4.2.2等差数列的前n项和公式（知识清单，知识点+五大易错点+十三大题型）高二数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列 4.2.2等差数列的前n项和公式 内容概览 1 🔷知识点一　等差数列前项和公式 2 🔷知识点二　前项和的函数特征 2 🔷知识点三　前n项和的性质 2 🔷知识点四　前n项和的最值问题 3 3 易错点1：混淆两个前项和公式 3 易错点2：求最值时忽略必须为正整数 4 易错点3：前项和性质中公差记错 5 易错点4：已知求时忽略的验证 5 易错点5：求最值时忽略的情况 6 7 题型1：求等差数列前n项和 7 题型2：等差数列前n项和的基本量计算  9 题型3：由Sn求通项公式 11 题型4：由前n项和判断数列是否是等差数列 14 题型5：等差数列片段和性质的应用 16 题型6：前n项和与n的比所组成的等差数列 18 题型7：两个等差数列的前n项和之比问题 21 题型8：等差数列奇数项与偶数项的和 23 题型9：含绝对值的等差数列前n项和 26 题型10：等差数列前n项和的二次函数特征 29 题型11：求等差数列前n项和的最值 31 题型12：根据等差数列前n项和的最值求参数 35 题型13：等差数列的应用 37 🔷知识点一　等差数列前项和公式 等差数列的前项和公式 已知量 公式一（首项、末项与项数） 公式二（首项、公差与项数） 求和公式 ⚠ 特别提醒 · 公式一适用于已知首项和末项的情况，形式简洁。 · 公式二适用于已知首项和公差的情况，可直接计算。 · 两个公式可以互相转化，根据题目条件灵活选择。 🔷知识点二　前项和的函数特征 将公式二展开整理：，令，，则： 条件 的形式 图象特征 （二次函数，缺常数项） 过原点的抛物线上的孤立点 ， （一次函数） 过原点的直线上的孤立点 ， （常数函数） x轴上的孤立点 ⚠ 特别提醒 · 中没有常数项，这是等差数列前项和的重要特征。 · 若已知（），则该数列从第2项起才是等差数列。 · 二次函数的图象是过原点的抛物线上的孤立点，横坐标为正整数。 🔷知识点三　前n项和的性质 等差数列前项和有以下重要性质： 性质1：等段和性质 若是等差数列的前项和，则，，仍成等差数列，公差为。 即：前项和、第二个项和、第三个项和成等差数列。 性质2：是等差数列 等差数列的前项和满足，因此是首项为、公差为的等差数列。 性质3：两个等差数列前项和之比 若等差数列、的前项和分别为、，则： 即两个等差数列第项之比等于它们前项和之比。 性质4：奇数项和与偶数项和 项数为时：，，。 项数为时：，，。 ⚠ 特别提醒 · 性质1是选填题高频考点，注意新数列的公差是，不是。 · 性质2中的公差是原公差的，不是。 · 性质3中注意项数是，不是。 · 性质4中奇数项和与偶数项和的关系，注意项数是奇数还是偶数时公式不同。 🔷知识点四　前n项和的最值问题 1. 二次函数法 ，若，则从二次函数的角度看：当时，有最小值；当时，有最大值．当取最接近对称轴的正整数时，取到最值． 2. 通项符号法 在等差数列中， 当，时，有最大值，使取得最值的可由不等式组确定． 当，时，有最小值，使取到最值的可由不等式组确定． ⚠ 特别提醒 · 二次函数法注意必须取正整数，对称轴若不是整数，取最接近的整数。 · 通项符号法更直接：当由正变负时，在转折点取得最大值。 · 注意的情况：若，则，两者同为最值。 易错点1：混淆两个前项和公式 【易错点】 已知和时误用公式二，或已知和时误用公式一，导致计算复杂或错误。 【易错消除】 1. 已知：用公式一 2. 已知：用公式二 根据已知条件选择最简便的公式。 【易错例题】（26-27高二上·全国·期中）已知等差数列 中，，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在等差数列中，若正整数满足，则有. 所以，得， 又 . 易错点2：求最值时忽略必须为正整数 【易错点】 用二次函数求最值时，对称轴算出，直接取，忽略只能取正整数。 【易错消除】 必须取正整数，对称轴时，比较和对应的，注意对称轴两侧相邻整数都是候选，需比较后确定。 【易错例题】（25-26高二上·湖北随州·期末）已知数列为等差数列，为其前项和，，，则________时，最小. 【答案】8或9 【分析】由题设条件列方程组求出等差数列的首项和公差，然后写出其前项和，由二次函数的对称轴可求得最小值时的。 【详解】设等差数列的公差为，首项为， 由题知，，解得， 故，为单调递增的等差数列， ，的对称轴为， 但，由二次函数的性质，或时，最小. 故答案为：8或9 易错点3：前项和性质中公差记错 【易错点】 认为成等差数列的公差是，实际应为。 【易错消除】 等段和性质：成等差数列，公差为。 【易错例题】（25-26高二下·云南玉溪·期末）记为等差数列的前项和，若，，则______________． 【答案】 【分析】利用等差数列前项和的性质求解. 【详解】若为等差数列，其前项和满足：仍成等差数列， 所以，则 解得. 易错点4：已知求时忽略的验证 【易错点】 直接用求通项，不验证时是否满足。 【易错消除】 已知求必须分两步： 时， 时， 最后验证是否满足的表达式，不满足则写成分段函数。 【易错例题】（24-25高二下·上海奉贤·阶段检测）已知数列的前 项和 满足 ，则 的通项公式为_____ 【答案】 【分析】利用数列的前 项和 与通项 的关系计算. 【详解】当 时，； 当 时，. , 代入通项公式：, 验证 时：若直接代入 ，得 ，与 矛盾，故需分段表示. 因此，通项公式为分段形式：. 故答案为：. 易错点5：求最值时忽略的情况 【易错点】 认为只有一个最大值点，忽略时同为最值。 【易错消除】 若，则，两者同为最值。 【易错例题】（26-27高二上·全国·课后作业）已知等差数列的通项公式为，当取最小值时，________． 【答案】20或21 【详解】令，得，即， 易知当时，； 当时，；当时，， 因此当或21时，取最小值． 题型1：求等差数列前n项和 方法技巧 1. 两个求和公式：，或。 2. 已知首项、末项与项数，优先选用第一个公式；已知首项、公差与项数，优先选用第二个公式。 3. 计算时注意项数必须为正整数。 【例题1.1】（26-27高三上·重庆南岸·阶段检测）设等差数列的前项和为，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在等差数列中，若，则，因此. 已知，代入上式得，解得. 由等差数列前项和公式，可得. 又，得，代入得. 【例题1.2】（26-27高二上·上海宝山·开学考试）在等差数列中，若首项，公差，则________． 【答案】145 【分析】利用等差数列前项和公式计算即可. 【详解】因为等差数列的首项，公差， 所以. 【变式1.1】（2026·北京朝阳·模拟预测）记等差数列的前项和为．若，，则__________，__________． 【答案】 10 【分析】根据等差数列的通项公式与求和公式，得到关于与的关系式，即可求解. 【详解】因为是等差数列，，， 所以，解得， ， . 【变式1.2】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）（多选）已知数列满足，则（    ） A． B． C．数列的前项和为 D．数列的前10项和为216 【答案】BC 【分析】先利用递推和式作差求出数列的通项公式，再结合通项公式验证各选项即可. 【详解】 选项A：令得，令得，代入解得，A错误； 选项B：记，当时，， 两式作差得， 化简得，时也满足该式，故，B正确； 选项C：是首项为9、公差为6的等差数列，前项和，C正确； 选项D：令得，即前4项，后6项， 前10项和为，D错误. 题型2：等差数列前n项和的基本量计算  方法技巧 1. 前项和的两个核心公式：、，五个基本量。 2. 已知两个独立条件，列关于和的方程组，解出基本量后代入求和。 3. 五个基本量知三可求二，灵活选择公式可减少计算量。 4. 可结合通项公式联立求解，注意项数必须为正整数。 【例题2.1】（2026·广东广州·模拟预测）在公差不为零的等差数列中，为其前项和，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设等差数列公差为，则， 又， 故， 化简整理得，解得． 【例题2.2】（26-27高三上·上海宝山·阶段检测）已知等差数列的前项和为，若，，则______． 【答案】 【分析】利用基本量法求通项，进而求得即可. 【详解】,结合，可得， 所以. 【变式2.1】（2026·广东广州·模拟预测）（多选）记为等差数列的前项和，已知，则（     ） A．数列是递增数列 B． C．当取最大值时， D．使得成立的的最大值为 【答案】BD 【分析】先根据已知条件求出首项和公差，再逐项判断即可. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，所以，则，即， 因为，所以，解得， 则， 选项A：公差，数列是递减数列，与选项不符，故选项A错误； 选项B：，故选项B正确； 选项C：，， 则，数列递减，，，， 则，且为的最大值，即取最大值时或，C错误； 选项D：前n项和， 因为，所以，解得， 则使得成立的的最大值为，故选项D正确. 【变式2.2】（26-27高三上·陕西商洛·开学考试）（多选）数列为等差数列，为其前项和.已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B．为递减数列 C． D．当时，最小 【答案】ACD 【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式计算即可. 【详解】因为数列为等差数列，为其前项和.已知，， 设该数列的首项为，公差为，则， 化简得，解得. 所以，所以A正确； 由于，所以数列为递增数列，B错误； ，C正确； 由于， 所以当时，最小，为，D正确. 题型3：由Sn求通项公式 方法技巧 1. 核心关系： 2. 先算时，再算时。 3. 检验是否满足的表达式，满足则合并，不满足写分段形式。 4. 若是关于的二次式且无常数项，则为等差数列。 【例题3.1】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）数列的前n项和，则（    ） A．70 B．120 C．40 D．14 【答案】A 【分析】通过，先求出，当时，构造，得出，然后求出即可. 【详解】由， 所以当时，， 当时，， 所以 ， 当时，满足， 所以， 故选：A. 【例题3.2】（25-26高二上·上海宝山·期末）设是数列的前项和，且，则的通项公式为________． 【答案】 【分析】利用定义法，再检验时的取值，即可得到结果. 【详解】由题得，， 所以， 当时，， 所以. 【变式3.1】（26-27高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知正项数列的前项和为，，且，则_______ 【答案】4053 【分析】根据计算化简得出数列是首项为2，公差为1的等差数列，进而得出通项公式即可求解. 【详解】当时，，即， 由数列为正项数列可知，，又，即数列是首项为2，公差为1的等差数列， 即，则， 当时，； 所以. 【变式3.2】（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知为数列的前项和，若，且数列为等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的首项为1，且，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求等差数列的通项公式，从而得到，再由求. （2）先利用累乘法求数列的通项公式，再利用裂项求和法求. 【详解】（1）由题意，， 因为数列为等差数列，设公差为，则， 所以， 所以. 当时，； 当时，. 当时，上式亦成立. 所以. （2）因为时，， 所以，，，，…，， 各式相乘得：， 又，所以，. 当时，上式亦成立. 所以， 所以. 题型4：由前n项和判断数列是否是等差数列 方法技巧 1. 定义法：由求出，验证是否为常数。 2. 形式判断法：在选填题中，若（无常数项），则为等差数列；若有常数项，则不是。 3. 为等差数列的充要条件：（为常数，无常数项，可以为0）。 4. 若是不含常数项的一次式，则公差，数列为常数列，也属于等差数列。 【例题4.1】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知等差数列前项和为，则______. 【答案】 【分析】结合等差数列前项和的性质建立方程，求解参数即可. 【详解】因为，所以， 若为等差数列前项和，则，解得. 故答案为： 【例题4.2】（2026·江苏苏州·三模）（多选）数列的前项和记为，且，则（    ） A． B．为等差数列 C．中既有最大项也有最小项 D．中有最大项但无最小项 【答案】ABC 【分析】利用、求出可判断A；利用等差数列的定义可判断B；利用求出判断出单调性可判断CD. 【详解】对于A，当时，， 当时，， 所以 ，故A正确； 对于B，由已知，所以， 当时，，且， 所以是以为首项，为公差的等差数列，故B正确； 对于C， 当时，， 所以， 所以当时开始单调递增且为负数， 且当时，为最大项， 为最小项，可得中有最大项也有最小项，故C正确D错误. 【变式4.1】（专题02 等差数列（压轴题6大类型专项训练）高二数学人教A版2019选择性必修第二册）已知数列中，，前n项和为，且为等差数列.证明：数列是等差数列. 【答案】 因为，故， 又为等差数列，所以，即， 当时，，， 又，所以数列是一个以为首项，公差为的等差数列. 【分析】根据等差数列的通项公式得到，然后利用得到，最后根据等差数列的定义证明即可. 【详解】略 【变式4.2】（类型1 等差、等比数列的证明）设为数列的前项和．已知，且为等差数列．求证：数列为等差数列． 【答案】设等差数列的公差为，则． 因为，所以可得①， 又因为，则，结合可得②， 联立①②解得， 所以，即， 当时，， 又当时，，满足， 所以，所以， 故数列是首项为2，公差为2的等差数列． 【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列公式和题设条件得到关于的方程求出，进而求出，接着由求出数列的通项公式即可由等差数列定义求解. 【详解】略 题型5：等差数列片段和性质的应用 方法技巧 1. 片段和性质：仍成等差数列，公差为。 2. 利用该性质可跳过繁琐计算，直接由已知片段和求未知片段和。 3. 三个片段和成等差，即。 4. 注意片段和的项数必须相同，每段含项才能使用该性质。 【例题5.1】（25-26高二下·江西景德镇·阶段检测）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．15 B． C． D．7 【答案】C 【分析】使用等差数列前项和的性质成等差数列表示未知量，进而求解即可. 【详解】设，，则， ，，成等差数列，， 即，解得，所以. 【例题5.2】（25-26高三下·河南周口·阶段检测）设等差数列的前项和为，且，，则__________. 【答案】34 【分析】由等差数列的片段和性质可得. 【详解】由等差数列的性质可得成等差数列， 因为，，所以， . 【变式5.1】（25-26高二下·广东中山·期中）已知等差数列的前项和为，且，则__________． 【答案】6 【分析】利用等差数列的片段和仍然成等差数列求解. 【详解】因为成等差数列，设其公差为， 所以，所以， 所以，所以． 【变式5.2】（25-26高二下·云南玉溪·期中）（多选）设数列的前n项和为，，则下列说法正确的是（ ） A．是等差数列 B．成等差数列，公差为 C．当或时，取得最大值 D．时，n的最大值为32 【答案】AC 【分析】利用得到，，即可判断A；根据等差数列片段和的性质和等差数列定义可判断B；可得，利用二次函数性质可判断C；解不等式可判断D. 【详解】A选项，由题，当时，， 当时，， 显然，即满足上式，从而， 由于，故为等差数列，A正确； B选项，， ，由于， 由A选项知，的公差为， 故成等差数列，公差为，B错误； C选项，， 又，故当或时，取得最大值，C正确； D选项，，即，解得， 又，故，n的最大值为33，D错误. 题型6：前n项和与n的比所组成的等差数列 方法技巧 1. 由，得。 2. 数列是首项为、公差为的等差数列。 【例题6.1】（25-26高二下·江西九江·期中）已知是等差数列的前项和，若，，则等于（   ） A． B．2026 C． D．4052 【答案】C 【分析】根据是等差数列的前项和，推得数列是等差数列，利用基本量运算即可求解. 【详解】因为是等差数列的前项和， 所以数列是等差数列. 又，， 则数列的公差，首项为， 所以，. 【例题6.2】（25-26高三下·陕西西安·开学考试）记等差数列的前项和为，则___________． 【答案】 【分析】借助等差数列定义及求和公式可得也为等差数列，求出公差即可得解. 【详解】记等差数列的公差为，则， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，解得， 故. 【变式6.1】（25-26高三上·江西赣州·期末）已知等差数列的前项和为，且满足，，则下列说法错误的是（   ） A．数列的通项公式为 B． C．前项和 D．数列是公差为的等差数列 【答案】D 【分析】设等差数列的公差为，根据题意得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可求出数列的通项公式，可判断AB选项；利用等差数列的求和公式可判断C选项；利用等差数列的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，设等差数列的公差为， 则，解得， 所以数列的通项公式为，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，故， 所以数列是公差为的等差数列，D错. 故选：D. 【变式6.2】（25-26高二上·江苏连云港·期末）设是等差数列的前项和，. (1)证明：数列是等差数列； (2)当，时，求和：. 【答案】(1)是等差数列，设首项为，公差为，则. 又， . （常数）， 是首项为，公差为的等差数列. (2) 【分析】（1）根据等差数列的定义，求出为定值即可； （2）由，列方程组求解后可得到的通项公式，利用裂项求和法求和即可. 【详解】（1）略 （2），， ，解得， 由（1）可知， ， . 题型7：两个等差数列的前n项和之比问题 方法技巧 1. 核心结论：等差数列与的前项和分别是和，则。 2. 已知前项和之比，求某一项之比，利用上述结论转换下标。 3. 已知前项和形式分别为，，直接代入比值计算。 4. 注意下标对应关系：第项之比对应前项和之比，不要下标错位。 【例题7.1】（25-26高二下·全国·课堂例题）等差数列与的前项和分别是和，已知，则________． 【答案】 【分析】利用等差数列的求和公式以及等差数列的性质计算即可得解. 【详解】因为、均为等差数列，且其前项和分别是和，， 所以. 故答案为：. 【例题7.2】（2025·湖北·模拟预测）已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，可设，，利用即可求解. 【详解】因为等差数列，的前n项和分别为，，所以， 因为，所以可设，，则，， 所以. 故选：D. 【变式7.1】（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为等差数列，所以； 因为为等差数列，所以且； 又因为，所以，即， 则. 【变式7.2】（2026·重庆·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 因此， 因为， 因此， 所以原式化简为， 而，所以原式为， 而因为，所以， 则，， 代入得，， 而已知， 设，(为非零常数)，，， 所以. 题型8：等差数列奇数项与偶数项的和 方法技巧 1. 项数为时：，，。 2. 项数为时：，，。 3. 奇数项、偶数项各自仍成等差数列，公差为。 4. 已知奇偶项和的关系，可反求项数或公差，注意先判断总项数的奇偶性。 【例题8.1】（2026·江西赣州·二模）在等差数列中，公差，且，则（   ） A．5 B．50 C．60 D．105 【答案】A 【分析】根据题意得，进而得. 【详解】解:因为等差数列中，，， 所以， 即， 所以 【例题8.2】（25-26高二上·江苏南京·期末）已知等差数列中，前项的和是99，其中奇数项和是55，且，则通项公式为______． 【答案】 【分析】根据等差数列下标的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】设该等差数列的公差为， 因为前项的和是99，其中奇数项和， 所以偶数项和， ， 所以，所以由，解得， 因为， . 故答案为： 【变式8.1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知项数为奇数的等差数列共有项，其中奇数项之和为72，偶数项之和为60，则项数的值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．13 【答案】C 【详解】由题意，， ， 所以， 所以． 【变式8.2】（2026·重庆北碚·模拟预测）（多选）已知为等差数列，记的前项和为，前项中所有偶数项的和为，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据等差数列的性质求出数列的通项公式，然后依次判断即可. 【详解】已知为等差数列，设等差数列的首项为，公差为，前项和为， 由于，根据等差数列前项和公式，有，化简得， 又因为前项中所有偶数项的和为，且，即，得，化简得， 联立，解得，所以数列的通项公式为， 对于A，，故A正确； 对于B，前项中所有偶数项的和为，即，其中构成首项为，公差为的等差数列， 因此，故B错误； 对于C，由于，， 所以，，即，故C正确； 对于D，已知，， 则，所以， 则，故D正确. 题型9：含绝对值的等差数列前n项和 方法技巧 1. 先求数列通项，确定正负项的分界项：令，找出从哪一项开始变号。 2. 若前项非负、从第项为负，设前n项和为，前n项和为，则。 3. 最终写成分段函数形式，注意验证分界点处的和是否连续。 【例题9.1】（25-26高三上·辽宁·期中）已知数列满足，，则数列的前12项和为（    ） A．108 B．28 C．62 D．80 【答案】D 【分析】利用数列的通项公式，可判断各项的正负，去绝对值，再求数列的前12项的和即可. 【详解】设数列的前项和为， 则， 因为当时，，当时，， 所以. 故选：D. 【例题9.2】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）（多选）已知数列满足，则（    ） A． B． C．的前项和为 D．的前项和为 【答案】BCD 【分析】先利用与的关系求得的通项公式，可判断B选项，再令，计算可判断A选项，由的通项公式可知是以为首项，公差的等差数列，利用等差数列的前和公式可得,可判断C选项，先求出的通项公式，然后利用分组求和法计算前10项和，可判断D选项. 【详解】对于B，①， 时，②， 两式相减得，整理得， 时，则，满足， 故，，B选项正确. 对于A，时，，A选项错误. 对于C，，， 是以为首项，公差的等差数列， 其前项和，C选项正确. 对于D，， 的前项和 ，D选项正确. 【变式9.1】（25-26高三上·河北保定·开学考试）已知等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式进行求解即可； （2）根据绝对值的性质，运用分类讨论思想，结合等差数列的前项和公式进行求解即可. 【详解】（1）设的公差为. 由， 可得 解得 则. （2）由（1）可知，当时，，则， 则. 当时，，则， 则. 故 【变式9.2】（26-27高二上·江苏连云港·阶段检测）已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列前项和. 【答案】(1)（）. (2)（）. 【分析】（1）求等差数列通项，可将题目条件转化为关于首项和公差d的方程组，解出基本量后代入通项公式即可；（2）含绝对值的等差数列求和，先确定通项正负的分界项，再分区间去掉绝对值，分别用等差数列求和公式计算分段结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意， 解得，， 所以（）. （2）设， 所以，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列． 再设（）. 当，时， ； 当，时， ． 所以 （）. 题型10：等差数列前n项和的二次函数特征 方法技巧 1. ，当时，是关于的二次函数，无常数项。 2. 开口方向由决定：开口向上，有最小值；开口向下，有最大值。 3. 当时，对称轴为，最值在对称轴附近的正整数处取得。 4. 当时，图像是过原点的抛物线上的离散点，必须取正整数。 【例题10.1】（25-26高三下·云南曲靖·阶段检测）在数列中，，，其前项和，则______． 【答案】2 【分析】利用等差数列前项和的二次函数形式，结合已知的和求出首项和公差，从而可得结果. 【详解】因为数列的前项和，所以数列为等差数列，设其公差为， 则解得， 所以，则，， 所以． 【例题10.2】（25-26高二下·湖北黄冈·期中）在等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k为（   ） A．2012 B．2013 C．2014 D．2015 【答案】A 【分析】利用等差数列的前项和是关于的二次函数，由二次函数的对称性即可求解. 【详解】因为等差数列的前项和是关于的二次函数，所以由二次函数图象的对称性及，, 可得，解得. 【变式10.1】（25-26高二下·辽宁鞍山·期中）（多选）设是等差数列，是其前项的和，且，，则下面结论正确的是(    ) A． B． C．与均为的最大值 D．满足的的最小值为14 【答案】ACD 【详解】A选项：因为，所以A正确； B选项：因为，，所以，所以B错误； C选项：因为，是一个递减等差数列，当时，，所以当时，，故与均为的最大值，故C选项正确； D选项：因为，，所以，而，所以满足的的最小值为14,故D选项正确. 【变式10.2】（2025·广东·模拟预测）已知等差数列的前项和为，其中，. (1)求数列的通项公式； (2)求使得不等式成立的的值. 【答案】(1) (2)1，2 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及求和公式列出方程求公差和首项即可得解； （2）由等差数列的求和公式、通项公式化简不等式求解即可． 【详解】（1）依题意，，解得， 故数列的公差， 则； （2）， 故，即，即，解得， 因为，所以使得不等式成立的的值为1，2． 题型11：求等差数列前n项和的最值 方法技巧 1. 二次函数法：将视为关于的二次函数，求对称轴，取最近正整数。 2. 零点分界法：时，令且，找出最后一个非负项，对应处取最大和；反向。 3. 最值一般出现在正负项分界处（存在零项时，零项位置也可取到最值）。 4. 验证相邻两个的值，确保最值位置正确。 【例题11.1】（2026·西藏日喀则·模拟预测）（多选）设为等差数列的前n项和，已知，，则（    ） A．数列的公差为2 B． C． D．当取得最大值时，或7 【答案】BC 【分析】先通过等差数列的基本量的运算求出和公差，确定数列的通项和前n项和，再求得取得最大值时的值． 【详解】设数列的公差为d，则解得，，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； 当取得最大值时，或，故D错误． 【例题11.2】（26-27高二上·全国·期中）已知等差数列 的前 项和为 <<，且数列 有最大值，则使 取最小正值时 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题先确定为等差递减数列，前项均为正，从第项开始为负，满足，由此得出是最小的正值，从而得出值. 【详解】因为等差数列的前项和有最大值，说明该数列是公差的递减数列. 由，得， 因为，即，得. 因为，所以， 因为，又因为，所以， 因为该数列为等差递减数列，前项均为正，从第项开始为负，前项和从第项及后续项开始递减，满足， 由此得出是最小的正值，所以在处首次由正转负前取最小正值，即 . 【变式11.1】（26-27高二上·全国·期中）已知等差数列的前项和为，若<<，则下列说法正确的是（   ） A．数列是递减数列 B．当时最大 C．使<成立的最小自然数为 D．中最小项为. 【答案】D 【分析】由题知，，进而得判断A；再结合，，判断B；根据使的最小自然数是1，最大自然数为49判断C；结合题意，设，则，再讨论符号与单调性即可判断D. 【详解】对于A选项，因为等差数列的前项和为，且， 所以，，即，，即 所以，，公差， 所以，数列单调递增，故错误； 对于B选项，由A选项知，，，所以，当时最小 ， 数列递增，，会持续增大，不存在最大值，故错误； 对于C选项，由A选项知，，， 因为，， 所以，使的最小自然数是1，最大自然数为49，故错误； 对于D选项，由 ，等差数列对应的一次函数 存在零点 ，满足 ， 所以，设等差数列的通项公式为：， 所以，前项和： 所以，， 当时，；前项均为负数，，故； 当时，令，则，且随增大而增大，代入得： 记，由，得； 因为函数在时单调递增， 所以 时，随增大单调递增，其中，时，时，； 综上， 的最小项为 ，故D选项正确. 【变式11.2】（26-27高二上·江苏连云港·阶段检测）已知数列 的前 项和为 . (1)写出数列的前项: ； (2)求前 项和 的最小值； (3)求出 的通项公式. 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）利用，再结合退位相减法可求； （2）根据对称轴可求取最小值时的值，再代入即可求解； （3）根据可求通项. 【详解】（1）已知数列 的前 项和为 ， 所以， ， . （2）已知数列 的前 项和为 ， 所以的对称轴为，又因为，所以当或 时，取最小值， 由于，， 所以的最小值为， （3）当时， ， 当时，， 所以. 题型12：根据等差数列前n项和的最值求参数 方法技巧 1. 将最值条件转化为不等式：最大和对应且，最小和反向。 2. 结合通项公式，解关于参数的不等式组。 3. 二次函数法：利用对称轴位置列不等式，注意为正整数的离散性。 4. 求出参数范围后，代回验证端点值，确保最值确实在指定位置取得。 【例题12.1】（25-26高二上·湖北咸宁·期末）已知等差数列的前项和为，公差为且，当且仅当时最大，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得，进而得，解出即可求解. 【详解】由题意，当且仅当时最大， 所以，即， 所以， 故选：C. 【例题12.2】（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）已知公差为d的等差数列中，为前n项和，若，则______，使得对所有n都成立的一个=______. 【答案】 2 （答案不唯一，满足即可） 【详解】因为数列是公差为d的等差数列， 则，解得； 又因为恒成立，则，即，解得， 所以的一个值为（答案不唯一，满足即可）. 【变式12.1】（26-27高三上·北京门头沟·开学考试）已知等差数列的前项和为，且，则__________；若恒成立，则符合条件的公差的一个取值为__________． 【答案】 （答案不唯一，满足即可） 【分析】先利用等差数列前n项和公式与通项公式化简已知等式求解首项，再根据恒成立等价于且，解不等式得到公差d的取值范围. 【详解】设等差数列的公差为d，，其前n项和公式为，通项公式为，， 又，所以，解得. 因为恒成立， 所以数列递减，且， 所以，解得 符合条件的公差的一个取值为（答案不唯一，满足即可）. 【变式12.2】（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）已知等差数列为递减数列，且，. (1)求数列的通项公式; (2)若数列的前项和，求的最小值. 【答案】(1)； (2)10 【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为， 联立解得或， ∵等差数列为递减数列，，， . （2）由(1)知，故，可得， 化简整理得，解得或，又，所以的最小值为10. 题型13：等差数列的应用 方法技巧 1. 审题建模：将实际问题转化为等差数列，明确首项、公差、项数的实际含义。 2. 利用通项公式或前项和公式求解，注意项数必须为正整数。 3. 结果回归实际场景检验，确保项数、单位符合现实意义。 【例题13.1】（2026高二·全国·专题练习）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上级和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲､乙､丙三人来分，他们分得的白米数依此构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问甲应该分得白米为_____. 【答案】石 【分析】根据题意可得数列中的项，根据等差数列的计算公式可得解. 【详解】依题意，设甲､乙､丙分得的米重量分别为，，，公差为， 则， 且，解得，， 所以， 所以甲应该分得白米为石. 【例题13.2】（26-27高二上·河北保定·期中）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则上面6节的容积共________升． 【答案】 【分析】设出竹子自上而下各节的容积且为等差数列，根据上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升列出关于首项和公差的方程，联立即可求出首项和公差，根据求出的首项和公差，利用等差数列的前项和公式即可求出上面6节的容积． 【详解】设竹子自上而下各节的容积分别为，，，，且其为等差数列， 根据题意得，， 即①，②， 而②①，得，解得， 把代入①，得，故． 【变式13.1】（26-27高三上·广东深圳·开学考试）北京天坛圜丘坛分为上、中、下三层.上层中心为天心石，环绕天心石的第一环有9块扇面形石板，以后每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，且每层内部各环也依次增加9块.每层环数相同，且下层石板总数比中层多729块.则每层的环数是________. 【答案】 【分析】设每层环数为，分析每层与每环的环数求解. 【详解】设每层环数为，每一环石板构成公差为9的等差数列， 上层：首项为9，共环，上层最后一环为， 下一层第一环比上一层最后一环多9， 所以中层首项为，下层首项为中层末项加9， 中层与下层也是项，公差为9的等差数列， 两个等差数列项数相同，公差相同，首项相差， 项数为，公差为9，则总和之差为， 因为下层石板总数比中层多729块，所以，解得. 【变式13.2】（26-27高二上·全国·课后作业）甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供了两个不同的信息图如图．甲调查表明：该县养鸡场年平均出产鸡数从第1年的每个养鸡场1万只上升到第6年的每个养鸡场2万只．乙调查表明：该县养鸡场的个数由第1年的30减少到第6年的10． 请根据提供的信息回答下列问题： (1)求该县第2年养鸡场的个数及年平均出产鸡的总只数； (2)第6年这个县的养鸡业规模相比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由； (3)该县6年中哪一年的养鸡业规模最大？请说明理由． 【答案】(1)该县第2年养鸡场有26个，年平均出产鸡31.2万只 (2)因为，即，所以第6年这个县的养鸡业规模相比第1年缩小了． (3)因为（，且），（，且）． 所以（，且）． 上式可以看作关于的二次函数关系式． 因为二次函数的图象的对称轴为直线， 所以当时，最大，即第2年该县的养鸡业规模最大． 【分析】（1）根据图象，得到第2年养鸡场的个数和每个养鸡场平均出产量，即可求解； （2）根据第1年总共出产鸡的只数和第6年总共出产鸡的只数，比较得到结论； （3）由图得到每年平均每个养鸡场出产的鸡的只数所满足的数列为和每年的养鸡场的个数所满足的数列为，求得的前项的和，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由图（1）可知，从第1年到第6年的每个养鸡场年平均出产鸡数成等差数列，记为数列，公差为，且；由图（2）可知，从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为数列，公差为，且；从第1年到第6年的全县年平均出产鸡的只数记为数列，则． 由，得，所以． 由，得，所以． 故． 综上所述，该县第2年养鸡场有26个，年平均出产鸡31.2万只． （2）略； （3）略. 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 数列 4.2.2等差数列的前n项和公式 内容概览 1 🔷知识点一　等差数列前项和公式 2 🔷知识点二　前项和的函数特征 2 🔷知识点三　前n项和的性质 2 🔷知识点四　前n项和的最值问题 3 3 易错点1：混淆两个前项和公式 3 易错点2：求最值时忽略必须为正整数 4 易错点3：前项和性质中公差记错 4 易错点4：已知求时忽略的验证 5 易错点5：求最值时忽略的情况 5 5 题型1：求等差数列前n项和 5 题型2：等差数列前n项和的基本量计算  6 题型3：由Sn求通项公式 7 题型4：由前n项和判断数列是否是等差数列 8 题型5：等差数列片段和性质的应用 8 题型6：前n项和与n的比所组成的等差数列 9 题型7：两个等差数列的前n项和之比问题 10 题型8：等差数列奇数项与偶数项的和 10 题型9：含绝对值的等差数列前n项和 11 题型10：等差数列前n项和的二次函数特征 12 题型11：求等差数列前n项和的最值 13 题型12：根据等差数列前n项和的最值求参数 14 题型13：等差数列的应用 14 🔷知识点一　等差数列前项和公式 等差数列的前项和公式 已知量 公式一（首项、末项与项数） 公式二（首项、公差与项数） 求和公式 ⚠ 特别提醒 · 公式一适用于已知首项和末项的情况，形式简洁。 · 公式二适用于已知首项和公差的情况，可直接计算。 · 两个公式可以互相转化，根据题目条件灵活选择。 🔷知识点二　前项和的函数特征 将公式二展开整理：，令，，则： 条件 的形式 图象特征 （二次函数，缺常数项） 过原点的抛物线上的孤立点 ， （一次函数） 过原点的直线上的孤立点 ， （常数函数） x轴上的孤立点 ⚠ 特别提醒 · 中没有常数项，这是等差数列前项和的重要特征。 · 若已知（），则该数列从第2项起才是等差数列。 · 二次函数的图象是过原点的抛物线上的孤立点，横坐标为正整数。 🔷知识点三　前n项和的性质 等差数列前项和有以下重要性质： 性质1：等段和性质 若是等差数列的前项和，则，，仍成等差数列，公差为。 即：前项和、第二个项和、第三个项和成等差数列。 性质2：是等差数列 等差数列的前项和满足，因此是首项为、公差为的等差数列。 性质3：两个等差数列前项和之比 若等差数列、的前项和分别为、，则： 即两个等差数列第项之比等于它们前项和之比。 性质4：奇数项和与偶数项和 项数为时：，，。 项数为时：，，。 ⚠ 特别提醒 · 性质1是选填题高频考点，注意新数列的公差是，不是。 · 性质2中的公差是原公差的，不是。 · 性质3中注意项数是，不是。 · 性质4中奇数项和与偶数项和的关系，注意项数是奇数还是偶数时公式不同。 🔷知识点四　前n项和的最值问题 1. 二次函数法 ，若，则从二次函数的角度看：当时，有最小值；当时，有最大值．当取最接近对称轴的正整数时，取到最值． 2. 通项符号法 在等差数列中， 当，时，有最大值，使取得最值的可由不等式组确定． 当，时，有最小值，使取到最值的可由不等式组确定． ⚠ 特别提醒 · 二次函数法注意必须取正整数，对称轴若不是整数，取最接近的整数。 · 通项符号法更直接：当由正变负时，在转折点取得最大值。 · 注意的情况：若，则，两者同为最值。 易错点1：混淆两个前项和公式 【易错点】 已知和时误用公式二，或已知和时误用公式一，导致计算复杂或错误。 【易错消除】 1. 已知：用公式一 2. 已知：用公式二 根据已知条件选择最简便的公式。 【易错例题】（26-27高二上·全国·期中）已知等差数列 中，，则 的值为（　　） A． B． C． D． 易错点2：求最值时忽略必须为正整数 【易错点】 用二次函数求最值时，对称轴算出，直接取，忽略只能取正整数。 【易错消除】 必须取正整数，对称轴时，比较和对应的，注意对称轴两侧相邻整数都是候选，需比较后确定。 【易错例题】（25-26高二上·湖北随州·期末）已知数列为等差数列，为其前项和，，，则________时，最小. 易错点3：前项和性质中公差记错 【易错点】 认为成等差数列的公差是，实际应为。 【易错消除】 等段和性质：成等差数列，公差为。 【易错例题】（25-26高二下·云南玉溪·期末）记为等差数列的前项和，若，，则______________． 易错点4：已知求时忽略的验证 【易错点】 直接用求通项，不验证时是否满足。 【易错消除】 已知求必须分两步： 时， 时， 最后验证是否满足的表达式，不满足则写成分段函数。 【易错例题】（24-25高二下·上海奉贤·阶段检测）已知数列的前 项和 满足 ，则 的通项公式为_____ 易错点5：求最值时忽略的情况 【易错点】 认为只有一个最大值点，忽略时同为最值。 【易错消除】 若，则，两者同为最值。 【易错例题】（26-27高二上·全国·课后作业）已知等差数列的通项公式为，当取最小值时，________． 题型1：求等差数列前n项和 方法技巧 1. 两个求和公式：，或。 2. 已知首项、末项与项数，优先选用第一个公式；已知首项、公差与项数，优先选用第二个公式。 3. 计算时注意项数必须为正整数。 【例题1.1】（26-27高三上·重庆南岸·阶段检测）设等差数列的前项和为，若，则（     ） A． B． C． D． 【例题1.2】（26-27高二上·上海宝山·开学考试）在等差数列中，若首项，公差，则________． 【变式1.1】（2026·北京朝阳·模拟预测）记等差数列的前项和为．若，，则__________，__________． 【变式1.2】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）（多选）已知数列满足，则（    ） A． B． C．数列的前项和为 D．数列的前10项和为216 题型2：等差数列前n项和的基本量计算  方法技巧 1. 前项和的两个核心公式：、，五个基本量。 2. 已知两个独立条件，列关于和的方程组，解出基本量后代入求和。 3. 五个基本量知三可求二，灵活选择公式可减少计算量。 4. 可结合通项公式联立求解，注意项数必须为正整数。 【例题2.1】（2026·广东广州·模拟预测）在公差不为零的等差数列中，为其前项和，若，则（     ） A． B． C． D． 【例题2.2】（26-27高三上·上海宝山·阶段检测）已知等差数列的前项和为，若，，则______． 【变式2.1】（2026·广东广州·模拟预测）（多选）记为等差数列的前项和，已知，则（     ） A．数列是递增数列 B． C．当取最大值时， D．使得成立的的最大值为 【变式2.2】（26-27高三上·陕西商洛·开学考试）（多选）数列为等差数列，为其前项和.已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B．为递减数列 C． D．当时，最小 题型3：由Sn求通项公式 方法技巧 1. 核心关系： 2. 先算时，再算时。 3. 检验是否满足的表达式，满足则合并，不满足写分段形式。 4. 若是关于的二次式且无常数项，则为等差数列。 【例题3.1】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）数列的前n项和，则（    ） A．70 B．120 C．40 D．14 【例题3.2】（25-26高二上·上海宝山·期末）设是数列的前项和，且，则的通项公式为________． 【变式3.1】（26-27高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知正项数列的前项和为，，且，则_______ 【变式3.2】（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知为数列的前项和，若，且数列为等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的首项为1，且，求数列的前n项和. 题型4：由前n项和判断数列是否是等差数列 方法技巧 1. 定义法：由求出，验证是否为常数。 2. 形式判断法：在选填题中，若（无常数项），则为等差数列；若有常数项，则不是。 3. 为等差数列的充要条件：（为常数，无常数项，可以为0）。 4. 若是不含常数项的一次式，则公差，数列为常数列，也属于等差数列。 【例题4.1】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知等差数列前项和为，则______. 【例题4.2】（2026·江苏苏州·三模）（多选）数列的前项和记为，且，则（    ） A． B．为等差数列 C．中既有最大项也有最小项 D．中有最大项但无最小项 【变式4.1】（专题02 等差数列（压轴题6大类型专项训练）高二数学人教A版2019选择性必修第二册）已知数列中，，前n项和为，且为等差数列.证明：数列是等差数列. 【变式4.2】（类型1 等差、等比数列的证明）设为数列的前项和．已知，且为等差数列．求证：数列为等差数列． 题型5：等差数列片段和性质的应用 方法技巧 1. 片段和性质：仍成等差数列，公差为。 2. 利用该性质可跳过繁琐计算，直接由已知片段和求未知片段和。 3. 三个片段和成等差，即。 4. 注意片段和的项数必须相同，每段含项才能使用该性质。 【例题5.1】（25-26高二下·江西景德镇·阶段检测）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．15 B． C． D．7 【例题5.2】（25-26高三下·河南周口·阶段检测）设等差数列的前项和为，且，，则__________. 【变式5.1】（25-26高二下·广东中山·期中）已知等差数列的前项和为，且，则__________． 【变式5.2】（25-26高二下·云南玉溪·期中）（多选）设数列的前n项和为，，则下列说法正确的是（ ） A．是等差数列 B．成等差数列，公差为 C．当或时，取得最大值 D．时，n的最大值为32 题型6：前n项和与n的比所组成的等差数列 方法技巧 1. 由，得。 2. 数列是首项为、公差为的等差数列。 【例题6.1】（25-26高二下·江西九江·期中）已知是等差数列的前项和，若，，则等于（   ） A． B．2026 C． D．4052 【例题6.2】（25-26高三下·陕西西安·开学考试）记等差数列的前项和为，则___________． 【变式6.1】（25-26高三上·江西赣州·期末）已知等差数列的前项和为，且满足，，则下列说法错误的是（   ） A．数列的通项公式为 B． C．前项和 D．数列是公差为的等差数列 【变式6.2】（25-26高二上·江苏连云港·期末）设是等差数列的前项和，. (1)证明：数列是等差数列； (2)当，时，求和：. 题型7：两个等差数列的前n项和之比问题 方法技巧 1. 核心结论：等差数列与的前项和分别是和，则。 2. 已知前项和之比，求某一项之比，利用上述结论转换下标。 3. 已知前项和形式分别为，，直接代入比值计算。 4. 注意下标对应关系：第项之比对应前项和之比，不要下标错位。 【例题7.1】（25-26高二下·全国·课堂例题）等差数列与的前项和分别是和，已知，则________． 【例题7.2】（2025·湖北·模拟预测）已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式7.1】（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式7.2】（2026·重庆·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，且，则（     ） A． B． C． D． 题型8：等差数列奇数项与偶数项的和 方法技巧 1. 项数为时：，，。 2. 项数为时：，，。 3. 奇数项、偶数项各自仍成等差数列，公差为。 4. 已知奇偶项和的关系，可反求项数或公差，注意先判断总项数的奇偶性。 【例题8.1】（2026·江西赣州·二模）在等差数列中，公差，且，则（   ） A．5 B．50 C．60 D．105 【例题8.2】（25-26高二上·江苏南京·期末）已知等差数列中，前项的和是99，其中奇数项和是55，且，则通项公式为______． 【变式8.1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知项数为奇数的等差数列共有项，其中奇数项之和为72，偶数项之和为60，则项数的值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．13 【变式8.2】（2026·重庆北碚·模拟预测）（多选）已知为等差数列，记的前项和为，前项中所有偶数项的和为，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 题型9：含绝对值的等差数列前n项和 方法技巧 1. 先求数列通项，确定正负项的分界项：令，找出从哪一项开始变号。 2. 若前项非负、从第项为负，设前n项和为，前n项和为，则。 3. 最终写成分段函数形式，注意验证分界点处的和是否连续。 【例题9.1】（25-26高三上·辽宁·期中）已知数列满足，，则数列的前12项和为（    ） A．108 B．28 C．62 D．80 【例题9.2】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）（多选）已知数列满足，则（    ） A． B． C．的前项和为 D．的前项和为 【变式9.1】（25-26高三上·河北保定·开学考试）已知等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【变式9.2】（26-27高二上·江苏连云港·阶段检测）已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列前项和. 题型10：等差数列前n项和的二次函数特征 方法技巧 1. ，当时，是关于的二次函数，无常数项。 2. 开口方向由决定：开口向上，有最小值；开口向下，有最大值。 3. 当时，对称轴为，最值在对称轴附近的正整数处取得。 4. 当时，图像是过原点的抛物线上的离散点，必须取正整数。 【例题10.1】（25-26高三下·云南曲靖·阶段检测）在数列中，，，其前项和，则______． 【例题10.2】（25-26高二下·湖北黄冈·期中）在等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k为（   ） A．2012 B．2013 C．2014 D．2015 【变式10.1】（25-26高二下·辽宁鞍山·期中）（多选）设是等差数列，是其前项的和，且，，则下面结论正确的是(    ) A． B． C．与均为的最大值 D．满足的的最小值为14 【变式10.2】（2025·广东·模拟预测）已知等差数列的前项和为，其中，. (1)求数列的通项公式； (2)求使得不等式成立的的值. 题型11：求等差数列前n项和的最值 方法技巧 1. 二次函数法：将视为关于的二次函数，求对称轴，取最近正整数。 2. 零点分界法：时，令且，找出最后一个非负项，对应处取最大和；反向。 3. 最值一般出现在正负项分界处（存在零项时，零项位置也可取到最值）。 4. 验证相邻两个的值，确保最值位置正确。 【例题11.1】（2026·西藏日喀则·模拟预测）（多选）设为等差数列的前n项和，已知，，则（    ） A．数列的公差为2 B． C． D．当取得最大值时，或7 【例题11.2】（26-27高二上·全国·期中）已知等差数列 的前 项和为 <<，且数列 有最大值，则使 取最小正值时 的值为（　　） A． B． C． D． 【变式11.1】（26-27高二上·全国·期中）已知等差数列的前项和为，若<<，则下列说法正确的是（   ） A．数列是递减数列 B．当时最大 C．使<成立的最小自然数为 D．中最小项为. 【变式11.2】（26-27高二上·江苏连云港·阶段检测）已知数列 的前 项和为 . (1)写出数列的前项: ； (2)求前 项和 的最小值； (3)求出 的通项公式. 题型12：根据等差数列前n项和的最值求参数 方法技巧 1. 将最值条件转化为不等式：最大和对应且，最小和反向。 2. 结合通项公式，解关于参数的不等式组。 3. 二次函数法：利用对称轴位置列不等式，注意为正整数的离散性。 4. 求出参数范围后，代回验证端点值，确保最值确实在指定位置取得。 【例题12.1】（25-26高二上·湖北咸宁·期末）已知等差数列的前项和为，公差为且，当且仅当时最大，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例题12.2】（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）已知公差为d的等差数列中，为前n项和，若，则______，使得对所有n都成立的一个=______. 【变式12.1】（26-27高三上·北京门头沟·开学考试）已知等差数列的前项和为，且，则__________；若恒成立，则符合条件的公差的一个取值为__________． 【变式12.2】（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）已知等差数列为递减数列，且，. (1)求数列的通项公式; (2)若数列的前项和，求的最小值. 题型13：等差数列的应用 方法技巧 1. 审题建模：将实际问题转化为等差数列，明确首项、公差、项数的实际含义。 2. 利用通项公式或前项和公式求解，注意项数必须为正整数。 3. 结果回归实际场景检验，确保项数、单位符合现实意义。 【例题13.1】（2026高二·全国·专题练习）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上级和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲､乙､丙三人来分，他们分得的白米数依此构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问甲应该分得白米为_____. 【例题13.2】（26-27高二上·河北保定·期中）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则上面6节的容积共________升． 【变式13.1】（26-27高三上·广东深圳·开学考试）北京天坛圜丘坛分为上、中、下三层.上层中心为天心石，环绕天心石的第一环有9块扇面形石板，以后每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，且每层内部各环也依次增加9块.每层环数相同，且下层石板总数比中层多729块.则每层的环数是________. 【变式13.2】（26-27高二上·全国·课后作业）甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供了两个不同的信息图如图．甲调查表明：该县养鸡场年平均出产鸡数从第1年的每个养鸡场1万只上升到第6年的每个养鸡场2万只．乙调查表明：该县养鸡场的个数由第1年的30减少到第6年的10． 请根据提供的信息回答下列问题： (1)求该县第2年养鸡场的个数及年平均出产鸡的总只数； (2)第6年这个县的养鸡业规模相比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由； (3)该县6年中哪一年的养鸡业规模最大？请说明理由． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $