精品解析：上海市奉贤区2026-2027学年第一学期八年级期中数学试卷

2026学年第一学期八年级数学学科期中练习卷 （时间100分钟，满分100分） 一、选择题：（本大题共5题，每题3分，满分15分） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简含根号的数，再根据无理数定义判断． 【详解】解：是整数，是有限小数，是分数，均为有理数． 是无理数． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 64的算术平方根是 B. 64的平方根是8 C. 64的立方根是4 D. 的算术平方根是 【答案】C 【解析】 【分析】利用算术平方根的非负性及负数无算术平方根排除部分选项，再结合平方根、立方根的定义判断剩余选项． 【详解】解：∵算术平方根为非负数，且仅非负数有算术平方根， ∴的算术平方根是，没有算术平方根，A、D错误； ∵正数的平方根有两个，且互为相反数， ∴的平方根是，B错误； ∵， ∴的立方根是，C正确． 3. 如图，数轴上点P表示的无理数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由＜＜3＜＜4＜， 点P表示的数大于3小于4，故C符合题意． 故选：C． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 实数根的个数与a的取值有关 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；因此此题可根据进行排除选项即可． 【详解】解：由一元二次方程可知：， ∴方程有两个不相等的实数根； 故选A． 5. 如下表，被开方数a和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得m，n的值分别为（ ） a 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 625000 0.25 0.791 m n 25 79.1 250 791 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义解决此题． 【详解】解：由题意得：从0.0625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍， 从0.625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍， ∴可得：6.25的算术平方根为2.5,62.5的算术平方根约为7.91， 故选B． 【点睛】本题主要考查数字类规律探索，算术平方根，熟练掌握原数和平方根的变化规律是解决本题的关键． 二、填空题（本大题共10题，每题3分，满分30分） 6. 的平方根是____． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据算术平方根、平方根解决此题． 【详解】解：， 实数的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键． 7. 方程x=x的解为_____ 【答案】0,1 【解析】 【分析】移项，用因式分解法解方程即可. 【详解】解：∵x=x2， ∴x2－x=0， ∴x(x-1)=0 ∴x=0或x-1=0, ∴x=0或x=1， 故答案为0，1. 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键. 8. 如果一个二次根式与相乘的积不含有根号，这个二次根式可以是__________．(只需写一个) 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】需构造与相乘后积不含根号的二次根式，使二者乘积为有理式即可． 【详解】解：∵ ∴计算结果不含根号，满足题目要求． 9. 若，则a的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质．根据二次根式的性质得到，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故答案为：． 10. 比较大小：__________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【详解】解：∵和均为正数，，，， ∴， 又， ∴． 11. 电子显微镜的分辨率大约是0.2纳米，1纳米毫米，那么0.2纳米可用科学记数法表示为__________毫米． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵1纳米毫米毫米， ∴纳米对应的毫米数为， 将结果整理为标准科学记数法形式，可得． 12. 将化为分数：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：设， ∵ 该数的循环节长度为1， ∴ 将等式两边同时乘以10，可得， 用得到的等式减去原等式，消去无限循环的小数部分， ∴ ， 化简得， 解得． 13. 不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 由于 故 ， ∴原不等式的解集为． 14. 关于的方程有实数根，那么的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程根的判别式，解题关键是运用分类讨论思想解题． 方程可能为一元二次或一元一次方程，需分类讨论；当为一元二次方程时，利用判别式求参数范围． 【详解】解：当时，方程化为， 解得，有实数根； 当时，方程为二次方程，有实数根时， 判别式， 解得 ； 综上，时方程有实数根． 故答案为：． 15. 2025年10月，诺贝尔物理学奖表彰了科学家在超导电路中发现了宏观量子现象，在超导电路中，量子比特的“共振频率”很关键，已知某种量子比特的两个共振频率和（单位：赫兹）满足以下条件：①两个频率的和为10；②以这两个频率为根的一元二次方程，其一次项系数的2倍与常数项的和，等于两根的差的平方．设该一元二次方程为（其中、是实数），则可求得__________． 【答案】 24 【解析】 【分析】结合一元二次方程根与系数的关系，先由两根之和求出的值，再通过完全平方公式将两根差的平方转化为两根和与积的表达式，代入题干给出的等量关系列方程求解． 【详解】解：设方程的两根为和， ∵由根与系数的关系可得 ，， ∵题干给出两个频率的和为10，即， ∴，即. ∵题干给出等量关系：一次项系数的2倍与常数项的和等于两根的差的平方， ∴可得等式 . ∵由完全平方公式变形可得 . 将，代入，得， 将和上式代入等式，得， 整理得 ， 移项合并同类项得， 解得． 三、简答题：（本大题共8题，满分55分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得，， ． 18. 用配方法解方程：． 【答案】 ，． 【解析】 【详解】 解： ∴，． 19. 已知最简二次根式与是同类二次根式， （1）求的平方根； （2）对于任意的正实数和，我们定义新运算：．求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）最简二次根式为同类二次根式的条件是被开方数相同，因此可得，求出，再根据平方根的定义计算即可得出结果； （2）由（1）可得，再结合新定义的运算法则计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， ∴的平方根为； 【小问2详解】 解：由（1）可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 完成以下问题 （1）我们发现，利用配方法解一元二次方程的步骤是相同的，因此，用配方法解一元二次方程，可以得到一元二次方程的求根公式． 一般地，对于一元二次方程，当______________时，它的根是：__________． 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法． （2）小明在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如下： ，，，（第一步） ．（第二步） ．（第三步） ，．（第四步） 小明解答过程是从第______步开始出错的，其错误原因是_______． （3）请你写出此题正确的解答过程． 【答案】（1）， （2）一，方程没有化成一般式； （3）解：正确的解答过程： 方程化为， ，，， ． ∴． ∴，． 【解析】 【分析】（1）根据求根公式作答即可； （2）根据公式法解一元二次方程的步骤判断即可； （3）用公式法解此方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由原方程得：， ，，， ∴小明解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是方程没有化成一般式； 【小问3详解】 略． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）若该方程的两个实数根，满足，求的值． （2）如果以方程的两根为等腰三角形的两条边长，第三条边长为3，求的值以及这个等腰三角形的周长． 【答案】（1）的值为或 （2）的值为，等腰三角形的周长为 【解析】 【分析】（1）求出，由一元二次方程根与系数的关系可得，，根据并结合完全平方公式计算即可得出结果； （2）先解方程得出，，再分两种情况，并结合三角形三边关系，计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意可得， ∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴，， ∵， ∴， 整理得， 解得， ∴的值为或； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得，， 若腰长为，三边长为，，，，不能构成三角形，舍去； 若腰长为，则，解得，此时三边长为，，，满足三角形三边关系，周长为， 综上所述，的值为，等腰三角形的周长为． 22. 已知在锐角中，，点是边上一点，． （1）如图1，过点作，垂足为点，与交于点．求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，作平分，与边相交于点，请猜想，，之间的数量关系并证明． 【答案】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）．证明如下： 在上取点，使，连接、(如图)． ∵平分， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵在上，在上， ∴， ∴． ∵在上， ∴． ∴． ∴， ∴． ∴． ∴． 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的两底角相等，把用表示，再由把化成，代换后即得结论； （2）在上截取，用证与全等，把搬到，再由内角和证是等腰三角形，得到，从而把拆成与两段． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 数学兴趣小组活动中，“无理数探秘”小组围绕“到底有多大”展开了深度探究，请根据各探究小组的汇报，完成下列问题． （1）到底有多大 小欣和组员们利用数形结合的方式探索的近似值，请将过程补充完整； 我们知道面积是的正方形边长是，且，设，画出如图1所示的示意图．由面积公式，可得．因为值很小，所以更小，省略，得方程__________，解得__________(保留到)，所以__________． （2）怎样画出？ 小聪同学的思路是：如图2所示，将个边长为的正方形进行分割，然后拼接成一个新的正方形，设新正方形的边长为，根据割补前后图形的面积相等，可得，解得．则拼接成的新的正方形的边长即为． 请按照小聪的思路，在图3的网格图中用实线画出拼接成的新的正方形(网格图中每个小正方形的边长均为)． （3）根据剪拼前后图形的总面积不变，小研按照图4和图5所示的两种剪拼方法将一个边长为的正方形和一个边长为的正方形剪拼出一个大正方形，都可以得到边长为无理数的新的正方形． ①请模仿小聪的方法计算无理数的值；②若，，求代数式的值． 【答案】（1） （2）如图 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）把展开，省略较小的，得一元一次方程，解出后回代求近似值； （2）拼成的正方形面积为，边长即为，在网格中以相邻两格为直角边、以斜边作它的一边； （3）①由剪拼前后面积不变，用两个正方形的面积和求；②先判断、的正负，去绝对值后代入求值． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∵值很小，更小，可以省略， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①剪拼前后图形的总面积不变， ∴新正方形的面积为， ∴． ②由，且， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期八年级数学学科期中练习卷 （时间100分钟，满分100分） 一、选择题：（本大题共5题，每题3分，满分15分） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 64的算术平方根是 B. 64的平方根是8 C. 64的立方根是4 D. 的算术平方根是 3. 如图，数轴上点P表示的无理数可能是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 实数根的个数与a的取值有关 D. 没有实数根 5. 如下表，被开方数a和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得m，n的值分别为（ ） a 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 625000 0.25 0.791 m n 25 79.1 250 791 A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题（本大题共10题，每题3分，满分30分） 6. 的平方根是____． 7. 方程x=x的解为_____ 8. 如果一个二次根式与相乘的积不含有根号，这个二次根式可以是__________．(只需写一个) 9. 若，则a的取值范围是_______． 10. 比较大小：__________．（填“”、“”或“”） 11. 电子显微镜的分辨率大约是0.2纳米，1纳米毫米，那么0.2纳米可用科学记数法表示为__________毫米． 12. 将化为分数：__________． 13. 不等式的解集是__________． 14. 关于的方程有实数根，那么的取值范围为___________． 15. 2025年10月，诺贝尔物理学奖表彰了科学家在超导电路中发现了宏观量子现象，在超导电路中，量子比特的“共振频率”很关键，已知某种量子比特的两个共振频率和（单位：赫兹）满足以下条件：①两个频率的和为10；②以这两个频率为根的一元二次方程，其一次项系数的2倍与常数项的和，等于两根的差的平方．设该一元二次方程为（其中、是实数），则可求得__________． 三、简答题：（本大题共8题，满分55分） 16. 计算：． 17. 计算：． 18. 用配方法解方程：． 19. 已知最简二次根式与是同类二次根式， （1）求的平方根； （2）对于任意的正实数和，我们定义新运算：．求的值． 20. 完成以下问题 （1）我们发现，利用配方法解一元二次方程的步骤是相同的，因此，用配方法解一元二次方程，可以得到一元二次方程的求根公式． 一般地，对于一元二次方程，当______________时，它的根是：__________． 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法． （2）小明在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如下： ，，，（第一步） ．（第二步） ．（第三步） ，．（第四步） 小明解答过程是从第______步开始出错的，其错误原因是_______． （3）请你写出此题正确的解答过程． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）若该方程的两个实数根，满足，求的值． （2）如果以方程的两根为等腰三角形的两条边长，第三条边长为3，求的值以及这个等腰三角形的周长． 22. 已知在锐角中，，点是边上一点，． （1）如图1，过点作，垂足为点，与交于点．求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，作平分，与边相交于点，请猜想，，之间的数量关系并证明． 23. 数学兴趣小组活动中，“无理数探秘”小组围绕“到底有多大”展开了深度探究，请根据各探究小组的汇报，完成下列问题． （1）到底有多大 小欣和组员们利用数形结合的方式探索的近似值，请将过程补充完整； 我们知道面积是的正方形边长是，且，设，画出如图1所示的示意图．由面积公式，可得．因为值很小，所以更小，省略，得方程__________，解得__________(保留到)，所以__________． （2）怎样画出？ 小聪同学的思路是：如图2所示，将个边长为的正方形进行分割，然后拼接成一个新的正方形，设新正方形的边长为，根据割补前后图形的面积相等，可得，解得．则拼接成的新的正方形的边长即为． 请按照小聪的思路，在图3的网格图中用实线画出拼接成的新的正方形(网格图中每个小正方形的边长均为)． （3）根据剪拼前后图形的总面积不变，小研按照图4和图5所示的两种剪拼方法将一个边长为的正方形和一个边长为的正方形剪拼出一个大正方形，都可以得到边长为无理数的新的正方形． ①请模仿小聪的方法计算无理数的值；②若，，求代数式的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $