精品解析：贵州长郡贵阳高级中学（贵阳市民族中学）2026-2027学年高三上学期10月测试数学试题

长郡贵阳高级中学2027届高三年级数学学科·10月测试题 满分：150分 时间：120分钟 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合交集运算得到答案. 【详解】集合与的公共元素为2，3，所以. 2. 已知复数，则z的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，所以其共轭复数为：. 3. 已知向量和为单位向量，且 ，则向量 和的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设单位向量与的夹角为，由，根据向量数量积的定义与计算公式，列出方程，即可求解. 【详解】设单位向量与的夹角为，可得 因为，可得， 解得，又因为，所以. 故选：B. 4. 已知数列是公比为的等比数列，且成等差数列，则公比的值为 A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差中项列出的关系式求解即可． 【详解】数列是公比为的等比数列,故,由此解得 故选A． 【点睛】本题考查了等差中项的性质，属于基础题型． 5. 若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出椭圆的焦点坐标即是抛物线的焦点坐标，即可求出准线方程. 【详解】∵椭圆的右焦点坐标为， ∴抛物线的焦点坐标为，∴抛物线的准线方程为. 故选：D. 6. 在中，已知，，，则的面积是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理列出关系式，把，，以及的值代入求出的值，利用三角形面积公式即可求出面积. 【详解】在中，，，， 由余弦定理得：，即， 解得：或， 当时，，即，此时，的面积， 当时，满足，即为直角三角形，的面积. 则面积是或. 故选：C. 7. 现用Python生成随机密钥，该密钥共三位，前两位要求从、、、、、中进行选择（可以重复），第三位要求从、、、中进行选择，则可生成的密钥数量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定密钥每一位的选择种数，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】由题意可知，密钥共三位，前两位要求从、、、、、中进行选择（可以重复）， 则密钥第一位有种选择，第二位也有种选择， 第三位要求从、、、中进行选择，有种选择， 由分步乘法计数原理可知，可生成的密钥数量为个. 8. 已知函数若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，转化为.结合图像构造函数，，求出函数的值域即为本题答案. 【详解】由题意可知，即，所以. 由图像可得，设，. 则，.令,则 当时，当时 所以在单调递减，在单调递增. 所以在时取得最小值， 可得. 故选：B 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. D. 使取得最小值的的集合为 【答案】AD 【解析】 【分析】由图象可直接判断B，得周期，根据即可判断C，再结合可判断A，再结合函数解析式可判断D. 【详解】由图可得，的最小正周期，又， 所以，C错误． 因为，由图可得，结合， 所以，A正确． 由题可知，由，解得，所以取得最小值的的集合为，D正确． 由函数图象可知，既不是奇函数也不是偶函数，B错误． 故选：AD 10. 已知为等差数列，其前项和为，，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 当且仅当时，最大 D. 满足的最大整数n为14 【答案】AB 【解析】 【分析】借助与的关系及等差数列性质计算可得A；计算出数列的公差后利用等差数列求和公式计算即可得B；利用等差数列性质及等差数列求和公式计算可得C、D. 【详解】对A：，故，故A正确； 对B：，故的公差为， 故， 则，故B正确； 对C：由，故，当时，，当时，， 故当或时，最大，故C错误； 对D：当时，，当时，， 又，故， 则当时，，当时，， 故满足的最大整数为，故D错误. 故选：AB. 11. 如图，在边长为的正方体中，点在线段上运动，则下列判断正确的是（ ） A. 平面 B. 三棱锥的体积为 C. 三棱锥外接球的表面积是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】证明平面平面，利用面面平行的性质可判断A选项；利用锥体的体积公式可判断B选项；求出三棱锥的外接球半径，结合球体表面积公式可判断C选项；利用线面角的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，连接、， 在正方体中，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，所以，平面， 同理可证平面， 因为，、平面，所以，平面平面， 因为，则平面，所以，平面，A对； 对于B选项，因为平面，， 则点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以，，B对； 对于C选项，正方体的体对角线长为， 故三棱锥的外接球半径为，故其外接球的表面积为，C错； 对于D选项，易知是边长为的等边三角形，所以，， 设点到平面的距离为，则， 解得， 设直线与平面所成角为，则， 当点与点重合时，取最小值，此时，取最大值， 且，D对. 故选：ABD. 三．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某企业从生产的一批产品中抽取件作为样本，检测其质量指标值，质量指标的范围为，经过数据处理后得到如下频率分布直方图．则频率分布直方图中质量指标值的第百分位数是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用频率分布直方图中百分位数的计算方法，即可求解. 【详解】由给定的频率分布直方图，可得样本质量指标值在的频率为， 在的频率为， 所以在的频率为， 所以频率分布直方图中质量指标值的第百分位数位于之间， 设第百分位数为，可得. 13. 若直线与圆相切，则m为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】算出圆的圆心和半径，利用点到直线的距离公式列式得到关于m的方程，解之即可得到实数m的值． 【详解】∵圆的圆心为原点，半径， ∴直线与圆相切，则圆心到直线的距离， 解之得（舍去0） 故答案为：2 14. 在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则边上的高的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】先用正弦定理把边化角，约去 后化简等式，得出，然后设 边上的高为，通过面积公式把 和边 联系起来，最后根据锐角三角形的条件确定角 C 的范围，再用正弦定理转化为边 的范围，最终得到高的取值范围 . 【详解】在中，由正弦定理，可得，由可得：，所以，所以， 又因为，所以，所以， 又因为三角形ABC为锐角三角形，所以， 所以，在中，由正弦定理可得： ，即， 故有， 因为，所以，， 所以，所以， 又因为AC边上的高，所以． 故答案为： 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 不透明的盒中有四个除所标数字外均相同的球，它们分别标有数字，，，，现从中随机取个球． （1）求取到个标有数字的球的概率； （2）设为取出的个球上的数字之和，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列为： 期望为 【解析】 【分析】（1）根据满足要求的情况数除以总的情况数得到结果； （2）先分析的可取值，然后计算出对应概率，由此可知分布列并可计算出数学期望. 【小问1详解】 抽到个标有数字的球的可能情况共有种，从个球中任取个共有种取法， ∴取到个标有数字的球的概率． 【小问2详解】 的所有可能取值为，，，， ，，，， 所以的分布列为： ∴． 16. 设为数列的前项和，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系求解即可； （2）利用错位相减法求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以当时，， 所以，即， 又由解得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，经检验时满足通项公式， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 所以①， ②， ①②得， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，平面平面，点在上，且． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）不妨设， ， 由余弦定理得， 在中，， 平面平面，平面平面平面， 平面． 平面， 四边形是菱形，， 又，且平面平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理结合勾股定理逆定理可得，后结合平面平面，可得，后结合可得结论； （2）由（1）结合题意建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，即可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面内，过点作的垂线，垂足为， 平面平面，平面平面， 平面， 又四边形是菱形，， 均为等边三角形， 以点A为坐标原点，及过点A平行于的直线分别为轴， 建立空间直角坐标系（如图）， 则， 由（1）平面， 为平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 则即． 令，可得，， 平面与平面的夹角的余弦值为． 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）当时，若恒成立，求实数的最大值. 【答案】（1） （2） 时，的单调递减区间是，无单调递增区间， 时，的单调递增区间是，单调递减区间是； （3） 【解析】 【分析】（1）首先求，再根据导数的几何意义求切线方程； （2）首先求，分和两种情况讨论函数的单调性； （3）利用参变分离，转化为最值问题求解. 【小问1详解】 当时，，，，， 所以曲线在处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 易知， 当时，，单调递减， 当时，，得，的单调递增区间是， ，得，的单调递减区间是 综上可知，时，的单调递减区间是，无单调递增区间， 时，的单调递增区间是，单调递减区间是； 【小问3详解】 由恒成立可得，， 得，即， 设，，， 因为恒成立，所以恒成立， 当时，，单调递减，时，，单调递增， 所以的最小值为， 所以，所以的最大值为. 19. 已知双曲线：（，）的离心率等于2，点在双曲线上. （1）求双曲线的标准方程； （2）直线（）与轴交于点，与双曲线的右支交于、两点（在、之间），是双曲线的右焦点，过作的垂线，垂足为. （i）若是中点，求的值； （ii）证明：直线经过定点. 【答案】（1） （2）（ⅰ）； （ⅱ）由题意得直线PF的方程为， 如图，过作PF的垂线，垂足为，点坐标为. 当时，直线的方程为. 由韦达定理可知. 直线令，得. 将代入右边式子， 得. 因为，所以两边同除以，得. 因此无论为何值，直线HN恒过定点. 【解析】 【分析】（1）由双曲线上的点和离心率，求出得双曲线的方程； （2）直线与曲线联立方程组，根据判别式可得，由韦达定理可得，（ⅰ）由题意可得，联立方程组计算求解即可；（ⅱ）由题意可得点，点，根据直线点斜式方程及韦达定理，令，化简即可求证. 【小问1详解】 由题意，，则. 双曲线方程可写为，即. 将点代入方程得. 所以.故双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，双曲线右焦点为. 因为，所以直线PF的方程为（垂直于轴）. 由直线方程，令得. 设，联立直线与双曲线方程. 整理得. 判别式. 由韦达定理得. （ⅰ）因为，且是QN的中点，所以在轴方向上有. 代入韦达定理得 从而. 两边同乘得. 因为，所以. 此时，满足，两交点均在右支. （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长郡贵阳高级中学2027届高三年级数学学科·10月测试题 满分：150分 时间：120分钟 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则z的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量和为单位向量，且 ，则向量 和的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列是公比为的等比数列，且成等差数列，则公比的值为 A. B. 1 C. D. 5. 若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，已知，，，则的面积是（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 现用Python生成随机密钥，该密钥共三位，前两位要求从、、、、、中进行选择（可以重复），第三位要求从、、、中进行选择，则可生成的密钥数量为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. D. 使取得最小值的的集合为 10. 已知为等差数列，其前项和为，，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 当且仅当时，最大 D. 满足的最大整数n为14 11. 如图，在边长为的正方体中，点在线段上运动，则下列判断正确的是（ ） A. 平面 B. 三棱锥的体积为 C. 三棱锥外接球的表面积是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 三．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某企业从生产的一批产品中抽取件作为样本，检测其质量指标值，质量指标的范围为，经过数据处理后得到如下频率分布直方图．则频率分布直方图中质量指标值的第百分位数是________． 13. 若直线与圆相切，则m为_____． 14. 在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则边上的高的取值范围是____________． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 不透明的盒中有四个除所标数字外均相同的球，它们分别标有数字，，，，现从中随机取个球． （1）求取到个标有数字的球的概率； （2）设为取出的个球上的数字之和，求的分布列和数学期望． 16. 设为数列的前项和，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 17. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，平面平面，点在上，且． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）当时，若恒成立，求实数的最大值. 19. 已知双曲线：（，）的离心率等于2，点在双曲线上. （1）求双曲线的标准方程； （2）直线（）与轴交于点，与双曲线的右支交于、两点（在、之间），是双曲线的右焦点，过作的垂线，垂足为. （i）若是中点，求的值； （ii）证明：直线经过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $