精品解析：山东烟台市蓬莱区 2026-2027学年九年级上学期期中数学试题（五四制）

2026—2027学年第一学期期中学业水平考试初四数学试题 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列关系式中，能表示y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A是锐角，且sinA，那么∠A等于（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 3. 水坝是人类治水的重要工程，类型多样．图1为某重力坝模型，图2为其横断面示意图，已知背水坡的坡度i为，坝底的水平宽度为，则背水坡的铅直高度为（ ） A. B. C. D. 4. 一辆汽车的行驶距离关于行驶时间的函数关系式是．若汽车行驶，则行驶时间是（ ） A. B. C. D. 5. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 若二次函数的图象经过原点，则为（ ） A. 0 B. 2 C. D. 7. 抛物线y＝﹣x2＋2x＋6在直线y＝﹣9上截得的线段长度为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 若规定，则（ ） A. B. C. D. 9. 关于反比例函数，下列说法中错误的是（ ） A. 当时，随的增大而减小 B. 图象位于第一、三象限 C. 点在函数图象上 D. 当时， 10. 反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是___． 12. 计算：__________________． 13. 某果园有棵橙子树，平均每棵树结个橙子．现准备多种一些橙子树以提高总产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种1棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．假设果园增种棵橙子树，橙子的总产量为个，那么与之间的函数表达式为__________________． 14. 将二次函数的图象向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线，则____________． 15. 如图，直线与轴平行且分别与反比例函数，的图象交于点和点，点是轴上的一个动点，则的面积为______． 16. 如图，抛物线的顶点的坐标为．现有下列结论：①；②；③若抛物线经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确的结论是______． 三、解答题（本大题共8个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 计算： （1） （2） 18. 在中，已知，，，解这个直角三角形． 19. 已知和是同一个反比例函数图象上的两个点． … … … … （1）求该反比例函数的表达式； （2）补全表格并画出其函数图象： （3）利用图象直接求出当且时，的取值范围是____________． 20. 如图，海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？ 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且． （1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式； （2）求点B的坐标； （3）观察图象，直接写出时，x的取值范围． 22. 已知二次函数（）图象的顶点坐标为，且该图象经过点． （1）求函数的表达式； （2）画出此函数图象； （3）写出当为何值时，随的增大而增大； （4）当时，直接写出的最小值和最大值． 23. 为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． （1）求与的函数表达式； （2）文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 24. 如图，为坐标原点，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，对称轴直线与轴交于点，作直线，连接． （1）求点，的坐标； （2）求的值； （3）点在抛物线上，横坐标为，若到直线的距离为，请直接写出满足条件的的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期期中学业水平考试初四数学试题 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列关系式中，能表示y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可通过判断与的乘积是否为非零常数，快速验证反比例函数． 【详解】解：A，由得，与的乘积不是定值，不符合； B，由得，是正比例函数，不符合； C，由得，与的乘积不是定值，不符合； D，，即与的乘积为非零定值，符合反比例函数形式． 2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A是锐角，且sinA，那么∠A等于（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊角三角函数值，即可求解． 【详解】解：在中，，是锐角，且， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查特殊角三角函数，熟记特殊角的三角函数值是关键． 3. 水坝是人类治水的重要工程，类型多样．图1为某重力坝模型，图2为其横断面示意图，已知背水坡的坡度i为，坝底的水平宽度为，则背水坡的铅直高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据坡度的定义可得，据此可得答案． 【详解】解：，坡度i为， ， ， ． 4. 一辆汽车的行驶距离关于行驶时间的函数关系式是．若汽车行驶，则行驶时间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：将代入，得， 两边同时乘以，得， 移项，得， 开平方，得， ∵， ∴，解得． 5. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的系数符号确定图象所在象限及增减性，结合各点纵坐标的正负与大小比较横坐标的大小. 【详解】解：∵中，， ∴图象在二、四象限，在各象限内，随的增大而增大， ∵，，， ∴点，在第二象限，点在第四象限， ∴，，， ∵， ∴， ∴． 6. 若二次函数的图象经过原点，则为（ ） A. 0 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的性质，需要注意解出的解要满足二次项系数不能为零的隐藏条件． 根据二次函数图象过原点，把代入解析式，求出m的值，再根据二次项系数不能为零对m进行取舍． 【详解】解：根据二次函数图象过原点，把代入解析式， 得，整理得， 解得， ∵该函数为二次函数， ∴， ∴， ∴． 故选：B 7. 抛物线y＝﹣x2＋2x＋6在直线y＝﹣9上截得的线段长度为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】求得抛物线与直线的交点坐标后即可求得截得的线段的长． 【详解】解：由题意得：， 解得：x＝−3或x＝5， 故在直线y＝−9上截得的线段的长为5−（−3）＝8， 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与直线的交点，要熟悉二次函数与一元二次方程的关系． 8. 若规定，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据规定，，利用特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解：． 9. 关于反比例函数，下列说法中错误的是（ ） A. 当时，随的增大而减小 B. 图象位于第一、三象限 C. 点在函数图象上 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】先由解析式得，再结合反比例函数的性质逐一判断选项，找出错误说法即可． 【详解】解：∵ 反比例函数中，， ∴ 函数图象位于第一、三象限，选项B正确； 且在每个象限内，随的增大而减小， ∵ 对应第三象限， ∴ 当时，随的增大而减小，选项A正确； 将代入解析式，得 ，与点的纵坐标一致， ∴ 点 在函数图象上，选项C正确； 当时，， ∵ 时，随的增大而减小， ∴ 当时，， 因此D错误选项． 10. 反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质及二次函数的性质，根据k的取值范围分当时和当时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质，二次函数图象和性质进行判断即可． 【详解】解：当时，反比例函数的图象经过第一、三象限，二次函数图象的对称轴为直线在y轴右侧，并与y轴交于正半轴，则选项A、B、C、D均不符合题意； 当时，反比例函数的图象经过第二、四象限，二次函数图象的对称轴为直线在y轴左侧，并与y轴交于负半轴，则A、B、D选项都不符合题意；C选项符合题意； 故选：C． 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数可知，要使在实数范围内有意义，必须. 12. 计算：__________________． 【答案】1 【解析】 【分析】代入特殊角的三角函数值，进行计算，利用分式基本性质约分化简． 【详解】解：∵，，，， ∴ ． 13. 某果园有棵橙子树，平均每棵树结个橙子．现准备多种一些橙子树以提高总产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种1棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．假设果园增种棵橙子树，橙子的总产量为个，那么与之间的函数表达式为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】总产量为总树数量与单棵树结果数量的乘积，总树数量为原有100棵加增种的棵，单棵树结果数量为原单棵结果数减去增种棵对应的减少量，代入关系整理即可得到函数表达式. 【详解】解：∵果园原有100棵橙子树，增种棵， ∴果园内橙子树总数量为棵， ∵每多种1棵树，平均每棵树少结5个橙子， ∴增种棵后，平均每棵树结的橙子个数为个， ∵橙子总产量为总树数与单棵树结果数的乘积， ∴， 展开并整理得． 14. 将二次函数的图象向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】将原二次函数化为顶点式，依据抛物线平移规律得到平移后的解析式，确定的值，再代入计算． 【详解】解：∵原二次函数可化为顶点式， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∵图象向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度， ∴平移后的顶点坐标为，即， ∴平移后的抛物线顶点式为， 将其展开为一般式得， ∴对应中，，，， ∴． 15. 如图，直线与轴平行且分别与反比例函数，的图象交于点和点，点是轴上的一个动点，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，平行线之间的距离，掌握反比例函数中比例系数的几何意义是解题的关键．连接，，则，进而根据反比例函数的几何意义即可解答． 【详解】解：如图，连接，，设交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵，， ∴，， ∵轴， ∴与同底等高， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 16. 如图，抛物线的顶点的坐标为．现有下列结论：①；②；③若抛物线经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确的结论是______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】先根据抛物线开口方向，对称轴公式、对称轴位置以及顶点坐标确定，，符号以及数量关系，即可判断①②；然后根据二次函数的性质判断③；再由一元二次方程的解与函数图象之间的关系判断④． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向下，则； 抛物线的顶点的坐标为， 则对称轴为，得； 抛物线与轴交于正半轴，则； ，故①正确； 对称轴为， ，则， 抛物线与轴的一个交点位于和之间，且开口向下， 当时，，  ∴，即， ∴，故②正确； 若抛物线经过点，，对称轴为， 则点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ，且抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴距离越远值越小，  ，故③正确； 若关于的一元二次方程无实数根，则抛物线与直线无交点， 而抛物线开口向下，顶点坐标纵坐标为， ∴当时，抛物线与直线无交点，故④正确， 综上所述，正确的结论是①②③④． 三、解答题（本大题共8个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 在中，已知，，，解这个直角三角形． 【答案】，， 【解析】 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 19. 已知和是同一个反比例函数图象上的两个点． … … … … （1）求该反比例函数的表达式； （2）补全表格并画出其函数图象： （3）利用图象直接求出当且时，的取值范围是____________． 【答案】（1） （2）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 补全表格如下： … 1 2 3 6 … … 1 2 3 6 … 描点并画出函数图象如图： （3）或 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法解答即可； （2）先补全表格中的数据，再描点连线画出函数图象即可； （3）根据函数图象解答即可． 【小问1详解】 解：∵和是同一个反比例函数图象上的两个点， ∴， 解得， ∴， 设反比例函数的解析式为， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图象得：当且时，的取值范围是或． 20. 如图，海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？ 【答案】渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险. 【解析】 【详解】解：如图，过A作AC⊥BD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离， ∵∠CAD=30°，∠CAB=60°， ∴∠BAD=60°﹣30°=30°，∠ABD=90°﹣60°=30°， ∴∠ABD=∠BAD， ∴BD=AD=12海里， ∵∠CAD=30°，∠ACD=90°， ∴CD=AD=6海里， 由勾股定理得：AC=≈10.392＞8， 即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且． （1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式； （2）求点B的坐标； （3）观察图象，直接写出时，x的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将点A分别代入到两个函数解析式即可解答； （2）联立一次函数和反比例函数的表达式即可解答； （3）观察函数图象得出反比例函数在一次函数上方或相等时x的取值范围即可； 【小问1详解】 解：将点代入中得， ， ∴一次函数表达式为， 将点代入中得，解得：， ∴反比例函数表达式为； 【小问2详解】 解：联立与，得，即， 解得：或2， 经检验均是方程的解， 当时，， ∴点B的坐标为； 【小问3详解】 解：∵，， 根据函数图象可得，当时，或． 22. 已知二次函数（）图象的顶点坐标为，且该图象经过点． （1）求函数的表达式； （2）画出此函数图象； （3）写出当为何值时，随的增大而增大； （4）当时，直接写出的最小值和最大值． 【答案】（1） （2）如图， （3）当时随的增大而增大 （4）当时，y的最小值为，最大值为2 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）根据列表、描点、连线画出函数图象即可； （3）求出抛物线的对称轴方程即可得出结论； （4）求出函数图象的最低点以及当时的函数值即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵二次函数图象的顶点坐标为， ∴设这个二次函数表达式为 ∵该图象经过点，将坐标代入得： ， 解得： ∴这个二次函数表达式为，即； 【小问2详解】 解：列表： x … 0 … y … 2 2 … 描点、连线，如图略． 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， 又抛物线开口方向向上， ∴当时随的增大而增大； 【小问4详解】 解：由图象知，抛物线的最低点为，即函数的最小值为， 当时，， ∴当时，y的最小值为，最大值为2． 23. 为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． （1）求与的函数表达式； （2）文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 【答案】（1） （2）该款文创产品每件的售价为35元． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意列一元二次方程，取较小解即可． 【小问1详解】 解：设与的函数表达式为， 将点和点的代入得：， 解得：， 与的函数表达式为； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 尽可能的让利于顾客， ， 即该款文创产品每件的售价为35元． 24. 如图，为坐标原点，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，对称轴直线与轴交于点，作直线，连接． （1）求点，的坐标； （2）求的值； （3）点在抛物线上，横坐标为，若到直线的距离为，请直接写出满足条件的的值． 【答案】（1）， （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）根据对称轴公式求出b的值得到抛物线的解析式，进而可求出点A和点B的坐标； （2）过点C作于点D，解直角三角形得到，求出点C的坐标，解直角三角形求出的长，再利用勾股定理求出的长，结合余弦的定义可得答案； （3）分两种情况：当点Q在直线下方时，可证明，当点Q在直线上方时，可证明，其中点H的坐标为，据此讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 在中，当时，，则， 当时，，解得或， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，过点C作于点D， 由（1）得，， ∴， ∴，即； ∵对称轴直线与轴交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（1）得，， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 由（2）可知，点C到直线的距离为， ∵到直线的距离为， ∴当点Q在直线下方时，， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，， ∴此时t的值为或； 如图所示，取点，则， ∴， ∵， ∴点H到直线的距离， ∵到直线的距离为， ∴当点Q在直线上方时，， 同理可得直线的解析式为， 联立得， 解得，， ∴此时t的值为或； 综上所述，t的值为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $