浙江省浙北六校2026-2027学年九年级上学期期中数学试卷

2026—2027学年第一学期浙北六校期中联考 九年级数学试题卷 （2026年11月） 考生须知： 全卷分试卷和答卷。有3大题，24小题，满分120分，考试时间90分钟。 一、选择题（每小题有4个选项，其中有且只有1个正确选项。每小题3分，共30分） 1. 下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（　　） A. 瓜熟蒂落 B. 旭日东升 C. 守株待兔 D. 夕阳西下 2. 二次函数的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 3. 已知⊙的半径是6，点到圆心的距离是4，则点与⊙的位置关系是（　　） A. 点在圆外 B. 点在圆上 C. 点在圆内 D. 无法确定 4. 在一个布袋里放有2个红球，1个黄球和3个黑球，它们除了颜色外其余都相同，从袋中任意摸出一个球是黑球的概率是（　　） A. B. C. D. 5. 将二次函数的图象向右平移一个单位长度，再向下平移3个单位长度所得到的图象解析式为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，为⊙的直径，，是⊙上的两点，若，则的大小为（　　） A. B. C. D. 第6题图 7. 如图，⊙的两条直径互相垂直，点是的中点，连接交于点，则的度数为（　　） A. B. C. D. 第7题图 8. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 9. 一块含角的直角三角板和一块量角器如图摆放（三角板顶点与量角器0刻度处重合），量角器与三角板交于点，经测量知，点为中点，点为弧上一动点， 则的最小值为（　　）。 A. B. C. D. 第9题图 10. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，点，，在⊙上，若，则的度数为________。 第11题图 12. 二次函数的对称轴是________。 13. 在一个不透明的盒子里有4个红球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同。若摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率为，则的值为________。 14. 如图，抛物线与直线交于和两点，则不等式的解集是________。 第14题图 15. 二次函数的部分对应值列表如下： … 0 1 3 5 … … 7 7 … 则一元二次方程的解为________。 16. 如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为的圆与轴交于，两点，与轴交于，两点，点为⊙上一动点，于点，则点在⊙上运动过程中，线段的长度的最小值为________。 第16题图 三、解答题（8题共72分，17—21题每题8分，22—23题每题10分，24题12分） 17. 已知：如图，、、、是⊙上的点，，。 （1）求证：； （2）求的长。 第17题图 18. 已知二次函数的图象经过点和点。 （1）求这个二次函数的解析式； （2）求这个函数的图象与轴的交点坐标。 19. 如图所示，可以自由转动的转盘被3等分，指针落在每个扇形内的机会均等。 （1）现随机转动转盘一次，停止后，指针指向1的概率为________； （2）小明和小华利用这个转盘做游戏。若采用下列游戏规则，你认为对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由。 游戏规则：随机转动转盘两次，停止后，指针各指向一个数字。若两数之积为偶数，则小明胜；否则小华胜。 第19题图 20. 已知抛物线。 （1）将配方成的形式； （2）当时，求的取值范围。 21. 如图，是⊙的直径，点，是直径上方半圆上两点，且，与交于点。 （1）求证：为的中点； （2）若，，求半径。 第21题图 22. 某文化用品店销售一种进价为每本40元的纪念品，为获得高利润，以不低于进价进行销售，结果发现，每月销售量与销售单价之间的关系可以近似地看作一次函数：。 （1）该文具店这种笔记本每月获得利润为元，求每月获得的利润元与销售单价之间的函数关系式。 （2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润，最大利润为多少元？ 23. 如图，⊙为的外接圆，半径长为，。 （1）求的长； （2）作的平分线交⊙于点。 ①求证：为等边三角形； ②若，求的长。 第23题图 24. 某俱乐部购进一台如图1的篮球发球机，用于球员篮球训练。该发球机可以不同力度发射出篮球，篮球运行的路线都是抛物线。出球口离地面高1米，以出球口为原点，平行于地面的直线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系。力度变化时，抛物线的顶点在直线上移动，从而产生一组不同的抛物线（如图2）。 （1）若， ①发球机发射出的篮球运行到距发球机水平距离为4时，离地面的高度为1，该球在运行过程中离地面的最大高度为________； ②若发球机发射出的篮球在运行过程中离地面的最大高度为4，求此球落地点离发球机的水平距离。 （2）球员小刚训练时发现：当篮球运行到离地面高度为1至2.2之间（包含端点）是最佳接球区间，若，求出当满足什么条件时，距发球机水平距离12的小刚在前后不挪动位置的前提下，能在最佳区间接到球。 第1页/共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期浙北六校期中联考 九年级数学试题卷 （2026年11月） 考生须知： 全卷分试卷和答卷。有3大题，24小题，满分120分，考试时间90分钟。 一、选择题（每小题有4个选项，其中有且只有1个正确选项。每小题3分，共30分） 1. 下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（　　） A. 瓜熟蒂落 B. 旭日东升 C. 守株待兔 D. 夕阳西下 【答案】C 【解析】 【分析】从事件发生的可能性大小判断。 【详解】“瓜熟蒂落”“旭日东升”“夕阳西下”在通常情境下都会发生；“守株待兔”是偶然事件，发生的可能性最小。故选C。 【点睛】可能性小不等于不可能发生。 2. 二次函数的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式读取顶点坐标。 【详解】顶点式的顶点是，所以本题顶点为。故选A。 【点睛】括号内是，顶点横坐标为。 3. 已知⊙的半径是6，点到圆心的距离是4，则点与⊙的位置关系是（　　） A. 点在圆外 B. 点在圆上 C. 点在圆内 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】比较点到圆心的距离与半径。 【详解】∵，∴点在⊙内。故选C。 【点睛】点到圆心的距离小于、等于、大于半径时，点分别在圆内、圆上、圆外。 4. 在一个布袋里放有2个红球，1个黄球和3个黑球，它们除了颜色外其余都相同，从袋中任意摸出一个球是黑球的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用黑球数除以球的总数。 【详解】一共有个球，其中黑球有3个，故摸到黑球的概率为。故选A。 5. 将二次函数的图象向右平移一个单位长度，再向下平移3个单位长度所得到的图象解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合顶点平移确定表达式。 【详解】平移后顶点由移至，开口方向与形状不变，故解析式为。故选C。 6. 如图，为⊙的直径，，是⊙上的两点，若，则的大小为（　　） A. B. C. D. 第6题图 【答案】B 【解析】 【分析】同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角。 【详解】∵，且是直径，∴。 所以。故选B。 7. 如图，⊙的两条直径互相垂直，点是的中点，连接交于点，则的度数为（　　） A. B. C. D. 第7题图 【答案】按图示应为C（）；原题文字存在疑误，见解析。 【解析】 【分析】原题写“连接”，但图示为连接交于，且选项与图示相符。以下先按图示解答，再说明按文字理解的结果。 【详解】按图示，连接交于。∵，∴。点是的中点，故对应的圆心角为。 由圆周角定理，。 在直角三角形中，。由对顶角相等，，对应选项C。 若严格按原题文字连接，则线段不与相交；延长与直线相交时，所得，四个选项均不符合。因此，原题的“”应核为“”。 【点睛】原卷版保留原题文字；解析按图示与选项说明疑误。 8. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将函数配方，比较各点到对称轴的水平距离。 【详解】，对称轴是。三点到对称轴的水平距离依次为4，2，3。 抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大，故。故选B。 9. 一块含角的直角三角板和一块量角器如图摆放（三角板顶点与量角器0刻度处重合），量角器与三角板交于点，经测量知，点为中点，点为弧上一动点， 则的最小值为（　　）。 A. B. C. D. 第9题图 【答案】A 【解析】 【分析】利用等腰直角三角形求半径，再用圆内一点到圆上点距离的最小值求解。 【详解】连接、。∵且，∴是等腰直角三角形。 。为斜边中点，故。 由，当射线交弧于时取等号。 故的最小值为。故选A。 10. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】按对称轴与给定区间的位置分类讨论。 【详解】配方得，对称轴为。 ①当，即时，函数在区间上随增大而增大，最小值为时的。由得，符合条件。 ②当，即时，最小值为。由得，仅符合。 ③当时，函数在上随增大而减小，因不在区间内，最小值不能取到，不符合题意。 综上，或。故选A。 【点睛】开区间端点处的函数值不能直接当作最小值。 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，点，，在⊙上，若，则的度数为________。 第11题图 【答案】 【解析】 【分析】同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。 【详解】。 12. 二次函数的对称轴是________。 【答案】直线 【解析】 【分析】根据顶点式确定对称轴。 【详解】由可知顶点为，故对称轴为直线。 13. 在一个不透明的盒子里有4个红球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同。若摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率为，则的值为________。 【答案】16 【解析】 【分析】根据概率公式列方程。 【详解】由题意得，故，解得。 14. 如图，抛物线与直线交于和两点，则不等式的解集是________。 第14题图 【答案】 【解析】 【分析】将不等式转化为抛物线在直线下方的横坐标范围。 【详解】等价于。由图可知，当时，抛物线在直线下方，故解集为。 15. 二次函数的部分对应值列表如下： … 0 1 3 5 … … 7 7 … 则一元二次方程的解为________。 【答案】或 【解析】 【分析】先求函数值为时的自变量，再整体代换。 【详解】由表知与时函数值相同，故对称轴为。 当自变量为3时函数值为，其关于对称的自变量为，所以的两根为，。 令，则或，解得或。 【点睛】表中的自变量对应本题的，还需减1才能得到方程的根。 16. 如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为的圆与轴交于，两点，与轴交于，两点，点为⊙上一动点，于点，则点在⊙上运动过程中，线段的长度的最小值为________。 第16题图 【答案】 【解析】 【分析】由直角三角形斜边中线性质，确定到中点的距离为定值。 【详解】∵，，∴。故，。 由勾股定理，。 取中点，则，。 ∵，∴为直角三角形，斜边中线。于是。 当、、依次共线时可取等号，此时直线与原圆除外的交点可作为。 所以的最小值为。 【点睛】将动点问题转化为定点到定圆的距离问题，关键辅助点是斜边中点。 三、解答题（8题共72分，17—21题每题8分，22—23题每题10分，24题12分） 17. 已知：如图，、、、是⊙上的点，，。 （1）求证：； （2）求的长。 第17题图 【答案】（1）证明见详解；（2）。 【解析】 【分析】将相等的小圆心角加上同一个圆心角，再利用等圆心角、等弧与等弦的关系。 【详解】（1）证明：由图，，。 ∵，∴，即。 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故。 （2）由（1）得弧与弧相等，故所对的弦。∵，∴。 18. 已知二次函数的图象经过点和点。 （1）求这个二次函数的解析式； （2）求这个函数的图象与轴的交点坐标。 【答案】（1）；（2），。 【解析】 【分析】待定系数法求解析式，再令求交点。 【详解】（1）将两点坐标代入，得，。 两式相减，得，故，，所以。 （2）令，得，解得。 故与轴的交点为，。 19. 如图所示，可以自由转动的转盘被3等分，指针落在每个扇形内的机会均等。 （1）现随机转动转盘一次，停止后，指针指向1的概率为________； （2）小明和小华利用这个转盘做游戏。若采用下列游戏规则，你认为对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由。 游戏规则：随机转动转盘两次，停止后，指针各指向一个数字。若两数之积为偶数，则小明胜；否则小华胜。 第19题图 【答案】（1）；（2）不公平，小明获胜的概率为，小华获胜的概率为。 【解析】 【分析】列出两次转动的9种等可能结果，统计积为偶数的结果数。 【详解】（1）转盘被3等分，其中标有1的扇形占1份，故概率为。 （2）不公平。列表如下（表内为两次数字的积）： 首次 / 再次 1 2 3 1 1 2 3 2 2 4 6 3 3 6 9 共有9种等可能结果，其中积为偶数的有5种，积为奇数的有4种。 故，，两者不相等，所以游戏对双方不公平。 【点睛】两次转动要区分先后顺序，不能只比较不同乘积的个数。 20. 已知抛物线。 （1）将配方成的形式； （2）当时，求的取值范围。 【答案】（1）；（2）。 【解析】 【分析】配方后结合对称轴及开区间端点确定范围。 【详解】（1）。 （2）抛物线开口向上，对称轴位于区间内，故在时取最小值2。 当时，；当时，。 合并得，所以。 【点睛】不取到，因此不能取到；能取到，因此能取到。 21. 如图，是⊙的直径，点，是直径上方半圆上两点，且，与交于点。 （1）求证：为的中点； （2）若，，求半径。 第21题图 【答案】（1）证明见详解；（2）。 【解析】 【分析】用直径所对的圆周角得到垂直关系，再用垂径定理和勾股定理。 【详解】（1）证明：∵是直径，∴，即。 又，∴。过圆心且垂直于弦的直线平分弦，故，即为的中点。 （2）由（1）知。设，由图知。 在直角三角形中，，故。 整理得，解得，所以半径。 22. 某文化用品店销售一种进价为每本40元的纪念品，为获得高利润，以不低于进价进行销售，结果发现，每月销售量与销售单价之间的关系可以近似地看作一次函数：。 （1）该文具店这种笔记本每月获得利润为元，求每月获得的利润元与销售单价之间的函数关系式。 （2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润，最大利润为多少元？ 【答案】（1），；（2）单价55元，最大利润450元。 【解析】 【分析】利润等于每本利润乘销售量，配方求最大值。 【详解】（1）每本利润为元，故。 由不低于进价及销售量非负，得且，故。 （2）配方得。 ∵，且在内，∴当时，取最大值450。 答：销售单价为55元时，每月可获得最大利润450元。 23. 如图，⊙为的外接圆，半径长为，。 （1）求的长； （2）作的平分线交⊙于点。 ①求证：为等边三角形； ②若，求的长。 第23题图 【答案】（1）15；（2）①证明见详解；②。 【解析】 【分析】用垂径定理求弦长；由角平分线及圆周角定理证等边三角形；作垂线，利用含角的直角三角形与勾股定理求。 【详解】（1）作于。∵，，∴，，。 在直角三角形中，，。 故。 （2）①证明：∵平分，∴。 同弧所对的圆周角相等，故，。 所以是等边三角形，且。 ②作于。∵，，∴，。 由勾股定理，。 又，所以在线段上。在直角三角形中，。 故。 【点睛】本题可用直角三角形求边，按初中已学性质展开即可。 24. 某俱乐部购进一台如图1的篮球发球机，用于球员篮球训练。该发球机可以不同力度发射出篮球，篮球运行的路线都是抛物线。出球口离地面高1米，以出球口为原点，平行于地面的直线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系。力度变化时，抛物线的顶点在直线上移动，从而产生一组不同的抛物线（如图2）。 （1）若， ①发球机发射出的篮球运行到距发球机水平距离为4时，离地面的高度为1，该球在运行过程中离地面的最大高度为________； ②若发球机发射出的篮球在运行过程中离地面的最大高度为4，求此球落地点离发球机的水平距离。 （2）球员小刚训练时发现：当篮球运行到离地面高度为1至2.2之间（包含端点）是最佳接球区间，若，求出当满足什么条件时，距发球机水平距离12的小刚在前后不挪动位置的前提下，能在最佳区间接到球。 【答案】（1）①3；②；（2）。 【解析】 【分析】利用顶点在直线上的条件求；注意离地高度比纵坐标大1米。 【详解】由篮球运动路线可知，顶点位于原点右上方。设顶点横坐标为，则，顶点纵坐标为。 顶点在上，故。∵，∴。 又，所以，抛物线可写成。 （1）当时，。 ①水平距离为4时离地高1，即点在抛物线上。故，得。 所以。纵坐标最大值为2，因此离地面的最大高度为。 ②离地面的最大高度为4，故顶点纵坐标为。顶点在上，故顶点为。 于是。代入原点，得，即。 落地时，因此，解得。 舍去负值，故落地点距发球机的水平距离为。 （2）当时，，所以。 小刚距发球机水平距离12，对应，此时纵坐标为，离地高度为。 由最佳接球高度要求，得，即。 解得。此范围内，符合篮球运动的条件。 故当时，小刚能在最佳接球区间接到球。 【点睛】离地高度为；落地对应，不是。最佳高度包含两端，所以的取值范围也包含端点。 第1页/共13页 学科网（北京）股份有限公司 $