第5章 5.1.3 数据的直观表示-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

高中数学必修第二册人教B版 5.1.3数据 学习目标 1.通过具体实例，掌握常用的统计图表 的功能及其特点。 2.能根据实际问题的特点，选择恰当的 统计图表对数据进行可视化描述，体会合理： 使用数据图表的重要性 3.正确运用图表解决问题，培养学生数 据分析和直观想象的核心素养. 要点精析 要点1柱形图、折线图、扇形图、茎 叶图的应用 (1)柱形图：也称为条形图，可以形象 地比较各种数据之间的数量关系.一般地， 柱形图中，一条轴上显示的是所关注的数据 类型，另一条轴上对应的是数量、个数或者： 比例，柱形图中每一矩形都是等宽的 (2)折线图：一般地，如果数据是随时 间变化的，想了解数据的变化情况，可将数 据用折线图来表示 (3)扇形图：也称为饼形图，可以形象 地表示出各部分数据在全部数据中所占的 比例情况.扇形图中，每一个扇形的圆心角 以及弧长，都与这一部分表示的数据大小 成正比 (4)茎叶图：一般来说，茎叶图中，所 有的茎都竖直排列，而叶沿水平方向排列. 思考茎叶图的优缺点各是什么？ 例1某城市为了了解游客人数的变化规 40)学 的直观表示 律，提高旅游服务质量，收集并整理了2022 年1月至2024年12月期间月接待游客量（单 位：万人)的数据，绘制了如图5-1-1所示的 折线图.根据该折线图，下列结论错误的是 ( 月接待游客量万人 45 40 35- 30--- 25---------------- 0说234567890mD1234567890i124567890m 2022年 2023年 2024年 图5-1-1 A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8月 D.各年1月至6月的月接待游客量相对 于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 B变式训练① AQI即空气质量指数，AQI越小，表明 空气质量越好，当AQI不大于100时称空气 质量为“优良”.如图5-1-2是某市3月1日 到12日AQI的统计数据，则下列叙述正确 的是() ◆AQI 250 201 200- 150 144 10o38 104 ◆135 50 0LL上LLL上LLLL上L 今今8心$日期 图5-1-2 A.这12天的AQI的中位数是90 B.12天中超过7天空气质量为“优良” C.从3月4日到9日，空气质量越来越好 D.这12天的AQI的平均值为100 例2给出如图5-1-3所示的三幅统计 图及四个命题： 世界人口变化情况统计图 人口/亿 100H 80 60 40H 20F 195719741987199920252050年份 2050年世界人口分布预测图 欧洲 非洲 亚洲 北美洲 南美洲及 大洋洲 2050年世界人口预测图 人口/亿 60 50 30 20) 10 0 欧洲非洲北美洲南美洲亚洲 大洋洲 图5-1-3 ①从折线图能看出世界人口的变化情 况；②2050年非洲人口将达到大约15亿； ③2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和 还要多；④从1957年到2050年，各洲中北 美洲人口增长速度最慢， 其中命题正确的有( A.①② B.①③ C.①④ D.②④ 第五章统计与概率。 例3如图5-1-4是甲、乙两名同学在 六次数学小测试（满分100分）中得分情况 的茎叶图，则下列说法错误的是() 甲 乙 9 7 24 2 2 8 8 1 9 1 969 图5-1-4 A.甲得分的平均数比乙大 B.甲得分的极差比乙大 C.甲得分的方差比乙小 D.甲得分的中位数和乙相等 B变式训练2 某车间20名工人的年龄数据如下表. (1)求这20名工人年龄的众数与极差； (2)以十位数为茎、个位数为叶，作出 这20名工人年龄的茎叶图； (3)求这20名工人年龄的方差 年龄/岁 工人数/人 0 28 3 29 3 30 5 31 4 32 40 合计 30 学 (41 N 高中数学必修第二册人教B版 反思感悟1.柱形图是用一个单位长 度表示一定的数量，根据数量的多少画成 高度不同的小矩形，然后把这些小矩形按 照一定的顺序排列起来.其特点是便于看出 和比较各种数量的多少，即柱形图能清楚 地表示出每个项目的具体数目. 2.在绘制折线图时，可以先整理和观 察数据统计表，然后建立平面直角坐标系， 描出与数据相对应的，点，再顺次连接相邻 的点，就得到折线图.特别注意，画折线图 时，横轴、纵轴表示的实际含义要标明确. 3.扇形图是用整个圆面积表示总数 100%,用圆内的扇形面积表示各部分所占 总数的百分数 4.(1)画茎叶图时，用中间的数表示 数据的十位数和百位数，两边的数分别表 示两组数据的个位数.要先确定中间的数取 数据的哪几位，填写数据时边读边填.比较 数据时应从数据分布的对称性、中位数、 稳定性等方面来比较」 (2)绘制茎叶图的关键是分清茎和叶， 一般地说数据是两位数时，十位数字为“茎”， 个位数字为“叶”；如果是小数，通常把整数 部分作为“茎”，小数部分作为“叶”，解题时 要根据数据的特点合理选择茎和叶 川要点2频率分布直方图的应用 频数分布直方图的纵坐标是频数，每 一组数对应的矩形高度与频数成正比；频 率分布直方图的纵坐标是频率，每一组数 组距’ 对应的矩形高度与频率成正比，而且每个 矩形的面积等于这一组数对应的频率，从 42)学 而可知频率分布直方图中，所有矩形的面 积之和为1. 例4为了了解某校九年级1600名学 生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试 其1min仰卧起坐的成绩（次数），将数据 整理后绘制成如图5-1-5所示的频率分布直 方图，根据直方图的数据，下列结论错误的 是( 频率 组距 0.08 0.06 0.04 0.02 1520253035次数 图5-1-5 A.该校九年级学生1min仰卧起坐的次 数的中位数为26.25 B.该校九年级学生1min仰卧起坐的次 数的众数为27.5 C.该校九年级学生1min仰卧起坐的次 数超过30次的约有320人 D.该校九年级学生1min仰卧起坐的次 数少于20次的约有32人 分析本题利用频率分布直方图估计 数字特征 B变式训练3 某车站在春运期间为了了解旅客购票情 况，随机抽样调查了100名旅客从开始在售 票窗口排队到购到车票所用的时间t(以下 简称为购票用时，单位为min),下面是这 次调查统计分析得到的频率分布表和频率分 布直方图： 分组 频数 频率 一组 0≤t<5 0 0 二组 5≤t<10 10 0.10 三组 10≤tK15 10 ② 四组 15≤t<20 ① 0.50 五组 20≤t≤25 30 0.30 合计 0≤t≤25 100 1.00 1频案 组距 0.1- 0.06---- o 0.02 510152025购票用时min 图5-1-6 解答下列问题： (1)这次抽样的样本容量是多少？ (2)在表中填写出缺失的数据并补全频 率分布直方图 (3)旅客购票用时的平均数可能落在哪 一组？ 第五章统计与概率。 数学文化 例某学生兴趣小组随机调查了某市 100天中每天的空气质量等级和当天到某公 园锻炼的人次，整理数据得到下表（单 位：天)： 空气 锻炼人次 质量等级 [0,200] (200.4001 (400,600] 1(优) 2 16 25 2(良) 5 10 12 3(轻度污染)》 6 > 8 4(中度污染》 2 0 (1)分别估计该市一天的空气质量等级 为1,2,3,4的概率； (2)求一天中到该公园锻炼的平均人次 的估计值（同一组中的数据用该区间的中点 值为代表). 分析本题可以用频率估计概率，用 样本的数据特征估算一天中到该公园锻炼 的平均人次 学(43N 高中数学必修第二册人教B版 .(x+4…+)-2元(x1t2+…+)+5元2=720，即2000- 10x2+5x2=720,.x=16. 变式训练3 A【解析】中位数是将9个数据从小到大（或者从 大到小)排列后，处于中间位置的数据，因而去掉1个 最高分和1个最低分，不变的是中位数，平均数、方差 和极差均受影响.故选A 例4甲、丙【解析】①甲地：5个数据的中位数为24， 众数为22，根据数据得出：甲地连续5天的日平均温度 的记录数据可能为22,22,24,25,26，其连续5天的 日平均气温均不低于22℃. ②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24， 当5个数据为19,20,27,27,27时，可知其连续5天 的日平均温度有低于22℃的，故乙地不确定进人夏季. ③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值 为26，若有低于22，假设取21，此时方差就超出了 10.8,可知其连续5天的日平均温度均不低于22℃.如 22,25,25,26,32,这组数据的平均值为26，方差 为10.8，但是进一步扩大范围，方差就会超过10.8， 故丙地肯定进人夏季.则肯定进人夏季的地区有甲、丙 两地 变式训练4 解：（)=0×9.8+103+10.0+10.2+9.9+9.8+ 10.0+10.1+10.2+9.7)=10 -0×10.1+104+101+100+10.1+103+106+ 10.5+10.4+10.5)=10.3 s×02403240240240,1P40240+01P40240.39） =0.036. s=0×0.2+0.15+0.2+0.3+0.2+040.340.2+ 0.12+0.22)=0.04 (2)-=103-10=03,21/-2V0076, y-x=0.3=2x0.15=2V0.15=2V0.0225>2V0.0076, 满y-≥2V语 ·新设备生产产品的该项指标均值较旧设备有显著 提高。 38 数学文化 B【解析】鞋店经理最关心的是哪种号码的鞋销量 最大，所以应该选择统计量中的“众数”.故选B. 5.1.3数据的直观表示 要点精析 例1A【解析】由图易知月接待游客量每年7,8月明 显高于12月，故A错误：观察折线图的变化趋势可知 年接待游客量逐年增加，故B正确：对于选项C,D, 由图可知显然正确.故选A. 变式训练1 C【解析】这12天的AQI的中位数是95+0499.5， 故A错误；这12天中，空气质量为“优良”的有 95,85,77,67,72,92,共6天，故B错误；从4日 到9日，空气质量越来越好，故C正确；这12天的 AOI的平均值为110，故D错误.故选C. 例2B【解析】从折线图中能看出世界人口的变化情 况，故①正确；从条形图中可得到2050年非洲人口大约 将达到18亿，故②错误；从扇形图中能够明显地得到结 论：2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故 ③正确：由题中三幅统计图并不能得出从1957年到2050 年中哪个洲人口增长速度最慢，故④错误.因此正确的 命题有①③.故选B. 例3B【解析】对于甲，1=79+88+82+82+93+91= 6 85.8:对于乙，72+74+81+89+96+9≈85.2，A正确： 甲的极差为93-79=14，乙的极差为99-72=27，故B错 误；对于甲，方差s≈26.5，对于乙，方差s号≈106.5， 故C正确：甲得分的中位数为82+88=85，乙得分的中 2 位数为81+89=85，故D正确.故选B. 2 变式训练2 解：(1)这20名工人年龄的众数为30，这20名 工人年龄的极差为40-19=21. (2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人 年龄的茎叶图如下： 19 2888999 3000001111222 40 (3)这20名工人年龄的平均数x=(19+28×3+29×3+ 30x5+31×4+32×3+40)÷20=30. 20×[(30-19P+3x(30-2843x(30-29P45x(30- 30)2+4×(30-31)2+3×(30-32)2+(30-40)2]=12.6. 例4D【解析】在频率分布直方图中，中位数是频率 为0.5的分界点的横坐标，由频率分布直方图可知前2 组的频率和为(0.02+0.06)×5=0.4，因此中位数出现在第 3组.设中位数为x,则(x-25)×0.08=0.1,x=26.25,.∴.A 正确；众数是指样本中出现频率最高的数，在频率分布 直方图中通常取纵坐标最高的一组区间的中点，.众数 为25+30=27.5，B正确；仰卧起坐次数超过30次的频 率为0.04×5=0.2，.频数为1600×0.2=320（人），.C正 确；仰卧起坐的次数少于20次的人数约有0.02×5×1600= 160(人)，D错误.故选D. 变式训练3 解：(1)样本容量是10=0.1=100. (2)①50②0.10所补频率分布直方图如图中阴 影部分所示. 4频率 组距 0.1---- 0.06上----- 0.02- 510152025购票用时/min 变式训练3答图 100*(0x04 (3)设旅客平均购票用时为tmin,则有 1 5×10+10x10+15x50+20x30)≤1<100×(5x0+10x10+15× 10+20×50+25×30),即15≤t<20,.旅客购票用时的平 均数可能落在第四组： 数学文化 解：(1)该市一天的空气质量等级为1,2,3,4 的概率估计值如下表： 空气质量等级 2 概率的估计值 0.43 0.27 0.21 0.09 (2) 一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为 参考答案。 10×40x20+30x35+50x45)=350 5.1.4用样本估计总体 要点精析 例1解：(1)由图知众数为70+80=75 2 (2)设中位数为x,由图知，前三个矩形面积之和 为0.4，第四个矩形面积为0.3,0.3+0.4>0.5，因此中位 数位于第四个矩形内，0.1=0.03(x-70),∴x≈73.3. (3)由图知，这次数学成绩的平均分为40+50× 2 0.005×10+50+60x0.015×10+60+70x0.02×10+70+80× 2 2 2 0.03x10+80+90x0.025×10490+100x0.005x10=72. 2 2 (4)[80,90)分的频率为0.025×10=0.25，频数为 025×80=20;[90,100]分的频率为0.005×10=-0.05， 频数为0.05×80=4..估计80分以上的学生人数为20+4= 24. 变式训练1 解：(1)根据频率分布直方图得(0.004+0.006+a+ 0.030+0.024+0.016)×10=1,解得a=0.020 (2)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数， ÷.众数为70480=75.：0.004×10+0.006x10+0.020x10=0.3. 2 前三个小矩形的面积的和为0.3，而第四个小矩形的 面积为0.030x10=-0.3,0.3+0.3=-0.6>0.5,.中位数应位于 [70,80)内，中位数=7040.5-03×10=230≈76.7 0.3 3 平均数为45×(0.004×10)+55×(0.006×10)+65×(0.020x 10)+75×(0.030x10)+85×(0.024×10)+95x(0.016×10)=76.2. (3)前5个小组的频率之和是(0.004+0.006+0.020+ 0.030+0.024)×10=0.84,.第90百分位数在第六小组 [90,1001内，为9040.90084×10=375=93.75. 1-0.84 例2解：代人公式可以算出，总体的平均数可以估计 为167.86，总体的方差可以估计为25.98. 变式训练2 解：把专业人士打分样本记为，x2,…,x8,其平 均数记为元，方差记为s；把观众代表打分样本记为， y2,…,y2,其平均数为y,方差记为s；把总体数据的 平均数记为z,方差记为2 39