专题04 三角函数综合训练（压轴题专项训练） 数学新教材浙教版九年级下册

专题四 三角函数综合训练 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型与解法归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、三角函数在抛物线动点中的应用 —— 求坐标与线段长 题型二、三角函数在双动点面积问题中的应用 —— 函数图像判断 题型三、三角函数在矩形三角形面积最值中的应用 —— 动点图形最大面积 题型四、三角函数结合相似与平行四边形 —— 求线段长度与比例 题型五、三角函数倍角与和角关系探究（12345 模型） 题型六、三角函数新定义的阅读理解与迁移应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 本专题是三角函数的综合，主要与二次函数、圆、三角形、四边形、相似三角形、勾股定理、线段比例、面积最值问题融合考查。解题的核心是根据三角函数的边角比定义，通过作垂线构造直角三角形，完成角度条件与线段比例的互相转化；同时结合坐标参数法、相似转化、面积割补、函数建模等思想，处理动点、定角、特殊角度模型（12345 模型）、新定义探究类压轴问题。 学生高频易错点主要有如下几种情形： 1. 面积函数没写定义域（t 的取值范围）； 2. 抛物线上求角的题，忘记用横纵坐标之差算正切； 3. 相似三角形对应边找错，比值反过来； 4. 分类讨论漏解（点在延长线上、动点越过顶点）。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、三角函数在抛物线动点中的应用 —— 求坐标与线段长 典例1　（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）一把油纸伞，千年江南韵．油纸伞是汉族古老的传统用品之一．如图，油纸伞中轴截面可看作是抛物线的一部分，已知锁扣为C点，抛物线的最高点为P，点P到水平面的距离，已知． (1)求抛物线的表达式；（无需写出自变量的取值范围）． (2)为了牢固，需在伞杆的左右两侧安装对称的固定支架，若A，B间的距离为，且，求油纸伞锁扣到水平面的距离的长度．（参考数据：结果精确到） 解题模板 1.把点坐标设成 (t, at²＋bt＋c)，用两点间距离公式算线段长; 2.求角的正切值，先作水平线或铅垂线造直角，用"纵坐标之差∶横坐标之差"; 3.线段比转化为坐标比，注意按点在对称轴左右两侧分类讨论。 变式1-1　（24-25九年级上·浙江金华·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，则（   ） A． B． C． D． 变式1-2　如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），连接，点P为抛物线上一动点（不与点A、B、C重合），其横坐标为m． (1)直接写出点A和点C的坐标：A______，C______； (2)设抛物线上点P与点C之间的部分（包含点P和点C）为图像G，当图像G的最高点和最低点的纵坐标之差为8时，求m的值： (3)如图2，点P在第四象限抛物线上，且四边形是轴对称图形时，求． (4)连接、，若的内角或中至少有一个角与相等，请直接写出点P的坐标． 变式1-3　如图，抛物线经过，，三点，D为直线上方抛物线上一动点，过点D作轴于点Q，与相交于点M．于E． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求线段长度的最大值； (3)连接，F是的中点，是否存在点D，使得中有一个角与相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由． 题型二、三角函数在双动点面积问题中的应用 —— 函数图像判断 典例2　（2026·浙江杭州·模拟预测）某学习小组分到如图1所示农耕地用于劳动课种植果蔬，已知．小明（点）从点出发，同时小红（点）从点出发，以相同的速度按逆时针方向沿的边走动，记录测量数据，两人各执卷尺一端，卷尺（）保持笔直．当小明到达点时，小红刚好到达点；当小明到达点时，小红到点还差米．在小明从点到点的过程中，设为米，四边形的面积为平方米，如图2，关于的函数图象与轴的交点为，最低点的纵坐标为．下列结论正确的是（   ）． A． B． C．的面积为平方米 D．当四边形为梯形时， 解题模板 1.设运动时间为 t，先用 t 表示关键点坐标，再表示底和高; 2.面积写成 t 的二次函数，配方求最值，别忘了写 t 的取值范围; 3.分段运动要分段写解析式，并检验分段点处是否连续。 变式2-1　（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图（1）所示，为矩形的边上一点，动点P，Q同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是秒．设P、Q同时出发秒时，的面积为．已知与的函数关系图象如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②；③当时，；④当秒时，；其中正确的结论是（   ） A．①③ B．②③ C．①③④ D．②④ 变式2-2　（2025·浙江杭州·一模）小区内开车必须遵守限速安全规范．如图，在某小区拐角处的一段道路上，有一儿童在处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的处驶来，经过秒直行到处刚好观察到处的儿童（此时三点共线）．已知，，，，试问该汽车是否遵守行车安全规范？（参考数据：，，） 变式2-3　（25-26九年级上·浙江丽水·期中）如图1，在中，，点从点出发以的速度沿折线运动，点从点出发以的速度沿运动．两点同时出发，当某一点运动到点时，两点同时停止运动．设运动时间为，的面积为，关于的函数图象由，两段组成，如图2所示．则下列选项正确的是（    ） A． B． C．当时，的范围是 D．的最大值为 题型三、三角函数在矩形三角形面积最值中的应用 —— 动点图形最大面积 典例3　（2026·浙江宁波·二模）如图1，矩形，点，分别在边和上，平分，交于点． (1)记为， ①用含有的代数式表示； ②若，求的值； (2)如图2，连接，若的面积为7，求的面积． 解题模板 1.面积相等或成比例，先用同一组底和高表示，再约简; 2.最值优先配方，其次用二次函数顶点或对称性; 3.结果要检验是否落在定义域内，端点值也要算。 变式3-1　（2026·浙江宁波·模拟预测）已知：在中，． (1)如图1，求的面积． (2)如图2，点在边上，将沿射线方向平移至，使得点与点重合． ①连接．求的面积． ②如图3，将绕点旋转至，边与线段的延长线交于点，连接．当时，求的最小值． 变式3-2　（20-21九年级下·浙江·阶段检测）如图1，在矩形中，，点P是对角线上一动点（不包括点A和点C），过点P作的垂线，交直线于点E，交边（或）于点G，过点E作交直线于点F，连接． (1)如图2，当点G与点B重合时，求的长； (2)当点G在边上时，求面积的最大值； (3)点P在线段上的整个运动过程中，是否存在点P，使得与相似？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 题型四、三角函数结合相似与平行四边形 —— 求线段长度与比例 典例4　（2026·浙江丽水·模拟预测）在中，，，，点在上，以，为邻边作，连接交于点．若点在的中垂线上，则的长是______． 解题模板 1.三角函数值先转成边的比，再用相似把比搬到已知边上; 2.找相似看"两角对应相等"，公共角、对顶角、直角都是现成条件; 3.设未知边为 x，用相似比列方程，再用勾股定理收尾。 变式4-1　（2025·浙江宁波·一模）如图所示，在中，，点D为上一点，满足，，过点C作于P点， 连接交于点Q， 则__．（结果用含n的代数式表达） 变式4-2　（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，在上有50个不同的点，过这50个点分别作的内接矩形，每个内接矩形的周长分别为，则______________．    变式4-3　（2024·浙江金华·二模）【基础巩固】 （1）如图1，在中，点是上的一点，且，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在（1）的条件下，过点作，交于点．若，，求的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在中，点是的中点，连结，交于点，且．若，求的值． 题型五、三角函数倍角与和角关系探究（12345 模型） 典例5　（2021·浙江杭州·三模）在学习《锐角三角函数》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究． (1)初步尝试：我们知道：tan60°＝ ，tan30°＝ ，发现结论：tanA 2tan∠A（填“＝”或“≠”）； (2)实践探究：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，BC＝1，求tan∠A； 小明想构造包含∠A的直角三角形：延长CA至D，使得DA＝AB，所以得到∠D＝∠A，即转化为求∠D的正切值． 请按小明的思路进行余下的求解： (3)拓展延伸：如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝．求tan2A的值． 解题模板 1.记住基本模型：tanα＝、tanβ＝ 时 α＋β＝45°; 2.遇 45° 需要拆角时，优先往 与 这组数上凑; 3.网格里出现 1×2 与 1×3 的直角三角形，可直接判定两角之和为 45°。 变式5-1　（18-19九年级上·江苏无锡·阶段检测）在学习苏科版九下《锐角三角函数》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究． （1）初步尝试：我们知道：tan60°＝　 　，tan30°＝　 　，发现结论：tanA　 　2tan∠A（填“＝”或“≠”）； （2）实践探究：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求tan∠A的值；小明想构造包含∠A的直角三角形：延长CA至D，使得DA＝AB，连接BD，所以得到∠D＝∠A，即转化为求∠D的正切值． 请按小明的思路进行余下的求解： （3）拓展延伸：如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tanA＝． ①tan2A＝　 　； ②求tan3A的值． 变式5-2　（2023·浙江宁波·一模）【基础巩固】 （1）如图1，四边形是正方形，点是边上与点不重合的任意一点，，，点是射线上一点，求证：． 证明思路：在上截取，因为，所以，请完成接下去的证明； 【尝试应用】 （2）如图2，在矩形中，点是边上与不重合的任意一点，，，点是射线上一点，求的值； 【拓展提高】 （3）如图3，在矩形中，点是边上一点，连结，作，使点，分别落在边，．上．若，且，求的值． 变式5-3　（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）和角公式的提出：小明同学在九下数学教材第八章学习了锐角三角函数，根据其定义又得、等特殊角的三角函数值，如，，，．聪明的小明同学思考：，的角也是比较特殊的角，它们可以通过，角的和差得到，那么，角的三角函数值是否可以用，角的三角函数值而得到呢？小明同学探究发现，是可以的，如．小明同学继续探索，可否将两角和的正弦一般化呢？就是说如何得到两角和的正弦公式？小明探索了如下三个问题，请你帮助其完成． 和角公式的探索：如图①，是锐角三角形． (1)若，，，求的面积； (2)设，都为锐角且，请在中，用初中的知识证明小明提出的和角正弦公式：； (3)如图②，点是边上的一点，若，，，，则的面积为________． 题型六、三角函数新定义的阅读理解与迁移应用 典例6　（2024·浙江·模拟预测）定义：若一个四边形的面积被一条对角线平分，则称这样的四边形为分积四边形，这条对角线为分积线． (1)如图①， 中， 为对角线 上一点，求证：四边形 为分积四边形； (2)如图②，矩形 的顶点 在函数 的图象上，边 在 轴上，边 轴，点 在对角线 上，对角线 交 轴于点 ，连结 ，， 的面积为 4，求 的值； (3)如图③，四边形 为分积四边形，对角线 为分积线， ，对角线 与 交于点 ，，求 的值． 解题模板 1.新定义先翻译成坐标语言或边角关系，再代一组具体数验证; 2.探究题从特殊情况入手，猜出结论再证一般情形; 3.多问递进，后一问直接引用前一问的结论。 变式6-1　学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．如图，在中，，顶角的正对记作， 这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的． 根据上述对角的正对定义，解下列问题： (1)的值为（     ）    A．      B．    C．     D． (2)对于，则的正对值的取值范围是 ； (3)已知，其中为锐角，求的值． 变式6-2　阅读、理解、应用 研究间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦和正切三种三角函数，即在图所示的直角三角形，是锐角，那么，，．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义： 设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立直角坐标系（图），在角α的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，终边可以看作是将射线绕点逆时针旋转后所得到的，和原点的距离为（总是正的）然后把角α的三角函数规定为：，，（其中，分别是点的横、纵坐标）我们知道，图的三个比值的大小与角的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，三个比值的正、负取决于角α的终边所在的象限，而与点在角α的终边位置无关． 比较图与图，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题． (1)如图3，若，则角α的三角函数值α、α、α，其中取正值的是 ． (2)已知α是钝角，则下列说法正确的是 ． ． ． ．α ．α (3)若角α的终边与直线重合，则αα ． (4)若角α是锐角，其终边上一点且，试求和α的值． 变式6-3　在中，，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，利用锐角三角函数定义很容易推导出一些关系式，如，等，这些公式在三角函数式子的变形中运用比较广泛．设，是锐角，定义：当时，两角和的余弦公式：． 例：计算的值． ， 两角差的余弦公式：．利用类比的方法运用公式求解． (1)计算_______． (2)计算的值； (3)一副斜边长均为16的三角板拼成如图所示的图形，求过A、B、C、D四点的矩形ABEF的面积． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（2025·浙江台州·二模）如图1，在中，，点E是斜边上一个动点．过点E作，垂足为E，交边（或边）于点F，连接，设，的面积为y，则y与x之间的函数图象如图2，已知，则________． 2．（24-25九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，正方形的边长为，点是的中点，与交于点，是上一点，连接分别交，于点，，且，连接，则____________，____________． 3．（24-25九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在矩形中，，，连结，点，分别为，边上一点，于点． (1)若，则=_____． (2)若，则可取的最大整数值为_____． 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，点P在线段上，，，，若，，，则的长是______． 5．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，已知矩形中，E是的中点，于点F，连接交于点G． (1)若，求的长； (2)若，求的值； 6．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，点F是正方形边上一点，过F作，交于G，连接是的中点，过H作交于点E． (1)连接，求证：． (2)若 ①若，，求的长； ②连接，求的值．（用含k的代数式表示）． 7．（2023·浙江丽水·一模）如图1，A，B分别在射线上，且为钝角，现以线段为斜边向的外侧作等腰直角三角形，分别是，点C，D，E分别是，的中点．    (1)求证：； (2)延长交于点R． ①如图1，若，求证：为等边三角形； ②如图3，若，求大小和的值． 8．（2023·浙江衢州·三模）如图，已知在正方形中，E是的中点，F为上的动点（不与A，B重合），连接，交于点P，连接．    (1)推断与计算 ①当F在中点时，B，P，D三点恰好共线，则__________； ②若正方形的边长为1，在①的条件下，求的面积； (2)猜想与证明 请猜想与的数量关系，并证明这个结论： (3)拓展与应用 当是等腰三角形时，求的值． 9．（2024·广东广州·二模）如图，已知正方形的边长为4，是边延长线上一点，，是边上一点，将沿翻折，使点的对应点落在边上，则的长是（    ） A． B． C．1 D． 10．（2025·浙江杭州·一模）如图，在正方形中，点为的中点，点在以为直径的半圆上，，延长分别交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 11．（22-23九年级上·四川内江·阶段检测）综合与实践：在学习《解直角三角形》一章时，小邕同学对一个角的倍角的三角函数值与这个角的三角函数值是否有关系产生了浓厚的兴趣，并进行研究． 【初步尝试】我们知道：___________，___________． 发现：___________（填“”或“”）． 【实践探究】在解决“如图1，在中，，，，求的值”这一问题时，小邕想构造包含的直角三角形，延长到点D，使，连接BD，所以可得，问题即转化为求的正切值，请按小邕的思路求的值 【拓展延伸】如图2，在中，，，．请模仿小邕的思路或者用你的新思路，试着求一求的值． 12．（24-25九年级下·四川内江·开学考试）如图，图中提供了一种求的方法，阅读并填空：先作，其中，；然后延长到点D，使，联结． （1）； （2）设，那么（用t的代数式表示，以下同），； （3）． 某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究： 【知识迁移】 在中，，，那么______；______． 【拓展应用】 如图，在中，，，，点D、E分别在边上，且，，联结交于点F，求的值． 13．（2024·广东广州·二模）【问题提出】 （1）如图1，在边长为6的等边中，点D在边上，，连接，则的面积为 ； 【问题探究】 （2）如图2，已知在边长为6的正方形中，点E在边上，点F在边上，且，若，求的面积； 【问题解决】 （3）如图3是我市华南大道的一部分，因自来水抢修，需要在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中E、F分别在、边上（不与点B、C、D重合），且，为了减少对该路段的交通拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的？若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题四 三角函数综合训练 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型与解法归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、三角函数在抛物线动点中的应用 —— 求坐标与线段长 题型二、三角函数在双动点面积问题中的应用 —— 函数图像判断 题型三、三角函数在矩形三角形面积最值中的应用 —— 动点图形最大面积 题型四、三角函数结合相似与平行四边形 —— 求线段长度与比例 题型五、三角函数倍角与和角关系探究（12345 模型） 题型六、三角函数新定义的阅读理解与迁移应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 本专题是三角函数的综合，主要与二次函数、圆、三角形、四边形、相似三角形、勾股定理、线段比例、面积最值问题融合考查。解题的核心是根据三角函数的边角比定义，通过作垂线构造直角三角形，完成角度条件与线段比例的互相转化；同时结合坐标参数法、相似转化、面积割补、函数建模等思想，处理动点、定角、特殊角度模型（12345 模型）、新定义探究类压轴问题。 学生高频易错点主要有如下几种情形： 1. 面积函数没写定义域（t 的取值范围）； 2. 抛物线上求角的题，忘记用横纵坐标之差算正切； 3. 相似三角形对应边找错，比值反过来； 4. 分类讨论漏解（点在延长线上、动点越过顶点）。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、三角函数在抛物线动点中的应用 —— 求坐标与线段长 典例1　（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）一把油纸伞，千年江南韵．油纸伞是汉族古老的传统用品之一．如图，油纸伞中轴截面可看作是抛物线的一部分，已知锁扣为C点，抛物线的最高点为P，点P到水平面的距离，已知． (1)求抛物线的表达式；（无需写出自变量的取值范围）． (2)为了牢固，需在伞杆的左右两侧安装对称的固定支架，若A，B间的距离为，且，求油纸伞锁扣到水平面的距离的长度．（参考数据：结果精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设抛物线的表达式为，把代入求解即可； （2）连接AB交PQ于点E，可求出，可得A点的横坐标为，代入解析式可求出，在中，求出即可求解． 【详解】（1）解∶由题意得，抛物线的顶点坐标为， 所以可设抛物线的表达式为， 又因为图象过点， 所以． 所以． 所以抛物线的表达式为． （2）解：如图，连接交于点E， 所以由对称可得． 因为， 所以． 所以A点的横坐标为：． 所以当时，，即． 因为， 所以． 所以在中，． 所以． 解题模板 1.把点坐标设成 (t, at²＋bt＋c)，用两点间距离公式算线段长; 2.求角的正切值，先作水平线或铅垂线造直角，用"纵坐标之差∶横坐标之差"; 3.线段比转化为坐标比，注意按点在对称轴左右两侧分类讨论。 变式1-1　（24-25九年级上·浙江金华·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形，求角的正弦值，过点作轴，得到，进而得到，勾股定理求出，利用正弦的定义进行求解即可． 【详解】解：过点作轴，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 变式1-2　如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），连接，点P为抛物线上一动点（不与点A、B、C重合），其横坐标为m． (1)直接写出点A和点C的坐标：A______，C______； (2)设抛物线上点P与点C之间的部分（包含点P和点C）为图像G，当图像G的最高点和最低点的纵坐标之差为8时，求m的值： (3)如图2，点P在第四象限抛物线上，且四边形是轴对称图形时，求． (4)连接、，若的内角或中至少有一个角与相等，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) (4)或 【分析】（1）先令，解一元二次方程，求出点的横坐标，然后令，求出点的纵坐标，再根据点在点左侧直接写出坐标； （2）先把抛物线配方，得到对称轴和顶点坐标，然后按分情况讨论；再分别确定图像的最高点、最低点，由纵坐标之差为8列方程，最后解方程并舍去不合题意的解，求出； （3）先求抛物线对称轴，然后由四边形是轴对称图形，且关于对称，得关于对称，求出点；由对称性关于对称，设交于点，则点在对称轴上，先求得，由轴对称的性质得出，求得，用勾股定理求，，在中求； （4）先在中求出，然后分两种情况：；每种情况：先作垂线构造等腰直角三角形，求出辅助点坐标；再求直线或的解析式，最后联立抛物线解析式，求出交点并舍去重合点，得到点的坐标． 【详解】（1）解：当时，， 解得， 点在点左侧， ， 当时，， ， ； （2）解：抛物线， 抛物线开口向上，顶点坐标为， ①当时，图像的最高点为，最低点为， 由题意：， 即：， 解得：(舍去)， ②当时，随的增大而减小， 图像的最高点为，最低点为点， 顶点是抛物线的最低点， ，即， 纵坐标差为，不符合题意，舍去； ③当时，图像的最高点为，最低点为顶点， 纵坐标差为，不符合题意， ④当时，图像的最高点为，最低点为顶点， 由题意：， 即：， 解得：（舍去）， 综上，或． （3）解：由抛物线， 得抛物线的对称轴为直线， 四边形是轴对称图形，且点关于直线对称， 四边形的对称轴为直线， 点关于直线对称， 对角线与关于对称， 设，交于点，则点在对称轴上， ， ， 在中，， 由对称性可知：， ，， 在中，， 由勾股定理，得， 在中，，， 在中，， ． （4）解：由题意，抛物线为， 在中，， ， 情况1：， 如图，过点作，交y轴于点M，交的延长线于点，则， 在中，， ， 在中，， ， ， 设的解析式为，把点代入，得 解析式为， 在中，， ， 由，得， ， 设由，得， 解得或（舍去）， ， 设直线的解析式为，将点代入，得， 解得，， 直线的解析式为， 联立与 ， 解得(舍去)或， ； 情况2：， 如图，过点C作，交x轴于点，交的延长线于点F，则， 在中，， ， ， 设直线的解析式为：， 把点代入，得， 解得，， 的解析式为：， 在中，， ， ， ， 设，由，得， 解得或（舍去） ， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入，得， 解得， 直线的解析式为， 联立与， ， 整理得， 解得(舍去)或 ， 综上，满足条件的点的坐标为：或． 变式1-3　如图，抛物线经过，，三点，D为直线上方抛物线上一动点，过点D作轴于点Q，与相交于点M．于E． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求线段长度的最大值； (3)连接，F是的中点，是否存在点D，使得中有一个角与相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在；或 【分析】（1）设抛物线解析式为，将代入，即可求出抛物线解析式； （2）设，且，设直线的解析式为，将，代入，求出直线BC的解析式，证明，得出，，即可解得； （3）由正切的定义得出，过点B作，交的延长线于点G，过点G作轴于H，分两种情况①若，②若分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，， ∴设抛物线解析式为， 将代入得：， 解得， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解： 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，且，则， ， ∵， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∴， ， ∴当时，取得最大值，最大值是。 （3）解：存在点D，使得中有一个角与相等． ∵点F是的中点，，，， ∴，，， ， ∴， 如图2，过点B作，交的延长线于点G，过点G作轴于H， ①若， ∴， ∵， ∴， ∵，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∴； 设直线的解析式为， 把，代入得， ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴D的横坐标为：； ②若， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴D的横坐标为：， ∴存在点D，使得中有一个角与相等，点D的横坐标为或． 【点睛】此题考查了二次函数的综合问题， 待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，求一次函数与二次函数交点，相似三角形的判定以及性质，正切等知识，正确作出辅助线，综合运用以上知识是解题的关键． 题型二、三角函数在双动点面积问题中的应用 —— 函数图像判断 典例2　（2026·浙江杭州·模拟预测）某学习小组分到如图1所示农耕地用于劳动课种植果蔬，已知．小明（点）从点出发，同时小红（点）从点出发，以相同的速度按逆时针方向沿的边走动，记录测量数据，两人各执卷尺一端，卷尺（）保持笔直．当小明到达点时，小红刚好到达点；当小明到达点时，小红到点还差米．在小明从点到点的过程中，设为米，四边形的面积为平方米，如图2，关于的函数图象与轴的交点为，最低点的纵坐标为．下列结论正确的是（   ）． A． B． C．的面积为平方米 D．当四边形为梯形时， 【答案】B 【分析】由初始点可得，的面积为平方米，故C错误；由题意可知，，，作于点，利用三角函数和等腰三角形的性质可得，，利用的面积构造方程，解得，则，，故A错误；作于点，利用计算出，从而得到，是一个二次函数，最低点为，故B正确，D错误． 【详解】解：根据题意，当时，， ∴的面积为平方米，故C错误； 由题意可知，，，， 如图，作于点，作于点， ∵，， ∴，， 在中，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴，故A错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ∴是关于的二次函数，图象开口向下，顶点坐标为， ∴，故B正确； 对于D：∵的最小值为，故D错误． 解题模板 1.设运动时间为 t，先用 t 表示关键点坐标，再表示底和高; 2.面积写成 t 的二次函数，配方求最值，别忘了写 t 的取值范围; 3.分段运动要分段写解析式，并检验分段点处是否连续。 变式2-1　（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图（1）所示，为矩形的边上一点，动点P，Q同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是秒．设P、Q同时出发秒时，的面积为．已知与的函数关系图象如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②；③当时，；④当秒时，；其中正确的结论是（   ） A．①③ B．②③ C．①③④ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，解直角三角形，相似三角形的判定，根据图（2）判断出点到达点时点到达点是解题的关键，也是本题的突破口．根据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点到达点时点到达点，从而得到、的长度，再根据、是从5秒到7秒，可得的长度，然后表示出的长度，根据勾股定理求出的长度，然后针对各结论分析解答即可． 【详解】解：根据图（2）可得，当点到达点时点到达点， 点、的运动的速度都是秒， ， ，故①正确； 从到的变化是2， ， ， 在中，， ，故②错误； 过点作于点， ， ， ， ， 当时，，故③正确； 当秒时，点在上，此时，， ， ，， ， 又， ，故④正确． 综上所述，正确的有①③④． 故选：C． 变式2-2　（2025·浙江杭州·一模）小区内开车必须遵守限速安全规范．如图，在某小区拐角处的一段道路上，有一儿童在处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的处驶来，经过秒直行到处刚好观察到处的儿童（此时三点共线）．已知，，，，试问该汽车是否遵守行车安全规范？（参考数据：，，） 【答案】小车行驶符合安全规范 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 先由勾股定理得，证明，则，求出 ，再求出 ，最后比较即可． 【详解】解：中，， 由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， 在中，，， ∴ ， ∴， ∴小车行驶的速度为， ∴小车行驶符合安全规范． 变式2-3　（25-26九年级上·浙江丽水·期中）如图1，在中，，点从点出发以的速度沿折线运动，点从点出发以的速度沿运动．两点同时出发，当某一点运动到点时，两点同时停止运动．设运动时间为，的面积为，关于的函数图象由，两段组成，如图2所示．则下列选项正确的是（    ） A． B． C．当时，的范围是 D．的最大值为 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象与三角形面积的综合应用，解题的关键是结合函数图象的分段特征，分析点的运动阶段，利用三角形面积公式建立函数关系． 分析在段运动时的面积表达式，结合图象数据求和的长度，再分析在段运动时的面积变化，逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A、由图2知，当时，图象与轴相交，只能说明此时到达点（运动停止），Q点位置可能未到达B点，不能得出，故此选项错误，不符合题意； B、当在段的运动（对应图象段） 已知，点速度为，点速度为，运动时间为，则， 过作于，在中，． 因此的面积为： 由图2知，当时，，代入得：， 解得，故此选项错误，不符合题意；； C、当在段时，当时，，故此选项错误，不符合题意； D、如图，当点在线段上时，， 由图2可知，点在图象上， 由于，二次函数图象开口向下，因此函数在顶点处取得最大值． 顶点的横坐标（即取最值时的值）为：， 将代入函数：，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 题型三、三角函数在矩形三角形面积最值中的应用 —— 动点图形最大面积 典例3　（2026·浙江宁波·二模）如图1，矩形，点，分别在边和上，平分，交于点． (1)记为， ①用含有的代数式表示； ②若，求的值； (2)如图2，连接，若的面积为7，求的面积． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①由矩形的性质可得，再根据同角的余角相等得出，由角平分线的定义得出，即可得解；②先证明，再结合正切的定义计算即可得出结果； （2）过点作，由等腰三角形的性质可得，证明，结合相似三角形的性质可得，即可得出结果． 【详解】（1）解：①∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：过点作，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 解题模板 1.面积相等或成比例，先用同一组底和高表示，再约简; 2.最值优先配方，其次用二次函数顶点或对称性; 3.结果要检验是否落在定义域内，端点值也要算。 变式3-1　（2026·浙江宁波·模拟预测）已知：在中，． (1)如图1，求的面积． (2)如图2，点在边上，将沿射线方向平移至，使得点与点重合． ①连接．求的面积． ②如图3，将绕点旋转至，边与线段的延长线交于点，连接．当时，求的最小值． 【答案】(1) (2)①15；② 【分析】（1）过点作于点，则：设，则，结合勾股定理可得：，进一步求解即可． （2）①如图2，连结，证明四边形是平行四边形，求解的面积的面积，可得的面积． ②如图3，过点作于点，求解，过点作于点，则的面积为：求解，结合只需最小，则最小，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：过点作于点，则： ，， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴的面积为：． （2）解：①如图2，连接， ∵沿射线方向平移至， ∴，，， ∴， ∵且， ∴四边形是平行四边形， ∴的面积的面积的面积， ∵， ∴的面积的面积， ∴的面积． ②如图3，过点作于点， 由（1）得：， 当时，， ∴， ∴， 过点作于点，则的面积为：， ∵的面积为：， ∴，解得， ∴， ∵， ∴只需最小，则最小， ∵绕点旋转至， ∴， ∴的最小值， ∴的最小值为：． 变式3-2　（20-21九年级下·浙江·阶段检测）如图1，在矩形中，，点P是对角线上一动点（不包括点A和点C），过点P作的垂线，交直线于点E，交边（或）于点G，过点E作交直线于点F，连接． (1)如图2，当点G与点B重合时，求的长； (2)当点G在边上时，求面积的最大值； (3)点P在线段上的整个运动过程中，是否存在点P，使得与相似？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积最大值是 (3)的长为或或或或 【分析】（1）由面积关系易得，在中由勾股定理求得，再证，即可求得； （2）过B点作交于，由（1）知，证明四边形是平行四边形，，设，则，得，过点E作交于M，证明，由相似三角形的性质求得，则可表示出面积关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可求得最大值； （3）分四种情况，①点G在边上；②点G在边上，；③点G在边上，；④当点G在边上，且点E、点F分别在边的延长线上时，；利用相似三角形的判定与性质及一元二次方程等知识即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：当点G在边上时， 当点E在边上，则点F在边上， 如图，过B点作交于， ∵， ∴， 由（1）知， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴ 设，则， ∴，， 过点E作交于M， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积有最大值； （3）解：存在； ①当点G在边上，时，如图4，设交于点Q， 则， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， 设，则，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； ②当点G在上时，且点E、点F分别在边上，设交于点Q，如图5， 过点G作于M，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 当时，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：，则， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∵，， ∴， 即， 整理得：， 解得：（舍去） ∴； ③当时，如图6， 过点G作于M，设， 与图5情况同理，有：，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 整理得：， 解得：， ∴或； ④当点G在边上，且点E、点F分别在边的延长线上时， 若， 设，则， 同理得，，，，， ∵， ∴， 即， ∴ 整理得：， 解得：（负数舍去）， ∴； 综上，的长为或或或或． 【点睛】本题是四边形、三角形与函数的综合，考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，解一元二次方程，二次函数的性质等知识，综合性强，运算量较大，熟练掌握这些知识并灵活应用是解题的关键． 题型四、三角函数结合相似与平行四边形 —— 求线段长度与比例 典例4　（2026·浙江丽水·模拟预测）在中，，，，点在上，以，为邻边作，连接交于点．若点在的中垂线上，则的长是______． 【答案】 【分析】过点A作于点H，由三线合一定理得到，解直角三角形得到，设，则，由勾股定理得，解方程可推出，；由勾股定理得；证明，得到，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点A作于点H， ∵，，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴； ∵点在的中垂线上， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 解题模板 1.三角函数值先转成边的比，再用相似把比搬到已知边上; 2.找相似看"两角对应相等"，公共角、对顶角、直角都是现成条件; 3.设未知边为 x，用相似比列方程，再用勾股定理收尾。 变式4-1　（2025·浙江宁波·一模）如图所示，在中，，点D为上一点，满足，，过点C作于P点， 连接交于点Q， 则__．（结果用含n的代数式表达） 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、正切的定义等知识点，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键． 设，易得、，再证，根据相似三角形的性质列比例式可得；过A点作垂直的延长线与F，则，易得，根据相似三角形的性质列比例式可得、、，最后利用对顶角相等以及正切的定义即可解答． 【详解】解∶设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即，解得∶， 如图：过A点作垂直的延长线与F，则， ∴， ∴，即，解得：，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 变式4-2　（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，在上有50个不同的点，过这50个点分别作的内接矩形，每个内接矩形的周长分别为，则______________．    【答案】200 【分析】此题考查了矩形的性质、勾股定理、等腰三角形性质、三角函数等知识．此题难度较大，注意数形结合思想与转化思想的应用是解此题的关键．首先过点A作于H，交于点M．由，可求得的长，由勾股定理可求得的长，利用等腰三角形的性质和三角形函数得到，又由四边形是矩形，可得，则可求得的值，同理可求得，……，的值，继而求得答案． 【详解】    解析：过点A作于点D，交于点M． ， ， ， 平分 平分且垂直 ， 为矩形，且 ， ∴矩形的周长． 同理可求得其它的内接矩形的周长均为4， ． 变式4-3　（2024·浙江金华·二模）【基础巩固】 （1）如图1，在中，点是上的一点，且，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在（1）的条件下，过点作，交于点．若，，求的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在中，点是的中点，连结，交于点，且．若，求的值． 【答案】 （1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）； （3） 【分析】（1）证明，得出，可得出结论； （2）设，则，，由相似三角形的性质得出答案； （3）证明，设，则，得出，证明，得出，设，则，，过点作于，则可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， 设，则，， ∵， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴； （3）∵在中，点是的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴或（负值不符合题意，舍去）， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设，则， ∴， ∴， 过点作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查平行四边形的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质，三角形外角的定义及性质，平行线的性质等知识点，掌握相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义是解题的关键． 题型五、三角函数倍角与和角关系探究（12345 模型） 典例5　（2021·浙江杭州·三模）在学习《锐角三角函数》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究． (1)初步尝试：我们知道：tan60°＝ ，tan30°＝ ，发现结论：tanA 2tan∠A（填“＝”或“≠”）； (2)实践探究：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，BC＝1，求tan∠A； 小明想构造包含∠A的直角三角形：延长CA至D，使得DA＝AB，所以得到∠D＝∠A，即转化为求∠D的正切值． 请按小明的思路进行余下的求解： (3)拓展延伸：如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝．求tan2A的值． 【答案】(1)，，≠ (2) (3) 【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值得结论； （2）根据题意，利用勾股定理求AC，得结论； （3）作AB的垂直平分线交AC于E，连接BE，则∠BEC=2∠A，在Rt△EBC中，利用勾股定理求出EC，求tan∠BEC得结果． 【详解】（1）解：tan60°＝，tan30°＝， 发现结论：tanA≠2tan∠A 故答案为：，，≠； （2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1， ∴AB==， 如图1，延长CA至D，使得DA=AB， ∴AD=AB=， ∴∠D=∠ABD， ∴∠BAC=2∠D，CD=AD+AC=2+， ∴tan∠A=tan∠D=； （3）如图2，作AB的垂直平分线交AC于E，连接BE． 则∠BEC=2∠A，AE=BE，∠A=∠ABE ∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，tanA= ∴BC=1，AB=，设AE=x，则EC=3-x， 在Rt△EBC中，x2=(3-x)2+1，解得x=， 即AE=BE=，EC=， ∴tan2A=tan∠BEC=． 【点睛】本题考查锐角三角函数、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，难度较大，在直角三角形中添加辅助线构造2∠A是解题的关键． 解题模板 1.记住基本模型：tanα＝、tanβ＝ 时 α＋β＝45°; 2.遇 45° 需要拆角时，优先往 与 这组数上凑; 3.网格里出现 1×2 与 1×3 的直角三角形，可直接判定两角之和为 45°。 变式5-1　（18-19九年级上·江苏无锡·阶段检测）在学习苏科版九下《锐角三角函数》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究． （1）初步尝试：我们知道：tan60°＝　 　，tan30°＝　 　，发现结论：tanA　 　2tan∠A（填“＝”或“≠”）； （2）实践探究：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求tan∠A的值；小明想构造包含∠A的直角三角形：延长CA至D，使得DA＝AB，连接BD，所以得到∠D＝∠A，即转化为求∠D的正切值． 请按小明的思路进行余下的求解： （3）拓展延伸：如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tanA＝． ①tan2A＝　 　； ②求tan3A的值． 【答案】（1），，≠；（2）﹣2；（3）①；②. 【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值得结论； （2）根据题意，利用勾股定理求AC，得结论； （3）①作AB的垂直平分线交AC于E，连接BE，则∠BEC=2∠A，在Rt△EBC中，利用勾股定理求出EC，求tan∠BEC得结果； ②作BM交AC于点M，使∠MBE=∠EBA，则∠BMC=3∠A．利用角平分线的性质和勾股定理求出EM的长，求tan∠BMC得结果. 【详解】（1）tan60°＝，tan30°＝， 发现结论：tanA≠2tan∠A， 故答案为，，≠； （2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1， ∴AB＝＝， 如图1，延长CA至D，使得DA＝AB， ∴AD＝AB＝， ∴∠D＝∠ABD， ∴∠BAC＝2∠D，CD＝AD+AC＝2+， ∴tan∠A＝tan∠D＝＝﹣2； （3）①如图2，作AB的垂直平分线交AC于E，连接BE， 则∠BEC＝2∠A，AE＝BE，∠A＝∠ABE ∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tanA＝， ∴BC＝1，AB＝， 设AE＝x，则EC＝3﹣x， 在Rt△EBC中，x2＝（3﹣x）2+1， 解得x＝，即AE＝BE＝，EC＝， ∴tan2A＝tan∠BEC＝＝， 故答案为； ②如图3，作BM交AC于点M，使∠MBE＝∠EBA， 则∠BMC＝∠A+∠MBA＝3∠A． 设EM＝y，则MC＝EC﹣EM＝﹣y， ∵∠MBE＝∠EBA， ∴，即， ∴BM＝y， 在Rt△MBC中，BM2＝CM2+BC2 即（y）2＝（﹣y）2+1， 整理，得117y2+120y﹣125＝0， 解得，y1＝，y2＝﹣（不合题意，舍去） 即EM＝，CM＝﹣＝， ∴tan3A＝tan∠BMC＝， ＝＝． 【点睛】本题考查了锐角三角函数、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，难度较大，在直角三角形中作辅助线构造2∠A、3∠A是解决本题的关键． 变式5-2　（2023·浙江宁波·一模）【基础巩固】 （1）如图1，四边形是正方形，点是边上与点不重合的任意一点，，，点是射线上一点，求证：． 证明思路：在上截取，因为，所以，请完成接下去的证明； 【尝试应用】 （2）如图2，在矩形中，点是边上与不重合的任意一点，，，点是射线上一点，求的值； 【拓展提高】 （3）如图3，在矩形中，点是边上一点，连结，作，使点，分别落在边，．上．若，且，求的值． 【答案】 （1）． ， 又四边形是正方形， ， ， ． 在和中， ， ， ， ∵，， ． （2）； （3） 【分析】（1）先证明，证明，得出，进而可得； （2）作，交线段于点，证明，得出，进而可得，即可求解； （3）过点作，即．，得出，设，则，，得出，进而根据正弦的定义，即可求解． 【详解】证明：（1）略 （2）作，交线段于点． ． ． 又四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 又， ， ． （3）如图，过点作，即． ∴， ∵ ∵ ∴， ∴， ． ， 设，则，， 则， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形性质与判定，解直角三角形，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 变式5-3　（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）和角公式的提出：小明同学在九下数学教材第八章学习了锐角三角函数，根据其定义又得、等特殊角的三角函数值，如，，，．聪明的小明同学思考：，的角也是比较特殊的角，它们可以通过，角的和差得到，那么，角的三角函数值是否可以用，角的三角函数值而得到呢？小明同学探究发现，是可以的，如．小明同学继续探索，可否将两角和的正弦一般化呢？就是说如何得到两角和的正弦公式？小明探索了如下三个问题，请你帮助其完成． 和角公式的探索：如图①，是锐角三角形． (1)若，，，求的面积； (2)设，都为锐角且，请在中，用初中的知识证明小明提出的和角正弦公式：； (3)如图②，点是边上的一点，若，，，，则的面积为________． 【答案】(1) (2) 证明：如图所示，过点作，垂足为，不妨设， ． 两边同时除以得， ， ，， ． (3)16 【分析】（1）根据三角形面积公式，然后代入已知两边及其夹角正弦值直接计算； （2）根据图形分割思想，把大三角形拆成两个小三角形，利用面积相等，再结合余弦定义，，再等量代换推导出两角和正弦公式； （3）根据与，求出，再利用勾股定理求出高，最后用三角形面积公式算出面积． 【详解】（1）解： ． （2）证明：略 （3）解：过点作，垂足为． ， ． 设，． 在中， ，，． ，． ． 题型六、三角函数新定义的阅读理解与迁移应用 典例6　（2024·浙江·模拟预测）定义：若一个四边形的面积被一条对角线平分，则称这样的四边形为分积四边形，这条对角线为分积线． (1)如图①， 中， 为对角线 上一点，求证：四边形 为分积四边形； (2)如图②，矩形 的顶点 在函数 的图象上，边 在 轴上，边 轴，点 在对角线 上，对角线 交 轴于点 ，连结 ，， 的面积为 4，求 的值； (3)如图③，四边形 为分积四边形，对角线 为分积线， ，对角线 与 交于点 ，，求 的值． 【答案】(1) 解：如图①，分别过，作的垂线，垂足为，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 为四边形的对角线， ， ， 四边形 为分积四边形； (2) (3) 【分析】本题考查的是新定义的问题，新定义与反比例函数的综合大题，综合性较强，涉及到的知识点较多，解题的关键是掌握三角形全等的判定与性质、平行四边形的性质，矩形的性质，解直角三角形，反比例函数的几何意义． （1）如图①，分别过，作的垂线，垂足为，，根据平行四边形的性质证明，推出，易证，即可得出结论； （2）如图②，连结，，由（1）得，则 ，再结合，即可求解； （3）如图③，分别过作的垂线，垂足为，由题意得四边形为分积四边形，对角线为分积线，得，易证，得，根据，则，设，则，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：如图②，连结，， 由（1）得 ， 则 ， ， ． （3）解：如图③，分别过作的垂线，垂足为， 四边形为分积四边形，对角线为分积线， ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ． ， ∴， ∴， ∴，   设 ，则， ， ． 解题模板 1.新定义先翻译成坐标语言或边角关系，再代一组具体数验证; 2.探究题从特殊情况入手，猜出结论再证一般情形; 3.多问递进，后一问直接引用前一问的结论。 变式6-1　学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．如图，在中，，顶角的正对记作， 这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的． 根据上述对角的正对定义，解下列问题： (1)的值为（     ）    A．      B．    C．     D． (2)对于，则的正对值的取值范围是 ； (3)已知，其中为锐角，求的值． 【答案】(1)B (2) (3) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据正对的定义得出顶角为时，三角形为等边三角形，即可求解； （2）求出接近和时等腰三角形底边和腰的比即可； （3）在中，，．在上取点，使，作，为垂足，根据余弦的定义设，，由勾股定理求出，进而求出，根据勾股定理求出，最后根据正对的定义即可求解． 【详解】（1）解：根据正对定义，当顶角为时，等腰三角形的底角为，则三角形为等边三角形， 则． （2）解：当接近时，等腰三角形的底边接近，故接近， 当接近时，等腰三角形的底边接近于腰的倍，故接近， 故对于，则的正对值的取值范围是． （3）解：如图，在中，，． 在上取点，使，作，为垂足，如图： 令，，则， 则； 又∵在中，，， ∴，， 在中，， 故． 在中，，，由正对的定义可得：． 变式6-2　阅读、理解、应用 研究间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦和正切三种三角函数，即在图所示的直角三角形，是锐角，那么，，．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义： 设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立直角坐标系（图），在角α的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，终边可以看作是将射线绕点逆时针旋转后所得到的，和原点的距离为（总是正的）然后把角α的三角函数规定为：，，（其中，分别是点的横、纵坐标）我们知道，图的三个比值的大小与角的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，三个比值的正、负取决于角α的终边所在的象限，而与点在角α的终边位置无关． 比较图与图，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题． (1)如图3，若，则角α的三角函数值α、α、α，其中取正值的是 ． (2)已知α是钝角，则下列说法正确的是 ． ． ． ．α ．α (3)若角α的终边与直线重合，则αα ． (4)若角α是锐角，其终边上一点且，试求和α的值． 【答案】(1)α (2)A (3)或 (4)的值为；α的值为 【知识点】用勾股定理解三角形、三角函数综合 【分析】（1）由点在第四象限，推出，根据，即可判断； （2）根据三角函数的定义分析求解即可； （3）分两种情形讨论即可解决问题； （4）根据α是锐角，终边上一点在第一象限，，进而得，进而得解得或（舍去），从而即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴点在第四象限， ∴， ∵， ∴， ∴取取正值的是， 故答案为：； （2）解：α是钝角，则α的终边在第二象限， ∴，， 而， ∴，故正确； ∵，， ∴，故不正确； ∵，，， ∴，故不正确； ，故不正确； 故答案为：； （3）解：由角α的终边与直线重合，设角α终边上一点为， ∴， 当时，，，， ∴； 当时，，，， ∴； 故答案为：或； （4）解：∵角α是锐角， ∴终边上一点在第一象限，， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）； 经检验，是原方程的解， ∴的值为； ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查一次函数综合题、三角函数的定义、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考创新题目． 变式6-3　在中，，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，利用锐角三角函数定义很容易推导出一些关系式，如，等，这些公式在三角函数式子的变形中运用比较广泛．设，是锐角，定义：当时，两角和的余弦公式：． 例：计算的值． ， 两角差的余弦公式：．利用类比的方法运用公式求解． (1)计算_______． (2)计算的值； (3)一副斜边长均为16的三角板拼成如图所示的图形，求过A、B、C、D四点的矩形ABEF的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据矩形的性质求面积、特殊三角形的三角函数、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）将变形为，利用两角差的余弦公式直接求解； （2）利用两角差的余弦公式，可知，即可求解； （3）利用三角函数先求出AD， AB的长，再利用（1）的结论求出AF的长，即可求出． 【详解】（1）解：当时，两角差的余弦， ， 故答案为：； （2）解：利用两角差的余弦公式可知， ； （3）解：由题意可知，，， ， ， ， 由（1）知， ， ． 【点睛】本题考查锐角三角函数和矩形的性质，理解新定义、新公式，根据新定义求解是解题的关键． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（2025·浙江台州·二模）如图1，在中，，点E是斜边上一个动点．过点E作，垂足为E，交边（或边）于点F，连接，设，的面积为y，则y与x之间的函数图象如图2，已知，则________． 【答案】 【分析】本题考查了动点函数图形问题，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，正切的定义等知识，过点C作于点D，观察图象可发现：当点E运动到点D时，两点重合，不存在，当点E运动到点B时，两点重合，不存在，则对应函数图象上第二个和第三个空心零点，设，由函数图象对称的性质可得第二个和第三个空心零点的值分别为，则，再证明，推出，即可求出，利用正切的定义即可求解． 【详解】解：过点C作于点D， 观察图象可发现：当点E运动到点D时，两点重合，不存在，当点E运动到点B时，两点重合，不存在，则对应函数图象上第二个和第三个空心零点， 设， 由函数图象对称的性质可得第二个和第三个空心零点的值分别为， 则， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，正方形的边长为，点是的中点，与交于点，是上一点，连接分别交，于点，，且，连接，则____________，____________． 【答案】 4 【分析】先证明，再计算，结合计算即可；计算，，再利用平行线证明，确定，过点M作于点N，得到，证明，求得，，，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在边长为的正方形中，点是的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点M作于点N， 则， ∴， ∴， ∴，，， ∴ ， 故答案为：4，． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，三角函数的应用，熟练掌握三角形相似的应用，三角函数的应用，勾股定理是解题的关键． 3．（24-25九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在矩形中，，，连结，点，分别为，边上一点，于点． (1)若，则=_____． (2)若，则可取的最大整数值为_____． 【答案】 / 【分析】本题考查了矩形的性质，正切，相似三角形的判定和性质，不等式等知识的综合运用，掌握矩形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质，运用勾股定理可得，，如图，延长交于点，根据正切值的计算可得，根据，可证，根据相似三角形的性质即可求解； （2）根据题意，设，则，根据（1）的计算方法可得，，解得，，由，解不等式组，即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 在中，，， ∴， 如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴，且， ∴， 解得，， 故答案为：； （2）根据题意，设，则， 由（1）可得，，，且， ∴， ∴， ∵，且，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或（无解）， 解得，， ∵取最大整数， ∴， 故答案为： ． 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，点P在线段上，，，，若，，，则的长是______． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据，，，证明，由正切的定义得到，求出，进而求出，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，已知矩形中，E是的中点，于点F，连接交于点G． (1)若，求的长； (2)若，求的值； 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定由性质、正方形的判定与性质、三角函数定义、三角形面积等知识，熟练掌握菱形的判定由性质、正方形的判定与性质，证明三角形相似是解题的关键． （1）证明，得出，即可得出答案； （2）延长交的延长线于H，连接、，证明，得出，证出，得出，证明四边形是菱形，得出，，，得出，求出，得出，求出，得出，由等腰三角形的性质得出，即可得出答案； 【详解】（1）解：∵E是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：延长交的延长线于H，连接、，如图2所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 6．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，点F是正方形边上一点，过F作，交于G，连接是的中点，过H作交于点E． (1)连接，求证：． (2)若 ①若，，求的长； ②连接，求的值．（用含k的代数式表示）． 【答案】(1) 证明：连接， ∵，是的中点， ∴垂直平分， ， 又正方形关于轴对称， ， ∴； (2)①；② 【分析】（1）由题意可知垂直平分，根据正方形的性质和已知条件即可证明； （2）①根据已知条件结合（1）利用勾股定理即可求出的长； ②设，根据，可得，，，证明可得，利用锐角三角函数即可得结果． 【详解】（1）略 （2）解：①在正方形中，，，， ，，， 点是的中点， ， 如图，过点作的垂线交于点M， 由（1）知， ，则垂直平分线段， ∵， ∴为等腰直角三角形，则， 在中，，则， 在中，； ②设， ∵， ， 由（2）可知，， 由（2）知，则， ∴． ，，， ， ， ∴ 7．（2023·浙江丽水·一模）如图1，A，B分别在射线上，且为钝角，现以线段为斜边向的外侧作等腰直角三角形，分别是，点C，D，E分别是，的中点．    (1)求证：； (2)延长交于点R． ①如图1，若，求证：为等边三角形； ②如图3，若，求大小和的值． 【答案】(1) 证明：∵点C、D、E分别是，的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， 在与中， ∵， ∴； (2)①证明：如图2，连接，    ∴与分别是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； ②； 【分析】（1）根据三角形中位线的性质得到，，则四边形是平行四边形，，由等腰直角三角形的定义得到，根据等腰直角三角形的性质得到得到，即可得到结论； （2）①连接，则与分别是的垂直平分线，，由等腰三角形的性质得到，由四边形内角和得，，进而可证是等边三角形；②由（1）得， ，则，是等腰直角三角形，由，可得，，由，可知此时P，O，B在一条直线上，为直角三角形，且，然后根据等腰直角三角形的性质和正弦等求解即可． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：由（1）得，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴此时P，O，B在一条直线上，为直角三角形，且， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正弦，线段垂直平分线的性质，对知识的熟练掌握是解题的关键． 8．（2023·浙江衢州·三模）如图，已知在正方形中，E是的中点，F为上的动点（不与A，B重合），连接，交于点P，连接．    (1)推断与计算 ①当F在中点时，B，P，D三点恰好共线，则__________； ②若正方形的边长为1，在①的条件下，求的面积； (2)猜想与证明 请猜想与的数量关系，并证明这个结论： (3)拓展与应用 当是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)①；② (2)，证明见解析 (3)或或 【分析】（1）①如图所示，连接，证明，即可得到； ②先根据正方形的性质得到，，则，由，得到，再由E是的中点，可得； （2）如图所示，分别以所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，，求出直线解析式为，同理可得直线的解析式为，联立，求出 则，，即可得到，进而证明； （3）如图3-1所示，当时，如图3-2所示，当时，如图3-3所示，时，三种情况建立方程求出m的值，再根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：①如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵F是中点， ∴， ∵，B、D、P三点共线， ∴， ∴， 故答案为：；    ②∵正方形的边长为1， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴； （2）解：，证明如下： 如图所示，分别以所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 同理可得直线的解析式为， 联立，解得， ∴ ∴， ， ∴， ∴， 又∵， ∴；    （3）解：由（2）得 如图3-1所示，当时，则点P在线段的垂直平分线上，即点P在直线上， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴在中，；    如图3-2所示，当时， ∴， ∴， 解得， 经检验是原方程的解， ∴在中，；    如图3-3所示，时， ∴， ∴，即 解得或（所去）， 经检验是原方程的解， ∴在中，； 综上所述，的值为或或．    【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，勾股定理，求角的正切值，等腰三角形的定义等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 9．（2024·广东广州·二模）如图，已知正方形的边长为4，是边延长线上一点，，是边上一点，将沿翻折，使点的对应点落在边上，则的长是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】此题考查正方形与折叠、勾股定理；由正方形的性质得，，则，由翻折得，则，所以，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：四边形是边长为的正方形， ，， ， 由翻折得：， ， ， 设，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴； 故选A． 10．（2025·浙江杭州·一模）如图，在正方形中，点为的中点，点在以为直径的半圆上，，延长分别交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，，交于点，设的中点为，连接，设正方形的边长为，利用全等三角形的性质证明，，再证明，求出可得结论． 【详解】解：连接，，，交于点，设的中点为，连接，设正方形的边长为， 点为的中点， ， ， ， 是直径， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， 垂直平分线段， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，正方形的性质，三角函数解三角形，熟练掌握以上性质和定理，灵活应用是解题的关键． 二、解答题 11．（22-23九年级上·四川内江·阶段检测）综合与实践：在学习《解直角三角形》一章时，小邕同学对一个角的倍角的三角函数值与这个角的三角函数值是否有关系产生了浓厚的兴趣，并进行研究． 【初步尝试】我们知道：___________，___________． 发现：___________（填“”或“”）． 【实践探究】在解决“如图1，在中，，，，求的值”这一问题时，小邕想构造包含的直角三角形，延长到点D，使，连接BD，所以可得，问题即转化为求的正切值，请按小邕的思路求的值 【拓展延伸】如图2，在中，，，．请模仿小邕的思路或者用你的新思路，试着求一求的值． 【答案】，，，， 【分析】（1）根据锐角三角函数公式即可求解． （2）根据题意可知，，即可求解的值． （3）作的垂直平分线交于点E，连接，根据直角三角形，，设，，解得，即可解得的值． 【详解】解：（1） ，，     ， 故答案为：；                                                  （2）如图1，在中，，，， ∴．                        ∴， ∴， ∴，，                ∴．                                                       （3）如图2，作的垂直平分线交于点E，连接． 则，，．                                                ∵ 中，，，． ∴，． 设，则， 在中，，                                                            解得，即，．                                                   ∴． 【点睛】本题考查了锐角三角函数、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，在直角三角形中作辅助线构造是解决本题的关键． 12．（24-25九年级下·四川内江·开学考试）如图，图中提供了一种求的方法，阅读并填空：先作，其中，；然后延长到点D，使，联结． （1）； （2）设，那么（用t的代数式表示，以下同），； （3）． 某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究： 【知识迁移】 在中，，，那么______；______． 【拓展应用】 如图，在中，，，，点D、E分别在边上，且，，联结交于点F，求的值． 【答案】知识迁移：，；拓展应用：1 【分析】本题考查的是三角形运用，涉及到解直角三角形，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识点，理解题意，正确作出辅助线是解题的关键． 知识迁移：延长到点D，使，联结，则，设，，则，则，同理延长到D，使，可得：，即可求解； 拓展应用：证明，则，即可求解． 【详解】解：知识迁移：延长到点D，使，联结，则， 则，即， ， 故设，，则， 则， 延长到D，使， 则， ， 故设，，则， 则， 故答案为：，； 拓展应用：如图，连接， 则， 则， 同理可得：， 即， 如图，设，， 则，， 则， 则， 故． 13．（2024·广东广州·二模）【问题提出】 （1）如图1，在边长为6的等边中，点D在边上，，连接，则的面积为 ； 【问题探究】 （2）如图2，已知在边长为6的正方形中，点E在边上，点F在边上，且，若，求的面积； 【问题解决】 （3）如图3是我市华南大道的一部分，因自来水抢修，需要在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中E、F分别在、边上（不与点B、C、D重合），且，为了减少对该路段的交通拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的？若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）  （2）15  （3）存在一个面积最小的，其最小面积为 【分析】如图所示，过点A作于E，利用等边三角形的性质得到，，再利用勾股定理得到，即可利用求出答案； 如图所示，延长到G使得，连接，证明（SAS），得到，，再证明（SAS），得到，，则； 把绕点A顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到,则，；过点E作于M，作于N，则四边形是矩形，则，解直角三角形得到，进而得到，即，则当的面积最小时，的面积最小；如图所示，作的外接圆，圆心为O，连接，，，过点O作于H，设，由圆周角定理得到，则，推出，由于，则当最小时，的面积最小，故当A、O、H三点共线时，有最小值，最小值为，则，即存在一个面积最小的，其最小值为． 【详解】解：（1）如图1所示，过点A作于E， ∵是边长为6的等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）如图2所示，延长到G使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴（SAS）， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴（SAS）， ∴，， 又∵， ∴； （3）存在一个面积最小的；理由如下： 把绕点A顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到， ∴， ∵， ∴， 过点E作于M，作于N，则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当的面积最小时，的面积最小； 如图3所示，作的外接圆，圆心为O，连接，，，过点O作于H，设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当r最小时，的面积最小， ∵， ∴， ∴， ∴当A、O、H三点共线时，r有最小值，最小值为， ∴， ∴存在一个面积最小的，其最小值为． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，旋转的性质，解直角三角形，正方形的性质，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，通过作辅助线构造直角三角形，全等三角形是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $