解三角形：多三角形中的解三角形问题、四边形中的解三角形问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

2027届高三数学一轮复习专项训练 解三角形：多三角形中的解三角形问题、四边形中的解三角形问题专项训练 考点目录 多三角形中的解三角形问题 四边形中的解三角形问题 考点一 多三角形中的解三角形问题 多三角形中的解三角形问题解题技巧 （1） 先观察图形、标注已知量，从条件最充分、可直接求解的三角形入手，再逐步推进。 （2） 公共边、公共角是联系各三角形的桥梁，在一个三角形中求出后立即迁移到相邻三角形。 （3） 每个三角形内按条件选定理：两角一边、两边对角用正弦定理，两边夹角、三边用余弦定理。 （4） 注意共线边处的邻补角关系：两角互补但正弦值相等，是常用的转换点。 （5） 角度传递结合内角和，每次求出后及时检验是否合理。 （6） 条件互相牵连时，列出关于未知边（角）的方程（组）联立求解。 例1．（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）在中，内角，，的对边分别是，，，且. (1)求角的大小. (2)若点在边上，满足且，求面积的最大值. (3)若点在延长线上，满足，，求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理与三角函数和角公式可得，结合，可得； （2）由平面向量基本定理可得，，于是，再利用基本不等式可得，所以； （3）根据几何图形，设，结合正弦定理可得，又因为，，可得，结合，可得. 【详解】（1）由和正弦定理可得： ， 因， 代入整理得， 因，则， 展开整理得，即. 因为，所以. （2）记，，则，因， 则， 即，又， 则，故， 于是的面积，等号在时成立. 可取，，，由前式确有，且为边上指定内分点，故最大值为. （3）设.因在线段的延长线上，， 则，，则， 在和中，由正弦定理，，， 两式相除，可得 因，代入可得，即 也即 令，则得，解得或. 因，则，即. 例2．（2026·广东广州·模拟预测）在中，，为边上一点，且. (1)若，，求; (2)若，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据余弦定理得到，再根据等面积法求出，最后由勾股定理即可求出； （2）先根据等面积法建立边长关系式，再根据均值不等式求出两边乘积的下界，即可得到面积的最小值. 【详解】（1）因为在中，，，所以， 因为，，由余弦定理：， 所以 ，又因为，即 ， 所以，得， 所以在中，. （2）由，得，即，由均值不等式：， 令，则，所以，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，即面积的最小值为. 例3．（26-27高三上·云南曲靖·阶段检测）已知的内角，，所对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，，求的角平分线的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同角三角函数基本关系化简已知等式，结合正弦定理转化为边的关系，再由余弦定理求； （2）先由面积公式求，结合余弦定理求，再用半角公式求，最后通过等面积法求的长度. 【详解】（1）由， 根据同角三角函数平方关系， 代入得：， 化简整理：. 由正弦定理，角化边得：，即， 由余弦定理，代入得：. （2）因为，所以. 由面积公式，代入得：，解得. 由余弦定理，代入，得：，即， 故，得（边长为正，取正值）. 由半角公式，代入得：（，取正值）. 因为是的角平分线，所以，即： ， 代入， 化简得：，解得. 故的角平分线的长为. 变式1．（26-27高三上·湖北十堰·阶段检测）在中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，，D为边上一点，且平分，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式即可求解； （2）由三角形面积公式及等面积法即可求解． 【详解】（1）由得，， 所以， 所以， 由于，因此， 所以，又，故． （2），时，由于，故， 设，则有， 所以， 代入得：，解得． 变式2．（26-27高三上·广东揭阳·阶段检测）在中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且满足． (1)证明：； (2)如图，点D在线段的延长线上，且，，当时，求线段的长． 【答案】(1)证明：因为， 由余弦定理的推论， 得， 整理得． (2) 【详解】（1）略 （2）由（1），代入，， 得到解得或（舍去）． 结合余弦定理的推论可得， 因为，互补，，则． ， 从而． 变式3．（26-27高三上·山西运城·阶段检测）在中，，，． (1)证明：是钝角三角形； (2)若点是边上一点，且，求的长． 【答案】(1)由余弦定理得 ， 所以 由余弦定理得，又， 所以，所以是钝角三角形． (2)或． 【详解】（1）略 （2）设，，在中，由余弦定理得 ， 即， 整理得， 解得. 当时，； 当时，. 综上所得，的长为或. 考点二 四边形中的解三角形问题 四边形中的解三角形问题解题技巧 （1） 基本思路：连接对角线，把四边形分割成两个三角形，化归为解三角形问题。 （2） 选择对角线时，尽量让分割后的三角形已知条件集中、便于求解。 （3） 利用四边形内角和为 、对边平行等性质进行角度传递。 （4） 平行四边形、梯形等特殊四边形，先结合其边、角的固有性质再用定理。 （5） 对角线作为两个三角形的公共边，分别在两个三角形中列式，互相验证。 （6） 求四边形面积时，等于两个三角形面积之和，分别用 计算。 例1．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，四边形ABCD中，，，. (1)求； (2)若，四边形ABCD的周长为20，求四边形ABCD的面积. 【答案】(1)​ (2)​ 【分析】（1）在中利用余弦定理先求和，再求． （2）由周长得到，结合的余弦定理求、，再用两个三角形面积之和求四边形面积． 【详解】（1）设，则． 在中，由余弦定理得即，所以，解得或． 因为，所以，． 由余弦定理，又，所以． （2）由四边形的周长为，得设，． 在中，由余弦定理及，得，又， 两式相减得，于是、是方程的两个正根，所以． 对角线将四边形分成和，故，． 所以四边形的面积为 例2．（26-27高三上·河南洛阳·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，与的交点为． (1)求的长度； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直角三角形边角关系及余弦定理解三角形； （2）利用正弦定理及直角三角形三边关系求边长，再求得面积. 【详解】（1）， ，， ，， ，， ，， ， 在中，由余弦定理可得 ． （2）在中，由正弦定理可得， ， 为锐角， ， ， ， ， 的面积为. 例3．（26-27高三上·黑龙江佳木斯·阶段检测）中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知. (1)求∠A； (2)若，满足，，四边形是凸四边形，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理及题意结合两角和的正弦公式得到即可得角A. （2）法一：设，边长为，在中根据余弦定理建立与的关系，进而求得面积，再结合换元法和三角函数值的有界性即可求解；法二：将设为变量，用于表示面积得，结合三角恒等变换公式将面积公式化为一角一函数，再利用三角函数的有界性即可求解. 【详解】（1）由正弦定理和得： ， 即， 又，故， 所以，即，又， 所以. （2）法一：若， 则由（1）可知为正三角形，设其边长为， 则有，即， 且由正三角形面积公式得， 对于，设，则由余弦定理有， 故 ， 所以四边形的面积为， 令（），则， 故， 再令， 则， 又，所以， 所以， 所以当时，四边形的面积取得最大值为：. 法二：若，则由（1）可知为正三角形， 设，由题意， 由余弦定理， 所以 ， 又，所以， 所以， 所以当时，四边形的面积取得最大值为：. 变式1．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）如图，在平面四边形中，，，． （1）若，求的面积； （2）若，，且为锐角，求角A的大小． 【答案】（1）4；（2）． 【分析】（1）在中，利用正弦定理、余弦定理求出，，再由三角形的面积公式即可求解. （2）根据三角形的内角和定理以及两角和的正弦公式可得，在中，利用正弦定理即可求解. 【详解】解：（1）因为， 由正弦定理，， 可得． 由余弦定理可得，可得， 所以． （2）因为，所以， ，即， 因为，且为锐角， 所以， 所以 ， 可得， 在中，由正弦定理， 可得，可得，因为， 又A为锐角，所以． 变式2．（26-27高三上·云南曲靖·阶段检测）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，，，． （1）求； （2）求的长． 【答案】(1)；(2). 【分析】(1)连接BD，在中，利用三角形内角和定理及和角的余弦公式计算即得； (2)在中，利用正弦定理求出BD长，再在中利用余弦定理求解即可. 【详解】(1)由AB∥CD可得，则， 即，而，即有， 在中，， 所以； (2)由(1)知，， 在中，由正弦定理得：， 由余弦定理得：， 即，解得或(舍去)， 所以的长为. 变式3．（26-27高三上·广东汕头·阶段检测）在凸四边形中，对角线交于点，且. (1)若，求的余弦值； (2)若，求边的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，在与中，分别利用余弦定理建立方程求解，然后在中由余弦定理求解； （2）在中由正弦定理得，从而求得，进一步利用直角三角形的性质得，，在中由余弦定理求解即可. 【详解】（1）因为，所以，设， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 所以，解得，所以， 在中，由余弦定理得； （2）在中，由正弦定理得， 所以，又为三角形的内角，所以， 所以，，且， 所以，又， 在中，由余弦定理得 ，所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习专项训练 解三角形：多三角形中的解三角形问题、四边形中的解三角形问题专项训练 考点目录 多三角形中的解三角形问题 四边形中的解三角形问题 考点一 多三角形中的解三角形问题 多三角形中的解三角形问题解题技巧 （1） 先观察图形、标注已知量，从条件最充分、可直接求解的三角形入手，再逐步推进。 （2） 公共边、公共角是联系各三角形的桥梁，在一个三角形中求出后立即迁移到相邻三角形。 （3） 每个三角形内按条件选定理：两角一边、两边对角用正弦定理，两边夹角、三边用余弦定理。 （4） 注意共线边处的邻补角关系：两角互补但正弦值相等，是常用的转换点。 （5） 角度传递结合内角和，每次求出后及时检验是否合理。 （6） 条件互相牵连时，列出关于未知边（角）的方程（组）联立求解。 例1．（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）在中，内角，，的对边分别是，，，且. (1)求角的大小. (2)若点在边上，满足且，求面积的最大值. (3)若点在延长线上，满足，，求. 例2．（2026·广东广州·模拟预测）在中，，为边上一点，且. (1)若，，求; (2)若，求面积的最小值. 例3．（26-27高三上·云南曲靖·阶段检测）已知的内角，，所对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，，求的角平分线的长． 变式1．（26-27高三上·湖北十堰·阶段检测）在中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，，D为边上一点，且平分，求的长． 变式2．（26-27高三上·广东揭阳·阶段检测）在中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且满足． (1)证明：； (2)如图，点D在线段的延长线上，且，，当时，求线段的长． 变式3．（26-27高三上·山西运城·阶段检测）在中，，，． (1)证明：是钝角三角形； (2)若点是边上一点，且，求的长． 考点二 四边形中的解三角形问题 四边形中的解三角形问题解题技巧 （1） 基本思路：连接对角线，把四边形分割成两个三角形，化归为解三角形问题。 （2） 选择对角线时，尽量让分割后的三角形已知条件集中、便于求解。 （3） 利用四边形内角和为 、对边平行等性质进行角度传递。 （4） 平行四边形、梯形等特殊四边形，先结合其边、角的固有性质再用定理。 （5） 对角线作为两个三角形的公共边，分别在两个三角形中列式，互相验证。 （6） 求四边形面积时，等于两个三角形面积之和，分别用 计算。 例1．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，四边形ABCD中，，，. (1)求； (2)若，四边形ABCD的周长为20，求四边形ABCD的面积. 例2．（26-27高三上·河南洛阳·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，与的交点为． (1)求的长度； (2)求的面积． 例3．（26-27高三上·黑龙江佳木斯·阶段检测）中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知. (1)求∠A； (2)若，满足，，四边形是凸四边形，求四边形面积的最大值． 变式1．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）如图，在平面四边形中，，，． （1）若，求的面积； （2）若，，且为锐角，求角A的大小． 变式2．（26-27高三上·云南曲靖·阶段检测）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，，，． （1）求； （2）求的长． 变式3．（26-27高三上·广东汕头·阶段检测）在凸四边形中，对角线交于点，且. (1)若，求的余弦值； (2)若，求边的长. 2 学科网（北京）股份有限公司 $