数的取值范围； （2）若，满足，求实数的值． 18. 设函数． （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）当时，求关于的不等式的解集； （3）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 定义有限集的元素个数为，如，则．设集合，其中．对集合，定义它的“镜像集合”为．若，则称为的“镜离集”；若还满足，则称为的“完美镜离集”．记集合中所有元素之和为． （1）当，时，判断是否为的“完美镜离集”，并说明理由； （2）证明：若是的“镜离集”，则； （3）当时，求所有满足的的“完美镜离集”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026级高一第二次月考 数学试题 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每小题5分共40分） 1. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，其中， 所以，可得，故原不等式的解集为. 2. 设集合，，若，则（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先明确集合和集合的区间范围，再根据交集为空集的条件确定的取值范围即可. 【详解】因为，，， 所以. 故选：D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 4. 已知一元二次方程的两根为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】一元二次方程的两根为，， ， 故， 则． 5. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分类讨论法计算可得. 【详解】不等式，等价于或， 解得或， 即不等式的解集为. 故选：A 6. 不等式的解集是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：要使有意义，则， 解得 不等式两边同时平方得 解得或 所以， 所以不等式的解集是 7. 若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为， 由已知得，所以. 将与相加得： ，即，解得. 8. 若关于 的不等式 的解集不为，则实数 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按 、、 讨论；“解集不为空集”意味着存在使不等式成立． 【详解】①当时， 不成立，解集为，不合题意； ②当时，抛物线开口向上，要使 有解， 需 ，； ③当时，抛物线开口向下，充分大时函数值为负，解集必不为空集，符合． 综上所述，或． 二、多选题（每小题6分，共18分．全部选对6分，部分选对2分，有选错0分） 9. 下列命题中为假命题的是（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ， D. ， 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，任意都有，所以， 不存在满足的实数，错误； 对于B，由得，从而，不存在满足的正整数，故B错误； 对于C，任意都有，故C正确； 对于D，取，则； 若，则，与为无理数矛盾，所以，故D错误． 10. 下列命题中，正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，且，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，利用不等式的性质求解；选项B，举反例求解；选项C，作差法求解；选项D，利用不等式的性质求解. 【详解】选项A，因为，，所以， 因为，所以， 则，则，A正确； 选项B，举反例：，且， 换一组：，满足， ，此时，和命题 矛盾， B错误； 选项C，， 因为，所以分子分母都大于0，则，即，C正确； 选项D，若，所以，则， D正确. 11. 已知关于x的不等式的解集是，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 不等式的解集是 D. 二次函数的零点是， 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三个二次的关系，结合韦达定理用表示，再逐项求解判断. 【详解】由不等式的解集是， 得是方程的两个根，且， 则，即，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，不等式，解得或，C正确； 对于D，二次函数，即，其零点为，D错误. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每题5分共15分） 12. 计算：_________. 【答案】10 【解析】 【详解】 13. 已知，，若，且，则__________． 【答案】##1.5 【解析】 【详解】由，，，得， 即，则，即，则， 又，则， 所以. 14. 若，且，则 的最小值为______ 【答案】9 【解析】 【详解】由可得，由可得， 所以， 当且仅当时取等号，所以 的最小值为. 四、解答题（共77分） 15. 解下列不等式： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）； （2）R； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用分解因式的方法求解一元二次不等式. （2）化不等式右边为0，配方求出解集. （3）移项通分，再转化为一元二次不等式求解. 【小问1详解】 不等式化为：，解得或， 所以原不等式的解集为. 【小问2详解】 不等式化为：，则恒成立， 所以原不等式的解集为R. 【小问3详解】 不等式，则，解得， 所以原不等式的解集为. 16. 已知集合. （1）若的子集有两个，求实数的取值集合. （2）若且，求实数的取值集合. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意可得集合中只有一个元素，再分和两种情况讨论即可； （2）先根据求出，进而求出集合，再分和两种情况讨论即可. 【小问1详解】 因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素， 当时，则，符合题意， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； 【小问2详解】 因为，所以，解得， 所以， 当时，， 当时，， 因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值集合为. 17. 已知关于的一元二次方程的两个实根分别为，． （1），均为正根，求实数的取值范围； （2）若，满足，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）两根均为正根等价于判别式非负、两根之和为正、两根之积为正三个条件同时成立，用韦达定理转化为关于 的不等式组联立求解. （2）将 通分为 ，用韦达定理代入得到关于 的方程，求解后注意检验判别式与分母非零. 【小问1详解】 由韦达定理，得 ，. 方程有两个实根，故 ，解得 . ， 均为正根，需满足 ，且 . 由 ，得 或 . 三式联立，得 ，其中当 时 ，出现零根，不合题意，故左端取严格不等号. 【小问2详解】 由 ，得 ，即 . 整理得 ，因式分解得 ，解得 或 . 检验：当 时，，方程无实根，舍去； 当 时，，且 ，分式有意义，符合题意. 18. 设函数． （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）当时，求关于的不等式的解集； （3）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； （3） 【解析】 【分析】（1）通过，讨论即可求解； （2），，，，，讨论求解即可； （3）分离参数，结合基本不等式求解. 【小问1详解】 当时，，此时的解集为，成立； 当时，不等式的解集为，则，解得， 综上所述. 【小问2详解】 ，即为， 当时，，解得，即； 当时，即为， 对应方程的解为，， 当时，不等式为，且，不等式的解集为或，即； 当时，不等式为，且，不等式的解集为，即； 当时，，不等式为，解得，即； 当时，不等式为，且，不等式的解集为，即， 综上所述： 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 【小问3详解】 由已知对任意的，不等式恒成立， 即恒成立，即， 又时，恒成立， 则， 又，则，当且仅当时等号成立， 综上所述. 19. 定义有限集的元素个数为，如，则．设集合，其中．对集合，定义它的“镜像集合”为．若，则称为的“镜离集”；若还满足，则称为的“完美镜离集”．记集合中所有元素之和为． （1）当，时，判断是否为的“完美镜离集”，并说明理由； （2）证明：若是的“镜离集”，则； （3）当时，求所有满足的的“完美镜离集”． 【答案】（1）是的“完美镜离集”． 因为，所以．由镜像集合的定义， ，又，所以． 因为，所以是的“镜离集”， 且，所以是的“完美镜离集”． （2）由，得，即． 又因为，所以．根据“镜像集合”定义， 我们可以把中的元素分成组：，，，…，， 其中每组两数和都为． 若是的“镜离集”，则．那么中不能同时有组集合中的两个元素， 因为共分成组，每组至多选1个元素，所以，即：得证. （3），． 【解析】 【分析】（1）求出全集与，验证交集为空、并集为全集，判断是完美镜离集； （2）把元素分成n个镜像元素对，镜离集每组最多取 1 个，故元素个数不超过n； （3）时分成4组镜像对，由条件列式算出集合元素总和，列举得到两个符合条件集合. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，，可把中的元素分成4组：，，，． 因为，联立， 解得或19． 所有符合条件的集合为，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $