精品解析：山东德州市2026-2027学年高一上学期校际教研诊断（二）数学试题

2026级校际教研诊断（二）数学学科试题 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先把集合解出来化成最简形式，再利用补集和交集的定义即可得出答案. 【详解】由或，故集合或，所以， 易得集合，故. 故选：B. 2. 已知函数，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由根式和复合函数的定义域求解即可. 【详解】由题可知的定义域为， 则为使有意义必须且只需， 解得， 所以的定义域为. 故选：D 3. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质，写出对称轴，比较对称轴与4的关系即可求解. 【详解】由于二次函数的二次项系数为正数，对称轴为直线， 其对称轴左侧的图象是下降的， ∴，故， 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 4. 下列图象中，函数的部分图象有可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，有，解得，即函数的定义域为， 定义域关于原点对称，因为，即函数为奇函数，排除CD选项， 当时，，则，此时，排除B选项. 故选：A. 5. 已知是定义在，上的偶函数，且在，上为增函数，则的解集为　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由偶函数定义域的对称性可求，从而可得在，上为增函数，在，上为减函数，距离对称轴越远，函数值越小，可求． 【详解】解：是定义在，上的偶函数， ， ， 在，上为增函数， 在，上为减函数，距离对称轴越远，函数值越小， 由可得，且，且， 解得， 故不等式的解集为． 故选：． 【点睛】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用． 6. 若函数，则下列区间中一定包含零点的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在定理，结合选项，即可求解. 【详解】由已知：当时，， 所以函数在上不存在零点， 当时，因为函数和函数在单调递减， 所以函数在上单调递减， 又，，， 根据零点存在定理可知，一定包含零点的区间为， 故选：C. 7. 已知函数是减函数，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数单调性，列出各段为减函数的条件，结合两段分界处的关系，即可求解. 【详解】函数是减函数，则有， 解得，则a的取值范围为. 故选：B. 8. 已知函数满足，对任意，且，都有成立，且，则的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件得到的图象关于对称，从而可知在上为增函数，在上为减函数，且，再画出折线图表示出函数的单调性，即可得到答案. 【详解】因为数满足. 所以的图象关于对称. 因为函数对任意，且，都有成立， 所以在上为增函数. 又因为的图象关于对称，， 所以在为减函数，且. 用折线图表示函数的单调性，如图所示： 由图知：. 故选：D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 命题“，”的否定是， C. 当时， D. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用函数概念判断A，利用命题否定来判断B，利用基本不等式来判断C，利用定义域和二次不等式解集来判断D． 【详解】因为，且定义域都为，所以函数与是同一个函数，故A正确； 命题“，”的否定是，，故B错误； 当时，结合不等式有，虽然取不到等号，但不等式是恒成立的，故C正确； 函数的定义域为，则或， 解得，故D正确； 故选：ACD 10. 给出以下四个判断，其中正确的是（ ） A. 已知函数的值域为 B. 关于“的不等式有解”的一个必要不充分条件是 C. 函数，定义域，值域，则满足条件的有3个 D. 若函数，且，则实数m的值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用常数分离法求值域，小充分大必要，函数定义，配凑法求解析式等逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，在上单调递增， 故其值域为，故A正确； 对于B，关于“的不等式有解”等价于，即， 根据小充分大必要，是充分条件不是必要条件，故B错误； 对于C，定义域可以是，故C正确； 对于D，， 故， 若，即，则，故D错误. 故选：AC 11. 下列命题是真命题的是（ ） A. 是定义在上的偶函数，若当时，，则当时， B. 函数的值域为 C. 已知，，则 D. 若关于的不等式的解集为，且解集中仅有两个整数，则的取值范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】逐项判断：A、C 用奇偶性，把所求解析式和函数值转化到已知区间；B 换元后化为二次函数求值域；D 由解集反求系数，再按解集中整数个数定端点. 【详解】对于A，因为是定义在上的偶函数，所以当时，，且，故A正确； 对于B，令，则，，所以． 因为，所以当（即）时取得最大值，且当无限增大时无限减小，故函数的值域为，故B正确； 对于C，设，则，所以是奇函数，所以．由得，所以，故，故C正确； 对于D，因为的解集为或，所以，且与是方程的两根，故，即，． 于是即．令，则，又的两根之积为，所以方程有一正根、一负根，原不等式的解集为． 由于，要使解集中恰有两个整数，必须且只需，，，即，，， 所以，，，解得，即的取值范围是．故D错误． 综上，真命题是ABC． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，若，则___________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据分段函数解析式列式进行求解. 【详解】依题意，或或， 解得或. 故答案为：或 13. 已知且，则的最小值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 14. 三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数（其中，）的图象恰如其形，因而得名三叉戟函数.已知三叉戟函数的图象经过点，且满足.若，都有恒成立，则实数m的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用待定系数法求出函数解析式.等价变形给定恒成立的不等式，分离参数并构造函数，利用基本不等式及不等式性质求出最小值即可. 【详解】由函数的图象经过点，得， 由，得，解得， 所以函数的解析式为. ，不等式恒成立， 令函数， 而当时，，当且仅当时取等号， 令， 则在单调递增， 当时取得最小值， 所以，当且仅当时取等号，则，解得， 所以实数m的取值范围是. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，. （1）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出集合，由“”是“”的充分条件，得，求得实数的取值范围； （2）“”是“”的必要不充分条件得到集合是的真子集，求得实数的取值范围； 【小问1详解】 由题可知， 又“”是“”的充分条件，所以， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得 综上所述，实数的取值范围为 【小问2详解】 因为“”是“”的必要不充分条件，所以且， 又，， 则，解得， 故实数的取值范围是. 16. 设函数． （1）若关于的不等式的解集是，求实数，的值； （2）解关于的不等式：. 【答案】（1），； （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为空集； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【小问1详解】 不等式 的解集是闭区间 ，故二次项系数 ，且区间端点 与 是方程 的两个根. 由 是方程的根，代入得 ，解得 ，符合 . 此时 ，不等式 即 ，解得 ，与题设解集对照得 . 所以，. 【小问2详解】 不等式 即 ，整理得 ，左边分解因式得 . 当 时，原不等式即 ，两边同除以 得 ，此时 ，解得 或 . 当 时，原不等式化为 ，解得 . 当 时，原不等式化为 ，此时 ，解得 . 当 时，原不等式化为 ，该不等式无解，解集为空集. 当 时，原不等式化为 ，此时 ，解得 . 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为空集； 当时，不等式的解集为. 17. 某乡镇响应“打造生态旅游”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理、施肥等人工费）合计元．已知这种水果的市场售价大约为21元/千克，且销售畅通，供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）． （1）写出单株利润（单位：元）关于施用肥料（单位：千克）的关系式． （2）若施用肥料千克，当取何值时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2），540元 【解析】 【分析】（1）分与两种情况，求解出利润y（单位：元）表示为施用肥料x的函数； （2）利用基本不等式求解出利润的最大值即可． 【小问1详解】 由题意可知，当时， ； 当时，， 综上，. 【小问2详解】 当时， ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，该水果树的单株利润最大，最大利润是540元． 18. 已知函数是奇函数． （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）已知函数，若，，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）函数在上单调递增，证明如下： ，且， 则， 因为，所以，，则， 所以，即， 所以，函数在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数定义域对称求得的值，并检验得解； （2）利用函数单调性定义判断证明； （3）根据题意问题转化为，求出最值得解. 【小问1详解】 因为是奇函数， 则其定义域关于原点对称，即， 则，经验证，，故满足题意. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意得：， 由（2）知，在上单调递增，所以， 由，得对称轴方程为， ①当时，即时，所以，解得， 又，所以； ②当时，即时，， 解得，又，所以； 综上，实数的取值范围为. 19. 定义符号函数为，已知，令. （1）若函数在区间上单调，求实数的取值范围； （2）当时，若函数与的图象有且仅有一个交点，求实数的取值范围； （3）若，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）先得到函数的图象的对称轴为，再根据函数在区间上单调求解； （2）易得，在同一坐标系中画出和的图象，利用数形结合法求解； （3）由时，求得的取值集合为，由时，求得的取值集合为，然后利用求解. 【小问1详解】 解：函数的图象是开口向上的抛物线且对称轴为. 若函数在区间上单调，则或， 实数的取值范围是； 【小问2详解】 当时，， 由题意得. 在同一坐标系中画出和的图象如下： 因为， 结合图象可知，实数的取值范围是：或； 【小问3详解】 当时，令的取值集合为， 当时，令的取值集合为， 则由题意得. ①时，， 在上单调递减， ②时，， 当时，在上单调递减， ，此时不可能有，不满足题意 当时， 在上单调递减，在上单调递增， 则，使得， 此时不可能有，不满足题意 当时，在区间上单调递增， ， 由，得，解得， ， 综上所述，实数的取值范围是：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026级校际教研诊断（二）数学学科试题 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列图象中，函数的部分图象有可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是定义在，上的偶函数，且在，上为增函数，则的解集为　　 A. B. C. D. 6. 若函数，则下列区间中一定包含零点的区间是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是减函数，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数满足，对任意，且，都有成立，且，则的解集是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 命题“，”的否定是， C. 当时， D. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是 10. 给出以下四个判断，其中正确的是（ ） A. 已知函数的值域为 B. 关于“的不等式有解”的一个必要不充分条件是 C. 函数，定义域，值域，则满足条件的有3个 D. 若函数，且，则实数m的值为 11. 下列命题是真命题的是（ ） A. 是定义在上的偶函数，若当时，，则当时， B. 函数的值域为 C. 已知，，则 D. 若关于的不等式的解集为，且解集中仅有两个整数，则的取值范围是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，若，则___________． 13. 已知且，则的最小值为_____________. 14. 三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数（其中，）的图象恰如其形，因而得名三叉戟函数.已知三叉戟函数的图象经过点，且满足.若，都有恒成立，则实数m的取值范围为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，. （1）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 设函数． （1）若关于的不等式的解集是，求实数，的值； （2）解关于的不等式：. 17. 某乡镇响应“打造生态旅游”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理、施肥等人工费）合计元．已知这种水果的市场售价大约为21元/千克，且销售畅通，供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）． （1）写出单株利润（单位：元）关于施用肥料（单位：千克）的关系式． （2）若施用肥料千克，当取何值时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知函数是奇函数． （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）已知函数，若，，使得，求实数的取值范围． 19. 定义符号函数为，已知，令. （1）若函数在区间上单调，求实数的取值范围； （2）当时，若函数与的图象有且仅有一个交点，求实数的取值范围； （3）若，使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $