精品解析：黑龙江哈尔滨荣智中学2026-2027学年八年级上学期期中考试数学试卷

荣智学校2026—2027学年度上学期期中考试八年级数学 一、选择题（共10小题，满分30分） 1. 下列各图中，正确画出的边边上的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据高的定义，过三角形一个顶点向对边作垂线，垂线段即为三角形的高． 【详解】解：根据题意，是符合题意的． 2. 下列运算正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A：，错误. 选项B：，正确. 选项C：，错误. 选项D：与不是同类项，不能合并，错误. 3. 下列图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义即可求解． 【详解】解：A．选项中的图案沿中间竖直直线对折，左右两部分能够完全重合，是轴对称图形； B．选项中的图案找不到对称轴，不是轴对称图形； C．选项中的图案找不到对称轴，不是轴对称图形； D．选项中的图案找不到对称轴，不是轴对称图形． 4. 如图，点、在线段上，，，下列条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，在与中，，，所以结合全等三角形的判定方法逐项分析，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， A、添加，由，，，不能判定，故本选项符合题意； B、添加，可得到，由，，，可证明，故本选项不合题意； C、添加，由，，，可证明，故本选项不合题意； D、添加，由，，，可证明，故本选项不合题意； 故选：A． 5. 如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵的垂直平分线分别交，于点， ∴ ∵的周长为 ∴ ∴的周长为． 6. 如图是用尺规作的平分线的示意图，这样作图的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，作角平分线的尺规作图，先理解题意，观察作图过程得，证明，则，即可作答． 【详解】解：观察作图过程得， ∴， ∴， 即平分， 故选：B． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形的三条高的交点在三角形的内部 B. 三角形的角平分线是一条射线 C. 三角形的一个外角大于任何一个内角 D. 角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵锐角三角形三条高的交点在内部，直角三角形三条高的交点在直角顶点，钝角三角形三条高所在直线的交点在外部，即交点不一定都在三角形内部， ∴A错误； ∵三角形的角平分线是线段，不是射线， ∴B错误； ∵三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，并非大于所有内角， ∴C错误； ∵角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上， ∴D正确. 8. 如图，的三边，，的长分别为20，30，40，三角形的三条角平分线将分为三个三角形，若等于（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 45 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形中的角平分线的性质，熟练掌握三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等是解题的关键． 过分别作三边的垂线，垂足分别为，则可求得，先表达出、和的表达式，再由可求得的长，则可求得． 【详解】解：如图，过分别作三边的垂线，垂足分别为， 平分， ， 同理可得， ； ； ， ， ， ， ， 解得， ∴， 故选：B． 9. 如图是蜡烛在平面镜中成像的光路图，人眼所看到的是蜡烛在平面镜里的虚像，点与点到平面镜的距离相等，且它们的连线与平面镜垂直，故人眼感觉看到了真实的蜡烛．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握这三个性质是关键；由题意知平面镜所在直线垂直平分线段，则，从而等边对等角，再由三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵点与点到平面镜的距离相等，且它们的连线与平面镜垂直， ∴平面镜所在直线垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如图，是由4个相同的小正方形组成的网格图，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定（）与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．通过构造全等三角形，结合全等三角形的角度性质，推导的度数． 【详解】解：设小正方形的边长为，如图， ∵，，， ∴（）． ∴ ∴ ∴ 故答案为：A． 二、填空题（共10小题，满分30分） 11. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查积的乘方运算，需将括号内的每个因子分别立方，并应用幂的乘方法则计算变量部分． 【详解】解：根据积的乘方法则∶ ． 计算：（负数的奇数次幂为负），（幂的乘方，指数相乘），， 故结果为∶， 故答案为：． 12. 房屋建造时，经常采用三角形房梁，这是因为三角形具有_____． 【答案】稳定性． 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性进行解答． 【详解】房屋建造时，经常采用三角形房梁，这是因为三角形具有稳定性． 故答案为：稳定性． 【点睛】此题主要考查了三角形的稳定性，题目比较简单． 13. 在平面直角坐标系中点关于轴对称点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于y轴的对称的两个点横坐标互为相反数，纵坐标相等的特点易得答案． 【详解】解：根据关于y轴的对称的两个点横坐标互为相反数，纵坐标相等的特点，可得：关于y轴的对称点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查关于轴对称点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律，注意区分且准确记忆． 14. 如图，已知：，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】连结，证出，再利用三角形内角和的推论即可求得答案． 【详解】解：作射线，在射线上取点， ， ， ，， ， ， 是的外角， ． 15. 计算：________． 【答案】8 【解析】 【分析】观察原式的指数特征，可将拆分为，再利用积的乘方的逆运算进行简便运算即可． 【详解】解： ． 16. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．依据小明的方法，可求得的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质，延长至点，使，连接，根据证明，即可得到，然后根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：延长至点，使，连接， ∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 17. 如图，的边，的垂直平分线，分别交于点，，若，，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，利用等边对等角得出，，结合三角形内角和定理求出，最后利用角度和差关系求解． 【详解】解： 垂直平分 ，  ．  ． 垂直平分 ， ．   ．  ， ．   ．  ． 18. 如图，已知△ABC中，于D，AE平分∠BAC，∠B＝80°，∠C＝40°，则∠DAE=_________度． 【答案】20 【解析】 【分析】根据题意可以求得∠BAC的度数，进而求得∠BAE的度数，再根据AD⊥BC于D，∠B=80°，可以求得∠BAD的度数，从而可以求得∠DAE的度数． 【详解】解：∵∠B=80°，∠C=40°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-80°-40°=60°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠CAE=∠BAC=30°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB=90°， ∴∠B+∠BAD=90°， ∴∠BAD=10°， ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=30°-10°=20°， 故答案为：20． 【点睛】本题考查三角形内角和、角平分线、三角形的高，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 19. 如图，在中，，，，点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动，点从点出发沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动，、两点同时出发，且一个点到达终点，则另一个也停止运动分别过、两点作于，于，当与全等时，的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．分在上，在上；在上，在上，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：当在上，在上时， ∵， ∴， ∵于，于． ∴， ∴， 若，则， ∴， 解得， ∴； 当在上，在上时，即、重合时，，则， 由题意得，， 解得， ∴， 综上，当与全等时，满足条件的的长为或． 故答案为或． 20. 如图，点E 在等边 的边 BC上，，射线 垂足为点C，点P 是射线CD上一动点，点F 是线段AB 上一动点，当 的值最小时，，则等边 的边长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查最短路径问题、等边三角形的性质、含的直角三角形的性质，熟练掌握利用轴对称性质求最短距离的方法是解答的关键．作点关于射线的对称点，过作于，交射线于，连接，此时的值最小，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求得，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得，进而求得即可求解． 【详解】解：作点关于射线的对称点，过作于，交射线于，连接，如图，则， ，此时的值最小，则， 是等边三角形， ，， 在中，， ， ，， ， ， .， 三、解答题（共7小题，满分60分） 21. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简带负号的乘方项，统一为以x为底的幂，注意符号判断，再按同底数幂乘法规则计算； （2）先化简带负号的乘方项，统一为以a为底的幂，注意符号判断，再按同底数幂乘法规则计算． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：原式． 22. 如图所示，在平面直角坐标系中，点，，． （1）画出关于轴对称的； （2）的面积是________； （3）已知为轴上一点，若的面积为，则点的坐标是________． 【答案】（1）如图，即为所求 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由关于轴对称的两点“横坐标互为相反数、纵坐标相同”确定出、、的对应点，再依次连接； （2）利用割补法计算即可得出结果； （3）落在轴上，以为底、点到轴的距离为高列方程求，再按点在点的左侧、右侧两种情形写出坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：． 【小问3详解】 解：∵点在轴上，点也在轴上， ∴在轴上，点到轴的距离为，即中边上的高为． ∴，解得． ∵，点的横坐标为， ∴点的横坐标为或． ∴点的坐标为或． 23. 解答下列各题： （1）如果一个三角形的三个内角的度数之比是，那么这个三角形中最大角的度数是多少？ （2）如图，和是的外角，若，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设三角形三个内角的度数分别为、、，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果； （2）利用三角形外角的定义及性质计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵一个三角形的三个内角的度数之比是， ∴设三角形三个内角的度数分别为、、， 根据三角形内角和定理得， 解得， 则最大内角为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴． 24. 如图，，且，． （1）求证：． （2）直接写出线段和线段的关系． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）且 【解析】 【分析】（1）根据，推出，等量代换，得到，根据全等三角形的判定，即可证明； （2）根据全等三角形的性质，平行线的判定，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可得，， ∴，， ∴． 25. 若（且，，为正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： （1）如果，求的值； （2）如果，求的值； （3）已知，，用含，的式子表示． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先把转化为以2为底的幂，再利用同底数幂相乘法则合并，根据题目给出结论，底数相同则指数相等列方程求． （2）逆用同底数幂乘法，提取公因式化简等式左边，算出结果后写成2的幂，再由底数相同指数相等求． （3）先把拆成，再变形为，结合已知，，把、转化为、的乘方形式． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ， ，即， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：∵，， ∴ ． 26. 在等边中，分别在、边上，，和交于点 （1）如图1，求证：； （2）如图2，延长至点，连接、，使得平分，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，，，求线段的长． 【答案】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：如图所示，作点关于直线的对称点，连接，， ∵平分， ∴射线关于的对称射线为， ∴点必定落在直线上，即三点共线， 根据轴对称的性质可得：， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴在中，， ∴， ∵三点共线， ∴， ∴， 在四边形中，根据四边形内角和为得， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）可知：，即， ∴是等边三角形， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）利用是等边三角形，证明，再利用三角形的外角即可证明； （2）作点关于直线的对称点，连接，，根据轴对称的性质可得：，可得，，由等边三角形的性质在中，可得，进而可得，在四边形中，根据四边形内角和为可得，所以，进而得出，得出是等边三角形，即可得出； （3）延长至点，使得，连接，过点作垂足为，垂足为，过点作垂足为，先证明，得出，由是等边三角形可得，再由平分和三角形的面积可得，从而得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，延长至点，使得，连接，过点作垂足为，垂足为，过点作垂足为， 由（2）可知：平分，，， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴，即， 又∵， ∴，即， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 27. 如图，点O为平面直角坐标系的坐标原点，点A在y轴正半轴，点B在x轴负半轴，的面积为18，． （1）如图1，求点B的坐标； （2）点C在射线上，连接，点C的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的关系式（不需要写出t的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，点C在x轴正半轴，以为腰在右侧作等腰直角，连接，取中点E，连接，若的面积是的面积的6倍，求点D的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）因为是直角三角形，面积已知，且，所以先设的长度为未知数，利用三角形面积公式列方程求出长度，再结合点B的位置确定其坐标． （2）因为点C在射线上，横坐标为t，所以先确定的长度与t的关系，以为底、为高，利用三角形面积公式推导S与t的关系式． （3）首先根据等腰直角的条件，通过构造全等三角形得到点D的坐标与点C坐标的关系；再利用E是中点，结合中点坐标公式求出E的坐标；然后根据和的面积倍数关系列方程，求出t的值，进而得到点D的坐标． 【小问1详解】 解：∵，是直角三角形，， ∴ ， ∴， ∵， 解得． ∵点B在x轴负半轴， ∴B的坐标为． 【小问2详解】 解：∵点C在射线上，横坐标为t， ∴C点坐标为， ∴． 由（1）可得， ∴面积： ． 【小问3详解】 解：∵C在x轴正半轴， ∴，C点坐标为． ∴．  过D作轴于H，过E作轴于F． ∵是等腰直角三角形，，，  ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴（）． ∴，． ∴． ∴D点坐标为． ∵B的坐标为，E是中点， ∴根据中点坐标公式： ． ∴E点坐标为． ∴． ∴，， ∵， ∴． 化简，得， 因式分解，得． ∵， ∴． 解得． 代入D点坐标表达式， 得D的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荣智学校2026—2027学年度上学期期中考试八年级数学 一、选择题（共10小题，满分30分） 1. 下列各图中，正确画出的边边上的高的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是 （ ） A. B. C. D. 3. 下列图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点、在线段上，，，下列条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图是用尺规作的平分线的示意图，这样作图的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形的三条高的交点在三角形的内部 B. 三角形的角平分线是一条射线 C. 三角形的一个外角大于任何一个内角 D. 角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上 8. 如图，的三边，，的长分别为20，30，40，三角形的三条角平分线将分为三个三角形，若等于（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 45 9. 如图是蜡烛在平面镜中成像的光路图，人眼所看到的是蜡烛在平面镜里的虚像，点与点到平面镜的距离相等，且它们的连线与平面镜垂直，故人眼感觉看到了真实的蜡烛．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是由4个相同的小正方形组成的网格图，则等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共10小题，满分30分） 11. 计算的结果是______． 12. 房屋建造时，经常采用三角形房梁，这是因为三角形具有_____． 13. 在平面直角坐标系中点关于轴对称点的坐标是__________． 14. 如图，已知：，则______________． 15. 计算：________． 16. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．依据小明的方法，可求得的取值范围是____________． 17. 如图，的边，的垂直平分线，分别交于点，，若，，则的度数为________． 18. 如图，已知△ABC中，于D，AE平分∠BAC，∠B＝80°，∠C＝40°，则∠DAE=_________度． 19. 如图，在中，，，，点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动，点从点出发沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动，、两点同时出发，且一个点到达终点，则另一个也停止运动分别过、两点作于，于，当与全等时，的长为________． 20. 如图，点E 在等边 的边 BC上，，射线 垂足为点C，点P 是射线CD上一动点，点F 是线段AB 上一动点，当 的值最小时，，则等边 的边长为__________． 三、解答题（共7小题，满分60分） 21. 计算： （1）； （2）． 22. 如图所示，在平面直角坐标系中，点，，． （1）画出关于轴对称的； （2）的面积是________； （3）已知为轴上一点，若的面积为，则点的坐标是________． 23. 解答下列各题： （1）如果一个三角形的三个内角的度数之比是，那么这个三角形中最大角的度数是多少？ （2）如图，和是的外角，若，，求的度数． 24. 如图，，且，． （1）求证：． （2）直接写出线段和线段的关系． 25. 若（且，，为正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： （1）如果，求的值； （2）如果，求的值； （3）已知，，用含，的式子表示． 26. 在等边中，分别在、边上，，和交于点 （1）如图1，求证：； （2）如图2，延长至点，连接、，使得平分，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，，，求线段的长． 27. 如图，点O为平面直角坐标系的坐标原点，点A在y轴正半轴，点B在x轴负半轴，的面积为18，． （1）如图1，求点B的坐标； （2）点C在射线上，连接，点C的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的关系式（不需要写出t的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，点C在x轴正半轴，以为腰在右侧作等腰直角，连接，取中点E，连接，若的面积是的面积的6倍，求点D的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $