广东省广州市海珠区中山大学附属实验学校2024-2025学年九年级上学期期中数学试题与答案

2024学年第一学期期中考试模拟考试卷 姓名：_____________学号：_____________ 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．如图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 的半径为3，点在外，点到圆心的距离为，则需要满足的条件（ ） A. B. C. D. 无法确定 3. 用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，则关于的方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有实数根 D. 没有实数根 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为（ ） A. 3 B. 0 C. D. 8. 如图，将绕点顺时针方向旋转到的位置，使得点，在同一条直线上，，那么旋转角等于（ ） A. B. C. D. 9. 某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，该公司11、12两个月营业额的月均增长率，设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则根据题意可列的方程为（　　　） A. 2500(1＋x)2＝9100 B. 2500[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝9100 C. 2500[(1＋x)＋(1＋x)2]＝9100 D. 9100(1＋x)2＝2500 10. 当时，函数与的图象有且只有一个交点，其中为常数．则的取值为（ ） A. 或 B. C. D. 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 若关于的一元二次方程有整数根，则整数的值可以是________（写出一个即可）． 12. 在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移1个单位，得到的抛物线表达式为________． 13. 一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一个根，则此三角形的周长是__________． 14. 如图，PA，PB是的切线，A，B为切点，AC是的直径，，则的度数为______． 15. “青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为，开口宽为，这个水容器所能装水的最大深度是________． 16. 抛物线交x轴于点A（a，0）和B（b，0）（点A在点B左侧），抛物线的顶点为D，下列四个结论：①抛物线过点（2，m）；②当m＝0时，△ABD是等腰直角三角形；③a＋b＝4；④抛物线上有两点P（，）和Q（，），若＜，且＋＞2，则＞．其中结论正确的序号是______________________． 三、解答题（共9小题，满分72分） 17. 解方程：． 18. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，使点在的延长线上．求证：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出绕原点逆时针方向旋转后得到的； （2）______； 20. 如图，用篱笆围成一块矩形花圃，该花圃一侧靠墙，而且有一道隔栏（隔栏也用篱笆制作），已知所用篱笆的总长为24m，花圃的面积为45，墙的最大可用长度为10m，求边的长． 21. 如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接． （1）求证：为的切线； （2）若且，求的半径． 22. 如图，在中，，． （1）尺规作图：将绕点顺时针旋转得到，使得点的对应点在的延长线上（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，判断点与直线的位置关系，并说明理由． 23. 在平面直角坐标系中，点，点在抛物线 上．设抛物线的对称轴为直线． （1）当时， ①直接写出与满足的等量关系； ②比较，的大小，并说明理由； （2）已知点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围． 24. 如图1所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、，求证：． 【初步探索】小明同学思考如下：将与点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题： （1）根据小明的思路，请你完成证明． （2）若圆的半径为8，则的最大值为________． 【类比迁移】如图2所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与、重合），连接、、，若圆的半径为8，试求周长的最大值． 【拓展延伸】如图3所示，等腰，点、在圆上，，圆的半径为8，连接，则的最小值为_________（直接写答案）． 25. 正方形的顶点T在某抛物线上，称该正方形为该抛物线的“T悬正方形”．若直线l：与“T悬正方形”以T为端点的一边相交，且点T到直线l的距离为，则称直线l为该正方形的“T悬割线”． 已知抛物线M：，其中，，，以为边作正方形（点D在点A的下方）． （1）证明：正方形是抛物线M的“A悬正方形”； （2）判断正方形是否还可能是抛物线M的“B悬正方形”，并说明理由； （3）若直线l是正方形的“A悬割线”，现将抛物线M及正方形进行相同的平移，是否存在直线l为平移后正方形的“C悬割线”的情形？若存在，请探究抛物线M经过了怎样的平移；若不存在，请说明理由． 2024学年第一学期期中考试模拟考试卷 姓名：_____________学号：_____________ 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】A 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 【11题答案】 【答案】（答案不唯一） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】14 【14题答案】 【答案】40° 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】①②④ 三、解答题（共9小题，满分72分） 【17题答案】 【答案】 【18题答案】 【答案】 证明：∵绕点A逆时针旋转得到，点在的延长线上， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴． 【19题答案】 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 【20题答案】 【答案】5m 【21题答案】 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， ， ， ，， ， 即， ， 是半径， 为的切线； （2） 【22题答案】 【答案】（1） 如图，为所作； （2） 点在直线上，理由如下： 绕点顺时针旋转得到， ，， ， ， ， ， ， ， 点、、共线，即点在直线上． 【23题答案】 【答案】（1）① ② （2） 【24题答案】 【答案】初步探索： （1）证明：由旋转得，，，， ， ， 、、三点在同一条直线上， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ； （2）16； 类比迁移：； 拓展延伸： 【25题答案】 【答案】（1） 当时，， 则点A在抛物线M上， 故正方形是抛物线M的“A悬正方形”． （2）正方形不可能是抛物线M的“B悬正方形”， 理由如下： 假设点B在抛物线M上，则当时，， 则， 化简得：，解得， 与矛盾，假设不成立， 所以点B不在抛物线M上． 故正方形不可能是抛物线M的“B悬正方形”． 解法二： 正方形不可能是抛物线M的“B悬正方形”，理由如下： 假设点B在抛物线M上， 由，可知抛物线M的对称轴， 由抛物线M：可知对称轴是． 所以，解得． 与矛盾，假设不成立． 所以点B不在抛物线M上． 故正方形不可能是抛物线M的“B悬正方形”． （3）存在，要使直线l为平移后正方形的“C悬割线”，抛物线M向右平移h个单位，向上平移个单位，其中h为任意实数 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $