4.3.2等比数列的前n项和公式（知识清单，知识点+四大易错点+十大题型）高二数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列 4.3.2等比数列的前n项和公式 内容概览 1 🔷知识点一　等比数列前n项和公式 1 🔷知识点二　公式推导——错位相减法 2 🔷知识点三　前n项和的函数特征 2 🔷知识点四　前项和的性质 3 🔷知识点五　等比数列与等差数列前n项和对比 4 4 易错点1：忽略的特殊情况 4 易错点2：错位相减时项数对齐错误 5 易错点3：等段和性质中忽略的情况 6 易错点4：已知求时忽略的验证 7 8 题型1：求等比数列前n项和 8 题型2：等比数列前n项和的基本量计算 10 题型3：等比数列片段和性质及应用 12 题型4：等比数列奇、偶项和的性质及应用 15 题型5：等比数列前n项和的其他性质 17 题型6：等比数列中Sn与an的关系 20 题型7：等比数列的应用 22 题型8：等差数列与等比数列综合应用 25 题型9：数列不等式恒成立问题 29 题型10：数列不等式能成立（有解）问题 32 🔷知识点一　等比数列前n项和公式 1. 等比数列的前项和分两种情况： (1) 当时： (2) 当时： 2. 两个公式都包含四个量，知三可求一。 ⚠ 特别提醒 · 是特殊情况，此时数列是常数列，不能使用分式公式； · 公式一（）适用于已知； · 公式二（）适用于已知； · 使用前必须先判断是否等于1，这是等比数列求和与等差数列求和最大的区别。 🔷知识点二　公式推导——错位相减法 等比数列前项和公式的推导使用错位相减法： 设 ① 两边同乘公比： ② ①②（错位相减）： 当时，两边除以： 当时： ⚠ 特别提醒 · 错位相减法是数列求和的重要方法，其核心是"同乘公比、错位相减"； · 相减后中间项全部抵消，只剩首项和末项； · 该方法不仅适用于等比数列，也适用于"等差数列×等比数列"型数列求和。 🔷知识点三　前n项和的函数特征 当时，将公式整理： 令 ()，则： 即：等比数列（）的前项和是关于的指数型函数，形式为。 条件 的形式 特征 指数项系数与常数项互为相反数 一次函数形式（无常数项） ⚠ 特别提醒 · 中常数项与项系数互为相反数，这是等比数列前项和的重要特征； · 若已知（），则该数列从第2项起才是等比数列； · 该特征用于快速判断一个数列是否为等比数列。 🔷知识点四　前项和的性质 等比数列前项和有以下重要性质： 性质1：等段和性质 若是等比数列（各片段和均不为 0）的前项和，则，，仍成等比数列，公比为。 注意：当且为偶数时，，此时不能成等比数列。 性质2：奇数项和与偶数项和 (1) 若等比数列有项，则； (2) 若等比数列有项，则。 即偶数项和与奇数项和的关系，根据总项数是偶数还是奇数而不同。 性质3： 等比数列前项和等于前项和加上倍的前项和。 ⚠ 特别提醒 · 性质1是选填题高频考点，注意新数列的公比是，不是； · 注意时的特殊情况，此时等段和可能为0，不能成等比数列； · 性质2中奇偶项和的关系，注意总项数是偶数（）还是奇数（），公式不同； · 这些性质都可以通过基本公式推导，解题时可直接使用。 🔷知识点五　等比数列与等差数列前n项和对比 等差数列 等比数列 求和公式 时，时 推导方法 倒序相加法 错位相减法 函数特征 （二次函数或一次函数，均无常数项） （，指数型，常数项与指数项系数互为相反数） 等段和性质 成等差，公差 成等比（当各片段和均不为 0 时） ，公比 ⚠ 特别提醒 · 等差数列求和不需要分类讨论，等比数列求和必须分和； · 等差数列前项和是二次函数型，等比数列前项和是指数函数型； · 两种数列的等段和性质结构相似，但一个是等差、一个是等比，注意区分。 易错点1：忽略的特殊情况 【易错点】 直接套用，不讨论的情况，导致分母为0或结果错误。 【易错消除】 等比数列求和必须先判断公比： 1. 时，； 2. 时，； 这是等比数列与等差数列求和最大的区别。 【易错例题】（2026·河南南阳·二模）（多选）已知数列是等比数列，其前项和为，且，则公比的值可以是（    ） A． B． C． D．1 【答案】BD 【详解】数列是等比数列，由，得， 则，而，于是， 所以或. 易错点2：错位相减时项数对齐错误 【易错点】 错位相减时，没有正确对齐相同次数的项，导致中间项抵消不彻底。 【易错消除】 错位相减的关键： 1. 和中，的每一项都比中对应项高一次； 2. 相减时，的第项减去的第项（即相同次幂的项相减），正好抵消； 3. 最后剩下的首项和的末项。 【易错例题】（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）已知公比大于1的等比数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，设等比数列的公比为， 则，两式相除得，解得或（舍去）， 则，即. （2）由，得， 所以， 两式相减得， 则. 易错点3：等段和性质中忽略的情况 【易错点】 认为一定成等比数列，忽略且为偶数时的情况。。 【易错消除】 等段和成等比数列的条件是（或但为奇数）； 当且为偶数时，，此时不能成等比数列。 【易错例题】（25-26高二下·四川成都·期中）（多选）已知数列是等差数列，为其前项和，是等比数列，为其前项和，则必有（ ） A． B． C．，，成等差数列 D．，，成等比数列 【答案】ABC 【分析】借助等差中项与等比中项性质可得A、B；借助等差数列求和公式及等差数列定义计算可得C；举出反例可得D. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对C：设等差数列的公差为，则， ， ， 则，， 即有， 故，，成等差数列，故C正确； 对D：当时，有， 故此时，，不成等比数列，故D错误. 易错点4：已知求时忽略的验证 【易错点】 直接用求通项，不验证时是否满足。 【易错消除】 已知求必须分两步： 时，； 时，； 最后验证是否满足的表达式，不满足则写成分段函数。 【易错例题】（25-26高三上·湖北·阶段检测）记为数列的前n项和，已知. (1)证明：数列是等比数列； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明：令时，，即得， 当时，①，②， 由①②得，，又由，又，， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列. (2) 【分析】（1）当时，求出的值，当时，由可得到，两式作差可得，结合等比数列的定义可证得结论成立； （2）由（1）中的结论可求出数列的通项公式，求得的表达式，再利用错位相减法可求得. 【详解】（1）略 （2），， 因为，所以， ， 两式相减得： ， 所以. 题型1：求等比数列前n项和 方法技巧 1. 两个求和公式：，或；时。 2. 已知优先选用第一个公式；已知优先选用第二个公式。 3. 使用前必须先判断是否为1，时不能用分式公式，否则出错。 4. 五个基本量，知三可求二。 【例题1.1】（26-27高三上·广东汕头·阶段检测）已知数列为等比数列，，，则__________． 【答案】121 【详解】，由得：，则， . 【例题1.2】（26-27高三上·广东汕尾·阶段检测）已知正项等比数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C．15 D．40 【答案】C 【分析】根据等比数列前项和公式，结合已知条件求出公比，再计算. 【详解】对于正项等比数列，其首项为，公比为， 前项和公式为，已知， 假设，则，那么，， 因为，所以，由可得： ，化简可得：， 根据立方差公式可得：， 因为且，所以，等式两边除以可得： ，化简可得：， 进一步化简得：，即，求解可得： 或，因为，所以，根据等比数列的前项公式可得： . 【变式1.1】（26-27高二上·福建莆田·阶段检测）已知数列为正项等比数列，且，． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 【答案】(1). (2). 【详解】（1）设的公比为，正项等比数列满足，由，得，， 由，得，即，解得或，舍， 故，所以. （2）由数列为正项等比数列，，，得. 【变式1.2】（26-27高二上·甘肃天水·阶段检测）已知等差数列 的前 项和为 ，，． (1)求 的通项公式； (2)若 ，求数列 的前 项和 ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由 求公差，再由基本量法可得； （2）由分组求和（等差数列＋等比数列）可得. 【详解】（1）由 得 ， 设公差为 ，则 ，解得 ， 所以 ． （2）由 (1) 得 ， 而 的前 项和为 ， 所以 ． 题型2：等比数列前n项和的基本量计算 方法技巧 1. 通项，求和，两个公式联立，结合题干条件列方程组求解基本量。 2. 已知两个独立条件，列关于和的方程组求解。 3. 注意的特殊情况需单独讨论，不能直接套公式。 4. 开方求公比时注意符号取舍，结合题意验证是否合理。 【例题2.1】（2026·吉林·一模）已知等比数列的前项和为，公比为，且，若，则_________． 【答案】 【详解】已知，即，故， 等比数列的公比为，， 化简得：由于，则 【例题2.2】（26-27高三上·广东·阶段检测）（多选）记为正项等比数列的前项和，为的公比，若，，则（    ） A． B． C．是递增数列 D． 【答案】BCD 【分析】根据正项等比数列及可得数列的公比，再根据数列通项公式及求和公式即可求解. 【详解】因为数列为正项等比数列， 且， 所以，即,故选项A错误. 又因为， 所以,故选项B正确. 所以， ， 所以数列为递增数列，， 故选项C，D正确. 【变式2.1】（2026·广东广州·模拟预测）已知等比数列满足，且，为数列的前n项和．若，，成等差数列，则_______________． 【答案】 【分析】先由与求出公比与首项，写出通项及前项和，再把"、、成等差数列"化为，整理成，由正整数条件确定与. 【详解】设等比数列的公比为，由得，因为，所以，. 又， 所以，从而. 于是. 因为、、成等差数列，所以，即， 两边同乘得，即. 因为、，所以，只能、，即、. 【变式2.2】（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）（多选）已知等比数列的前n项和为，且，则（    ） A．数列的公比为2 B．数列是单调递增数列 C． D． 【答案】ABD 【分析】首先根据等比数列的求和公式，求公比和首项，再判断选项. 【详解】设数列的公比为q，由，可知q≠1， 则有解得， 对于A，由上面结论，q＝2，A正确； 对于B，由于，易得数列是单调递增数列，B正确； 对于C，由于，则，C错误； 对于D，，D正确． 题型3：等比数列片段和性质及应用 方法技巧 1. 片段和性质：当各片段和均不为0时，成等比数列，公比为。 2. 利用该性质可跳过繁琐计算，直接由已知片段和求未知片段和。 3. 三个片段和成等比，即。 4. 注意前提：各片段和不能为0，否则该性质不成立。 【例题3.1】（26-27高二上·福建龙岩·阶段检测）设是等比数列的前项和，若 ， ，则（    ） A．21 B．28 C．49 D．56 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为，则， 又，代入解得， 则 . 【例题3.2】（25-26高二下·广东深圳·期末）记等比数列的前项和为，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据等比数列的性质计算可得. 【详解】根据等比数列的性质：等比数列中，连续相邻相同项数的和仍成等比数列， 所以，，构成新的等比数列. 因为，，因此新等比数列的公比为 ，所以. 所以数列的前项和. 因此. 【变式3.1】（25-26高二下·广东中山·阶段检测）等比数列中，为其前项的和．若，，则_______． 【答案】90 【分析】根据等比数列关于片段和的性质求解即得. 【详解】在等比数列中，为其前项的和， 则也成等比数列， 又因，， 则成等比数列，且公比为2， 则，解得, 故 解得. 【变式3.2】（25-26高二下·河南驻马店·期末）（多选）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，则（     ） A．，的等差中项为 B．，的等比中项为 C．，，，，…为等差数列 D．，，，，…为等比数列 【答案】AC 【分析】利用等差中项和等比中项的定义即可判断AB，利用等差数列前项和的性质和等比数列前项和的性质即可判断CD. 【详解】对于A，由为等差数列，所以的等差中项为，故A正确； 对于B，由为等比数列，所以的等比中项为，故B错误； 对于C，设等差数列的首项为，公差为， 所以， ， ， 所以， 所以，，，，…为等差数列，故C正确； 对于D：设等比数列的公比为， 当时，， 当为偶数时，， 所以，，，，…不是等比数列，故D错误. 题型4：等比数列奇、偶项和的性质及应用 方法技巧 1. 项数为偶数时：，即。 2. 项数为奇数时：。 3. 奇偶项各自仍成等比数列，公比为。 4. 已知奇偶项和的关系，可反求公比或项数，注意先判断总项数的奇偶性。 【例题4.1】（2026·山东·一模）在等比数列中，已知，且公比，则该数列前100项的和是（    ） A．150 B．200 C．250 D．300 【答案】B 【分析】利用等比数列的前100项中的所有偶数项和与所有奇数项和的关系即可计算得解. 【详解】在等比数列中，公比，则有， 而，于是得， 所以数列的前100项和． 故选：B 【例题4.2】（2025·河北秦皇岛·二模）已知等比数列的前6项和为126，前6项中偶数项和是奇数项和的2倍，则______． 【答案】2 【分析】根据已知有，结合等比数列的性质得，再应用等比数列的通项公式求首项. 【详解】由题设，可得， 若的公比为，则， 所以，则. 故答案为：2 【变式4.1】（26-27高三上·湖北·阶段检测）（多选）设等比数列的公比为，前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则数列是等差数列 B．若，则 C．若，则数列是递减数列 D．记的前项中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则 【答案】AD 【分析】利用可得数列是等差数列；利用特殊数列可判断；利用，当时，即可；利用即可. 【详解】由已知可得，. 对于选项A，因为， 所以数列是公差为的等差数列，故A正确； 对于选项B，当时，， 则，但，故B错误； 对于选项C，， 当时，，所以数列是递增数列，故C错误； 对于选项D，可得， ，故D正确. 【变式4.2】（25-26高二上·广东深圳·期末）已知数列为等比数列，，且，，成等差数列. (1)求的通项公式； (2)若为单调递增数列，且，求数列的前项和. 【答案】(1)，或. (2) 【分析】(1)利用等差数列中项性质建立关于公比的方程，求解得到等比数列的通项公式； (2)拆分为奇数项等比数列和偶数项等差数列，分别求和再相加得到前项和. 【详解】（1）∵，，成等差数列， ∴， 又为等比数列，设公比为， ∴， 解得，或， 当时，； 当时，； 综上所述，，或. （2）由题意，可知， ∴ ∴ ， ， . 题型5：等比数列前n项和的其他性质 方法技巧 1. 若数列是等比数列，则。 2. 当或且为奇数时，成等比数列。 3. 三个数成等比时，利用等比中项性质列方程。 4. 注意性质成立的前提条件（如片段和不为0、等），避免误用。 【例题5.1】（26-27高二上·全国·课后作业）已知等比数列的前项和为，若，则______． 【答案】 【分析】法一：利用求通项公式，结合等比数列的定义求参数值，法二：应用等比数列前n项和公式求参数值. 【详解】（方法一）因为， 当时，，可得，， 当时，． 因为数列为等比数列，所以，解得． （方法二）若数列公比为，当，则不可能恒相等, 所以，则，所以． 故答案为：. 【例题5.2】（2025·云南昭通·模拟预测）（多选）已知等比数列的公比为q，前n项和为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用等比数列的基本量运算判断A，利用等比数列前n项和公式判断B，利用等比数列的性质判断C，利用等比数列的性质并结合等差数列的求和公式判断D即可. 【详解】对于A，由题意得，则，故A正确； 对于B，由，可得，解得， 由等比数列前项和公式得， 得到，故B正确； 对于C，由等比数列性质得，，成等比数列， 且，，得到， 即，故C错误； 对于D，由等比数列性质得， 则，故D错误. 故选：AB． 【变式5.1】（2025·广东广州·模拟预测）（多选）已知等比数列的前项和，，的前n项积为，则（    ） A． B． C． D．数列是等比数列 【答案】ABD 【分析】利用前项和和通项公式可知判断B，求解建立方程求出判断A，利用指数运算和等差数列求和公式求得判断C，再利用等比数列定义判断D即可. 【详解】对于B，当时，． 又为等比数列，则，故B正确， 对于A，则，所以，解得，故A正确， 对于C，而 ，故C错误， 对于D，又， 且， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故D正确. 故选：ABD 【变式5.2】（2025·云南·一模）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（填序号）_____. ① ② ③的最大值为 ④的最大值为 【答案】①②③ 【分析】根据题意，再利用等比数列的定义以及性质逐一判断即可. 【详解】因为，，， 所以，所以，故①正确. ，故②正确； 又，所以的最大值为，故③正确. 因为，，所以恒有，所以无最大值，故④错误； 故答案为：①②③ 题型6：等比数列中Sn与an的关系 方法技巧 1. 核心关系：；。 2. 已知求，先算时，再算时。 3. 检验是否满足的表达式，满足则合并，不满足写分段形式。 4. 已知与混合等式，可利用的关系式作差消去，转化为与的递推关系（注意验证）。 【例题6.1】（25-26高二下·云南楚雄·阶段检测）若数列的前项和，则________． 【答案】 【详解】已知， ． 【例题6.2】（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A． B． C．8 D．16 【答案】B 【分析】由化简得到公比，则可求. 【详解】由，则，即，即公比 又，所以. 故选：B 【变式6.1】（26-27高二上·全国·课后作业）等比数列的前项和，则数列的通项公式为______． 【答案】 【详解】因为等比数列的前项和，所以当时，，得， 当时，，得， 所以公比，，所以． 【变式6.2】（26-27高二上·河北保定·期中）已知数列的前项和为，且，． (1)求证：数列为等比数列； (2)设，，求数列的前项和． 【答案】(1)证明：由题意可得，当时，，   当时，，，两式相减得，   当时，，满足上式，   所以数列是以为首项，为公比的等比数列． (2) 【分析】(1)利用数列前项和与通项的递推关系，写出时，和已知的两式作差，得到与的递推比例关系，再验证首项符合等比数列定义即可完成证明. (2)先由第一问结论得出的通项，代入化简得到可使用错位相减的差比型数列，通过乘公比后错位相减，整理计算即可得到前项和. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，，所以，   所以，①   所以，②   由①②，得，   所以．   题型7：等比数列的应用 方法技巧 1. 审题建模：将实际问题转化为等比数列模型，明确首项、公比、项数的实际含义。 2. 利用通项公式或前项和公式求解，注意项数必须为正整数。 3. 结果回归实际场景检验，确保项数、单位符合现实意义。 【例题7.1】（2026·湖南邵阳·模拟预测）《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“粟米问题”．现有9人分粟米，每人所得粟米质量（单位：铢）从小到大构成数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则这9人所得粟米质量和的铢数为（    ） A．284 B．381 C．384 D．484 【答案】C 【分析】结合等差、等比数列性质，先求前三项，再求等比数列公比，最后分组求和得到总粟米铢. 【详解】已知 ， 成等差数列，则 ， 所以又 ， 所以得，， 后7项成等比数列，设公比为，则， 由 ，得，得解得 或 ， 因为粟米质量从小到大，数列递增，舍去负根，得， 所以， 所以， 则这9人所得粟米质量和的铢数为. 【例题7.2】（26-27高三上·四川南充·阶段检测）近年来，新能源汽车特别是电动汽车销量快速增长，充电基础设施仍存在布局不够完善、结构不够合理、服务不够均衡、运营不够规范等问题．为进一步构建高质量充电基础设施体系，某市计划在2026年新建设3万个新能源汽车充电桩，后面每年新建设的充电桩数量比上一年增加25%，按照这样的发展趋势，若从2026年起，到年，该市新建设的充电桩数量之和在42万个与48万个之间（含42万个和48万个），则（   ） （参考数据：，） A．2031 B．2032 C．2033 D．2034 【答案】B 【分析】从2026年起，每年新建设的充电桩数量构成数列，则数列是首项为3，公比为1.25的等比数列，利用等比数列的前项和公式可得，结合对数运算求解即可. 【详解】从2026年起，每年新建设的充电桩数量构成数列（单位：万个）， 则数列是首项为3，公比为1.25的等比数列， 设数列的前n项和为，则， 令，则， 即，所以， ， ，因为，所以， 所以从2026年起，到2032年，该市新建设的充电桩数量之和在42万个与48万个之间，即． 【变式7.1】（26-27高二上·甘肃白银·期中）（多选）某公司2025年的营业收入为2.5亿元，净利润为0.5亿元．预测显示：在2025年至2034年这十年内，该公司每年的营业收入都比上年增加0.5亿元，净利润都是上年的115%，则（    ）（参考数据：，，） A．2030年的营业收入为5亿元 B．2034年的净利润超过当年营业收入的27% C．2025年至2034年这十年的营业收入总和为52.5亿元 D．2025年至2034年这十年的净利润总和约为10.17亿元 【答案】AD 【详解】设2025年为第一年（），营业收入成等差数列， 首项，公差，， 净利润成等比数列，首项，公比，. A：2030年是第6年，即，，2030年的营业收入为5亿元，正确. B：2034年是第10年，即，则，， 2034年的净利润是1.76亿元，当年营业收入7亿元， ，，未超过27%，错误. C: ，十年营收总和是47.5亿元， ，错误. D: ，2025年至2034年这十年的净利润总和约为10.17亿元，正确. 【变式7.2】（25-26高二下·全国·课堂例题）某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按的速度贬值． (1)用一个式子表示第年初这辆车的价值； (2)当用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到多少万元？ 【答案】(1)万元 (2)7.29万元 【分析】（1）由等比数列定义，知这辆车的价值构成等比数列，首项，公比，根据等比通项公式即可求解； （2）由（1）中的通项公式，令即可求解． 【详解】（1）从第一年起，每年这辆车的价值（万元）依次设为：， 由题意，得， ． 由等比数列定义，知数列是等比数列，首项，公比， 所以．所以第n年初这辆车的价值为万元． （2）当他用满3年时，这辆车的价值为（万元）． 当用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到7.29万元． 题型8：等差数列与等比数列综合应用 方法技巧 1. 分清两类数列的公式与性质：等差侧重加减，等比侧重乘除；等差下标和对应项和相等，等比下标和对应项积相等。 2. 综合题中，常通过等差条件求基本量，再代入等比条件，反之亦然。 3. 注意区分：等差中项是，等比中项是（前提：同号，且），不要混淆。 4. 解题时先列出已知条件对应的公式，逐步消元，避免公式张冠李戴。 【例题8.1】（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）正项等差数列的公差为，已知，且，，三项成等比数列，则（    ） A． B．3 C．1 D． 【答案】B 【分析】利用等比中项性质可知，，再应用等差数列的性质即可求解. 【详解】因为，，三项成等比数列，所以， 故，结合可得 ， 解得 或（负值舍去）. 【例题8.2】（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，数列的前项和为，则数列中不超过2027的项的个数为（    ） A．7 B．9 C．10 D．13 【答案】C 【分析】根据已知得，应用等差等比数列的前n项和公式求并判断其单调性，进而确定不超过2027的项的个数. 【详解】数列的通项公式为，数列的通项公式为， ， ， ， 数列是递增数列， ， 数列中不超过2027的项有10个. 【变式8.1】（25-26高二下·广东东莞·期末）已知等差数列的前项和为，且，，等比数列的前项和为，且. (1)求数列，的通项公式. (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式、求和公式、 与的关系，计算即可得出结果； （2）利用等比数列的求和公式计算即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，首项为． 由得，即．① 由得，解得． 代入①得，故． 等比数列满足()． 当时， ． 当时，，， 相减得， 即 ()． 故从第2项起为等比数列，公比， 则．代入得，解得． 从而，对也成立． （2）,是首项为公比为的等比数列, 故． 【变式8.2】（26-27高三上·广东江门·阶段检测）已知等差数列的前项和为，且，；等比数列的首项为1且，，成等差数列． (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) ，； (2) 【分析】（1）列方程组求解等差数列的首项和公差得通项，利用等差中项求等比数列的公比得通项； （2）将拆分为等差乘等比的结构和等差数列结构，分别用错位相减法、等差数列求和公式求和后合并. 【详解】（1）设等差数列首项为，公差为，由得 ，化简得 ①， 由，令得，即 ②， 联立①②解得，故， 设等比数列公比为，由题意，且成等差数列，由等差中项性质得， 代入得，解得，故， 所以，； （2） 由题意，故，设的前项和是， 设的前项和是，则， ， ③ ，两边同乘得 ④， ③-④得： ， 由代入得 ， 化简得， 故. 题型9：数列不等式恒成立问题 方法技巧 1. 将恒成立问题转化为最值问题：恒成立等价于的最小值；等价于最大值。 2. 先求数列通项或前项和，再分析其单调性，确定最值位置。 3. 分离参数：将参数单独放在不等式一侧，另一侧为关于的数列，求该数列的最值。 4. 注意为正整数的离散性，最值不一定在连续函数的极值点取得。 【例题9.1】（2026高三·全国·专题练习）记数列的前n项和为，若，，且恒成立，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】说明是首项为，公比为3的等比数列，可得，，由题意得恒成立，进一步即可求解. 【详解】因为，所以． 又， 所以是首项为，公比为3的等比数列， 则，故， 所以， 则． 因为恒成立，所以恒成立， 又，所以，解得． 又，所以，即实数的取值范围为． 故选：A. 【例题9.2】（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知正项等比数列中，，且，，成等差数列，若对任意恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列和等差数列的性质求出数列的通项公式，再将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题. 【详解】设正项等比数列的公比为，已知，则， 由成等差数列，根据等差数列中项性质得：， 将代入上式，两边同除以（）得： 即，解得（舍去负根，因数列是正项等比数列）， 因此，不等式对任意恒成立， 代入得：， 分离参数得：，对任意恒成立， 因此只需大于数列的最大值即可，令， 则， 当时，，即， 当时，，则，即， 所以，则， 所以，即的取值范围是. 【变式9.1】（2025·江西·模拟预测）已知数列的首项. (1)求数列的通项公式； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用构造法可求的通项公式； （2）利用参变分离和数列的单调性可求的最大项，从而可求参数的取值范围. 【详解】（1）数列的首项，可得， 而，故，故， 即数列是首项和公比均为3的等比数列，可得，即. （2）若恒成立，即为，即恒成立， 设，可得，. 即数列是单调递减数列，可得， 所以，即实数的取值范围是 【变式9.2】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）设为等差数列的前项和，其中，且． (1)求常数的值，并写出的通项公式； (2)记，数列的前项和为． ①求； ②若对任意的，都有，求常数的最小值． 【答案】(1); (2)①②常数的最小值为4. 【分析】（1）由等差数列得到，再根据得到,，于是可得，进而得到公差，通项公式为； （2）①求得，用错位相减法得到； ②由，代入化简得，利用得到为递减数列，依次验证各项，可得到常数的最小值为4. 【详解】（1）令，则，所以， 令，则，即，所以 因为为等差数列，所以前三项成等差数列， 所以，即，所以. 所以，所以公差， 所以通项公式为. （2）①， （1） （2） 所以（1）减去（2）可得 所以. ②由可得，即， 设，则， 因为，所以， 所以为递减数列，又因为， 所以当时，恒有，所以常数的最小值为4. 题型10：数列不等式能成立（有解）问题 方法技巧 1. 有解问题转化为：存在使，等价于的最大值；存在使，等价于最小值。 2. 与恒成立问题方向相反：恒成立看最小值/最大值，有解看最大值/最小值（注意方向相反）。 3. 先分析数列的取值范围，再判断不等式是否有解。 4. 注意区分"恒成立"与"有解"的逻辑差异，避免不等式方向弄反。 【例题10.1】（2025·山东泰安·模拟预测）公差不为的等差数列的前项和为，若，成等比数列，则满足的的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设等差数列的公差为，根据成等比数列，利用等比中项求得和公差，再由等差数列前n项和公式结合条件求解即可. 【详解】设数列的公差为， 因为，成等比数列， 所以， 解得， 所以， 故. 由，得，解得.   ∵，∴的最大值为. 故选：D. 【例题10.2】（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知数列的前项和，若，使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据与的关系，求得，，结合题意，将问题转化为求解的最大值，令，得，结合二次函数性质计算求解. 【详解】因为①， 所以当时，，解得， 当时，②， 由①-②可得，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则， 故由，可得，其中③． 令，则， 由二次函数性质可知在上单调递增，在上单调递减， 当时，，当时，， 当时，，故③式最大值为120，则， 则实数的取值范围为. 【变式10.1】（26-27高二上·全国·期中）已知数列 的前 项和为 ，且 是首项为 、公比为 的等比数列. (1)求数列 的通项公式； (2)设 ，数列 的前 项和为 ，若 <，求 的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1） 根据等比数列的通项公式求出 ，再根据 与 的关系求解即可. （2）求出，根据等比数列的前项和公式求出，代入不等式求解即可. 【详解】（1）因为 是首项为 、公比为 的等比数列， 所以，故 . 当时， . 当时， ， 也满足上式， 故 . （2），是首项 、公比 的等比数列， 所以. 由 <，得 <，即 ，， 又，， 故 的最大值为 . 【变式10.2】（26-27高二上·江苏镇江·阶段检测）已知正项数列的前项和为，且；数列是单调递增的等比数列，公比为，且的等差中项为；的等比中项为. (1)求，的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若存在使得成立，求实数的最大值. 【答案】(1)，； (2). 【分析】(1)利用与的关系可得，利用等比数列性质及等差中项、等比中项性质可得. (2)分组求和可得，可将原不等式转化为，可得到的最大值. 【详解】（1）当时，由，得，解得， 当时，由，可得，， 两式相减得， 所以， 即，因为， 所以， 即可得是且公差为的等差数列. 即. 由题意得，即，解得或， 因为是递增的等比数列， 所以，所以，得， 所以， 即，. （2）由(1)得，，， 所以. 若存在使得成立，即能成立， 设，则， 所以是递减数列，故的最大值为， 因此的最大值为. 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 数列 4.3.2等比数列的前n项和公式 内容概览 1 🔷知识点一　等比数列前n项和公式 1 🔷知识点二　公式推导——错位相减法 2 🔷知识点三　前n项和的函数特征 2 🔷知识点四　前项和的性质 3 🔷知识点五　等比数列与等差数列前n项和对比 4 4 易错点1：忽略的特殊情况 4 易错点2：错位相减时项数对齐错误 5 易错点3：等段和性质中忽略的情况 5 易错点4：已知求时忽略的验证 5 6 题型1：求等比数列前n项和 6 题型2：等比数列前n项和的基本量计算 7 题型3：等比数列片段和性质及应用 7 题型4：等比数列奇、偶项和的性质及应用 8 题型5：等比数列前n项和的其他性质 9 题型6：等比数列中Sn与an的关系 10 题型7：等比数列的应用 11 题型8：等差数列与等比数列综合应用 12 题型9：数列不等式恒成立问题 12 题型10：数列不等式能成立（有解）问题 13 🔷知识点一　等比数列前n项和公式 1. 等比数列的前项和分两种情况： (1) 当时： (2) 当时： 2. 两个公式都包含四个量，知三可求一。 ⚠ 特别提醒 · 是特殊情况，此时数列是常数列，不能使用分式公式； · 公式一（）适用于已知； · 公式二（）适用于已知； · 使用前必须先判断是否等于1，这是等比数列求和与等差数列求和最大的区别。 🔷知识点二　公式推导——错位相减法 等比数列前项和公式的推导使用错位相减法： 设 ① 两边同乘公比： ② ①②（错位相减）： 当时，两边除以： 当时： ⚠ 特别提醒 · 错位相减法是数列求和的重要方法，其核心是"同乘公比、错位相减"； · 相减后中间项全部抵消，只剩首项和末项； · 该方法不仅适用于等比数列，也适用于"等差数列×等比数列"型数列求和。 🔷知识点三　前n项和的函数特征 当时，将公式整理： 令 ()，则： 即：等比数列（）的前项和是关于的指数型函数，形式为。 条件 的形式 特征 指数项系数与常数项互为相反数 一次函数形式（无常数项） ⚠ 特别提醒 · 中常数项与项系数互为相反数，这是等比数列前项和的重要特征； · 若已知（），则该数列从第2项起才是等比数列； · 该特征用于快速判断一个数列是否为等比数列。 🔷知识点四　前项和的性质 等比数列前项和有以下重要性质： 性质1：等段和性质 若是等比数列（各片段和均不为 0）的前项和，则，，仍成等比数列，公比为。 注意：当且为偶数时，，此时不能成等比数列。 性质2：奇数项和与偶数项和 (1) 若等比数列有项，则； (2) 若等比数列有项，则。 即偶数项和与奇数项和的关系，根据总项数是偶数还是奇数而不同。 性质3： 等比数列前项和等于前项和加上倍的前项和。 ⚠ 特别提醒 · 性质1是选填题高频考点，注意新数列的公比是，不是； · 注意时的特殊情况，此时等段和可能为0，不能成等比数列； · 性质2中奇偶项和的关系，注意总项数是偶数（）还是奇数（），公式不同； · 这些性质都可以通过基本公式推导，解题时可直接使用。 🔷知识点五　等比数列与等差数列前n项和对比 等差数列 等比数列 求和公式 时，时 推导方法 倒序相加法 错位相减法 函数特征 （二次函数或一次函数，均无常数项） （，指数型，常数项与指数项系数互为相反数） 等段和性质 成等差，公差 成等比（当各片段和均不为 0 时） ，公比 ⚠ 特别提醒 · 等差数列求和不需要分类讨论，等比数列求和必须分和； · 等差数列前项和是二次函数型，等比数列前项和是指数函数型； · 两种数列的等段和性质结构相似，但一个是等差、一个是等比，注意区分。 易错点1：忽略的特殊情况 【易错点】 直接套用，不讨论的情况，导致分母为0或结果错误。 【易错消除】 等比数列求和必须先判断公比： 1. 时，； 2. 时，； 这是等比数列与等差数列求和最大的区别。 【易错例题】（2026·河南南阳·二模）（多选）已知数列是等比数列，其前项和为，且，则公比的值可以是（    ） A． B． C． D．1 易错点2：错位相减时项数对齐错误 【易错点】 错位相减时，没有正确对齐相同次数的项，导致中间项抵消不彻底。 【易错消除】 错位相减的关键： 1. 和中，的每一项都比中对应项高一次； 2. 相减时，的第项减去的第项（即相同次幂的项相减），正好抵消； 3. 最后剩下的首项和的末项。 【易错例题】（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）已知公比大于1的等比数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 易错点3：等段和性质中忽略的情况 【易错点】 认为一定成等比数列，忽略且为偶数时的情况。。 【易错消除】 等段和成等比数列的条件是（或但为奇数）； 当且为偶数时，，此时不能成等比数列。 【易错例题】（25-26高二下·四川成都·期中）（多选）已知数列是等差数列，为其前项和，是等比数列，为其前项和，则必有（ ） A． B． C．，，成等差数列 D．，，成等比数列 易错点4：已知求时忽略的验证 【易错点】 直接用求通项，不验证时是否满足。 【易错消除】 已知求必须分两步： 时，； 时，； 最后验证是否满足的表达式，不满足则写成分段函数。 【易错例题】（25-26高三上·湖北·阶段检测）记为数列的前n项和，已知. (1)证明：数列是等比数列； (2)设，求数列的前n项和. 题型1：求等比数列前n项和 方法技巧 1. 两个求和公式：，或；时。 2. 已知优先选用第一个公式；已知优先选用第二个公式。 3. 使用前必须先判断是否为1，时不能用分式公式，否则出错。 4. 五个基本量，知三可求二。 【例题1.1】（26-27高三上·广东汕头·阶段检测）已知数列为等比数列，，，则__________． 【例题1.2】（26-27高三上·广东汕尾·阶段检测）已知正项等比数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C．15 D．40 【变式1.1】（26-27高二上·福建莆田·阶段检测）已知数列为正项等比数列，且，． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 【变式1.2】（26-27高二上·甘肃天水·阶段检测）已知等差数列 的前 项和为 ，，． (1)求 的通项公式； (2)若 ，求数列 的前 项和 ． 题型2：等比数列前n项和的基本量计算 方法技巧 1. 通项，求和，两个公式联立，结合题干条件列方程组求解基本量。 2. 已知两个独立条件，列关于和的方程组求解。 3. 注意的特殊情况需单独讨论，不能直接套公式。 4. 开方求公比时注意符号取舍，结合题意验证是否合理。 【例题2.1】（2026·吉林·一模）已知等比数列的前项和为，公比为，且，若，则_________． 【例题2.2】（26-27高三上·广东·阶段检测）（多选）记为正项等比数列的前项和，为的公比，若，，则（    ） A． B． C．是递增数列 D． 【变式2.1】（2026·广东广州·模拟预测）已知等比数列满足，且，为数列的前n项和．若，，成等差数列，则_______________． 【变式2.2】（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）（多选）已知等比数列的前n项和为，且，则（    ） A．数列的公比为2 B．数列是单调递增数列 C． D． 题型3：等比数列片段和性质及应用 方法技巧 1. 片段和性质：当各片段和均不为0时，成等比数列，公比为。 2. 利用该性质可跳过繁琐计算，直接由已知片段和求未知片段和。 3. 三个片段和成等比，即。 4. 注意前提：各片段和不能为0，否则该性质不成立。 【例题3.1】（26-27高二上·福建龙岩·阶段检测）设是等比数列的前项和，若 ， ，则（    ） A．21 B．28 C．49 D．56 【例题3.2】（25-26高二下·广东深圳·期末）记等比数列的前项和为，若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3.1】（25-26高二下·广东中山·阶段检测）等比数列中，为其前项的和．若，，则_______． 【变式3.2】（25-26高二下·河南驻马店·期末）（多选）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，则（     ） A．，的等差中项为 B．，的等比中项为 C．，，，，…为等差数列 D．，，，，…为等比数列 题型4：等比数列奇、偶项和的性质及应用 方法技巧 1. 项数为偶数时：，即。 2. 项数为奇数时：。 3. 奇偶项各自仍成等比数列，公比为。 4. 已知奇偶项和的关系，可反求公比或项数，注意先判断总项数的奇偶性。 【例题4.1】（2026·山东·一模）在等比数列中，已知，且公比，则该数列前100项的和是（    ） A．150 B．200 C．250 D．300 【例题4.2】（2025·河北秦皇岛·二模）已知等比数列的前6项和为126，前6项中偶数项和是奇数项和的2倍，则______． 【变式4.1】（26-27高三上·湖北·阶段检测）（多选）设等比数列的公比为，前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则数列是等差数列 B．若，则 C．若，则数列是递减数列 D．记的前项中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则 【变式4.2】（25-26高二上·广东深圳·期末）已知数列为等比数列，，且，，成等差数列. (1)求的通项公式； (2)若为单调递增数列，且，求数列的前项和. 题型5：等比数列前n项和的其他性质 方法技巧 1. 若数列是等比数列，则。 2. 当或且为奇数时，成等比数列。 3. 三个数成等比时，利用等比中项性质列方程。 4. 注意性质成立的前提条件（如片段和不为0、等），避免误用。 【例题5.1】（26-27高二上·全国·课后作业）已知等比数列的前项和为，若，则______． 【例题5.2】（2025·云南昭通·模拟预测）（多选）已知等比数列的公比为q，前n项和为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（2025·广东广州·模拟预测）（多选）已知等比数列的前项和，，的前n项积为，则（    ） A． B． C． D．数列是等比数列 【变式5.2】（2025·云南·一模）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（填序号）_____. ① ② ③的最大值为 ④的最大值为 题型6：等比数列中Sn与an的关系 方法技巧 1. 核心关系：；。 2. 已知求，先算时，再算时。 3. 检验是否满足的表达式，满足则合并，不满足写分段形式。 4. 已知与混合等式，可利用的关系式作差消去，转化为与的递推关系（注意验证）。 【例题6.1】（25-26高二下·云南楚雄·阶段检测）若数列的前项和，则________． 【例题6.2】（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A． B． C．8 D．16 【变式6.1】（26-27高二上·全国·课后作业）等比数列的前项和，则数列的通项公式为______． 【变式6.2】（26-27高二上·河北保定·期中）已知数列的前项和为，且，． (1)求证：数列为等比数列； (2)设，，求数列的前项和． 题型7：等比数列的应用 方法技巧 1. 审题建模：将实际问题转化为等比数列模型，明确首项、公比、项数的实际含义。 2. 利用通项公式或前项和公式求解，注意项数必须为正整数。 3. 结果回归实际场景检验，确保项数、单位符合现实意义。 【例题7.1】（2026·湖南邵阳·模拟预测）《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“粟米问题”．现有9人分粟米，每人所得粟米质量（单位：铢）从小到大构成数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则这9人所得粟米质量和的铢数为（    ） A．284 B．381 C．384 D．484 【例题7.2】（26-27高三上·四川南充·阶段检测）近年来，新能源汽车特别是电动汽车销量快速增长，充电基础设施仍存在布局不够完善、结构不够合理、服务不够均衡、运营不够规范等问题．为进一步构建高质量充电基础设施体系，某市计划在2026年新建设3万个新能源汽车充电桩，后面每年新建设的充电桩数量比上一年增加25%，按照这样的发展趋势，若从2026年起，到年，该市新建设的充电桩数量之和在42万个与48万个之间（含42万个和48万个），则（   ） （参考数据：，） A．2031 B．2032 C．2033 D．2034 【变式7.1】（26-27高二上·甘肃白银·期中）（多选）某公司2025年的营业收入为2.5亿元，净利润为0.5亿元．预测显示：在2025年至2034年这十年内，该公司每年的营业收入都比上年增加0.5亿元，净利润都是上年的115%，则（    ）（参考数据：，，） A．2030年的营业收入为5亿元 B．2034年的净利润超过当年营业收入的27% C．2025年至2034年这十年的营业收入总和为52.5亿元 D．2025年至2034年这十年的净利润总和约为10.17亿元 【变式7.2】（25-26高二下·全国·课堂例题）某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按的速度贬值． (1)用一个式子表示第年初这辆车的价值； (2)当用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到多少万元？ 题型8：等差数列与等比数列综合应用 方法技巧 1. 分清两类数列的公式与性质：等差侧重加减，等比侧重乘除；等差下标和对应项和相等，等比下标和对应项积相等。 2. 综合题中，常通过等差条件求基本量，再代入等比条件，反之亦然。 3. 注意区分：等差中项是，等比中项是（前提：同号，且），不要混淆。 4. 解题时先列出已知条件对应的公式，逐步消元，避免公式张冠李戴。 【例题8.1】（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）正项等差数列的公差为，已知，且，，三项成等比数列，则（    ） A． B．3 C．1 D． 【例题8.2】（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，数列的前项和为，则数列中不超过2027的项的个数为（    ） A．7 B．9 C．10 D．13 【变式8.1】（25-26高二下·广东东莞·期末）已知等差数列的前项和为，且，，等比数列的前项和为，且. (1)求数列，的通项公式. (2)若，求数列的前项和. 【变式8.2】（26-27高三上·广东江门·阶段检测）已知等差数列的前项和为，且，；等比数列的首项为1且，，成等差数列． (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 题型9：数列不等式恒成立问题 方法技巧 1. 将恒成立问题转化为最值问题：恒成立等价于的最小值；等价于最大值。 2. 先求数列通项或前项和，再分析其单调性，确定最值位置。 3. 分离参数：将参数单独放在不等式一侧，另一侧为关于的数列，求该数列的最值。 4. 注意为正整数的离散性，最值不一定在连续函数的极值点取得。 【例题9.1】（2026高三·全国·专题练习）记数列的前n项和为，若，，且恒成立，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例题9.2】（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知正项等比数列中，，且，，成等差数列，若对任意恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式9.1】（2025·江西·模拟预测）已知数列的首项. (1)求数列的通项公式； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【变式9.2】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）设为等差数列的前项和，其中，且． (1)求常数的值，并写出的通项公式； (2)记，数列的前项和为． ①求； ②若对任意的，都有，求常数的最小值． 题型10：数列不等式能成立（有解）问题 方法技巧 1. 有解问题转化为：存在使，等价于的最大值；存在使，等价于最小值。 2. 与恒成立问题方向相反：恒成立看最小值/最大值，有解看最大值/最小值（注意方向相反）。 3. 先分析数列的取值范围，再判断不等式是否有解。 4. 注意区分"恒成立"与"有解"的逻辑差异，避免不等式方向弄反。 【例题10.1】（2025·山东泰安·模拟预测）公差不为的等差数列的前项和为，若，成等比数列，则满足的的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例题10.2】（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知数列的前项和，若，使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式10.1】（26-27高二上·全国·期中）已知数列 的前 项和为 ，且 是首项为 、公比为 的等比数列. (1)求数列 的通项公式； (2)设 ，数列 的前 项和为 ，若 <，求 的最大值. 【变式10.2】（26-27高二上·江苏镇江·阶段检测）已知正项数列的前项和为，且；数列是单调递增的等比数列，公比为，且的等差中项为；的等比中项为. (1)求，的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若存在使得成立，求实数的最大值. 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $