精品解析：广东深圳市龙岗区多校 2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026-2027学年九年级数学学科素养形成练习 练习二（期中练习） 上册第一章-第三章 （满分：100分） 第一部分选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列性质中菱形一定具有的是（ ） A. 对角线相等 B. 有一个角是直角 C. 对角线互相垂直 D. 四个角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，根据菱形的对角线互相垂直，四个角不一定相等，不一定有一个角是直角即可得到答案． 【详解】解：菱形的对角线互相垂直且平分，只有该菱形是正方形时，其对角线相等，有一个角是直角，四个相等， ∴菱形一定具有的性质是对角线互相垂直， 故选：C． 2. 关于方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题通过计算一元二次方程的判别式的值，根据判别式的意义判断根的情况． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴， 根据判别式的意义，当时，方程有两个相等的实数根， ∴该方程有两个相等的实数根． 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第二象限，点的坐标为，点的坐标为，和是以点为位似中心的位似图形，且点与点在直线AB同侧．若点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作轴于，过点作轴于，利用位似比求出，的长，结合点的坐标即可求出点的坐标 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于， ，，，  ，，  和是以点为位似中心的位似图形，  ，  位似比为，  ，  ，轴，  ，，  ，  ，  轴，轴，  ，  ，  ， ，，  点在第二象限，  点的纵坐标为，  点在点的左侧，  点的横坐标为，  ． 5. 《九章算术》中有这样的记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？这道题的大致意思是：今有一竖立着的木柱，绳索的一端系在木柱的上端，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索的另一端与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽．问绳索长多少？设木柱长为尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】注意本题设木柱长为尺，需先表示绳索长度，再结合勾股定理列方程． 【详解】解：设木柱长为尺，则绳索长为尺， 拉直的绳索与木柱、地面构成直角三角形，根据勾股定理得， 故C选项符合题意． 6. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE//BD，DE//AC．若AC=4，则四边形CODE的周长是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】∵CE//BD，DE//AC， ∴四边形CODE是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD， ∴OD=OC= AC=2， ∴四边形CODE是菱形， ∴四边形CODE的周长为：4OC=4×2=8． 故选C． 7. 等腰三角形一边长为2，它的另外两边长是关于的一元二次方程的两实根，则的值为（ ） A. 12 B. 16 C. 2或4 D. 12或16 【答案】B 【解析】 【分析】分两种情况讨论：已知边长2为等腰三角形的腰长，或已知边长2为等腰三角形的底边长，分别计算k的值，再用三角形三边关系验证，得到符合条件的结果． 【详解】解：∵等腰三角形一边长为2，另外两边长是方程的两个实根， ∴分两种情况讨论： ①当边长2为腰长时，方程有一个根为， 把代入方程得， 解得， 此时方程为， ∴， 解得， ∴另一根为，三角形三边长为， ∵ ，不满足三角形三边关系，此情况舍去； ②当边长2为底边长时，两腰是方程的两个实根，即方程有两个相等实根， ∴， 解得， 此时方程的根为，三角形三边长为， ∵，满足三角形三边关系，符合题意； 综上，的值为16． 8. 如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，O为凸透镜的光心，E为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点C．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得出，再得出，则，进而可得，然后得出，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意得：，，， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 第二部分非选择题 二、填空题（本大题有5小题，每小题3分，共15分） 9. 若是关于的一元二次方程的一个实数根，则的值是_________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据一元二次方程实数根的定义，将已知根代入原方程，建立关于的一元一次方程，求解即可得到的取值． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个实数根． ∴将代入方程，等式成立． 代入后可得． 整理得． 化简得． 解得． 10. 已知，分别是关于的方程的两个根，且满足，则的值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据韦达定理： ， ，用含的式子表示出一元二次方程两根之和、两根之积，再代入中，即可求出的值．注意：求出值后，需要代回到一元二次方程中检验是否大于，只有当时值才满足条件． 【详解】解：∵，分别是关于的方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴一元二次方程为： ， 检验判别式： ， ∴方程有两个实根， 值符合题意． 11. 如图，将长为、宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，由平移的性质可得，，即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵将长为、宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形， ∴，， ∴，， ∴图中阴影部分的面积， 故答案为：． 12. 小明想知道学校旗杆的高，他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长米，此时他测旗杆影长时，因为旗杆靠近建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他测得落在地面上的影长为米，又测得墙上影高为米，旗杆的高度为_____米． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作于点E，连接，则，再根据同一时刻物高与影长成正比求出的长，进而可得出结论． 本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键． 【详解】解：过点D作于点E，连接， 则， ∵他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长米， ∴，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 13. 如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸片交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸片垂直时，菱形的周长有最小值，那么菱形的周长最大时，菱形的面积是_________． 【答案】 【解析】 【分析】当两张矩形纸片交叉使得重叠部分菱形的边长最大时，菱形的周长最大，设菱形边长为，利用勾股定理列方程求出的值，再根据菱形面积公式（底乘高）计算即可． 【详解】解：设菱形的边长为，当两张矩形纸片如图所示放置，即菱形的顶点与矩形的顶点重合时，菱形的边长最大，周长最大， 在构成的直角三角形中，斜边为，一条直角边为矩形的宽2，另一条直角边为， 由勾股定理得：， 整理得：， ∴， 解得， ∵菱形的面积等于底乘以高，且此时底为，高为矩形的宽2， ∴菱形的面积． 三、解答题（本大题有7小题，共61分） 14. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）原方程无实数根 （2）， 【解析】 【分析】（1）求得判别式，进而可得原方程无解； （2）设，则解方程，得到t值，再解关于x的一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：对于方程，，，， ∴， ∴原方程无实数根； 【小问2详解】 解：设，则原方程化为，即， 解得，， 当时，，即， ∵， ∴此方程无实数根； 当时，，即， ， ∴， ∴，． 15. 如图，在矩形中，是的中点，，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形是矩形， ∴，． ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，，．再根据“两直线平行，内错角相等”可得，再由垂直的定义可得．从而得出，再根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”可得出结论； 根据中点的定义可求出BE=2，然后根据勾股定理求出AE= .再根据相似三角形的性质求解即可. 【详解】证明：（1）略． 解：（2）∵， ∴． ∵，是的中点， ∴． ∴在中，． 又∵， ∴， ∴． 【点晴】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键. 16. 小明与小颖两位同学解方程的过程如图： 小明： 两边同除以， 得， 解得． 小颖： 移项，得， 提取公因式，得． 或． 解得． （1）他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程； （2）请结合上述解题过程归纳总结：形如的一元二次方程的一般解法． 【答案】（1）小明和小颖的解法都不正确． 正确的解答过程：整理得：， ∴，即， ∴， 或， ． （2）先移项将其整理为的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解． 【解析】 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程的方法和步骤进行分析即可得到答案； （2）根据因式分解法的一般步骤：移项，提取公因式，因式为零，求解，据此即可解答． 【小问1详解】 解：小明错误的原因是未考虑的情况，直接除以导致漏解，小颖错误的原因是提取公因式去括号时符号出错，正确的解答过程详见答案． 【小问2详解】 解：先移项将其整理为的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解． 17. 2023年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是7.2万件． （1）若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降价2元，每天可多售出8件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则每件售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率是； （2）售价应降低元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用， 找准等量关系， 正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设月平均增长率是， 利用10月份的销售量月份的销售量（月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程， 解之取其正值即可得出结论； （2）设售价应降低元，则每件的销售利润为)元，每天的销售量为件，利用每天销售该公仔获得的利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值，再结合要尽量减少库存，即可得出售价应降低的钱数． 【小问1详解】 解：设月平均增长率是，依题意得： ， 解得：，(不合题意，舍去)， 答：月平均增长率是； 【小问2详解】 解：设售价应降低元，则每件的销售利润为)元，每天的销售量为 件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵要尽量减少库存， ， 答：售价应降低元． 18. 如图，在正方形中，点是对角线上一点，的延长线交于点，交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是正方形的对角线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据正方形的性质得到，，，证明，根据相似三角形的性质即可得证； （3）根据正方形的性质证明，可得，设，则，得到，再证明，根据相似三角形的性质可得，代入数据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，注意运用数形结合的思想方法．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．也考查了二次根式的混合运算． 19. 如图，的对角线，相交于点，平分，交于点，且． （1）求证：是等边三角形． （2）若，，连结． ①若，求的面积； ②设，试求与之间满足的关系． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， 平分， 是等边三角形， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据▱中，，结合角平分线的定义可得，即可得证是等边三角形； （2）①根据 ，可得，证明，再利用含度角的直角三角形可得的长，进而可得平行四边形的面积； ②根据四边形是平行四边形，可得，，由是等边三角形，可得，由的边上的高等于的边上的高的一半，底等于的倍，设边上的高为，的长为，分别表示出四边形和三角形的面积，进而可得与满足的关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①， ， ， ， ，， ， ， ， 当时， 平行四边形的面积； ②四边形是平行四边形， ，， 是等边三角形， ， 的边上的高等于的边上的高的一半，底等于的倍， 设边上的高为，的长为， ，， ， ， ， ， ． 20. 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”． （1）如图（a），在正方形中，为边上一点（点不与点重合），交于点，过点作交于点，试判断四边形是否为“等补四边形”，并说明理由； （2）如图（b），若正方形的边长为，点分别在射线上，且，当四边形为“等补四边形”时，请求出的长度． 【答案】（1）四边形是“等补四边形”，理由如下： ∵正方形中，交于点， 交于点， ∴，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 如图，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为“等补四边形”． （2）或1或 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，易得；再结合可得，如图：连接，通过证明得到，即 ，利用等角对等边可得，从而说明结论． （2）根据四边形为“等补四边形”，得到，分、 、、四种情况，分别求出此时的的长度即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵四边形为“等补四边形”， ∴， ∵正方形的边长为， ∴，， 如图，当时，过点F分别作于点G，于点K， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴点F在上， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴，即． 如图，当时， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图，当时， ∵，， ∴， ∴，即 ∴， 当时，同时，． 综上所述，当四边形为“等补四边形”时，的长度为或1或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学学科素养形成练习 练习二（期中练习） 上册第一章-第三章 （满分：100分） 第一部分选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列性质中菱形一定具有的是（ ） A. 对角线相等 B. 有一个角是直角 C. 对角线互相垂直 D. 四个角相等 2. 关于方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 4. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第二象限，点的坐标为，点的坐标为，和是以点为位似中心的位似图形，且点与点在直线AB同侧．若点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 《九章算术》中有这样的记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？这道题的大致意思是：今有一竖立着的木柱，绳索的一端系在木柱的上端，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索的另一端与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽．问绳索长多少？设木柱长为尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE//BD，DE//AC．若AC=4，则四边形CODE的周长是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 7. 等腰三角形一边长为2，它的另外两边长是关于的一元二次方程的两实根，则的值为（ ） A. 12 B. 16 C. 2或4 D. 12或16 8. 如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，O为凸透镜的光心，E为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点C．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为（ ） A. B. C. D. 第二部分非选择题 二、填空题（本大题有5小题，每小题3分，共15分） 9. 若是关于的一元二次方程的一个实数根，则的值是_________． 10. 已知，分别是关于的方程的两个根，且满足，则的值为______． 11. 如图，将长为、宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则图中阴影部分的面积为______． 12. 小明想知道学校旗杆的高，他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长米，此时他测旗杆影长时，因为旗杆靠近建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他测得落在地面上的影长为米，又测得墙上影高为米，旗杆的高度为_____米． 13. 如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸片交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸片垂直时，菱形的周长有最小值，那么菱形的周长最大时，菱形的面积是_________． 三、解答题（本大题有7小题，共61分） 14. 解方程： （1）； （2）． 15. 如图，在矩形中，是的中点，，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求的长． 16. 小明与小颖两位同学解方程的过程如图： 小明： 两边同除以， 得， 解得． 小颖： 移项，得， 提取公因式，得． 或． 解得． （1）他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程； （2）请结合上述解题过程归纳总结：形如的一元二次方程的一般解法． 17. 2023年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是7.2万件． （1）若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降价2元，每天可多售出8件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则每件售价应降低多少元？ 18. 如图，在正方形中，点是对角线上一点，的延长线交于点，交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的长． 19. 如图，的对角线，相交于点，平分，交于点，且． （1）求证：是等边三角形． （2）若，，连结． ①若，求的面积； ②设，试求与之间满足的关系． 20. 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”． （1）如图（a），在正方形中，为边上一点（点不与点重合），交于点，过点作交于点，试判断四边形是否为“等补四边形”，并说明理由； （2）如图（b），若正方形的边长为，点分别在射线上，且，当四边形为“等补四边形”时，请求出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $