第5章 5.1.2 数据的数字特征-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

第五章统计与概率。 5.1.2 数据的数字特征 的次数称为这个数据的频数，出现次数最多 学习目标 的数据称为这组数据的众数 1.理解数据的基本数字特征：最值、平 (5)极差：一组数的极差指的是这组数 均数、中位数、百分位数、众数、极差、方：的最大值减去最小值所得的差 差与标准差等」 (6)方差：如果x,x2,…,xn的平均 2.准确计算一组数据的平均数、中位： 数为x,则方差可用求和符号表示为s2= 数、百分位数、方差与标准差，培养学生的 数学运算能力. (7)标准差：方差的算术平方根称为标 要点精析 准差。 思考 川要点数字特征的计算 (1)一组数有奇数个数，那么这组数 (1)平均数：如果给定的一组数是 的中位数就是中间的那一个数吗？ ,x2,…,x,则这组数的平均数为x= (2)一组数据的众数只能有一个吗？ 1(xtx++.）· 例1甲、乙两人某次飞镖游戏中的成 绩如下表所示 (2)中位数：①如果一组数有奇数个 甲的成绩 数，且按照从小到大排列后为1,2，…， 环数 6 7 8 10 2+1,则称x+1为这组数的中位数；②如果 频数 1 2 4 2 1 组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为 ,2,…,,则称+1为这组数的中 乙的成绩 2 环数 6 7 8 9 10 位数 频数 1 4 (3)百分位数：设一组数按照从小到大 排列后为x1,2,…,x,计算i=p%(p∈ 甲、乙两人成绩的平均数分别记作x甲， (0,100))的值，如果i不是整数，设io为 x乙， 标准差分别记作s甲，S乙，则() 大于i的最小整数，取x,为p%分位数；如 A.x甲<x乙，S甲>S乙 B.x甲<x乙，S甲<S乙 果i是整数，取+为p%分位数.特别地， 2 C.x甲>x乙，S甲>S乙 规定：0分位数是x1(即最小值)，100%分 D.x甲>x乙，S甲<S乙 位数是x(即最大值)， 分析本题考查平均数和标准差的 (4)众数：一组数据中，某个数据出现：计算 37 高中数学必修第二册人教B版 p%分位数.特别地，规定：0分位数是 变式训练1 (即最小值)，100%分位数是x。(即最 设一组样本数据x,2,…,x的方差 大值) 为0.01，则数据10x1,10x2,…,10xm的方 (4)实际应用中，除了中位数外，经 差为() 常使用的是25%分位数（简称为第一四分 A.0.01 B.0.1 位数)与75%分位数（简称为第三四分 C.1 D.10 位数) 例2一组数据12,34,15,24,39， 例3某工厂连续5天生产的零件数依 25,31,48,32,36,36,37,42,50的第 次为，2,3,4,5（单位：万个)，若 25,75百分位数分别是 这组数据x1,,x3,x4,x的方差为144， 且x,x号，x号，x,x的平均数为400，则 修变式训练2 该工厂这5天平均每天生产零件 某校组织学生参加植树活动，活动结束 万个 后，统计了高一某班50名学生每人植树的 分析 本题将方差公式展开变形，转 情况，绘制了如下的统计表： 化成平均数的形式，解方程即可」 植树棵数 3 4 5 6 变式训练3 人数 20 15 0 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手 那么这50名学生平均每人植树 的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个 棵，这50名学生每人植树数的75%分位数 原始评分中去掉1个最高分、1个最低分， 是 得到7个有效评分.7个有效评分与9个原 反思感悟关于百分位数 始评分相比，不变的数字特征是() (1)直观来说，一组数的p%分位数指 A.中位数 B.平均数 的是将这组数按照从小到大的顺序排列后， C.方差 D.极差 处于p%位置的数，例如中位数就是50%分 例4气象意义上从春季进入夏季的标 位数。 志为连续5天的日平均温度均不低于22℃. (2)按照定义可知，p%分位数可能不 现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度 唯一 的记录数据（记录数据都是正整数）： (3)设一组数按照从小到大排列后为 ①甲地5个数据的中位数为24，众数为 x,x2,…,x,计算=吧%的值，如果i不 22 是整数，设o为大于i的最小整数，取x ②乙地5个数据的中位数为27，总体均 为p%分位数；如果i是整数，取+山为 值为24； 2 ③丙地5个数据中有一个数据是32，总 38 第五章统计与概率 体均值为26，总体方差为10.8. 反思感悟1.众数、中位数、平均数 则肯定进入夏季的地区有 的特点 分析本题需要根据信息列出5个数 (1)众数、中位数及平均数都是描述 据的可能取值，来判断三地连续5天的日 组数据集中趋势的量 平均温度是否均不低于22℃，从而判断是 (2)平均数的大小与一组数据里每个 否进入夏季 数的大小均有关系，任何一个数据的变动 都会引起平均数的变动 ⑧变式训练④ (3)众数考查各数出现的频数，其大 某厂研制了一种生产高精产品的设备， 小与这组数据中部分数据有关，当一组数 为检验新设备生产产品的某项指标有无提 据中有不少数据重复出现时，其众数往往 高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 更能反映问题 10件产品，得到各件产品该项指标数据 (4)中位数仅与数据的排列位置有关， 如下： 某些数据的变动对中位数没有影响，中位 数可能出现在所给数据中，也可能不在所 9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7 给数据中，当一组数据中个别数据变动较 备 大时，用中位数描述这种趋势 10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5 2.方差的作用 备 在实际问题中，仅靠平均数不能完全 旧设备和新设备生产产品的该项指标的 反映问题，还要研究方差.方差描述了数据 样本平均分数分别记为x和y,样本方差分 相对平均数的离散程度：在平均数相同的 别记为s和s. 情况下，方差越大，离散程度越大，数据 (1)求x,y,s,s3: 波动性越大，稳定性就越差；方差越小， (2)判断新设备生产产品的该项指标的 数据越集中，质量越稳定 均值较旧设备是否有显著提高（如果y-x≥ 数学文化 2V语.那么认为新设备生产产品的该 例某鞋店试销一种新女鞋，如果你 项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不 是鞋店经理，最关心的是哪种号码的鞋销 认为有显著提高) 量最大，那么下列统计量中对你来说最重 要的是( A.平均数 B.众数 C.中位数 D.方差 学 39参考答案。 第五章 统计与概率 5.1统 计 数学文化 D【解析】由题意结合分层抽样的方法可知，需从 5.1.1数据的收集 8356 4178= 要点精析 南乡征集的人数为487×8758+7236+8356 25 167.12≈167.故选D. 例1D【解析】①不是简单随机抽样，原因是简单随 5.1.2数据的数字特征 机抽样中总体的个数是有限的，而题中是无限的；②不 是简单随机抽样，原因是简单随机抽样是不放回地抽 要点精析 取，而题中是有放回地抽取：③不是简单随机抽样，原 例1B【解析】由题意，=x6+72+8x4+92+10)-8, 因是简单随机抽样是逐个抽取，而题中是一次性抽取： 1 ④不是简单随机抽样，原因是个子最高的5名同学是56 x210 (6+7+8+9x4+10x3)=8.7,.∵6m<xz; 名同学中特定的，不存在随机性，不是等可能抽样.故 选D s=0×[6-842x7-84x(8-8242x9-84(10- 变式训练1 8)2]=1.2, ③【解析】①中样本总体数目不确定，不是简单随 s2-0x[6-874(7-8794(8-8744x9-87P43x 机抽样；②中样本不是从总体中逐个抽取，不是简单随 (10-8.7)2]=1.61 机抽样；③中符合简单随机抽样的特点，是简单随机 S甲<S2.故选B. 抽样。 变式训练1 例205【解析】根据随机数表，排除超过33及重复的 编号，选出来的第一个编号为21，第二个编号为32， C【解析】x=+++ n 第三个编号为05，故选出来的第3个红色球的编号为05. si=1[(-)+(x++(x,-)P]=0.01, n 变式训练2 D【解析】根据随机数表，排除超过20及重复的编 则数据10x1,10x2,…,10x.的平均数为10x, 号，选取出来的个体编号依次为08,02,14,07,01， 方差=100[(x-4+(-0+…+(-2]=100s= 故选出来的第5个个体编号为0L.故选D. 100x0.01=1.故选C 例33000【解析】由已知高三年级抽取的学生人数为： 例22539【解析】把数据从小到大排序为12,15， 150-40-50=60(人).设该校高中的学生总数为n,则 24,25,31,32,34,36,36,37,39,42,48,50,共 60=150,解得=3000，∴该高中共有学生3000人 1200n 14个数，14×25%=3.5,14×75%=10.5，.第25,75百分 位数分别是第4,11项数据，即是25,39 变式训练3 变式训练2 解：因为一般来说，创新能力与职称有关，所以应 该用分层抽样 45【解析】平均每人植树20x3+15x4+10x5+5x6 20+15+10+5 设样本中具有高级职称的人数为七，则100=七 800160 4(棵).：50×75%=37.5，∴.这50名学生每人植树数的 75%分位数是5. x=20,即要抽取具有高级职称的科研人员20人.类似： 例316【解析】依题意，得x+x+…+x3=2000.设1， 地，可以算得抽取具有中级职称的科研人员40人，具 有初级职称的科研人员30人，无职称的科研人员10人. 2,,x4,x5的平均数为元，根据方差的计算公式有 写[(r4(到4+-=14. 37 高中数学必修第二册人教B版 .(x7+x4…+)-2元(x1t2+…+)+5元2=720，即2000- 数学文化 102+5元2=720，元=16. B【解析】鞋店经理最关心的是哪种号码的鞋销量 变式训练3 最大，所以应该选择统计量中的“众数”.故选B. A【解析】中位数是将9个数据从小到大（或者从 5.1.3数据的直观表示 大到小)排列后，处于中间位置的数据，因而去掉1个 要点精析 最高分和1个最低分，不变的是中位数，平均数、方差 例1A【解析】由图易知月接待游客量每年7,8月明 和极差均受影响.故选A. 例4甲、丙【解析】①甲地：5个数据的中位数为24， 显高于12月，故A错误；观察折线图的变化趋势可知 众数为22，根据数据得出：甲地连续5天的日平均温度 年接待游客量逐年增加，故B正确；对于选项C,D, 的记录数据可能为22,22,24,25,26，其连续5天的 由图可知显然正确.故选A 变式训练1 日平均气温均不低于22℃. ②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24， C【解析】这12天的AQI的中位数是95+104=99.5， 当5个数据为19,20,27,27,27时，可知其连续5天 :故A错误；这12天中，空气质量为“优良”的有 的日平均温度有低于22℃的，故乙地不确定进人夏季. 、 95,85,77,67,72,92,共6天，故B错误；从4日 ③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值：到9日，空气质量越来越好，故C正确：这12天的 为26，若有低于2，假设取21，此时方差就超出了A0I的平均值为110，故D错误.故选C 10.8,可知其连续5天的日平均温度均不低于22℃.如 例2B【解析】从折线图中能看出世界人口的变化情 22,25,25,26,32,这组数据的平均值为26，方差 况，故①正确；从条形图中可得到2050年非洲人口大约 为10.8，但是进一步扩大范围，方差就会超过10.8， 将达到18亿，故②错误；从扇形图中能够明显地得到结 故丙地肯定进人夏季.则肯定进人夏季的地区有甲、丙： 论：2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故 两地 ③正确；由题中三幅统计图并不能得出从1957年到2050 变式训练4 年中哪个洲人口增长速度最慢，故④错误.因此正确的 解：)=0×9.8+103+10.0+10.2+9.9+9.8+ 命题有①③.故选B. 10.0+10.1+10.2+9.7)=10 例3B【解析】对于甲，1=79488+82+82+93+91= 6 -0×10.1+10.4+101+100+10.1+10.3+106+ 85.8:对于乙，=72+74+81+89+96+99≈85.2，A正确： 6 10.5+10.4+10.5)=10.3 甲的极差为93-79=14，乙的极差为99-72=27，故B错 s0×02403240240240,1P40240+01P40240.39） 误；对于甲，方差s≈26.5，对于乙，方差s≈106.5， =0.036. 故C正确：甲得分的中位数为82+8=85，乙得分的中 2 s=0×(0.2+0.1P+0.2+0.3+0.22+02+0.3+0.2+ 位数为81+89=85，故D正确.故选B. 2 0.12+0.22)=0.04 变式训练2 (2)-=10.3-10-03,21V-2V0076 解：(1)这20名工人年龄的众数为30，这20名 工人年龄的极差为40-19=21. y-x=0.3=2×0.15=2V0.15=2V0.0225>2V0.0076, (2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人 满足)-≥2V西 年龄的茎叶图如下： 新设备生产产品的该项指标均值较旧设备有显著 119 2888999 提高。 3000001111222 40 38