进阶课16 概率与统计的综合问题 课件-2027届高三数学一轮复习

概率与统计的综合问题 2027年高考数学 · 一轮复习 1 【教学目标】 1. 能综合运用统计（抽样、回归、独立性检验）与概率（分布列、期望）解决综合问题； 2. 提升从实际情境中提取数学模型的能力； 3. 体会数学在数据分析中的价值。 【教学重点】 · 统计与概率的交叉综合；分布列与期望的实际应用。 【教学难点】 · 复杂情境的建模；统计推断与概率计算的衔接。 进阶课16 概率与统计的综合问题 5年4考 【新课标要求】 能在现实情境中综合运用统计与概率知识解决问题，体会用数据认识世界的思想（选择性必修课程“概率与统计”主题，学业质量水平三）。 进阶课16 概率与统计的综合问题 5年4考 【近五年考频考点】及备考建议 概率与统计综合题是新高考解答题压轴常客（5年约4考）。 备考建议： 1、先理清“抽样/图表→概率模型→分布列→期望”的链条； 2、独立性检验 + 分布列常组合出题； 3、重视阅读理解与建模，注意结论的统计学意义表述。 进阶课16 概率与统计的综合问题 5年4考 第十一单元 计数原理与概率、随机变量 及其分布 进阶课16 概率与统计的综合问题 5年4考 5 概率与统计的综合问题在高中数学中至关重要.解题需多种知识与手段齐上阵，牢 记定义、公式、法则是基础，掌握常用结论并灵活运用是关键.当面对实际问题时，准 确确定随机变量的取值，熟练计算概率，用好抽样方法与统计量，难题自会迎刃而解. 进阶课16 概率与统计的综合问题 5年4考 6 频率分布直方图与分布列的综合问题 典例1 某高校共有15 000人，其中男生10 500人、女生4 500人，为了 调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用按比例分配的分层 随机抽样的方法，收集300名学生每周平均体育运动时间（单位：时） 的样本数据. （1）应收集多少个女生样本数据？ （2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图 （如图所示），其中样本数据分组的区间为，， ， .请估计该校学生每周平均体育运动时间不低于4个小时的概率. （3）视样本数据的频率为概率，现从全校随机抽取4名学生，记 为这4名学生中运 动时间不低于4个小时的人数，求 的分布列以及数学期望. 进阶课16 概率与统计的综合问题 5年4考 7 解析 （1）因为该校共有15 000人，其中女生有4 500人，所以女生占总人数的比例 为 . 又因为采用按比例分配的分层随机抽样的方法收集300名学生的样本数据， 所以女生样本数据应收集 （个）. （2）由频率分布直方图可知，学生每周平均体育运动时间不低于4个小时的频率为 ， 故估计该校学生每周平均体育运动时间不低于4个小时的概率为0.75. 进阶课16 概率与统计的综合问题 5年4考 8 （3）由（2）可知，运动时间不低于4个小时的概率为 ， 则， ， 所以， ， ， ， ， 则 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 所以 . 进阶课16 概率与统计的综合问题 5年4考 感悟提升 高考常将频率分布直方图与分布列等交汇在一起进行考查，解题时要正确理解频 率分布直方图，能利用频率分布直方图正确计算出各组数据.概率问题以计算为主，往 往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来. 进阶课16 概率与统计的综合问题 5年4考 10 “稻草很轻,但是它迎着风仍然坚韧,这就是 生命的力量,这就是意志的力量”“当你为未 来付出踏踏实实努力的时候,那些你觉得看 不到的人和遇不到的风景都终将在你生命 里出现”……当读到这些话时,你会切身体 会到“读书破万卷”给予我们的力量.为了解 某普通高中学生的阅读时间,从该校随机抽 取了800名学生进行调查,得到了这800名学 生一周的平均阅读时间（单位:时）,并将样本数据分成九组,绘制成如图所示的频率 分布直方图. 进阶课16 概率与统计的综合问题 5年4考 11 （1）求 的值; （2）为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况,从周平均阅读时间在 , , 三组内的学生中,采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取了10人, 现从这10人中随机抽取3人,记周平均阅读时间在内的学生人数为,求 的分布 列和数学期望; （3）以样本的频率估计概率,从该校所有学生中随机抽取20名学生,用 表示这20 名学生中恰有名学生周平均阅读时间在内的概率,其中,1,2, ,20,当 最大时,写出 的值. 进阶课16 概率与统计的综合问题 5年4考 解析 （1） , . （2）由频率分布直方图可得,周平均阅读时间在,, 三组内的频 率之比为 , 周平均阅读时间在内的人数为,在内的人数为 , 在内的人数为 . 故 的所有可能取值为0,1,2,3, 进阶课16 概率与统计的综合问题 5年4考 13 ,, , , 的分布列为 X 0 1 2 3 P . （3）用频率估计概率,从该校所有学生中随机抽取1名学生,周平均阅读时间在 内的概率为 , 进阶课16 概率与统计的综合问题 5年4考 由题意可知, , 则 . 若最大,则最大, 当时, 取得最大值. 进阶课16 概率与统计的综合问题 5年4考 回归模型与分布列的综合问题 典例2 某企业计划新购买100台设备，并将购买的设备分配给100名年龄不同 （视为技术水平不同）的技工加工一批模具.因技工的技术水平不同而加工出的产品 数量不同，故产生的经济效益也不同.若用变量表示不同技工的年龄，变量 为相应 的效益值（单位:万元），根据以往统计经验，他们的工作效益满足最小二乘法，且 关于的经验回归方程为 . （1）试根据 的值判断使用该批设备的技工人员所产生的效益与技工年龄的相关性 强弱.（若,则认为与的线性相关性很强；若,则认为与 的 线性相关性不强） 进阶课16 概率与统计的综合问题 5年4考 16 （2）已知这批设备有A,B两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依 次是， .若两道工序都没有出现故障，则生产成本不增加；若A工序出现故 障，则生产成本增加2万元；若B工序出现故障，则生产成本增加3万元；若A,B两道 工序都出现故障，则生产成本增加5万元.求这批设备增加的生产成本的数学期望. 参考数据：， . 参考公式：经验回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ，, .#1.4 进阶课16 概率与统计的综合问题 5年4考 解析 （1）由题意得 ， 所以 ， 所以 ， 所以 . 因为，所以与 的线性相关性很强， 所以使用该批设备的技工人员所产生的效益与技工年龄的相关性很强. 进阶课16 概率与统计的综合问题 5年4考 18 （2）设增加的生产成本为 ，则 的所有可能取值为0，2，3，5， ， ， ， ， 所以 （万元）， 所以这批设备增加的生产成本的数学期望为0.13万元. 进阶课16 概率与统计的综合问题 5年4考 感悟提升 高考常将回归模型与分布列交汇进行考查，求经验回归方程时要充分利用已知 数据，合理利用公式减少运算.求解概率问题时要注意概率模型的应用，明确所求问 题所属的事件类型是解题的关键. 进阶课16 概率与统计的综合问题 5年4考 20 设某幼苗从观察之日起,第天的高度为 ,测得的一些数据如下表所示: 第 天 1 4 9 16 25 36 49 高度 0 4 7 9 11 12 13 作出这组数据的散点图（图略）,发现（单位:）与 （单位:天）之间近似满足关 系式,其中, 均为常数. （1）试借助一元线性回归模型,根据所给数据,用最小二乘法对,作出估计,并求出 关于 的经验回归方程； （2）在作出的这组数据的散点图中,甲同学随机抽取了其中的4个点,记这4个点中幼 苗的高度大于的点的个数为,其中 为表格中所给的幼苗高度的平均数,试求随机变 量 的分布列和数学期望. 进阶课16 概率与统计的综合问题 5年4考 21 附:对于一组数据,, ,,其经验回归直线 的斜率和截 距的最小二乘估计分别为, . 进阶课16 概率与统计的综合问题 5年4考 22 解析 （1）令,则 ,根据已知数据得到如下表： 1 4 9 16 25 36 49 1 2 3 4 5 6 7 0 4 7 9 11 12 13 则 , , 可得 , , 进阶课16 概率与统计的综合问题 5年4考 23 通过上表计算可得 . 因为经验回归直线过点,所以 , 所以关于 的经验回归方程为 . （2）由题意可知,7天中幼苗高度大于 的有4天,小于或等于8的有3天, 从散点图中任取4个点,即从这7天中任取4天, 所以这4个点中幼苗的高度大于的点的个数 的所有可能取值为1,2,3,4,则 , , 进阶课16 概率与统计的综合问题 5年4考 , , 所以随机变量 的分布列为 1 2 3 4 . 进阶课16 概率与统计的综合问题 5年4考 独立性检验与分布列的综合问题 典例3 （经典高考真题）一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选40只小白鼠, 随机地将其中20只分配到试验组,另外20只分配到对照组,试验组的小白鼠饲养在高浓 度臭氧环境,对照组的小白鼠饲养在正常环境,一段时间后统计每只小白鼠体重的增加 量（单位: ）. （1）设表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数,求 的分布列和数学期望. 进阶课16 概率与统计的综合问题 5年4考 26 （2）试验结果如下: 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2 试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5 进阶课16 概率与统计的综合问题 5年4考 27 ①求40只小白鼠体重的增加量的中位数,再分别统计两样本中小于与不小于 的 数据的个数,完成如下列联表: 对照组 试验组 ②根据①中的列联表,能否有 的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环 境中体重的增加量有差异？ 附:, . 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 进阶课16 概率与统计的综合问题 5年4考 28 解析 （1） 的所有可能取值为0,1,2, 则 , , , 所以 的分布列为 0 1 2 故 . 进阶课16 概率与统计的综合问题 5年4考 29 （2）①根据试验数据可以知道40只小白鼠体重增加量的中位数 . 列联表如下： 对照组 6 14 试验组 14 6 ②根据①中结果可得 , 所以有 的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有 差异. 进阶课16 概率与统计的综合问题 5年4考 某中学在高一学生选科时，要求每位学生先从物理和历史这两个科目中选定一个科 目，再从思想政治、地理、化学、生物学这四个科目中任选两个科目.选科工作完成 后，为了了解该校高一学生的选科情况，随机抽取了部分学生作为样本，对他们的 选科情况统计后得到下表： 思想政治 地理 化学 生物学 物理类 100 120 200 180 历史类 120 140 60 80 进阶课16 概率与统计的综合问题 5年4考 31 （1）利用上述样本数据填写下面的列联表，并依据小概率值 的独立 性检验，分析以上两类学生对生物学学科的选法是否存在差异. 生物学学科选法 合计 选 不选 物理类 历史类 合计 进阶课16 概率与统计的综合问题 5年4考 32 （2）假设该校高一所有学生中有 的学生选择了物理类，其余的学生都选择了历史 类，且在物理类的学生中其余两科选择的是地理和化学的概率为 ，而在历史类的学 生中其余两科选择的是地理和化学的概率为 .若从该校高一所有学生中随机抽取100 名学生，用表示这100名学生中同时选择了地理和化学的人数，求随机变量 的均 值 . 附：,其中 . 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 进阶课16 概率与统计的综合问题 5年4考 33 解析 （1）由题意可得选择物理类的总人数为300，其中选择生物学学科的人数为 180，不选择生物学学科的人数为120；选择历史类的总人数为200，其中选择生物学 学科的人数为80，不选择生物学学科的人数为120.据此,完整的 列联表如表所示： 科类 生物学学科选法 合计 选 不选 物理类 180 120 300 历史类 80 120 200 合计 260 240 500 零假设为 两类学生对生物学学科的选法没有差异. 由表中数据可得 ， 进阶课16 概率与统计的综合问题 5年4考 34 根据小概率值 的独立性检验可知零假设不成立，即可以认为两类学生对生 物学学科的选法存在差异，且此推断犯错误的概率不大于0.001. （2）记“学生选择物理类”为事件，“学生选择历史类”为事件 ，“同时选择地理和 化学”为事件，则 ， ， ， ， 故 . 由题意可得， ，则随机变量的均值 . 进阶课16 概率与统计的综合问题 5年4考 作业：完成概率与统计的综合问题限时练 进阶课16 概率与统计的综合问题 5年4考 THANKS 37 $