专题17 几何图形中的动态旋转问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版七年级上册

专题17 几何图形中的动态旋转问题的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题 题型二、几何图形中动角求定值问题 题型三、几何图形中动角探究数量关系问题 题型四、几何图形中动角求运动时间问题 题型五、几何图形中动角之新定义型问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：图形绕定点旋转一定角度，探究对应边角关系、线段长或位置变化，常与全等、角度计算结合。 - 解题方*：抓住旋转三要素（中心、方向、角度）；利用旋转前后全等找对应边角相等；旋转角等于对应点与中心连线夹角；必要时分类讨论旋转过程的不同阶段。 - 易错提醒：混淆旋转角与图形内角；对应点找错；忽略旋转方向导致位置判断错误；多阶段运动未分段讨论。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题 典例1 （25-26七年级上·河南商丘·期末）如图，是直线上的一点，，一个直角三角板的直角顶点在点处，一条直角边在射线上，将三角板绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转．在三角板绕点旋转一周的过程中，若所在的直线恰好平分，则旋转时间为___________秒． 【答案】5或 【分析】本题考查了涉及角平分线的几何图形中角度计算问题．分两种情况讨论，当的延长线平分和平分，分别列式计算即可． 【详解】解：旋转时间为秒， 当的延长线平分， ∴，即， 解得； 当平分， ∴，即， 解得； ∴若所在的直线恰好平分，则旋转时间为5秒或秒． 故答案为：5或． 题型模版 1.特征：图形旋转方向或角度不确定，导致对应点位置有多种可能，需分类讨论。 2.方法：按顺时针/逆时针或旋转角范围分类，分别作图，利用旋转前后对应边角相等列方程，逐一求解并验证。 变式1-1（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图（1），点O在直线上，过O作射线，三角板的顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．若三角板绕点O按的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第_________ 时，直线恰好平分锐角（图（2））． 【答案】3或12 【分析】本题考查了角平分线的定义，解题的关键是分两种情况进行讨论，分别依据直线恰好平分锐角，得到三角板旋转的度数，进而得到的值． 【详解】解：设第时，直线恰好平分锐角， ， ， 当直线恰好平分锐角时，如图： ， 此时，三角板旋转的角度为， ； 当在的内部时，如图： 三角板旋转的角度为， ； 的值为：3或12． 故答案为：3或12． 变式1-2（25-26七年级上·四川成都·期末）当射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则定义射线是的奇妙线．若，射线绕点P从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为t秒．当______秒时，射线是的奇妙线． 【答案】或10或 【分析】此题考查了角的运算，一元一次方程的应用，首先表示出，然后根据题意分情况讨论，分别列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意得， ∵射线是的奇妙线 ∴当时， 解得； 当时， 解得； 当时， 解得； 综上所述，当或10或秒时，射线是的奇妙线． 故答案为：或10或． 变式1-3（25-26七年级下·江西南昌·期末）如图，直线与相交于点O，，平分，，平分．若射线从射线的位置出发，绕点O以每秒的速度逆时针旋转一周，当旋转时间为t秒时，三条射线中恰好有一条射线是另外两条射线所组成的角的平分线，请写出旋转时间t的值为______秒．（旋转过程中，，都只考虑小于的角）    【答案】1或13或25 【分析】利用角平分线求出，，求出，，求出，由角平分线，求出，，再分平分，平分，平分三种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 分情况讨论： ①当平分时，    ∵， ∴，即：， ∴， ∴； ②平分时，    则：， ∴， ∴； ③当平分时：    则：， ∴， ∴点旋转的角度为：， ∴； 综上：的值为：1或13或25． 故答案为：1或13或25． 题型二、几何图形中动角求定值问题 典例2 （25-26七年级上·湖北荆州·期末）材料一：数轴上，点、表示的数分别为，，则，两点之间的距离表示为； 材料二：数轴上，点、表示的数分别为，，若点是线段的中点，则此时点所对应的数为． 根据上面的材料解决下面问题： 如图，数轴上，，三点对应的数分别是，，，且，满足，点是线段的中点(其中是原点)． (1)填空： ， ， ； (2)点是数轴上一动点，若，求点对应的数； (3)点从点出发，以每秒个单位长度的速度匀速向左运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度匀速向左运动；点是线段的中点，若点、运动过程中，点到点的距离始终是定值，求的值． 【答案】(1)，，； (2)点对应的数为或； (3) 【分析】（1）利用绝对值与平方的非负性求出、的值，再根据数轴中点坐标公式求出的值； （2）设点对应的数为，根据两点距离公式列出绝对值方程，分三种情况讨论求解，舍去矛盾的解； （3）设运动时间为秒，用含、、的式子表示出点、的坐标，再根据中点公式求出点的坐标，计算的距离，根据距离为定值的条件(含的项系数为)求出速度比． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，， 解得，． ∵点是线段的中点， ∴点对应的数． （2）解：设点对应的数为， ∴，． ∵， ∴， ①当时，方程化为， 解得，与矛盾，舍去； ②当时，方程化为， 解得，符合条件； ③当时，方程化为， 解得，符合条件； 综上，点对应的数为或． （3）解：设运动时间为秒， ∵点从点出发，以每秒个单位长度向左运动，点从点出发，以每秒个单位长度向左运动， ∴秒后点对应的数为，点对应的数为； ∵点是线段的中点， ∴点对应的数为； 则 ∵点到点的距离始终是定值， ∴，即． 题型模版 1.特征：角度随动点或动线变化，但某些角的和、差或比值始终保持不变，求该定值。 2.方法：设动角为参数，用其表示相关角，代入所求式子化简消去参数，得常数即定值。 变式2-1问题情境：如图，直线，相交于点．把分成两个角，且． 问题提出： (1)若，求的度数． (2)如果，平分，那么是的平分线吗？试说明理由． 问题解决： (3)若，则是否为定值？若是，请求出定值：若不是，求说明理由． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3)定值， 【分析】（1）由对角相等，先求出．然后根据即可求解； （2）结合（1）的结论，求出，然后再求即可作出判断； （3）设，则，然后用的代数式把，表示出来，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 又， ； （2）由（1）知当时，， ， 平分， ， ， 是的平分线； （3）是定值，理由如下： 设， 则， ， ， ， ， ， ． 变式2-2活动课上，王老师将一副三角尺按图①位置摆放在直线上，45°角的顶点与60°的顶点重合于点，斜边与直角边在直线上，然后将直角三角尺绕点按15°/秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转时间为秒． (1)旋转前，_________，_________； (2)“希望”小组同学发现：当时，是的角平分线，请利用图②说明理由； (3)“飞翔”小组同学发现：若直角三角板旋转至如图③的位置时，为定值．请你判断是否正确，如果正确，请求出该度数；如果不正确，请说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)正确，； 【分析】本题考查了角的和差和角平分线，解题关键是正确识图，准确进行计算； （1）利用平角减去相邻的角即可； （2）求出的度数，再通过计算说明即可； （3）分别表示出，再求它们的和即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，． （2）解：直角三角尺绕点按15°/秒的速度顺时针方向旋转，当时， ，则, ∵, ∴是的角平分线． （3）解：正确，； 直角三角板旋转至如图③的位置时， ，， ． 变式2-3如图（1），点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图（1）中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转秒，此时恰好第一次平分钝角，则的值为多少？ (2)将图（1）中的三角板绕点逆时针旋转至图（2），使一边在的内部，直线恰好平分，问：直线是否平分？请说明理由． (3)将图（1）中的三角板绕点O顺时针旋转至图（3），使在的内部，请探究： ①与之间的数量关系，并说明理由． ②的值是否为定值，如果是，请求出这个定值是多少？如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)直线平分，理由见解析 (3)①，理由见解析；② 【分析】本题主要考查的是角的计算、角平分线的定义的运用； （1）根据角平分线的定义得出，结合题意，即可求解； （2）根据角平分线的定义得出，进而根据，求得，即可得出结论； （3）①根据，，分别求得，，再根据进行计算，即可得出与的数量关系； ②根据图形可得，进而根据 ，即可求解． 【详解】（1）平分， ， 又， ， （2）直线平分，理由如下： 设的延长线为，如图2， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 即直线平分； （3）①结论：． 理由：如图3中， ，， ，， ， 与的数量关系为：． ② 题型三、几何图形中动角探究数量关系问题 典例3 如图，直角，锐角，是的平分线，是的平分线． (1)当时， ， ； (2)当的大小发生改变时，的大小是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2)的大小是定值为 【分析】本题考查了角的和差运算，角平分线的定义，解题的关键是掌握各角间的数量关系． （1）由题意可求出，根据角平分线的定义可得：，，最后根据，即可求解； （2）设，则，根据角平分线的定义可得：，，最后根据，即可判断． 【详解】（1）解：，， ， 是的平分线， ， 是的平分线，， ， ， 故答案为：，； （2）的大小是定值， 设，则， 是的平分线，， ， 是的平分线，， ， ， 的大小是定值为． 题型模版 1.特征：动角变化时，多个角之间保持某种数量关系（和差倍分），需探究并证明。 2.方法：设动角为参数，用其表示各相关角，通过代数运算消参，归纳出角之间的等量关系。 变式3-1【问题发现】 如图①，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处； （1）①与的数量关系是____________． ②与的数量关系是____________． 【问题探究】 （2）若将这副三角尺按图②摆放，三角尺的直角顶点重合在点O处； ①和有怎样的数量关系？说明理由． ②和有怎样的数量关系？说明理由． 【答案】（1）①②（2）①，理由见解析；②．理由见解析 【分析】本题考查三角板中的角度计算．掌握角的和差关系是解题的关键． （1）①根据角的和的关系进行解答；②利用周角的定义进行解答； （2）①根据同角的余角相等解答；②根据图形，表示出即可得到原关系仍然成立． 【详解】解：（1）①由题意可知． 因为，， 所以． 故答案为； ②由题意可知． 因为，， 所以． 故答案为． （2）①． 理由：由题意可知． 因为，所以； ②． 理由：由题意可知． 因为， 所以． 变式3-2如图所示，以直线上的一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一块直角三角板（）的直角顶点放在点处，且直角三角板在直线的上方．设． (1)当时，求的大小； (2)当恰好平分时，求的值； (3)当时，嘉嘉认为与的差为定值，淇淇认为与的和为定值，老师说，两人的说法都正确，但是需要对分别附加条件．请你补充完整下面的信息： 当时，__________； 当时，__________． 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（）先求出，再根据角的和差关系即可求解； （）由角平分线的定义可得，进而根据角的和差关系即可求解； （）根据的取值范围，分别画出图形，利用角的和差关系解答即可； 本题考查了角的和差，角平分线的定义，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∵， ∴； （2）解：当恰好平分时，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：当时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：；． 变式3-3如图，，角的顶点互相重合，将绕点旋转． (1)当射线，重合时，______， (2)在绕点旋转的过程中，若射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线，则的度数为______； (3)在绕点旋转的过程中，若射线始终在的内部． ①善于思考的小明发现，在旋转过程中，的值为定值，请你求出这个定值； ②作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值，若变化，请求出变化的范围． 【答案】(1) (2)或或 (3)①；②度数不发生变化，为定值，理由见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）直接根据角之间的关系进行求解即可； （2）分当是的角平分线时，当是的角平分线时，当是的角平分线时，三种情况讨论求解即可； （3）①，则；②先由角平分线的定义得到，再由即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴当射线，重合时，， 故答案为：； （2）解：如图2-1所示，当是的角平分线时，则； 如图2-2所示，当是的角平分线时，则； 如图2-3所示，当是的角平分线时，则； 综上所述，的度数为或或； （3）解：①如图所示，∵，， ∴， ∴； ②度数不发生变化，为定值，理由如下： ∵，， ∴， ∵，分别是和的平分线， ∴， ∴． 题型四、几何图形中动角求运动时间问题 典例4 在数学实验课中，学生进行操作探究，用一副三角板（其中，，，）按如图1所示摆放，边与在同一条直线上（点C与点E重合）．如图2，将三角板从图1的位置开始绕点C以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，平分？ (2)当t为何值时，？ 【答案】(1)t为21 (2)t为22.5秒或24.75秒 【分析】本题考查了三角板有关的角度计算，角平分线的定义， （1）根据角平分线的定义可得，从而得到三角板旋转的角度，再结合三角板运动的速度即可解题； （2）根据出现的情况分类讨论，再根据将与的结果关联即可求解． 【详解】（1）解：如图1， 平分， ， 旋转的角度为， （秒）， 答：当t为21时，平分． （2）解：由题可知：当时会出现以下两种情况： ①如图2， 由图可得： ， 又，     ，， 旋转的角度为， （秒）， ②如图3， 由图可得： ， 又， ，， 旋转的角度为， （秒）， 答：当t为秒或秒时，． 题型模版 1.特征：角以一定速度旋转，求达到某角度关系或位置所需时间，常涉及追及。 2.方法：设运动时间为t，用角速度乘时间表示旋转角，根据角度等量关系列方程求解并检验范围。 变式4-1如图，，射线绕点从边位置开始按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点从边位置开始按顺时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒． (1)当时，求的度数． (2)当与重合时，求的度数． (3)当时，求的值． (4)当射线是由射线、、中的其中两条射线组成的角的平分线时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)的值为19或29； (4)的值为15或20或30． 【分析】本题考查了角度计算问题和角的平分线的定义，熟练掌握角的平分线的定义，并能够根据题目已知条件找到角度之间的等量关系列出等式是解题的关键． （1）利用，直接计算即可； （2）先用表示出和，当与重合时，，求出的值即可解答； （3）由（2）知，当时，与重合，分2种情况①；②，再结合列出等式，求解即可； （4）由角的平分线的定义，分3种情况①平分；②平分；③平分，再结合列出等式，求解即可． 【详解】（1）解：当时，，， ， 的度数为． （2）由题意得，，， 当与重合时，， 即：， 解得：， ， 的度数为． （3）由（2）知，当时，与重合， 下面分2种情况讨论： ①若，则， 即：， 解得：； ②若，则， 即：， 解得：； 综上所述，的值为19或29． （4）由题意得，分3种情况讨论： ①若平分，则， 解得：； ②若平分，则， ， ， 解得：； ③若平分，则， ， ， 解得：； 综上所述，的值为15或20或30． 变式4-2如图，为线段上一点，，为的角平分线，定义与重合时为初始位置，将绕着点从初始位置开始，以秒的速度顺时针旋转，至与重合时终止． (1)当从初始位置旋转秒，求此时的度数； (2)当从初始位置旋转至时，求此时的值； (3)当从初始位置旋转至时，__________秒（用含有m的代数式直接表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，角平分线的定义，几何图形中的角度计算； （1）根据角平分线的定义可得，根据题意得，进而根据补角的定义求得，根据，即可求解； （2）根据（1）的方法得出，将代入，解一元一次方程，即可求解； （3）根据（2）可得，将代入，解关于的一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵，为的角平分线， ∴， ∵从初始位置旋转秒， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）解：∵，为的角平分线， ∴， ∵从初始位置旋转秒， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； （3）解：由（2）可得， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 变式4-3将一副直角三角板按图1所示摆放在直线 上（直角三角板直角三角板， ），保持板不动，将三角板 绕点 O 以每秒： 的速度顺时针方向旋转t秒． (1)如图2，当 ____秒时，平分 ； (2)继续旋转三角板，如图3，使得 同时在直线 的右侧，猜想与有怎样的数量关系，并说明理由；（数量关系中不能含 t） (3)直线的位置不变，在三角板开始顺时针旋转的同时，另一个三角板也绕点 O 以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至射线上时，两个三角板停止运动．当t为多少时， ？ 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查角的计算，认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得 根据题意求解即可． （2）根据题意得，进而求得． ，即可得到结论； （3）根据题意得，求得． ，分情况列方程求解即可得到结论． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵ ∴ ∵ ∴； （3）解：∵，， 或 解得 或 题型五、几何图形中动角之新定义型问题 典例5 （26-27七年级上·四川达州·期中）若，则称是的“余倍角”，例如：若，，则是的“余倍角”，但不是的“余倍角”． (1)如图1，已知，在内存在一条射线，使得是的“余倍角”，此时 ；（直接填写答案） (2)如图2，已知，若平面内存在射线、（在直线的上方），使得是的“余倍角”，且，求的大小； (3)如图3，若，射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线从出发绕点O以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为t秒（）．若是的“余倍角”，求出此时t的值． 【答案】(1) (2)或 (3)2或14或 【分析】（1）根据“余倍角”的定义和计算即可求解； （2）当在内部时，当在外部时，数形结合分析即可求解； （3）先求得，分情况讨论，当时，当时，当时，找出数量关系列方程求解即可． 【详解】（1）解：已知， ∴，则， ∵是的“余倍角”， ∴， ∴， 解得， （2）解：如图所示，当在外部时， ∴， ∴， ∵是的“余倍角”， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，当在内部时， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或； （3）解：∵，是的“余倍角”， ∴， ∴， 由题意可得，， ∵平分，平分， ∴， ①当未转过，未转过，即时，如图所示， ∴， ∴， 解得； ②当旋转超过，旋转未超过时，即时， 由题意可得，转了，， ∴， ∵平分，平分， ∴，，如图所示， ∴， ∴， ∴， 解得； ③当旋转超过，旋转超过时，即时， 由题意可得，转了，转了， ∴， ∵平分，平分， ∴，，如图所示， ∴， ∴， 解得 综上所述，t的值为2或14或． 题型模版 1.特征：定义与动角相关的新概念（如“友好角”），按规则求角度或时间，重理解迁移。 2.方法：读懂新定义，转化为角度等量关系，设动角或时间为参数列方程，解出后检验是否符合范围。 变式5-1（25-26七年级上·陕西渭南·期末）【概念理解】 新定义：如果的内部有一条射线将分成两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线．例如，如图1，则为的4倍分线．，则也是的4倍分线． 【数学思考】 （1）如图1，若，则的度数为__________； 【初步应用】 （2）如图2与互为补角，若分别为和的3倍分线，求的度数； 【问题解决】 （3）如图3，点O在直线上，从O点分别作射线、、、，已知，且射线、恰好分别为和的3倍分线是的平分线，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了角的计算与新定义“n倍分线”的应用，解题的关键是根据“n倍分线”的定义，将角之间的倍数关系转化为方程或比例关系，再结合角的和差关系求解． （1）根据“4倍分线”的定义，先求出的度数，再计算； （2）利用补角的性质和“3倍分线”的定义，分别表示出和，再求和得到； （3）设，根据“3倍分线”和角平分线的定义，用表示出，列方程求解，进而求出 【详解】（1）解：∵ ，OQ是的4倍分线， ∴ ， ∴ ， ∵ OP是的4倍分线， ∴ ， ∴ 故答案为：． （2）解：∵ 与互为补角， ∴ ， ∵ OP是的3倍分线，且， ∴ ， ∵ OQ是的3倍分线，且， ∴ ， ∴ ． （3）解：设， ∵ OM是的3倍分线，且， ∴ ，． 设， ∵ ON是的3倍分线，且， ∴ ，． ∵ 点O在直线AB上， ∴ ，，． ∵ ， ∴ ， 联立方程： 解得：，． ∵ OC是的平分线， ∴ ， ∴ ． 答：的度数为． 变式5-2（25-26七年级上·江苏镇江·期末）新定义：若两个角的和为，则称这两个角互为“满分角”；例如，则与互为“满分角”． 【阅读理解】 （1）如图1，如果，射线在射线上方，与互为“满分角”，则__________． 【初步应用】 （2）若为内部的两条射线，射线平分角，若与互为“满分角”，且满足，求的值． 【解决问题】 （3）如图2，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒． ①作的平分线，当时，与互为“满分角”，求运动时间的值． ②若，当__________，时，由、、三条射线形成的角互为“满分角”． 【答案】（1）；（2）或；（3），或或． 【分析】本题考查新定义的角度关系、一元一次方程的应用，解决本题的关键是把角的度数用含的代数式表示出来，再根据“满分角”的定义列出关于的一元一次方程，解方程求出的值即可． （1）根据“满分角”的定义，可知，又因为已知，即可求出的度数，再根据图中角之间的关系求出的度数即可； （2）设，则有，然后再分当射线在射线上方时，和射线在射线下方时，两种情况求解； （3）①当时，射线与重合，当时，可知，，根据“满分角”的定义，列出关于的方程求解即可； 因为当秒时，射线与重合，当秒时射线与重合，当时，射线与重合，所以要分当时，和当时，两种情况讨论． 【详解】（1）解：与互为“满分角”， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如下图所示，设， 射线平分角， ， ， 当射线在射线上方时，， 与互为“满分角”， ， ， 解得：， ； 如下图所示，当射线在射线下方时，， 与互为“满分角”， ， ， 解得：， ； 综上所述，的度数为或； （3）解：， 当时，射线与重合， 当时，，， 平分， ， 与互为“满分角”， ， , 解得：； 解：由可知当时，射线与重合， ， 当时，射线恰好与重合， ， 当时，射线旋转到的下方， 当时，射线与重合， 如下图所示，当时，，，， 、、三条射线形成的角互为“满分角”， 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：(负值，舍去)； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：(不符合题意，舍去)； 如下图所示，当时，，，， 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：(不符合题意，舍去)； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：； 综上所述，当秒或秒或秒时，由、、三条射线形成的角互为“满分角”， 故答案为：或或． 变式5-3（25-26七年级上·安徽滁州·期末）新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线组成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所组成的角叫做这个角的内半角．如图1，若射线，在的内部，且，则是的内半角． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)如图1，，，若是的内半角，则______； (2)如图2，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度到，若是的内半角，求对应的度数； (3)把一块含角的三角板按图3方式放置，使边在射线上，边在射线上，将三角板绕顶点O以每秒的速度顺时针方向旋转，如图4．问在旋转一周的过程中，当在的外部时，射线，，，能否构成内半角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1)10 (2) (3)当旋转时间为秒，30秒或90秒时，射线能构成内半角 【分析】本题属于新定义类问题，主要考查旋转中角度的表示，及角度的和差运算，一元一次方程的应用，能够掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）据“内半角”的定义，可求出和，再根据即可求解； （2）先由旋转可分别求出，再进行角度运算得出、最后根据“内半角”的定义，可列出等式，即可求出α的值； （3）由旋转可知，分三种情况，分别进行讨论，根据“内半角”的定义，可求出对应的时间． 【详解】（1）解：∵是的内半角，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：10； （2）解：∵将绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（α比小）至， ∴， ∵， ∴，， ∵是的内半角， ∴， 即， 解得． ∴α为时，是的内半角． （3）解：能，理由如下： 设旋转时间为t， ∵三角板绕顶点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，，， ∴， ∵旋转一周， ∴，即， ∴． 根据题意可分以下四种情况： ①当射线在内部，如图， 则，， ∵是的内半角， ∴， ∴， 解得； ②当射线在外部，如图， 那么，， ∵是的内半角， ∴， ∴， 解得；， ③当射线在外部，如图， 那么，， ∵是的内半角， ∴， ∴， 解得；， 综合以上，当旋转时间为秒，30秒或90秒时，射线能构成内半角． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（2026·广西南宁·一模）将一副三角尺的直角顶点重合，按图中位置摆放，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知 ，利用角的和差关系 即可求解． 【详解】解： 该图中一副三角尺的直角顶点重合， ． 2．（25-26七年级上·广西河池·期末）数学课上，某学习小组在探究“用一副三角尺的角，结合角的和、差运算可以直接画出哪些度数的角？”时发现，如图，将两个直角顶点重合在一起，那么与总是相等的，如果，那么度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角的和差关系，进行计算即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 3．（2026七年级上·全国·专题练习）如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起，，．固定不动，绕着O点顺时针旋转，若绕着O点旋转到图2的位置，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角板的直角可知，进而根据角度的和差关系即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴． 4．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）定义：若两个角的度数差的绝对值等于，则称这两个角互为“优角”，其中一个角是另一个角的“优角”．如，，，则和互为“优角”．如图，，射线平分，在的内部．若，则图中互为“优角”的共有（   ） A．3对 B．7对 C．5对 D．9对 【答案】B 【分析】本题考查了新定义及角的和差关系，掌握角的和差是解题的关键．根据互为“优角”的定义进行解答即可． 【详解】解：∵，射线平分， ∴； ∵ ∴互为“优角”； ∵， ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； 故共有7对角互为“优角” 故选∶B． 二、填空题 5．（25-26六年级下·山东淄博·期中）定义：如果从一个顶点出发的两个角的和等于，那么就说这两个角为“睦邻友好角”．若与是“睦邻友好角”，且，则的度数为________． 【答案】 或 【分析】设，则，根据“睦邻友好角”的定义，可得，，进行分类讨论，分别计算的度数即可． 【详解】解：设，则， ∵与是“睦邻友好角”， ∴. 解得， ∴， 若在外部，如图，， 若在内部，， ∴的度数为或． 6．（25-26七年级上·福建厦门·期末）数学活动课上，小明用一副三角板进行如下操作：第一步：将一副直角三角板的两个顶点放在同一个点处，且边与边在同一直线上，如图所示；第二步：保持三角板不动，将三角板绕点逆时针转动，当与重合时停止转动．若在转动过程中，射线始终分别平分和，则除平角和三角板本身的角外，大小不会发生改变的角是__________，其度数为__________． 【答案】 37.5 【分析】本题主要考查了角平分线定义，三角板中的角的和差， 先分析变化的角，再分三种情况求出，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，随着的减小，可知也减小，先减小，后增大，逐渐减小，也在变化，逐渐增大； 当在上方时， ∵， ∴， ∴； 当在内部时， ∵， ∴， ∴； 当在下方时， ∵， ∴， ∴． 所以不变，其度数是． 故答案为：，37.5． 7．（25-26七年级上·四川成都·期末）由一副三角尺可以拼出很多角的图案，如图，都是直角，且，．在平面内，当，部分重叠得到，叫它们的重叠角，如图________；类似的，若和分别是两个钝角，记为，记为，在平面内叠放得到重叠角，则，与，有什么数量关系：_________． 【答案】 135 【分析】本题主要考查了角的和差，直角三角形的性质，解题的关键是掌握角的和差． （1）根据直角三角形的性质求出，然后根据角的和差进行求解即可； （2）根据角的和差进行求解即可． 【详解】解：（1）∵，都是直角，， ∴， ∴， 故答案为：135； （2）如图所示， ， 故答案为：． 8．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）将直角三角板的直角顶点落在直线上，射线平分． （1）如图，如果__________． （2）如果，将三角板绕点旋转一周（旋转过程中与度数都是大于且小于的角），的度数为__________．（用含的代数式表示）． 【答案】 /30度 或 【分析】本题考查了角平分线的定义、邻补角等知识点，熟练掌握角平分线定义以及分类讨论思想是解题的关键． （1）根据补角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，结合三角板的度数计算即可； （2）分在上方和下方两种情况，分别运用角平分线的定义以及角的和差即可解答． 【详解】解：（1）由题意可知：， ∵， ∴， ∵射线平分． ∴， ∴． 故答案为：． （2）①如图：当在上方时，同（1）可得：； ②如图：当在下方时， ∵， ， ∵射线平分． ∴， ∴． 故答案为：或． 三、解答题 9．（25-26七年级上·广东广州·期末）如图①，点O是直线上的一点，，平分． (1)若，则______°，　　　°； (2)将图①中的绕点O旋转至图②的位置，求出和之间的数量关系； (3)将图①中的绕点O旋转一周，在旋转的过程中，当射线或其反向延长线平分时，求的度数． 【答案】(1)40；20 (2) (3)或 【分析】本题考查角的计算与角平分线的定义，解题的关键是利用平角、直角的定义以及角平分线的定义分析角之间的关系． （1）利用平角和直角的定义求出，再结合角平分线求出； （2）设，则，根据角平分线定义得出，求出，即可得出答案； （3）分两种情况：当平分时，当的反向延长线平分时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴；， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：40，20； （2）解：设，则， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：当平分时，如图所示： 则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 当的反向延长线平分时，如图所示： 则，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，或． 10．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）如图1，一副含和角的三角板和叠合在一起，边与重合，，分别是，的平分线，现将三角板绕点按逆时针方向旋转（如图2），且． (1)当时， ①若，求的度数． ②在运动过程中，试猜想与的数量关系，并说明理由． (2)如图3，平分，若，求的度数． 【答案】(1)①； ②；理由如下： ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； (2)或 【分析】本题考查与三角板有关的计算，与角平分线有关的计算： （1）①根据角平分线的定义结合角的和差关系进行求解即可；②根据角平分线的定义结合角的和差关系进行求解即可； （2）分在的内部和在的外部，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：①由题意，可知：， ∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②略 （2）解：①当在的内部时， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴，则， ∴此时重合， ∵是的平分线， ∴； 如图， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ； ②当在的外部时， 则：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 综上：或． 11．（25-26七年级上·山东聊城·期末）如图，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)如图，将图中的三角板绕点逆时针旋转，使边在的内部，且恰好平分，此时______度； (2)如图，继续将图中的三角板绕点按逆时针方向旋转，使得在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)将图中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若第秒时，，，三条射线恰好构成相等的角，则的值为______（直接写出结果）． 【答案】(1) (2) 与之间满足等量关系为：， 理由如下： ，， ， (3)或或或 【分析】本题考查角的和差关系，角平分线的定义，用方程解几何问题是常用的方法； （1）由恰好平分得，，再根据互余求出即可； （2）由，可得结论； （3）根据逆时针旋转，得出不同情况下三条射线组成等角，画出相应的图形，利用方程求出答案． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵恰好平分， ∴， ∵ ． 故答案为：． （2）略 （3）解：如图4，设旋转的时间为秒， ①当时， ，解得，； ②当时， ，解得，； ③当时， ，解得，； ④当时， ，解得，；  综上：的值为秒，秒，秒或秒， 故答案为：或或或． 12．（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图1，刚刚过去的体育艺术节让我们充分体会到了一种整体的图形之美，小华和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为A、B两点，两脚脚跟位置分别为C、D两点，定义A、B、C、D在同一平面内，O为定点，将手脚运动看作绕点O进行旋转 (1)如图2，A、O、B三点共线，点C、D重合，，则________°； (2)第二节腿部运动中，如图3，小华发现，虽然A、O、B三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，求这个定值； (3)第三节体侧运动中，如图4，乐乐发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线平分，且，开始运动前A、O、B三点在同一水平线上，、绕点O顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止（是竖直方向的一条射线）请帮助乐乐写出运动过程中与的数量关系________． 【答案】(1)90 (2) (3)当时，；当时， 【分析】本题考查了角的和差运算，与角平分线有关的计算： （1）由A，O，B三点共线，可得出，再由，即可求出； （2）由，设，则，分别求出，，再代入即可求解； （3）算出运动停止时间，点，，A三点共线的时间，需要分类讨论，在点C，O，A三点共线前和点C，O，A三点共线后，分别求解即可； 【详解】（1）解：∵A，O，B三点共线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：90； （2）解：这个定值是，理由： ∵， 设，则， ∴，， ∴， ∴这个定值是； （3）解：∵，平分， ∴，， 设运动时间为， 则， ∴， 当点，，A三点共线时，； ∴当时，，， ∴； 当时，，， ∴， 综上，当时，；当时，． 13．（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）【问题背景】如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“量尺金线”． 【问题感知】 （1）一个角的平分线__________这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”） 【问题初探】 （2）如图2，．若射线是的“量尺金线”，求的度数． 【问题推广】 （3）在（2）中，若，，射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．请直接写出当为何值时，射线是的“量尺金线”？（用含的式子表示出即可） 【答案】（1）是 （2）的度数为或或 （3）当为或或时，射线是的“量尺金线” 【分析】本题主要考查新定义下的角的计算、角平分线的定义、几何图形中的角度计算等知识点，根据 “量尺金线” 的定义分情况分析角之间的倍数关系是解题的关键． （1）角平分线会将角分成两个相等的角，此时一个角（原角）是另一个角（分角）的倍，满足“量尺金线”的定义，故填 “是”； （2）已知，结合“量尺金线”中“一个角是另一个角倍”的条件，分种情况讨论：，，，利用角的倍分关系列式求解即可； （3）先表示出旋转后，，，再根据“量尺金线”的倍数关系分种情况讨论：，， ，列方程求出即可． 【详解】解：（1）角平分线会将角分成两个相等的角，此时一个角（原角）是另一个角（分角）的倍，满足“量尺金线”的定义，故填 “是”； 故答案为：是； （2），若射线是的“量尺金线”，分种情况讨论： ①如图，当时，； ②如图，当时，； ③如图，当时，； 综上所述，，若射线是的“量尺金线”， 的度数为或或； （3）旋转后，，， 射线是的“量尺金线”， 分种情况讨论： ①如图，当时，，解得； ②如图，当时，，解得； ③如图，时，，解得； 综上所述，当为或或时，射线是的“量尺金线”． 14．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）定义；当射线在内部，时，我们称n为射线在内的角值，记作．如图1，若，，则，则．若，，则，则． (1)如图1，射线在内部，若射线平分，则_____． (2)如图2，已知，射线，分别从射线和同时开始旋转，其中射线绕点顺时针旋转，射线绕点O逆时针旋转，当射线旋转到射线时，射线，停止旋转．设运动时间为t秒． ①若射线，的运动速度均为每秒，______，______． ②若射线，的运动速度分别为每秒和，射线到达射线后立即以原速原路返回，则当为何值时，? (3)如图3，小明晚上6点多离开家，看一下钟，发现时针和分针夹角为，没到晚上7点就回家了，发现时针和分针的夹角还是，回来时时针和分针的位置分别设为，，出发时分针的位置设为，钟面中心为点，，分别从，同时出发，绕点顺时针旋转，绕点逆时针旋转，当到达射线时停止旋转．旋转速度是旋转速度的3倍，设，当射线运动到的内部时，请用含的式子表示（对的范围不做要求）． 【答案】(1) (2)①，；②或时， (3) 【分析】本题以新定义的形式考查运动型问题，涉及到列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题中的新定义，能根据射线运动过程中角度的变化进行适当的分类讨论. （1）根据新定义和角平分线的定义，进行求解即可； （2）①用含有t的代数式表示出，的度数，根据新定义进行求解即可； ②分和两种情况进行讨论求解即可； （3）根据新定义，求出，进而得到，利用角的和差关系求出，再根据新定义，列出代数式即可. 【详解】（1）解：∵射线平分， ∴， ∴. 故答案为：； （2）解：①由题意得：，， ∴ ∴，， 故答案为：，. ②由题意得，射线旋转到射线时，所需时间为秒，射线旋转到射线时所用时间为秒， ∴当时，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得， 当时，，， ∴，， ∵， ∴， 解得， 综上：或. （3）解：∵分针以每分钟在旋转，时针以每分钟在旋转， ∴分针比时针每分钟多旋转， ∴分钟， ∴小明从离开家到回来的时间间隔是40分钟， ∴在这段时间间隔里分针一共旋转了， 即从开始位置到结束位置，顺时针方向的角度为， 又∵回来时时针和分针的位置分别为，，即， ∴， ∵， ∴ ∵旋转速度是旋转速度的3倍， ∴ 当射线运动到的内部时， 即 ∴ 此时， ∴. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17 几何图形中的动态旋转问题的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题 题型二、几何图形中动角求定值问题 题型三、几何图形中动角探究数量关系问题 题型四、几何图形中动角求运动时间问题 题型五、几何图形中动角之新定义型问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：图形绕定点旋转一定角度，探究对应边角关系、线段长或位置变化，常与全等、角度计算结合。 - 解题方*：抓住旋转三要素（中心、方向、角度）；利用旋转前后全等找对应边角相等；旋转角等于对应点与中心连线夹角；必要时分类讨论旋转过程的不同阶段。 - 易错提醒：混淆旋转角与图形内角；对应点找错；忽略旋转方向导致位置判断错误；多阶段运动未分段讨论。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题 典例1 （25-26七年级上·河南商丘·期末）如图，是直线上的一点，，一个直角三角板的直角顶点在点处，一条直角边在射线上，将三角板绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转．在三角板绕点旋转一周的过程中，若所在的直线恰好平分，则旋转时间为___________秒． 题型模版 1.特征：图形旋转方向或角度不确定，导致对应点位置有多种可能，需分类讨论。 2.方法：按顺时针/逆时针或旋转角范围分类，分别作图，利用旋转前后对应边角相等列方程，逐一求解并验证。 变式1-1（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图（1），点O在直线上，过O作射线，三角板的顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．若三角板绕点O按的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第_________ 时，直线恰好平分锐角（图（2））． 变式1-2（25-26七年级上·四川成都·期末）当射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则定义射线是的奇妙线．若，射线绕点P从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为t秒．当______秒时，射线是的奇妙线． 变式1-3（25-26七年级下·江西南昌·期末）如图，直线与相交于点O，，平分，，平分．若射线从射线的位置出发，绕点O以每秒的速度逆时针旋转一周，当旋转时间为t秒时，三条射线中恰好有一条射线是另外两条射线所组成的角的平分线，请写出旋转时间t的值为______秒．（旋转过程中，，都只考虑小于的角）    题型二、几何图形中动角求定值问题 典例2 （25-26七年级上·湖北荆州·期末）材料一：数轴上，点、表示的数分别为，，则，两点之间的距离表示为； 材料二：数轴上，点、表示的数分别为，，若点是线段的中点，则此时点所对应的数为． 根据上面的材料解决下面问题： 如图，数轴上，，三点对应的数分别是，，，且，满足，点是线段的中点(其中是原点)． (1)填空： ， ， ； (2)点是数轴上一动点，若，求点对应的数； (3)点从点出发，以每秒个单位长度的速度匀速向左运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度匀速向左运动；点是线段的中点，若点、运动过程中，点到点的距离始终是定值，求的值． 题型模版 1.特征：角度随动点或动线变化，但某些角的和、差或比值始终保持不变，求该定值。 2.方法：设动角为参数，用其表示相关角，代入所求式子化简消去参数，得常数即定值。 变式2-1问题情境：如图，直线，相交于点．把分成两个角，且． 问题提出： (1)若，求的度数． (2)如果，平分，那么是的平分线吗？试说明理由． 问题解决： (3)若，则是否为定值？若是，请求出定值：若不是，求说明理由． 变式2-2活动课上，王老师将一副三角尺按图①位置摆放在直线上，45°角的顶点与60°的顶点重合于点，斜边与直角边在直线上，然后将直角三角尺绕点按15°/秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转时间为秒． (1)旋转前，_________，_________； (2)“希望”小组同学发现：当时，是的角平分线，请利用图②说明理由； (3)“飞翔”小组同学发现：若直角三角板旋转至如图③的位置时，为定值．请你判断是否正确，如果正确，请求出该度数；如果不正确，请说明理由． 变式2-3如图（1），点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图（1）中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转秒，此时恰好第一次平分钝角，则的值为多少？ (2)将图（1）中的三角板绕点逆时针旋转至图（2），使一边在的内部，直线恰好平分，问：直线是否平分？请说明理由． (3)将图（1）中的三角板绕点O顺时针旋转至图（3），使在的内部，请探究： ①与之间的数量关系，并说明理由． ②的值是否为定值，如果是，请求出这个定值是多少？如果不是，请说明理由． 题型三、几何图形中动角探究数量关系问题 典例3 如图，直角，锐角，是的平分线，是的平分线． (1)当时， ， ； (2)当的大小发生改变时，的大小是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 题型模版 1.特征：动角变化时，多个角之间保持某种数量关系（和差倍分），需探究并证明。 2.方法：设动角为参数，用其表示各相关角，通过代数运算消参，归纳出角之间的等量关系。 变式3-1【问题发现】 如图①，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处； （1）①与的数量关系是____________． ②与的数量关系是____________． 【问题探究】 （2）若将这副三角尺按图②摆放，三角尺的直角顶点重合在点O处； ①和有怎样的数量关系？说明理由． ②和有怎样的数量关系？说明理由． 变式3-2如图所示，以直线上的一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一块直角三角板（）的直角顶点放在点处，且直角三角板在直线的上方．设． (1)当时，求的大小； (2)当恰好平分时，求的值； (3)当时，嘉嘉认为与的差为定值，淇淇认为与的和为定值，老师说，两人的说法都正确，但是需要对分别附加条件．请你补充完整下面的信息： 当时，__________； 当时，__________． 变式3-3如图，，角的顶点互相重合，将绕点旋转． (1)当射线，重合时，______， (2)在绕点旋转的过程中，若射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线，则的度数为______； (3)在绕点旋转的过程中，若射线始终在的内部． ①善于思考的小明发现，在旋转过程中，的值为定值，请你求出这个定值； ②作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值，若变化，请求出变化的范围． 题型四、几何图形中动角求运动时间问题 典例4 在数学实验课中，学生进行操作探究，用一副三角板（其中，，，）按如图1所示摆放，边与在同一条直线上（点C与点E重合）．如图2，将三角板从图1的位置开始绕点C以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，平分？ (2)当t为何值时，？ 题型模版 1.特征：角以一定速度旋转，求达到某角度关系或位置所需时间，常涉及追及。 2.方法：设运动时间为t，用角速度乘时间表示旋转角，根据角度等量关系列方程求解并检验范围。 变式4-1如图，，射线绕点从边位置开始按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点从边位置开始按顺时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒． (1)当时，求的度数． (2)当与重合时，求的度数． (3)当时，求的值． (4)当射线是由射线、、中的其中两条射线组成的角的平分线时，直接写出的值． 变式4-2如图，为线段上一点，，为的角平分线，定义与重合时为初始位置，将绕着点从初始位置开始，以秒的速度顺时针旋转，至与重合时终止． (1)当从初始位置旋转秒，求此时的度数； (2)当从初始位置旋转至时，求此时的值； (3)当从初始位置旋转至时，__________秒（用含有m的代数式直接表示）． 变式4-3将一副直角三角板按图1所示摆放在直线 上（直角三角板直角三角板， ），保持板不动，将三角板 绕点 O 以每秒： 的速度顺时针方向旋转t秒． (1)如图2，当 ____秒时，平分 ； (2)继续旋转三角板，如图3，使得 同时在直线 的右侧，猜想与有怎样的数量关系，并说明理由；（数量关系中不能含 t） (3)直线的位置不变，在三角板开始顺时针旋转的同时，另一个三角板也绕点 O 以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至射线上时，两个三角板停止运动．当t为多少时， ？ 题型五、几何图形中动角之新定义型问题 典例5 （26-27七年级上·四川达州·期中）若，则称是的“余倍角”，例如：若，，则是的“余倍角”，但不是的“余倍角”． (1)如图1，已知，在内存在一条射线，使得是的“余倍角”，此时 ；（直接填写答案） (2)如图2，已知，若平面内存在射线、（在直线的上方），使得是的“余倍角”，且，求的大小； (3)如图3，若，射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线从出发绕点O以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为t秒（）．若是的“余倍角”，求出此时t的值． 题型模版 1.特征：定义与动角相关的新概念（如“友好角”），按规则求角度或时间，重理解迁移。 2.方法：读懂新定义，转化为角度等量关系，设动角或时间为参数列方程，解出后检验是否符合范围。 变式5-1（25-26七年级上·陕西渭南·期末）【概念理解】 新定义：如果的内部有一条射线将分成两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线．例如，如图1，则为的4倍分线．，则也是的4倍分线． 【数学思考】 （1）如图1，若，则的度数为__________； 【初步应用】 （2）如图2与互为补角，若分别为和的3倍分线，求的度数； 【问题解决】 （3）如图3，点O在直线上，从O点分别作射线、、、，已知，且射线、恰好分别为和的3倍分线是的平分线，求的度数． 变式5-2（25-26七年级上·江苏镇江·期末）新定义：若两个角的和为，则称这两个角互为“满分角”；例如，则与互为“满分角”． 【阅读理解】 （1）如图1，如果，射线在射线上方，与互为“满分角”，则__________． 【初步应用】 （2）若为内部的两条射线，射线平分角，若与互为“满分角”，且满足，求的值． 【解决问题】 （3）如图2，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒． ①作的平分线，当时，与互为“满分角”，求运动时间的值． ②若，当__________，时，由、、三条射线形成的角互为“满分角”． 变式5-3（25-26七年级上·安徽滁州·期末）新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线组成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所组成的角叫做这个角的内半角．如图1，若射线，在的内部，且，则是的内半角． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)如图1，，，若是的内半角，则______； (2)如图2，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度到，若是的内半角，求对应的度数； (3)把一块含角的三角板按图3方式放置，使边在射线上，边在射线上，将三角板绕顶点O以每秒的速度顺时针方向旋转，如图4．问在旋转一周的过程中，当在的外部时，射线，，，能否构成内半角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（2026·广西南宁·一模）将一副三角尺的直角顶点重合，按图中位置摆放，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·广西河池·期末）数学课上，某学习小组在探究“用一副三角尺的角，结合角的和、差运算可以直接画出哪些度数的角？”时发现，如图，将两个直角顶点重合在一起，那么与总是相等的，如果，那么度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2026七年级上·全国·专题练习）如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起，，．固定不动，绕着O点顺时针旋转，若绕着O点旋转到图2的位置，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）定义：若两个角的度数差的绝对值等于，则称这两个角互为“优角”，其中一个角是另一个角的“优角”．如，，，则和互为“优角”．如图，，射线平分，在的内部．若，则图中互为“优角”的共有（   ） A．3对 B．7对 C．5对 D．9对 二、填空题 5．（25-26六年级下·山东淄博·期中）定义：如果从一个顶点出发的两个角的和等于，那么就说这两个角为“睦邻友好角”．若与是“睦邻友好角”，且，则的度数为________． 6．（25-26七年级上·福建厦门·期末）数学活动课上，小明用一副三角板进行如下操作：第一步：将一副直角三角板的两个顶点放在同一个点处，且边与边在同一直线上，如图所示；第二步：保持三角板不动，将三角板绕点逆时针转动，当与重合时停止转动．若在转动过程中，射线始终分别平分和，则除平角和三角板本身的角外，大小不会发生改变的角是__________，其度数为__________． 7．（25-26七年级上·四川成都·期末）由一副三角尺可以拼出很多角的图案，如图，都是直角，且，．在平面内，当，部分重叠得到，叫它们的重叠角，如图________；类似的，若和分别是两个钝角，记为，记为，在平面内叠放得到重叠角，则，与，有什么数量关系：_________． 8．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）将直角三角板的直角顶点落在直线上，射线平分． （1）如图，如果__________． （2）如果，将三角板绕点旋转一周（旋转过程中与度数都是大于且小于的角），的度数为__________．（用含的代数式表示）． 三、解答题 9．（25-26七年级上·广东广州·期末）如图①，点O是直线上的一点，，平分． (1)若，则______°，　　　°； (2)将图①中的绕点O旋转至图②的位置，求出和之间的数量关系； (3)将图①中的绕点O旋转一周，在旋转的过程中，当射线或其反向延长线平分时，求的度数． 10．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）如图1，一副含和角的三角板和叠合在一起，边与重合，，分别是，的平分线，现将三角板绕点按逆时针方向旋转（如图2），且． (1)当时， ①若，求的度数． ②在运动过程中，试猜想与的数量关系，并说明理由． (2)如图3，平分，若，求的度数． 11．（25-26七年级上·山东聊城·期末）如图，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)如图，将图中的三角板绕点逆时针旋转，使边在的内部，且恰好平分，此时______度； (2)如图，继续将图中的三角板绕点按逆时针方向旋转，使得在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)将图中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若第秒时，，，三条射线恰好构成相等的角，则的值为______（直接写出结果）． 12．（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图1，刚刚过去的体育艺术节让我们充分体会到了一种整体的图形之美，小华和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为A、B两点，两脚脚跟位置分别为C、D两点，定义A、B、C、D在同一平面内，O为定点，将手脚运动看作绕点O进行旋转 (1)如图2，A、O、B三点共线，点C、D重合，，则________°； (2)第二节腿部运动中，如图3，小华发现，虽然A、O、B三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，求这个定值； (3)第三节体侧运动中，如图4，乐乐发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线平分，且，开始运动前A、O、B三点在同一水平线上，、绕点O顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止（是竖直方向的一条射线）请帮助乐乐写出运动过程中与的数量关系________． 13．（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）【问题背景】如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“量尺金线”． 【问题感知】 （1）一个角的平分线__________这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”） 【问题初探】 （2）如图2，．若射线是的“量尺金线”，求的度数． 【问题推广】 （3）在（2）中，若，，射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．请直接写出当为何值时，射线是的“量尺金线”？（用含的式子表示出即可） 14．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）定义；当射线在内部，时，我们称n为射线在内的角值，记作．如图1，若，，则，则．若，，则，则． (1)如图1，射线在内部，若射线平分，则_____． (2)如图2，已知，射线，分别从射线和同时开始旋转，其中射线绕点顺时针旋转，射线绕点O逆时针旋转，当射线旋转到射线时，射线，停止旋转．设运动时间为t秒． ①若射线，的运动速度均为每秒，______，______． ②若射线，的运动速度分别为每秒和，射线到达射线后立即以原速原路返回，则当为何值时，? (3)如图3，小明晚上6点多离开家，看一下钟，发现时针和分针夹角为，没到晚上7点就回家了，发现时针和分针的夹角还是，回来时时针和分针的位置分别设为，，出发时分针的位置设为，钟面中心为点，，分别从，同时出发，绕点顺时针旋转，绕点逆时针旋转，当到达射线时停止旋转．旋转速度是旋转速度的3倍，设，当射线运动到的内部时，请用含的式子表示（对的范围不做要求）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $