第4章 4.2.3 对数函数的性质与图象 第2课时 对数函数的性质-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

第四章指数函数、对数函数与幂函数 第2课时对数函数的性质 学习目标 ②log23与1og4. 分析利用指数幂的性质和对数函数 1.能利用对数函数的单调性解决与之有 的单调性进行解答 关的比较大小、求单调区间等问题 2.掌握对数函数的性质及其应用. 要点精析 川要点1对数值的大小比较 比较对数值大小的依据是对数函数的单 调性.具体方法如下： 反思感悟若已知的数值是同一函数 (1)若底数为同一常数，则可由对数函 的不同函数值，则依据单调性即可比较大 数的单调性直接进行比较， 小；若已知的数值不是同一个函数的函数 (2)若底数为同一字母，则根据底数对 值，则设法找到中间值，然后比较大小， 对数函数单调性的影响，对底数进行分类 也可以根据图象比较大小。 讨论， (3)若底数不同，真数相同，则可以先 变式训练1 用换底公式化为同底后，再进行比较，也可 已知0<x<y<a<1,则有() 以利用顺时针方向底数增大画出函数的图 A.log,(xy)<0 B.0<log (xy)<1 象，再进行比较， C.1<log (xy)<2 D.log (xy)>2 (4)若底数与真数都不同，则常借助 1,0等中间量进行比较 川要点2求解对数不等式、方程 思考如何比较log4V2与l1og32的 常见的三种类型的对数不等式： 大小？ (1)形如logx>logb的不等式，借助y= 例1(1)下列大小关系正确的是 logx的单调性求解，如果a的取值不确定， 那么需分a心1与0<a<1两种情况讨论 A.0.43<34<l0g0.3B.0.43<1og0.3<304 (2)形如logx>b的不等式，应先将b C.1og0.3<0.4<304D.1og0.3<34<0.43 化为以a为底的对数式的形式，再借助y= (2)比较下列各组中两个值的大小： logx的单调性求解」 ①ogs子51og3 4 (3)形如1ogx>logx的不等式，可利用 高中数学必修第二册人教B版 函数图象求解， 例2已知log7(2x)<10g7(x-1),则x 的取值范围是 分析形如l0gx>logb的不等式，借 助y=logx的单调性求解，如果a的取值不 确定，那么需分a>1与0<a<1两种情况 讨论 反思感悟求值域时，先求中间变量 的取值范围，再利用对数函数的单调性求 B变式训练2 其值域 已知函数f(x)=log2(x-1)I,若x1<x2, 变式训练3 fx)=f),则L+1= X1 X2 若函数f(x)=log2(mx2+4x+8)(m∈R 川要点3对数型函数的单调性、最值 且m>0)在区间[-3，+∞)上单调递增， 抓两个要点： 则实数m的取值范围是 (1)单调区间必须是定义域的子集 例4 若fx)=lna+1-x +b是奇函数， (2)若f(x),g(x)的单调性相同，则 则a= b= f几g(x)]为增函数；若f(x),g(x)的单调性相 分析奇函数的代数特征是f代-x)=fx), 异，则f儿g(x)]为减函数，简称“同增异减”. 几何特征是其图象关于原点对称.因为要 思考判断y=log(x)的单调性，首先 求的参数有两个，所以利用函数的代数特 要考虑的是定义域，要注意什么条件的限 征，寻找两个关于参数的方程，列方程组 制呢？ 求解 例3求函数y=log1(-x2+2x+1)的值域 和单调区间 变式训练4 分析若f(x),g(x)的单调性相同， 则f儿g(x)]为增函数；若f(x),g(x)的单调 设函数)n1+-,则使得) 性相异，则儿g(x)]为减函数，简称“同增 >f(2x-1)成立的x的取值范围是() 异减” A3,可 B-,号U1,+) c. D.-,gUg,+ 20)学 第四章指数函数、对数函数与幂函数 例5已知函数f代x)=log1(x2-2ax+3). 数学文化 (1)若函数f(x)在[-1，+∞)内有意 例数学家已经证明：指数函数f(x)=a 义，求实数a的取值范围： 与对数函数g(x)=logx(a>0且a≠1)的图 (2)若函数f(x)的值域为(-∞，-1]， 求实数a的值. 象当且仅当1<a<ec时有两个不同的公共点. 分析 （1)由题意可知u(x)=x2-2ax+ 若对任意的0.都有e心恒成立.则实 3>0对x∈[-1，+∞)恒成立，根据二次函 数b的取值范围是 (注：e是自然 数的对称性，分a<-1与a≥-1两种情况讨 对数的底数) 论，求出a的取值范围. (2)根据题意，先求出u(x)=x2-2ax+3 的值域，再求a的值. 学(21N 高中数学必修第二册人教B版 1og号t为减函数，log上(3+2x-x2)≥1og24=-2,即函 数y=log1(3+2x-x2)的值域为[-2，+∞). 变式训练4 A【解析】由图象知，函数为增函数，∴a>1. 又当=0时，-1<logb<0,loga<logb<logl 而a心1，.0<a<b<1<a,故选A 数学文化 C【解析】由题意知，f(x)关于x=2对称， 「-10g2(2-x),0≤x≤1， 而f(x)= 1og2x,1kx≤2， 且f0)=f(4)=-1,f2)=1,∴.在xe[0,4],f(x), f(4-x)及y=-1的图象如图所示. =1 2f4) +4 =-1 例题答图 .将所围成的图形在x轴下半部分的阴影区域分成 两部分相补到x轴上半部分的阴影区域，可得到图中由x 轴、y轴、y=1、=4所围成的矩形的面积，∴函数yf(x) 在x∈[0,4]上的图象与直线y=-1围成的封闭图形的 面积为4.故选C 第2课时对数函数的性质 要点精析 例1(1)C【解析】0<041,341,1og0.3<0,故选C (2)解：①方法一：：对数函数y=logx在(0，+∞) 上是增函数，且子号，b8子如号 方法二：e子0，og0.oe子og号 ②.1og23>log22=1=logs5>log4,log3>log4。 变式训练1 D【解析】0<x<y<a<l,f(x)=logx在(0，+o) 上为减函数，且0<y<d2,.log(y)>log=2,故选D. 例2(1，+∞)【解析】函数y=oga心在(0，+∞) 上为减函数，.由1og.72x<loga7(x-1), 32 2x>0, 得x-1>0,解得>1，即x的取值范围是(1，+∞). 2x>x-1, 变式训练2 1【解析】x<2,fx)=f),由图象可知，1<x< 2<x2. .log2(x1-1)=log2(x2-1)l,.-1og2(x1-1)=log2(x2-1), 1.l6,即女女 f(x)=log(x-1)川 2 2i02345x -1 -2 ! 变式训练2答图 例3解：设t=-x242+1,则仁-(x-1)2+2. y=og1t为减函数，且0<1≤2， ymog12=-1,即函数的值域为[-1，+∞). 由-x2+2x+1>0,得1-V2<<1+V2. 易知t=-x2+2x+1在(1-V2,1]上单调递增，在 (1,1+V②)上单调递减，又y=log11为减函数， .函数y=1og(-2+2x+1)的单调增区间为(1,1+ V2),单调减区间为(1-V2,1]. 变式训练3 号，子]【解析】令e)-m+4+8,对称轴为直 线=-2.y=og在(0，+0)上单调递增，则)= m m2+4r+8在[-3，+0)上单调递增，. _2≤-3， m 解 t(-3)>0, 得me告，号引 例4子2【解折1x)以na时6是奇两数。 (f(0)=Inla+11+6=0, (2)-lnka-I4b--K-2)--It 解得 6=In2. 变式训练4 1 A【解析】f-x)n(1+)1+-f),函 数f代x)为偶函数 当x≥0时，fx)=n(1+x)- 1+,在(0，+∞)上 y=(1+)单调递增，)=1+7 ,1,也单调递增。 根据单调性的性质知，f(x)在(0，+∞)上单调 递增. 又f(x)为偶函数，∴f(x)在(-0,0)上单调递 减，∴.fx)>f(2-1)→fLxl)>f(I2x-1l)→>2x-1l曰→x2>(2x 1)3-4+1k0=号<<1故选A. 例5解：(1)函数f(x)在[-1，+0)内有意义， ∴.u(x)=x2-2ax+3>0对x∈[-1，+∞)恒成立. y=u(x)的图象的对称轴为直线x=,当a<-1时， u(x)=u(-1)>0,即 a-1，解得-2<<-1： 2a+4>0, 当a≥-1时，u(x)mm=u(a)=-a2+3>0,即-V3<a< V3,-1≤akV3. 综上所述，a的取值范围为(-2，V3). (2)·fx)≤-1，.u(x)=x2-2a+3的值域为[2，+∞). 又u(x)=(x-a)2+3-d≥3-d2,当x=a时，等号成立， .u(x)m=3-a2-2,解得a=±1. 数学文化 (仁，+x【解析】“若对任意的0，都有e心 罗恒成立”等价于“函数)（心y恒在函数） logx的上方”，e今e÷,即b> e 。"4.3指数函数与对数函数的关系 要点精析 例1解：()由)=兮广，得=og4,且0， ∴f(x)=log1x(a>0). (2)由y=x2得，=±Vy. 参考答案。 x≤0，a=-Vy,.f(x)=-Vx(x≥0). 变式训练1 A【解析】由已知函数解出x,并由x的范围确定原 函数的值域，将x,y互换，得到反函数 由yg1+士得1+2，故=2石，将x,y 1 互换，得f(x)2- 1 由x0,得1+>1，可得0，故所求反函数为 上2(0).故选A 例2C【解析】y=m与y=ogx的单调性一致，故排除 A,B;当0<a<1时，排除D;当a心1时，C正确.故选C 变式训练2 3【解析】y=f(x)=2+x在x∈[0,2]上单调递增， ∴fx)mf0)=2°+0=1，fx)m=f2)=22+2=6,∴y=fx)=2+x 的值域为[1,6]，y=f1(x)的定义域为[1,6]· y=fx)=2+x在x∈[0,2]上单调递增，yf(x) 在[1,6]上单调递增，yf(x)+f-(x)在定义域x∈ [1,2]上单调递增. f(0)=1,f1(1)=0,ym=f1)+f(1)=2+1+0=3. 例3解：点(1,2)在函数f(x)的图象上，点 [Va+b =2, (2,1)在函数f(x)的图象上， 解得 V2a+b =1. a=-3, b=7, fx)=V-3x+7. 变式训练3 C【解析】由g(x)是f(x)的反函数，知f(1)即为 g(x)=1的解. 令1=1+2gx,解得x=1,∴.f1)=1. 又g(1)=1+21g1=1,∴g(1)+f1)=2.故选C. 变式训练4 B【解析】将函数零点视为两个函数图象的交点， 分别画出函数图象，利用数形结合求解。 令x)-2yloe4-10,可得|e42上 令dx)oeg*l,x宁f 在同一平面直角坐标系中分别画出两个函数图象， 可以发现两个函数图象一定有2个交点，即函数f(x)有 2个零点.故选B 33