期中培优：函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册讲义 期中培优：函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题复习讲义 考点目录 函数不等式恒成立问题 函数不等式能成立（有解）问题 考点一 函数不等式恒成立问题 核心本质 对给定区间内的所有自变量，不等式始终成立，等价于函数在区间上的边界最值满足不等式约束，即“最不利的位置都满足，则所有位置都满足”。 核心等价结论（ 为常数） 设函数 的定义域为 ： · ， 恒成立 在 上的最小值大于等于 ，即 · ， 恒成立 在 上的最大值小于等于 ，即 · ， 恒成立 构造 ， 恒成立 四大核心解法 1. 分离参数法（优先首选） · 核心思路：将参数与自变量分离到不等式两侧，转化为不含参数的函数的最值问题，避免复杂的分类讨论。 · 操作步骤： ① 将不等式变形为 或 的形式； ② 求 在对应区间上的最值； ③ 对应得到参数范围： · 恒成立 · 恒成立 · 注意事项：若不等式两边同乘负数（或含 的负式），不等号必须反向；分离过程需保证定义域等价，不增根、不漏根。 2. 分类讨论法（兜底通法） · 核心思路：当参数无法分离，或分离后函数最值难以求解时，直接分析含参函数的单调性与最值，按参数的不同取值范围逐一讨论。 · 典型场景：含参二次函数区间恒成立、含参单调函数区间恒成立、含参超越函数恒成立。 · 二次函数分类逻辑：按开口方向、对称轴与区间的左/中/右位置关系，分情况确定区间最值，再列不等式求解。 3. 数形结合法（选填速解） · 核心思路：将不等式两边视为两个独立函数，画出图像，通过图像的上下位置关系直观判断参数范围。 · 适用场景：一侧为直线、二次函数，另一侧为指数、对数、绝对值函数等图像特征清晰的题型，可快速排除错误选项。 4. 主元变换法（给定参数范围反求自变量） · 核心思路：当已知参数的取值范围，反过来求自变量的合法范围时，将参数视为“主元”，原自变量视为常数，不等式转化为关于参数的一次函数恒成立问题。 · 核心结论：一次函数在闭区间上恒成立，只需两个端点的函数值同时满足条件即可。 例1．（26-27高一上·四川泸州·阶段检测）已知函数 (1)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围 (2)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把恒成立问题通过参数分离转化为求最值问题，利用基本不等式求解范围即可； （2）把任意及存在问题转化为的值域为值域的子集，再根据集合间关系分类列不等式求解即可． 【详解】（1）因为对任意的恒成立， 所以对任意的，恒成立， 当时，恒成立， 所以对任意的时，恒成立， 又， 当且仅当，即时取等号， 所以，所以实数a的取值范围是， （2）当时，，因为，所以函数的值域是， 因为对任意的，总存在，使成立， 所以的值域是的值域的子集， 当时，，则，解得， 当时，，则，解得， 当时，，不成立； 综上，实数m的取值范围为． 例2．（26-27高一上·云南昆明·阶段检测）已知函数． (1)用定义法证明：函数在区间上单调递增； (2)若，且，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)任取，，且， 则 由于，，，，所以， 因此，即， 故在上单调递增． (2) 【分析】（1）通过取值、作差变形、定号、下结论的步骤，利用单调性定义证明结论； （2）将条件转化为恒成立，通过分，两种情况讨论求参. 【详解】（1）略 （2）因为，所以，得， 则． 于是，恒成立即为恒成立 整理得恒成立 1、当时，，不合题意 2、当时，，解得 综上所述，的取值范围为. 例3．（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测）已知函数（为常数，且，） (1)求证：函数在区间上是增函数； (2)当时，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围； (3)当为偶函数时，若关于的方程有实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明：取，为区间上的任意两个值，且. 则， 因为，所以，，， 所以，即， 所以在上是增函数. (2) (3) 【分析】（1）利用单调性定义，作差变形判断符号. （2）代入化简分离参数，借助第（1）问单调性求最值. （3）利用偶函数性质求出，换元转化为方程有解，求参数范围. 【详解】（1）略. （2）当时，，且在上单调递增， 所以时，， 所以对任意的，都有成立， 有，又， 即对恒成立. 令，，则只需恒成立，即. 由（1）知在上单调递增， 所以， 所以实数的取值范围为. （3）当为偶函数时，对，都有， 即恒成立，即恒成立， 所以，解得，所以， 所以方程有实数解，即有实数解. 令，当且仅当，即时取等号， 又，所以， 即在上有实数解， 而在上单调递增， 所以时，，故. 变式1．（26-27高一上·安徽宣城·阶段检测）已知函数 为奇函数，其函数图象经过点 ． (1)求 ， 的值； (2)证明：函数 在区间 上单调递增； (3)若命题“，，，”为真命题，求实数 的取值范围． 【答案】(1)，； (2)由（1）得 ．设 ，则 ． 因为 ，所以 ，，， 从而 ，即 ． 所以 在 上单调递增． (3) 【分析】（1）由奇函数定义比较系数求 ，再代点求 ； （2）用作差法，分解因式后判断符号； （3）把“恒成立”转化为 的最值比较，注意 的取值范围． 【详解】（1）．因为 为奇函数，所以 ， 即 ，比较得 ，． 又图象过点 ，所以 ，． （2）略 （3）由（2）知 在 上单调递增，所以 ． 又 ，所以 ．命题为真，即对任意 都有 ． 而 等价于 ，即 ，解得 ． 所以 ，即 且 ，故 ． 变式2．（26-27高一上·河南·阶段检测）已知函数． (1)若函数是定义在上的奇函数． ①求实数的值； ②用定义证明：函数在上单调递减． (2)若，对任意的，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)① ②证明：，，且， 则 因为，，， 所以，，，，则， 所以，即． 所以函数在上单调递减． (2) 【分析】（1）①根据奇函数的定义，代入时的函数值即可求解；②通过函数单调性的定义即可证明； （2）结合函数单调性和奇偶性，将函数不等式恒成立问题转换为最值问题即可求解. 【详解】（1）①因为，是奇函数， 所以，所以． 经检验，当a时，，则，所以是定义在上的奇函数． 所以实数的值为． ②略 （2）若，则． 对任意的，恒成立，即． 由（1）可知函数在上单调递减， 又在上单调递增，且 由复合函数单调性可知：在上单调递减， 所以当时，的最大值为． 所以，即，解得． 所以实数的取值范围是． 变式3．（26-27高一上·西藏拉萨·阶段检测）已知函数（），且， (1)求的解析式 (2)证明在上是增函数，并求在上的最小值 (3)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围 【答案】(1)； (2)证明：任取，且， 则 ， 因为，且，所以，， 所以， 故在上是增函数，故在上的最小值为； (3) 【详解】（1）由题意得，解得，所以； （2）略； （3）由题意得，只需时，恒成立， 由基本不等式可知，当且仅当，即时，等号成立， 所以，故，实数m的取值范围是. 考点二 函数不等式能成立（有解）问题 核心本质 在给定区间内至少存在一个自变量使不等式成立（存在性问题），等价于函数在区间上的最优值（最有利情形）满足约束，即“只要有一个位置满足，则问题成立”。 核心等价结论（ 为常数） 设函数 的定义域为 ： · ， 有解 在 上的最大值大于等于 ，即 · ， 有解 在 上的最小值小于等于 ，即 · ， 有解 构造 ， 有解 三大核心解法 1. 分离参数法 与恒成立逻辑一致，但最值对应关系相反： · 有解 · 有解 2. 补集思想（正难则反） · 核心思路：当正面分类情况复杂时，先求“不等式在区间上恒不成立”的参数范围，再对其取补集，即为有解的参数范围。 · 示例：求 有解的范围，可先求 恒成立的范围，再对结果取补集。 · 注意：严格不等的反面是非严格不等，即 的反面是 ， 的反面是 。 3. 图像法 将不等式两边视为两个函数，若两函数图像存在交点，或一方图像有部分位于另一方的上方/下方，则对应不等式有解，可通过图像快速判断解的存在性与大致范围。 例1．（26-27高一上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知函数满足，. (1)求的解析式； (2)若对任意实数，恒成立，且存在实数使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），令，则， 得，所以. （2），，即， 所以，， 判别式，得， ，，即， 存在x使之小于等于0，等价于判别式，得， 则有，得，即， 解得，即实数的取值范围为. 例2．（26-27高一上·广东珠海·阶段检测）已知函数，． (1)当时： （i）用单调性的定义证明函数在上单调递减； （ii）求函数的值域． (2)当时，若对任意的，存在，使得成立，求实数的最大值． 【答案】(1)（i）当时，． 任取，则 ． 因为，所以，，从而， 所以，即， 故在上单调递减． （ii）； (2) 【分析】（1）（i）根据单调性的定义及作差法证明即可. （ii）换元，将原函数化为二次函数求解即可. （2）待求问题等价于，结合一次函数的单调性求出，根据对勾函数及基本不等式对分情况求出，列不等式求解即可． 【详解】（1）（1）（i）略 （ii）， 令，则，且． 所以可化为． 当时，单调递增，； 当时，单调递减，． 所以的值域为，即的值域为． （2）对任意，存在使，等价于． 因为，所以在上单调递减，所以． 当时，在上单调递增，此时； 当时，，当且仅当时等号成立， 此时； 当时，在上单调递减，此时. 当时，，，，所以不成立， 故只能是的情况，所以，得， 又，所以. 故的最大值为． 例3．（26-27高一上·安徽亳州·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求与的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)设，若对于任意的，总存在，使得成立，求正实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)函数在上单调递增，证明如下： 由（1）知， 任取，且，即， 则 ， ，，，则，， 因此，函数在区间上单调递增； (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义可求得，再由可求得； （2）根据单调性的定义证明步骤：取值，作差，变形，定号，即可得证； （3）根据不等式的恒（能）成立问题，将问题转化为，结合对应的闭区间求最值即可得到一个关于的不等式，解不等式即可求解. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数， 则，即，即，得， 则， 又，解得. （2）略； （3）由题意可知． 由（2）知，函数是上的增函数，． ，函数在区间上单调递增，． ，解得，所以． 因此，正实数的取值范围为． 变式1．（26-27高一上·湖南长沙·阶段检测）若二次函数的图象的对称轴为，最小值为，且． (1)求的解析式； (2)若关于的不等式在区间上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次函数的性质列方程组，求解系数得到函数解析式； （2）将不等式有解问题转化为在区间上有解，只需小于该函数在区间内的最大值，进而求出实数的取值范围． 【详解】（1）由为二次函数，可设 图象的对称轴为，最小值为，且， 则有，解得，故． （2）已知，即在上有解， 又当时，有最大值12，则有， 故实数的取值范围为． 变式2．（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）已知二次函数满足，； (1)求的解析式； (2)若存在，使得成立，求实数m的取值范围； (3)记： ①当的定义域为（）时，值域为，求实数c的取值范围； ②若，设函数在区间上的最小值为，求的表达式． 【答案】(1)； (2)； (3)①；②． 【分析】（1）由已知可得，函数为二次函数，利用待定系数法求解函数解析式； （2）通过分离参数可得不等式能成立问题，利用参数与函数的最小值的大小关系计算取值范围； （3）根据的解析式判断函数单调性，根据单调性确定参数取值范围以及最小值的表达式． 【详解】（1）因为为二次函数，故设； 因为，； 可得，解得； 则； （2）因为存在，使得， 则在上能成立，即； 令，则； 因为，的对称轴为； 故，故， 实数m的取值范围为； （3）由可得； ①因为的对称轴为，故在上单调递增； 当的定义域为（）时，值域为， 故，； 即方程有2个不相等的正根， 故，故； 综上实数c的取值范围为； ②由题意可知，函数在区间上的最小值为； 当，解得时，在区间上单调递减， 此时； 当，解得时，在区间上先减后增， 此时； 当时，在区间上单调递增， 此时； 综上． 变式3．（26-27高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知函数且满足． (1)求的值； (2)用定义判断并证明在上的单调性； (3)命题“存在，使得成立”为真命题，求实数的最大值． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明如下： 任取，且，则． 因为，所以，且，即， 所以，即， 故在上单调递增． (3)2 【分析】(1) 将代入函数解析式，得到关于的方程，解方程即可求出参数的值; (2) 由第一问求得函数解析式，利用单调性定义证明：设，作差并对差式变形，判断差值正负，从而证明函数在上单调递增； (3) 由第二问可知在上单调递增，求得区间上最大值为；将 “存在，使得成立” 转化为，解不等式求出的最大值. 【详解】（1），． 由，得，故． 此时. （2）略. （3）由（2）知在上单调递增，故在上单调递增， 于是在上的最大值为． “存在，使得成立”等价于在上的最大值不小于，即，解得． 所以实数的最大值为2. 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册讲义 期中培优：函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题复习讲义 考点目录 函数不等式恒成立问题 函数不等式能成立（有解）问题 考点一 函数不等式恒成立问题 核心本质 对给定区间内的所有自变量，不等式始终成立，等价于函数在区间上的边界最值满足不等式约束，即“最不利的位置都满足，则所有位置都满足”。 核心等价结论（ 为常数） 设函数 的定义域为 ： · ， 恒成立 在 上的最小值大于等于 ，即 · ， 恒成立 在 上的最大值小于等于 ，即 · ， 恒成立 构造 ， 恒成立 四大核心解法 1. 分离参数法（优先首选） · 核心思路：将参数与自变量分离到不等式两侧，转化为不含参数的函数的最值问题，避免复杂的分类讨论。 · 操作步骤： ① 将不等式变形为 或 的形式； ② 求 在对应区间上的最值； ③ 对应得到参数范围： · 恒成立 · 恒成立 · 注意事项：若不等式两边同乘负数（或含 的负式），不等号必须反向；分离过程需保证定义域等价，不增根、不漏根。 2. 分类讨论法（兜底通法） · 核心思路：当参数无法分离，或分离后函数最值难以求解时，直接分析含参函数的单调性与最值，按参数的不同取值范围逐一讨论。 · 典型场景：含参二次函数区间恒成立、含参单调函数区间恒成立、含参超越函数恒成立。 · 二次函数分类逻辑：按开口方向、对称轴与区间的左/中/右位置关系，分情况确定区间最值，再列不等式求解。 3. 数形结合法（选填速解） · 核心思路：将不等式两边视为两个独立函数，画出图像，通过图像的上下位置关系直观判断参数范围。 · 适用场景：一侧为直线、二次函数，另一侧为指数、对数、绝对值函数等图像特征清晰的题型，可快速排除错误选项。 4. 主元变换法（给定参数范围反求自变量） · 核心思路：当已知参数的取值范围，反过来求自变量的合法范围时，将参数视为“主元”，原自变量视为常数，不等式转化为关于参数的一次函数恒成立问题。 · 核心结论：一次函数在闭区间上恒成立，只需两个端点的函数值同时满足条件即可。 例1．（26-27高一上·四川泸州·阶段检测）已知函数 (1)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围 (2)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数m的取值范围． 例2．（26-27高一上·云南昆明·阶段检测）已知函数． (1)用定义法证明：函数在区间上单调递增； (2)若，且，恒成立，求实数的取值范围． 例3．（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测）已知函数（为常数，且，） (1)求证：函数在区间上是增函数； (2)当时，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围； (3)当为偶函数时，若关于的方程有实数解，求实数的取值范围． 变式1．（26-27高一上·安徽宣城·阶段检测）已知函数 为奇函数，其函数图象经过点 ． (1)求 ， 的值； (2)证明：函数 在区间 上单调递增； (3)若命题“，，，”为真命题，求实数 的取值范围． 变式2．（26-27高一上·河南·阶段检测）已知函数． (1)若函数是定义在上的奇函数． ①求实数的值； ②用定义证明：函数在上单调递减． (2)若，对任意的，都有成立，求实数的取值范围． 变式3．（26-27高一上·西藏拉萨·阶段检测）已知函数（），且， (1)求的解析式 (2)证明在上是增函数，并求在上的最小值 (3)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围 考点二 函数不等式能成立（有解）问题 核心本质 在给定区间内至少存在一个自变量使不等式成立（存在性问题），等价于函数在区间上的最优值（最有利情形）满足约束，即“只要有一个位置满足，则问题成立”。 核心等价结论（ 为常数） 设函数 的定义域为 ： · ， 有解 在 上的最大值大于等于 ，即 · ， 有解 在 上的最小值小于等于 ，即 · ， 有解 构造 ， 有解 三大核心解法 1. 分离参数法 与恒成立逻辑一致，但最值对应关系相反： · 有解 · 有解 2. 补集思想（正难则反） · 核心思路：当正面分类情况复杂时，先求“不等式在区间上恒不成立”的参数范围，再对其取补集，即为有解的参数范围。 · 示例：求 有解的范围，可先求 恒成立的范围，再对结果取补集。 · 注意：严格不等的反面是非严格不等，即 的反面是 ， 的反面是 。 3. 图像法 将不等式两边视为两个函数，若两函数图像存在交点，或一方图像有部分位于另一方的上方/下方，则对应不等式有解，可通过图像快速判断解的存在性与大致范围。 例1．（26-27高一上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知函数满足，. (1)求的解析式； (2)若对任意实数，恒成立，且存在实数使得，求实数的取值范围. 例2．（26-27高一上·广东珠海·阶段检测）已知函数，． (1)当时： （i）用单调性的定义证明函数在上单调递减； （ii）求函数的值域． (2)当时，若对任意的，存在，使得成立，求实数的最大值． 例3．（26-27高一上·安徽亳州·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求与的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)设，若对于任意的，总存在，使得成立，求正实数的取值范围． 变式1．（26-27高一上·湖南长沙·阶段检测）若二次函数的图象的对称轴为，最小值为，且． (1)求的解析式； (2)若关于的不等式在区间上有解，求实数的取值范围． 变式2．（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）已知二次函数满足，； (1)求的解析式； (2)若存在，使得成立，求实数m的取值范围； (3)记： ①当的定义域为（）时，值域为，求实数c的取值范围； ②若，设函数在区间上的最小值为，求的表达式． 变式3．（26-27高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知函数且满足． (1)求的值； (2)用定义判断并证明在上的单调性； (3)命题“存在，使得成立”为真命题，求实数的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $