精品解析：上海市复旦中学2026-2027学年高二上学期期中质量调研数学试卷

上海市复旦中学2026学年第一学期高二数学期中质量调研试卷 考生注意： 1．本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟； 2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面； 3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题； 4．答题时可使用符合规定的计算器． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 用适当的符号填空：如图，已知长方体，则直线______平面． 【答案】 【解析】 【分析】根据线面的位置关系解答即可. 【详解】因为直线在平面内，所以直线平面. 2. 正四棱锥底面边长为，侧棱长为2，则棱锥高为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用正四棱锥的性质，再结合勾股定理即可求解. 【详解】如图所示：四边形为正方形，因为，所以， 则， 在直角三角形中，，. 3. 如图所示，在直三棱柱中，，.则异面直线，所成角的大小是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义求解即可. 【详解】如图，连接， 直三棱柱中，， 所以异面直线与所成角为， 因为，，易得， 所以为等边三角形，所以， 故答案为： 4. 若为第二象限角，，则______. 【答案】－ 【解析】 【详解】因为为第二象限角，， 所以， 所以. 5. 如图，四边形是利用斜二测画法画出的水平放置的四边形的直观图，其中，，，．则四边形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据斜二测画法将直观图还原，即可求解. 【详解】根据斜二测画法得出，，， 将直观图还原，如下图. 四边形是直角梯形， 上、下底分别为，，高， 所以四边形的面积. 6. 已知正方体的内切球的体积是，则这个正方体的体积是_________. 【答案】 【解析】 【分析】先通过球体体积公式求出内切球半径，再结合正方体内切球直径等于棱长的关系求出棱长，最终计算正方体体积. 【详解】设正方体的内切球半径为，正方体的棱长为， 根据正方体内切球的几何性质，内切球的直径等于正方体的棱长， 因此有， 球体体积公式为，代入 ， 得，解得， 因此正方体棱长 ， 正方体体积为：. 7. 已知空间中不在平面ABC上的一点满足，且四点共面，则__________. 【答案】##0.5 【解析】 【详解】由空间中任意一点满足，得点可以不在平面内， 而四点共面，则，解得. 8. 正方体的各表面在一个平面上的展开图如图所示，则展开图中的面对角线与在正方体中的位置关系为________．（选填“平行”、“相交”、“异面”）． 【答案】 异面 【解析】 【详解】将题设中的平面展开图还原为正方体， 由展开图的结构特征可知， 位于正方体的上底面， 位于正方体的下底面． 设正方体的上底面为平面 ，下底面为平面 ，则 ． 因为 ，， 所以直线  与  无公共点，即两直线不相交． 若 ，则  与  在平面 （或 ）上的射影应当平行． 由展开图还原可知， 连接上底面的“后右”顶点与“前左”顶点，  连接下底面的“前右”顶点与“后左”顶点．   在底面的射影为底面正方形的一条对角线， 为底面正方形的另一条对角线， 两射影相交且不重合，故  与  不平行． 综上所述， 与  既不平行也不相交， 所以  与  的位置关系为异面． 9. 在长方体中，与平面、平面、平面所成角分别为、、，则______． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出、、的值即可求解. 【详解】连接、、，如下图所示： 因为平面，所以直线与平面所成的角为， 同理可知，，由题意可知， ，，， 所以， 所以. 10. 如图，直三棱柱中，是的中点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由柱体与锥体的体积公式结合割补法即可求得的值. 【详解】设，由题意得平面，且是的中点， 所以，且， 进而， 所以. 11. 如图，长方形所在平面与正三角形所在平面互相垂直，且为的中点．二面角的正切值最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，利用面面垂直的性质证明得出线面垂直，作出二面角的平面角并利用勾股定理求得线段长度，即可得出二面角的正切值. 【详解】依题意平面平面，且平面平面，平面， 由题意：，所以 平面， 过点作于点，连接，如下图所示： 由平面，又平面，所以， 又，且，平面， 所以平面，平面，可得； 即可得为二面角的平面角； 设，则， 由的面积， 得 又三角形为正三角形，所以， 在中，. 当时取等号， 即二面角的正切值最大值为. 12. 我国南北朝时期的著名数学家祖暅提出以下体积计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．用现代语言可以描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等，利用祖暅原理计算球的体积时，如图1，将同底等高的半球与圆柱放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体，用任意一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．如图2是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以2为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，类比上述半球的体积计算方法，运用祖暅原理可求得该帐篷的体积为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】由图利用几何关系先求截面为的面积为，再求四边形面积为，然后由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积计算即可. 【详解】 设截面与底面的距离为h，在帐篷中的截面为， 设底面中心为O，截面中心为，则， 所以，所以截面为的面积为． 设截面截正四棱柱得四边形为，截正四棱锥得四边形为， 底面中心O与截面中心之间的距离为， 在正四棱柱中，底面正方形边长为，高为， 所以，所以为等腰直角三角形， 所以，所以四边形边长为，所以四边形面积为， 所以图2中阴影部分的面积为， 这与截面面积相等， 由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积， 即． 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 两条异面直线是指（ ） A. 空间两条没有公共点的直线 B. 平面内一条直线与这个平面外的一条直线 C. 分别在两个平面内的两条直线 D. 不同在任何一个平面内的两条直线 【答案】D 【解析】 【详解】异面直线的定义为不同在任何一个平面内的两条直线， 对于A：空间中没有公共点的两条直线可能是平行直线，不一定是异面直线； 对于B：平面内一条直线与平面外一条直线，有可能相交或者平行； 对于C；分别在两个平面内的两条直线，有可能相交或者平行； 对于D：符合异面直线的定义. 14. 已知点，点在平面内，若平面的法向量，则点到平面的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题设，应用向量法求点到平面的距离即可. 【详解】由题意得，所以点到平面的距离. 故选：B 15. 已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为. 因为圆锥的侧面展开图为半圆，其圆心角为， 所以展开图弧长等于底面周长，即. 又圆锥的侧面积为. 解得. 圆锥的高为. 故圆锥的体积为. 16. 已知正三棱台所有顶点都在球上，其中，，侧棱延长相交于顶点，且三棱锥恰为正四面体，则球的表面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设在底面内的投影为，连接，交平面于点，通过正四面体的结构特点求得，再由，即可求解. 【详解】正三棱台中，，，侧棱延长相交于顶点，且三棱锥为正四面体， 设在底面内的投影为，连接，交平面于点，连接，， 则球心在上，连接，， 则，， ，， 设球的半径为，则， 解得，， 所以球的表面积为． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 17. 四边形ABCD是圆柱OO1的轴截面，E为底面圆周上的一点，，，． （1）求证：平面； （2）求圆柱的表面积． 【答案】（1）四边形是圆柱的轴截面，为底面圆周上的一点， 所以平面，平面，所以 ， ，平面，平面． （2） 【解析】 【分析】（1）推导出，，由此能证明平面． （2）利用勾股定理求出，从而得到底面圆的半径，由此能求出圆柱的表面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，． ，， 圆柱的表面积：． 18. 已知函数，且满足最小正周期为，最大值为 （1）求的解析式. （2）求的对称轴方程和单调递增区间. 【答案】（1） （2）对称轴方程为，单调递增区间为 【解析】 【分析】（1）根据周期和最值可求，结合零点可求，从而可求解析式； （2）利用整体法可求对称轴方程和单调递增区间. 【小问1详解】 因为函数最大值为，所以 最小正周期，由，得. 故. 由，得. 又，取，得，所以. 【小问2详解】 令，解得. 因此对称轴方程为， 令，解得. 故单调递增区间为. 19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是等边三角形，且，. （1）求证：平面平面； （2）求点A到平面的距离. 【答案】（1）证明：如图所示，取的中点，连接，， 侧面是等边三角形，且，，且， 底面是正方形，在中，. ，为直角三角形且. ，平面， 又平面，平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，先证明平面，接着证明平面平面. （2）利用等体积法，转换三棱锥顶点，求出点到平面的距离. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 如图所示，连接. 由，，. 三角形为直角三角形，且. ， 由底面是正方形，. 设点A到平面的距离为，,. ，，. 20. 如图，在平行六面体中，，，，. （1）以，，为基底向量，表示向量、； （2）求证：； （3）求的长. 【答案】（1）， （2） 因，，，， 则，， 由（1）得 ， 所以，即； （3） 【解析】 【分析】（1）结合图形利用空间向量的线性运算求解； （2）利用空间向量的数量积证明； （3）利用空间向量的数量积的运算律计算即得. 【小问1详解】 在中，根据空间向量的减法运算可得， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知， 所以 ， 所以. 21. 如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，面，，点是棱的中点，点是棱上的一点（不包含端点）． （1）求证：平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）记平面交于点，点在平面上，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）证明：因为平面，底面是边长为6的正方形， 则以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系， 所以，，，，，， 连接交于点，∴，， ∴，故，而平面，平面， 所以平面 （2）（ⅰ）6（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）结合题意，建立空间直角坐标系，连接交于点，利用向量法证明，再结合线面平行判定定理即可证明； （2）（i）设，进而根据平面与平面的夹角的余弦值求得，即，再结合求解体积即可； （ii）设，则，进而根据得，设，进而求得平面的法向量，再结合线面角的向量方法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为，，， 设， 则． 设平面的法向量为， 则即，取，解得，， 则， 因为平面，所以是平面的一个法向量． 因为平面与平面的夹角的余弦值为， 所以， 解得或（舍），所以， 所以三棱锥的体积． （ⅱ）设，则， 由（ⅰ）可知为平面的一个法向量， 所以，所以，解得， 所以， 因为在平面上，所以， 所以． 设平面的法向量， 则即，取得，， 则， 设与平面所成角为， 则． 因为，所以， 即与平面所成角的正弦值的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市复旦中学2026学年第一学期高二数学期中质量调研试卷 考生注意： 1．本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟； 2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面； 3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题； 4．答题时可使用符合规定的计算器． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 用适当的符号填空：如图，已知长方体，则直线______平面． 2. 正四棱锥底面边长为，侧棱长为2，则棱锥高为______． 3. 如图所示，在直三棱柱中，，.则异面直线，所成角的大小是______. 4. 若为第二象限角，，则______. 5. 如图，四边形是利用斜二测画法画出的水平放置的四边形的直观图，其中，，，．则四边形的面积是______． 6. 已知正方体的内切球的体积是，则这个正方体的体积是_________. 7. 已知空间中不在平面ABC上的一点满足，且四点共面，则__________. 8. 正方体的各表面在一个平面上的展开图如图所示，则展开图中的面对角线与在正方体中的位置关系为________．（选填“平行”、“相交”、“异面”）． 9. 在长方体中，与平面、平面、平面所成角分别为、、，则______． 10. 如图，直三棱柱中，是的中点，则______． 11. 如图，长方形所在平面与正三角形所在平面互相垂直，且为的中点．二面角的正切值最大值为________． 12. 我国南北朝时期的著名数学家祖暅提出以下体积计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．用现代语言可以描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等，利用祖暅原理计算球的体积时，如图1，将同底等高的半球与圆柱放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体，用任意一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．如图2是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以2为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，类比上述半球的体积计算方法，运用祖暅原理可求得该帐篷的体积为___________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 两条异面直线是指（ ） A. 空间两条没有公共点的直线 B. 平面内一条直线与这个平面外的一条直线 C. 分别在两个平面内的两条直线 D. 不同在任何一个平面内的两条直线 14. 已知点，点在平面内，若平面的法向量，则点到平面的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 2 15. 已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积是（ ） A. B. C. D. 16. 已知正三棱台所有顶点都在球上，其中，，侧棱延长相交于顶点，且三棱锥恰为正四面体，则球的表面积为（　　） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 17. 四边形ABCD是圆柱OO1的轴截面，E为底面圆周上的一点，，，． （1）求证：平面； （2）求圆柱的表面积． 18. 已知函数，且满足最小正周期为，最大值为 （1）求的解析式. （2）求的对称轴方程和单调递增区间. 19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是等边三角形，且，. （1）求证：平面平面； （2）求点A到平面的距离. 20. 如图，在平行六面体中，，，，. （1）以，，为基底向量，表示向量、； （2）求证：； （3）求的长. 21. 如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，面，，点是棱的中点，点是棱上的一点（不包含端点）． （1）求证：平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）记平面交于点，点在平面上，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $