第4章 4.3 指数函数与对数函数的关系-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

N 高中数学必修第二册人教B版 4.3 指数函数与对数函数的关系 学习目标 1.了解反函数的概念，知道同底的指数 函数和对数函数互为反函数，明确它们图象 之间的对称关系. 2.利用指数、对数函数的图象与性质解 决一些简单问题 反思感悟 求反函数的一般步骤： (1)对调x)中的x与y,得到=y); 要点精析 (2)从x=fy)中解出y,得到y=∫1(x): (3)检查是否需要补充y=∫1(x)的定 川要点1求函数的反函数 义域等 (1)反函数的概念 变式训练1 一般地，如果在函数yf(x)中，给定值 域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对 函数f(x)=log21+ (x>0)的反函数 应，那么x是y的函数，这个函数称为y= f(x)=( ) f代x)的反函数，此时，称y=(x)存在反函数. (2)反函数的记法 A六a0 般地，函数y=f(x)的反函数通常用y= (x≠0) f(x)表示 思考根据反函数的概念，你能说出 C.2-1(x∈R) y(x)与其反函数定义域、值域的关系吗？ D.2-1(x>0) 例1求下列函数的反函数 要点2指数函数与对数函数图象之间 (1 (1)=3 的关系 (2)y=x2(x≤0). (1)指数函数y=d与对数函数y=logx互 分析依据反函数的定义，反函数的 为反函数， 定义域和值域正好是原函数的值域和定义 (2)指数函数y=与对数函数y=logx的 域，求反函数的解析式时要关注定义域 图象关于直线y=x对称 思考如果y=f(x)是单调函数，那么 它的反函数一定存在.反之，是否成立呢？ 22 第四章指数函数、对数函数与幂函数 -O 例2已知a>0且a≠1，则函数y=与 反思感悟若函数y=f(x)的图象上有 y=ogx在同一平面直角坐标系内的图象只能 一点(a,b),则点(b,a)必在其反函数的 是() 图象上；反之，若点(b,)在其反函数图 象上，则点(a,b)必在yf(x)的图象上. ⑧变式训练3 已知函数f(x)的反函数为g(x)=1+21gv (x>0),则f1)+g(1)=() 分析互为反函数的两个函数图象关 A.0 B.1 C.2 D.4 于直线y=x对称，互为反函数的两个函数在 相应区间上的单调性一致」 B变式训练④ B变式训练2 函数f(x)=21og号-1的零点个数为 已知y=f(x)是y=f(x)=2+x,x∈[0,2] A.1 B.2 C.3 D.4 的反函数，则函数yf(x)+f(x)的最小值为 例4已知f(x)=ln(Vx2+1+x),g(x)= e*+e** 要点3指数函数与对数函数的综合应用： 2 (1)求f(x)的解析式，并判断它的奇 解题时，要关注以下知识点： 偶性； (1)奇函数和偶函数的定义. (2)若f(x)g(x)=1,求x的值. (2)反函数的求法 (3)指数函数、对数函数的单调性 例3若点(1,2)既在函数fx)=Vax+b 的图象上，又在其反函数(x)的图象上，试 确定fx)的解析式 分析由于互为反函数的两个函数图 象关于y=x对称，因而当点(1,2)在反函 数图象上时，点(2,1)必在原函数图象上 学(23 N 高中数学必修第二册人教B版 :f(x)的“nverse”函数.判断下列哪个函数 数学文化 是函数f(x)=log2x的“Inverse”函数并说明 当今中学数学教材是先讲“指数”，后 :理由 以反函数形式引出“对数”的概念.但在历 ①g1(x)=(22)';②g2(x)=22. 史上，恰恰相反，对数概念不是来自指数， 因为当时尚未区分指数及无理指数的明确概 念.布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示 对数的建议.而欧拉在他的名著《无穷小分 析引论》(1748)中明确提出对数函数是指 数函数的逆函数，和现在教材中的提法一致. 例设函数f(x)的反函数为f(x),若存 在函数g(x)使得对函数f(x)定义域内的任意 x都有g[f(x)]=f(x),则称函数g(x)为函数 (24学解得 6=In2. 变式训练4 1 A【解析】f-x)n(1+)1+-f),函 数f代x)为偶函数 当x≥0时，fx)=n(1+x)- 1+,在(0，+∞)上 y=(1+)单调递增，)=1+7 ,1,也单调递增。 根据单调性的性质知，f(x)在(0，+∞)上单调 递增. 又f(x)为偶函数，∴f(x)在(-0,0)上单调递 减，∴.fx)>f(2-1)→fLxl)>f(I2x-1l)→>2x-1l曰→x2>(2x 1)3-4+1k0=号<<1故选A. 例5解：(1)函数f(x)在[-1，+0)内有意义， ∴.u(x)=x2-2ax+3>0对x∈[-1，+∞)恒成立. y=u(x)的图象的对称轴为直线x=,当a<-1时， u(x)=u(-1)>0,即 a-1，解得-2<<-1： 2a+4>0, 当a≥-1时，u(x)mm=u(a)=-a2+3>0,即-V3<a< V3,-1≤akV3. 综上所述，a的取值范围为(-2，V3). (2)·fx)≤-1，.u(x)=x2-2a+3的值域为[2，+∞). 又u(x)=(x-a)2+3-d≥3-d2,当x=a时，等号成立， .u(x)m=3-a2-2,解得a=±1. 数学文化 (仁，+x【解析】“若对任意的0，都有e心 罗恒成立”等价于“函数)（心y恒在函数） logx的上方”，e今e÷,即b> e 。"4.3指数函数与对数函数的关系 要点精析 例1解：()由)=兮广，得=og4,且0， ∴f(x)=log1x(a>0). (2)由y=x2得，=±Vy. 参考答案。 x≤0，a=-Vy,.f(x)=-Vx(x≥0). 变式训练1 A【解析】由已知函数解出x,并由x的范围确定原 函数的值域，将x,y互换，得到反函数 由yg1+士得1+2，故=2石，将x,y 1 互换，得f(x)2- 1 由x0,得1+>1，可得0，故所求反函数为 上2(0).故选A 例2C【解析】y=m与y=ogx的单调性一致，故排除 A,B;当0<a<1时，排除D;当a心1时，C正确.故选C 变式训练2 3【解析】y=f(x)=2+x在x∈[0,2]上单调递增， ∴fx)mf0)=2°+0=1，fx)m=f2)=22+2=6,∴y=fx)=2+x 的值域为[1,6]，y=f1(x)的定义域为[1,6]· y=fx)=2+x在x∈[0,2]上单调递增，yf(x) 在[1,6]上单调递增，yf(x)+f-(x)在定义域x∈ [1,2]上单调递增. f(0)=1,f1(1)=0,ym=f1)+f(1)=2+1+0=3. 例3解：点(1,2)在函数f(x)的图象上，点 [Va+b =2, (2,1)在函数f(x)的图象上， 解得 V2a+b =1. a=-3, b=7, fx)=V-3x+7. 变式训练3 C【解析】由g(x)是f(x)的反函数，知f(1)即为 g(x)=1的解. 令1=1+2gx,解得x=1,∴.f1)=1. 又g(1)=1+21g1=1,∴g(1)+f1)=2.故选C. 变式训练4 B【解析】将函数零点视为两个函数图象的交点， 分别画出函数图象，利用数形结合求解。 令x)-2yloe4-10,可得|e42上 令dx)oeg*l,x宁f 在同一平面直角坐标系中分别画出两个函数图象， 可以发现两个函数图象一定有2个交点，即函数f(x)有 2个零点.故选B 33 高中数学必修第二册人教B版 y=log* ￥ y=2 0 变式训练4答图 例4解：(1)设y=fx)=n(V2+1+x),∴yeR,e= x+V+I,.(e-x)2=(V+打)，e2-1=2ex,x= 是，，) f()的定义坡为R,且户6)(-)=+ ee-0,f(x)是奇函数。 (2)由(x)g(x)=l,得ee.ee=l,e2-e 2 4.设=e,显然>0，得-1=4，-41-1=0，解得= 2±V5(负舍)，即e2=2+V5,.2=ln(2+V5),x= 2a2+V5) 数学文化 解：易得f(x)=2,对于①， g1fx)]=(22)=(2a)=≠2，故①不是函数fx)= logt的“Inverse'”函数. 对于②，[fx)]=2=2=f(x),故②是函数fx) =logx的“Inverse”函数， P"4.4幂函数 要点精析 例1解：根据幂函数的定义，得m2-m-1=1,解得m=2 或m=-1. 当m=2时，f代x)=x3,在(0，+∞)上是增函数，符合 要求；当m=-1时，f(x)=x3,在(0，+∞)上是减函数，不 符合要求..fx)的解析式为fx)=x. 变式训练1 B【解析】，函数f(x)是幂函数，n2+2n-2=1, .n=-3或n=1. 当n=-3时，fx)=x8在(0，+∞)上是增函数，不 合题意 当n=1时，f(x)=x2在(0，+∞)上是减函数，成 34 立.故选B 例2解：设fx)=x“,·点(V2,2)在幂函数f代x)的图 象上，将(V2,2)代人f)=中，得2=(V2),解 得a=2,则f代x)=x2.同理可求得g(x)=x2 在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)=x2和g(x)= x2的图象，如图所示： (x)=x2 g(x)=x2 g(x)）=x2 -10 1 例2答图 观察图象可得： (1)当x=1或=-1时，fx)=g(x): (2)当-1<<1且x≠0时，fx)<g(x) 变式训练2 -1【解析】f(x)=x心为奇函数，∴a可取-1,1,3. 又fx)=在(0，+∞)上单调递减，.<0，故a=-1. 例3解：(1)函数y=x产在(0，+∞)上为减函数. 3<3.1,32>3.12 (2)y=x8在[0，+0)上是增函数，0.7<0.8， .0.708<0.808 又y=0.8在R上是减函数，0.7<0.8,0.88<0.87 .0.7a8<0.808<0.8a7,即0.78<0.87 变式训练3 D【解析】(e宁)=e2,(V2)-8,(3宁)=9. y=x6在(0，+0)上为增函数，且e2<8<9, .0<e<V2<3字，即c<a<b.故选D. 数学文化 BD【解析】fx)=x3的定义域为R,在(0，+∞)上 显然单调递增，但f(-x)=-x≠f(x),即f(x)=x不是偶 函数，其图象不关于y轴对称，A排除； fx)=2的定义域为R,在(0，+∞)上显然单调递增， 且f-x)=(-x)=x2f(x),f(x)=x2是偶函数，图象关于 y轴对称，即B正确； y=x2的定义域为(-0,0)U(0,+0),在(0，+∞) 上显然单调递减，C排除； f(x)=xl的定义域为R,在(0，+)上显然单调递 增，且f-x)=-x=fx),f代x)=lx是偶函数，图象关于