微专题10 概率统计与数列、函数的综合问题 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦概率统计与数列、函数综合问题，依据高考评价体系梳理递推数列求概率、函数导数求最值等核心考点，通过近五年真题分析明确此类综合题占比约15%的高频权重，归纳质点移动、比赛胜负等典型题型，构建完整备考体系。 课件亮点在于“真题案例+素养导向”的复习策略，如以陕西商洛质检质点移动概率题为例，解析递推关系构建方法培养数学思维，结合河北张家口模拟题用导数求概率最值强化数学语言表达。提供“递推公式模板”“导数求导步骤”，帮助学生掌握得分技巧，教师可据此系统规划复习，提升学生高考冲刺能力。

微专题10 概率统计与数列、函数的 综合问题 1 例1 [2026·陕西商洛质检] 如图，已知在正四棱锥 的某个顶点处有一个质点，质点 随机地 沿一条棱或底面对角线向相邻的某个顶点移动，且向 每个相邻顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱 或底面对角线移动到相邻顶点称为一次移动．假设质点 的初始位置在 点处，设质点移动次后还在底面上的概率为 ． （1）求， 的值． 微点一 概率统计与数列 2 解：由题可知，质点 移动一次后还在底面上的概率为，所以 ， 当时，表示质点移动 次后在平面 上的概率， 表示质点移动次后不在平面 上的概率. 若质点移动次后在底面上，则第次移动后仍在底面 上的概率为， 若质点移动次后不在底面上，则第 次移动后在底面 上的概率为1， 所以 . 3 （2）已知数列满足 ． （i）证明：数列 为等比数列． 证明：由（1）知， ， ， 所以，，所以， ， 因为，所以数列是以为首项， 为公比的等比数列. 4 （ii）求数列的前项和 ． 解：因为 ，所以 ， 所以 ， . 5 两式相减可得 ， 故 . 6 例2 [2026·河北张家口模拟] 甲、乙两人参加射击比赛，规则如下： 每轮由一人射击两次，若全中则此轮的射击者赢得比赛，比赛结束， 否则进行下一轮射击，由另外一人射击两次，如此类推.经过抽签， 第1轮由甲射击，已知甲、乙每次射击命中的概率分别为， ，各次 射击互不影响. （1）若，记 为比赛结束时的轮数，证明： . 7 证明：表示第1轮甲射击没有全中，则 . 若 ，则每一轮比赛中，甲、乙射击没有全中的概率均为 ， 故表示前轮射击没有出现全中，则 ， 同理知 ， 所以 . 8 （2）若，记事件“比赛在第轮时未结束”， “甲赢得比赛”. （i）写出与的关系式并求 ； 解：甲在奇数轮时射击，乙在偶数轮时射击， 记事件“甲两次射击没全中”，事件 “乙两次射击没全中”， 则, ， 当为偶数时，第轮由甲射击，发生等价于 发生且甲两次 射击没全中， 9 即，又各次射击互不影响，与 独立， 所以 ， 当为奇数时，第 轮由乙射击，同理得 . 由①②知，当为奇数时， ， 10 所以当为奇数时，是首项为，公比为 的等比数列，则 ； 当为偶数时， . 综上可知， （ii）求 . 参考公式：若，则 . 解：方法一：甲只可能在奇数轮时获胜， 则 , ， 表示比赛在第轮未结束，在 轮结束， 所以 ， 所以 ， 12 又因为事件 两两互斥， 所以+…= . 13 方法二：注意到若前2轮比赛仍未分出胜负，则后续与刚开始比赛时 完全一样，即“遗忘”了前2轮的结果， 从第3轮开始甲获胜的概率仍然为，即 ，体现无 记忆性， 所以， 即 ，解得 . 14 总结反思 数列与概率结合的问题具有数列的性质，故求解过程也可按照数列 的解题策略进行： ①找到当下状态的“前一次”的所有可能情况； ②结合对应概率写出“前一次”所有可能中蕴含的数列递推关系; ③利用数列递推关系或性质求解答案. 15 【对点演练1】 [2026·河北廊坊期末] 甲、乙两人投篮，每次由其中 一人投篮，若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论 之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 ，乙每次投篮的命中 率均为 .由抽签确定第1次投篮的人选，若第1次投篮的人是甲、 乙 的概率均为，则第 次投篮的人是甲的概率是____________. 16 [解析] 记“第次投篮的人是甲”为事件，“第 次投篮的人是乙”为事 件， ，设，则 ， 则 ，即 ，所以 ， 由，得，因此数列是首项为，公比为 的等比 数列， 则，即 ， 所以第次投篮的人是甲的概率为 . 微点二 概率统计与函数 例3（1）[2026·广东广州模拟] 如图，一质点在随机外力的作用下， 在 轴上从原点0出发向右运动，每次移动1个单位或2个单位，其中 每次移动1个单位的概率均为 ，移动2个单位的概率均为 .记质点从原点0移动到数字的位置的方法种数为，则 ___；记质点从原点0移动5次后位于数字8的位置的概率为 ，则 的最大值是____. 5 18 [解析] 由于 ， 故从原点0移动到数字4的位置的方法种数为 ，即 . 设第次移动个单位，其中, ， 所以 ， 所以 中有三个2，两个1， 所以 ， 19 求导得 . 由，得,由，得 , 从而在上单调递增，在 上单调递减， 所以的最大值是 . （2）在一场比赛中，甲、乙两人约定谁先赢 局，谁 便赢得全部奖金元.每局甲赢的概率为 ，乙赢的概率为 ，且每场比赛相互独立.在甲赢了 局，乙赢了 局时，比赛意外终止.现规定：若出现无人先赢 局，比赛就 意外终止的情况，则甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全 部奖金的概率之比分配奖金.当,,, 时， 若 ，则乙最多可获得____元奖金. 16 21 [解析] 由题意知甲赢了2局，乙赢了1局时，比赛意外终止. 设再进行局乙赢得全部奖金，则 可能的取值为3或4， 当时，甲赢2局，乙赢4局， ， 当 时，甲赢3局，乙赢4局， . 记事件 为“两人继续进行下去乙赢得全部奖金”， 则 . 令，，则 ， 22 因为，所以，在 上单调递减， 所以 . 又，所以乙最多可获得 （元）. 总结反思 对于概率的最值问题，常将其概率表达式视作一个函数，通过研究 函数的性质确定概率的最值. 24 【对点演练2】 有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个 黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行 次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是 （有放回摸球）每次摸球后将球放回袋中，再进行下一次摸球，摸 到红球的次数记为 ；二是（不放回摸球）每次摸球后将球不放回袋 中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为 ． （1）若 . （i）求随机变量 的分布列和数学期望； 25 解：对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，摸到红球的次数 的 可能取值为0，1，2，3，4， , ,1,2,3,4， 则， ， ， ， ， 26 所以 的分布列为 0 1 2 3 4 所以 . 27 （ii）游戏规定摸到的红球次数不少于摸到的黑球次数则中奖，在这 个规则下，设有放回摸球中奖概率为，不放回摸球中奖概率为 ， 求和 ，并比较它们的大小． 28 解：对于有放回摸球，各次试验的结果互相独立， ， 则 ， ， ， 故 . 由可知 . 因为，所以 . 29 （2）若，当取得最大时的 值满足 ，函数与 的图象有两个不同 的公共点，求 的取值范围． 解：当时， ， 若 最大， 则，且 ， 即 ，且 ，得 ， 30 又，所以 ， 故，所以.由题得方程 有两个不相 等的正实根， 方程两边取自然对数，整理得 有两个不相等的正实根. 构造函数，则 ， 令，得 ， 当时，,当时， , 31 所以在上单调递增，在上单调递减， 又当 时, , 当 时, ， 所以可作出 的大致图象，如图所示. 由图可得，所以 . 32 $