精品解析：河北石家庄市第四十中学2026-2027学年八年级上学期11月期中数学试题

2026—2027学年第一学期期中考试试题初二数学 一．选择题（每小题2分，共24分） 1. 下列人工智能助手图标中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 当时，下列二次根式有意义的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，与关于直线对称，且，，则的度数为（       ） A. B. C. D. 4. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（ ） A. 21 B. 14 C. 13 D. 9 6. DeepSeek是中国深度求索公司研发的高性能AI语言模型，广泛应用于智能客服、数据分析等领域．2026年1月，DeepSeek全球月活跃用户数突破46200000个，创下行业新纪录．用科学记数法表示46200000并精确到百万位，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知一个正数的两个平方根是和，则这个数的值是（ ） A. 4 B. C. 36 D. 8. 如图1所示，已知线段，，求作，使，，小明的作法如图2所示，下列说法中一定正确的是（ ） A. 作的依据为 B. 弧是以长为半径画的 C. 弧是以A为圆心，为半径画的 D. 弧是以长为半径画的 9. 如表为嘉琪同学的答卷，她的得分应是（ ） 姓名：嘉琪得分：________ 填空：（每小题分，共分） 的倒数是； （精确到千分位）； 的算术平方根为（）； 平方根与立方根相等的数是（）； ． A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 10. 下列命题： ①线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等； ②全等三角形的周长相等； ③在同一个三角形中，大边对大角； ④同旁内角互补，两直线平行； 其逆命题为真命题的是（ ） A. ①③④ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③ 11. 如图所示，数轴上、两点表示的数分别为和3，点关于点的对称点为点，则点所表示的数是（ ） A. B. C. D. 12. 已知，其中．点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当两点同时到达点时，； ③若时，与垂直； ④若运动过程中存在与全等，则或． 以上说法正确的选项为（ ） A. ①③ B. ①② C. ①②④ D. ①②③④ 二．填空题（每小题3分，共12分） 13. 在，，，，，，这个数中，无理数共有________个． 14. 小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入x的值是64时，输出的y值是_________． 15. 如图，在四边形中，，，连接、，若，，则的面积为________． 16. 在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在=的右侧作，使，，连接． （1）如图1，当点在线段上，如果，则________度； （2）点D在直线上移动，若，．则α，β之间的数量关系为________________________． 三．解答题（共64分） 17. 计算： （1）； （2） （3）； （4） 18. 如图，正方形网格的每个小正方形的边长为1．的三个顶点均在格点上． （1）画出关于直线对称的； （2）在直线上找一点，使的值最小． （3）找到格点，连接，满足与平行且相等． 19. 观察图所示的图形，每个小正方形的边长为． （1）图中阴影部分的面积是________，边长是________，则表示阴影正方形边长的点会落在如图所示的数轴的________段上（填序号）． （2）已知为阴影正方形边长的小数部分，为的整数部分， 求：①，的值． ②的算术平方根． 20. 观察下列一组等式，解答后面的问题： ，． （1）化简：________，________（为正整数）； （2）请根据上面的结论，计算下列算式的结果：． 21. 已知题目：如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，，，，，求证：．下面是小明的证明过程． 证明：∵，∴．第①步 在和中，∵∴，第②步 ∴．第③步 （1）老师批改时，告知小明在第________步中出现错误，请你写出正确的证明过程； （2）用无刻度直尺找到的中点O．（保留作图痕迹，不必写作法） 22. 综合与探究——代数推理 定义：对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”，这些算术平方根中，最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”． 例如：对于1，4，9这三个数，，这些算术平方根都是整数，因此，1，4，9这三个数称为“漂亮数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． 问题解决： （1）请你通过计算判断4，16，25这三个数是不是“漂亮数”． （2）请你写出两组“漂亮数”．（不与前面出现过的“漂亮数”相同） （3）已知正整数9，25，m是“漂亮数”，且，若“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的3倍，求m的值． 23. 综合实践 （1）习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为，，，．求的长”，请直接写出此题答案：的长为________． （2）探索证明：如图②，点，在的边、上，，点，在内部的射线上，且．求证：． （3）拓展应用： 如图③，在中，，，点在边上，点在线段上，．若，________．（图中画出分析思路；直接填写结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期期中考试试题初二数学 一．选择题（每小题2分，共24分） 1. 下列人工智能助手图标中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A选项：把该图形沿着虚线折叠后，直线两旁的部分可以完全重合， 该图形是轴对称图形，故Ａ选项符合题意； B选项：把该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合， 该图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：把该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合， 该图形不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：把该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合， 该图形不是轴对称图形，故D选项不符合题意． 2. 当时，下列二次根式有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫做二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A中，当时，，被开方数小于0，二次根式无意义，故选项不符合题意； B中，当时，，被开方数小于0，二次根式无意义，故选项不符合题意； C中，当时，，被开方数小于0，二次根式无意义，故选项不符合题意； D中，当时，，被开方数大于0，二次根式有意义，故选项符合题意； 故选：D． 3. 如图，与关于直线对称，且，，则的度数为（       ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的性质推出，再根据三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵与关于直线对称，且，， ∴， ∴， ∴， 即的度数为． 4. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先算出根号内算式的结果，再把被开方数拆成平方数乘另一个数进行开方化简． 【详解】解：． 5. 如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（ ） A. 21 B. 14 C. 13 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，据此根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∴的周长， 故选：C． 6. DeepSeek是中国深度求索公司研发的高性能AI语言模型，广泛应用于智能客服、数据分析等领域．2026年1月，DeepSeek全球月活跃用户数突破46200000个，创下行业新纪录．用科学记数法表示46200000并精确到百万位，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法与近似数，需将数字精确到百万位并用科学记数法表示，其中科学记数法的形式为，且系数a满足，然后问题可求解． 【详解】解：∵百万位为，46200000精确到百万位需看十万位（），十万位数字为， ∴舍去，得46000000， ∴， 故选D． 7. 已知一个正数的两个平方根是和，则这个数的值是（ ） A. 4 B. C. 36 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，得出，求出，再得出答案即可． 【详解】解：由题意得， 解得， ， 这个数为． 8. 如图1所示，已知线段，，求作，使，，小明的作法如图2所示，下列说法中一定正确的是（ ） A. 作的依据为 B. 弧是以长为半径画的 C. 弧是以A为圆心，为半径画的 D. 弧是以长为半径画的 【答案】A 【解析】 【分析】本题尺规作图的步骤以及全等三角形的判定定理，熟悉掌握尺规作图原理是解决本题的关键． 根据作图痕迹可得，先在射线上截取，再分别以B，C为顶点，在线段的两端，利用作一个角等于已知角的方法，作，从而可得出所要求的三角形， 【详解】A、根据作图知，，，，这里，，及夹边来作，所以依据为，故选项正确，符合题意； B、弧是以点B为圆心，长为半径画的，故选项错误，不符合题意； C、弧是以B为圆心，为半径画的，故选项错误，不符合题意； D、弧是以长为半径画的，故选项错误，不符合题意． 故选：A． 9. 如表为嘉琪同学的答卷，她的得分应是（ ） 姓名：嘉琪得分：________ 填空：（每小题分，共分） 的倒数是； （精确到千分位）； 的算术平方根为（）； 平方根与立方根相等的数是（）； ． A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 【答案】B 【解析】 【分析】先根据倒数、精确度、算术平方根、平方根、立方根的定义，逐个判断嘉琪的答案是否正确，再计算得分即可． 【详解】解：的倒数是，嘉琪作答错误； 精确到千分位为，嘉琪作答错误； 的算术平方根为，嘉琪作答正确； 平方根与立方根相等的数是，嘉琪作答正确； ，嘉琪作答正确， ∴共答对题，得分（分）． 10. 下列命题： ①线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等； ②全等三角形的周长相等； ③在同一个三角形中，大边对大角； ④同旁内角互补，两直线平行； 其逆命题为真命题的是（ ） A. ①③④ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】先写出每个命题的逆命题，再根据初中几何定理判断逆命题的真假，即可得到结果． 【详解】解：①原命题：线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等；逆命题：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；该逆命题为真命题； ②原命题：全等三角形的周长相等；逆命题：周长相等的三角形是全等三角形；举例：边长为，，的三角形和边长为，，的三角形周长都是，但二者不全等，因此该逆命题为假命题； ③原命题：在同一个三角形中，大边对大角；逆命题：在同一个三角形中，大角对大边；该逆命题为真命题； ④原命题：同旁内角互补，两直线平行；逆命题：两直线平行，同旁内角互补；该逆命题为真命题； 综上，逆命题为真命题的是①③④， 故选：A． 11. 如图所示，数轴上、两点表示的数分别为和3，点关于点的对称点为点，则点所表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数轴上两点间的距离公式求出的长，由对称性得出，利用点表示的数减去的长即可求出点表示的数． 【详解】解：∵点、表示的数分别为和， ∴， ∵点关于点的对称点为点， ∴，且点在点的左侧， ∴点表示的数为． 12. 已知，其中．点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当两点同时到达点时，； ③若时，与垂直； ④若运动过程中存在与全等，则或． 以上说法正确的选项为（ ） A. ①③ B. ①② C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据路程等于速度乘时间求出点和点的路程，即可判断①；先求出点到达点时的时间，然后根据题意列出算式求解即可判断②；先画出图形，根据题意求出，，，，然后得到和不全等，进而证明出，即可判断③；根据全等三角形边角的对应关系，分种情况求出的值即可判断④． 【详解】解：对于①，点以每秒个单位长度的速度，运动时间为秒， 点运动路程为． 若，则点运动路程为， 点运动路程始终是点运动路程的倍，故①符合题意； 对于②，当点到达点时，秒， ，故②符合题意； 对于③，如图所示， 当，时， 点运动的路程为，点运动的路程为． ，， ，． ， ， ， 和不全等， ． ， ， ， 与不垂直，故③不符合题意； 对于④，当时，则，． ， ， ， ， ， ； 当时，则，． ， ． ， ， ， 若与全等，则或，故④不符合题意． 综上所述，符合题意的结论为①②． 【点睛】本题是一道动点问题，考查了全等三角形的性质和判定．解题的关键是能充分把握运动过程，找出符合条件时点的位置及满足的数量关系，分类时做到不重不漏． 二．填空题（每小题3分，共12分） 13. 在，，，，，，这个数中，无理数共有________个． 【答案】 【解析】 【详解】解：是有限小数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数； 是整数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 中是无限不循环小数，因此也是无理数； 综上，无理数共有个． 14. 小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入x的值是64时，输出的y值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】按照计算流程计算，如果不满足输出条件，继续循环计算即可． 【详解】解：当x值为64时，取算术平方根得8，取立方根得2，取算术平方根得，是无理数，所以输出的数为． 故答案为：． 15. 如图，在四边形中，，，连接、，若，，则的面积为________． 【答案】5 【解析】 【分析】设交点为，根据，易证垂直平分，得到，再根据即可求解． 【详解】解：设交点为， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∴． 16. 在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在=的右侧作，使，，连接． （1）如图1，当点在线段上，如果，则________度； （2）点D在直线上移动，若，．则α，β之间的数量关系为________________________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，第二问注意分类讨论． （1）先证，根据即可证明；可得，由进而可得； （2）分①点D在线段上，②点D在延长线上，③点D在的延长线上，分别加以讨论即可． 【详解】解：（1）， ， ， 在和中， ， ； ， ∵， ， （2）点D在线段上，如图： ， ， ， 在和中， ， ； ， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②当点D在的延长线上时，如图： ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ③当点D在的延长线上时，如图： 同理可得， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∵， ∴； 综上所述α，β之间的数量关系为：或． 故答案为：（1）；（2）或． 三．解答题（共64分） 17. 计算： （1）； （2） （3）； （4） 【答案】（1） （2） （3） （4）3 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 如图，正方形网格的每个小正方形的边长为1．的三个顶点均在格点上． （1）画出关于直线对称的； （2）在直线上找一点，使的值最小． （3）找到格点，连接，满足与平行且相等． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，点P即为所求； （3）如图，点、即为所求； 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质作出点A、B、C的对应点、、，然后顺次连接即可； （2）连接交于点P，则点P即为所求； （3）根据格点特点找出符合条件的点D即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图所示： 根据轴对称可得：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小； 【小问3详解】 略 19. 观察图所示的图形，每个小正方形的边长为． （1）图中阴影部分的面积是________，边长是________，则表示阴影正方形边长的点会落在如图所示的数轴的________段上（填序号）． （2）已知为阴影正方形边长的小数部分，为的整数部分， 求：①，的值． ②的算术平方根． 【答案】（1）13，，④ （2）①；；② 【解析】 【分析】（1）利用割补法求出阴影部分的面积，根据正方形的面积公式求出其边长，再估算出其边长的取值范围即可得到答案； （2）①估算出的范围即可确定x、y的值；②求出的值，再根据算术平方根的定义可得答案． 【小问1详解】 解：由题意得，图中阴影部分的面积是， ∵阴影部分是一个正方形，其面积为13， ∴边长是； ∵， ∴， ∴表示阴影正方形边长的点会落在如图所示的数轴的④段上； 【小问2详解】 解：①， 的整数部分为3， 的小数部分为，即． ∵， ， 的整数部分是3，即． ②当时，． ∴的算术平方根为． 20. 观察下列一组等式，解答后面的问题： ，． （1）化简：________，________（为正整数）； （2）请根据上面的结论，计算下列算式的结果：． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据分母有理化的方法求解即可； （2）把所求式子变形为，再根据（1）的结论分母有理化求解即可． 【小问1详解】 解：； ； 【小问2详解】 解： ． 21. 已知题目：如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，，，，，求证：．下面是小明的证明过程． 证明：∵，∴．第①步 在和中，∵∴，第②步 ∴．第③步 （1）老师批改时，告知小明在第________步中出现错误，请你写出正确的证明过程； （2）用无刻度直尺找到的中点O．（保留作图痕迹，不必写作法） 【答案】（1） ②；证明： ， ． ， ， ， ． 在和中， ， ， ． （2） 解：如图， 连接交于，即为中点， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【详解】（1）②； 证明略 （2）略 22. 综合与探究——代数推理 定义：对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”，这些算术平方根中，最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”． 例如：对于1，4，9这三个数，，这些算术平方根都是整数，因此，1，4，9这三个数称为“漂亮数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． 问题解决： （1）请你通过计算判断4，16，25这三个数是不是“漂亮数”． （2）请你写出两组“漂亮数”．（不与前面出现过的“漂亮数”相同） （3）已知正整数9，25，m是“漂亮数”，且，若“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的3倍，求m的值． 【答案】（1）4，16，25这三个数是“漂亮数” （2）1，9，16；4，25，64（答案不唯一） （3）81 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义和算术平方根，解题关键是理解已知条件中的定义． （1）根据已知条件中的定义，先求出任意两个数乘积的算术平方根，然后判断即可； （2）根据已知条件中的定义，先求出任意两个数乘积的算术平方根，然后进行解答即可； （3）分别根据已知条件中的定义和最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，列出关于m的方程，求出m即可． 【小问1详解】 解：，，， ，20，10都是整数， ，16，25是“漂亮数”； 【小问2详解】 1，9，16这三个数称为“漂亮数”； 4，25，64这三个数称为“漂亮数”，理由如下： ，，， 1，9，16这三个数称为“漂亮数”； ，，， 4，25，64这三个数称为“漂亮数”； 【小问3详解】 ∵正整数， ∴。 三个算术平方根为、、。 ∵，， ∴“最小算术平方根”为15，“最大算术平方根”为。” ， ． 解得． 的值为81． 23. 综合实践 （1）习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为，，，．求的长”，请直接写出此题答案：的长为________． （2）探索证明：如图②，点，在的边、上，，点，在内部的射线上，且．求证：． （3）拓展应用： 如图③，在中，，，点在边上，点在线段上，．若，________．（图中画出分析思路；直接填写结果） 【答案】（1）8 （2）证明：∵，，， ∴， 同理可得：， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴； （3）； 【解析】 【分析】（1）证出，则可得，，据此求解即可； （2）证出，则可得，，据此即可得证； （3）在线段上截取，连接，证明，得到，，则可推出，设，则，可证明，，得到，则． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，在线段上截取，连接， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $