精品解析：新疆维吾尔自治区阿克苏地区温宿县 2026-2027学年九年级数学第一学期期中作业

2026—2027学年第一学期期中作业 九年级 数学 （时间：120分钟 总分：150分） 注意事项： 1．答题时，务必将自己的学校、班级、姓名、练习号填写在答题卡规定的位置． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在练习卷上答题无效． 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 3. 若是关于的二次函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 6. 若二次函数的图象经过点和，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 7. “方中圆”作为几何构型思想最早出自我国古代数学著作《周髀算经》，古人借助正方形推算圆的相关计算，体现“数之法出于圆方”的数学思想．同学们以“方中圆”为素材，设计了如下校园景观方案：如图，在一块正方形空地的正中间修建一个圆形水池，水池外的空地（图中阴影部分）上全部种植绿植，已知绿植部分的面积为，设正方形的边长为．根据图中信息，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 在等腰三角形中，边的长为，底边的长恰好是方程的一个根，则这个等腰三角形的周长是（ ） A. 10 B. 12 C. 10或12 D. 10或12或16 9. 如图，抛物线与轴的交点坐标分别为，，对称轴为直线，与轴正半轴交于点．给出下列结论：①；②；③；④当时，随的增大而减小．其中正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 已知二次函数的图象经过点，则的值为____________． 11. 若关于的一元二次方程无实数根，则k的取值范围是____________． 12. 抛物线的顶点坐标是____________． 13. 如果二次函数图象对称轴为直线，那么二次函数的最小值是______． 14. 读书日当天，文学社举办了一场书籍分享会．每两名同学之间互相交换自己喜爱的书籍，参加活动的全部同学共互换本书籍，则参加活动的同学有____________人． 15. 如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点，M点在抛物线的对称轴上，当周长最小时，点M的坐标为__________ 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 按要求解下列方程： （1）（因式分解法）； （2）（公式法）． 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为，求代数式的值． 18. 已知二次函数． （1）在所给的平面直角坐标系中，画出该二次函数的图象； （2）根据图象直接写出当时，的取值范围． 19. 某水果店销售阿克苏冰糖心苹果，苹果的进价为每箱元．当售价为每箱元时，每天可售出箱．市场调查发现，售价每上涨元，每天的销量减少箱（每箱售价不超过元）． （1）当每箱苹果的售价上涨元时，该水果店每天可售出苹果多少箱？当天销售利润是多少元？ （2）要使该水果店每天销售苹果的利润为元，且尽可能让利于消费者，售价应定为每箱多少元？ 20. 某景区年接待游客万人次，年接待游客万人次，且这两年接待游客人次的年平均增长率相同． （1）求该景区这两年接待游客人次的年平均增长率； （2）为提升接待能力，该景区计划增设一条长的观光步道，由甲、乙两工程队共同完成，甲工程队每天可修建，乙工程队每天可修建，预计天修完．因设计改道，此观光步道的实际长度比原计划多了，在实际施工中，乙工程队修路速度保持不变，所用时间比天增加了天；甲工程队的修路速度比原计划每天下降了，而修路时间比天增加了a天，求a的值． 21. 已知抛物线（）． （1）当时，将该抛物线向右平移2个单位长度，求平移后的抛物线对应的函数解析式及其顶点坐标； （2）若当时，的最大值与最小值的差为6，求的值． 22. 阅读材料：配方法是数学中一种重要的方法，将代数式通过配方得到完全平方式，再利用完全平方式的非负性，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以当时，代数式有最小值． 根据材料提供的方法，解决下列问题： （1）求代数式的最小值． （2）若，求的最小值． （3）某学校劳动实践基地打算用长的篱笆围一个一面靠墙（墙足够长）的矩形蔬菜园，设垂直于墙的一边长为．当为何值时，蔬菜园的面积最大？最大面积是多少？ 23. 阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：若一元二次方程的两个根为，则 材料2：已知实数m，n满足，且，则 m，n 是方程的两个不相等的实数根． （1）材料理解：一元二次方程 两个根为 ，则 ， ． （2）应用探究：已知两实数m，n满足，则的值为多少？ （3）思维拓展：已知实数s，t分别满足，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期期中作业 九年级 数学 （时间：120分钟 总分：150分） 注意事项： 1．答题时，务必将自己的学校、班级、姓名、练习号填写在答题卡规定的位置． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在练习卷上答题无效． 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程，据此逐个判断即可． 【详解】解：、的未知数最高次数为，故选项不符合题意； 、是整式方程，仅含一个未知数，且未知数最高次数为，故选项符合题意； 、含有，两个未知数，故选项不符合题意. 、是分式方程，不是整式方程，故选项不符合题意． 2. 二次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：抛物线开口向上，对称轴为轴，顶点为，故A符合题意． 3. 若是关于的二次函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴， ∴． 4. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键． 根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为：． 故选：D． 5. 已知是方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 6. 若二次函数的图象经过点和，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】分别把和代入解析式，计算出对应的函数值，然后比较大小． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 7. “方中圆”作为几何构型思想最早出自我国古代数学著作《周髀算经》，古人借助正方形推算圆的相关计算，体现“数之法出于圆方”的数学思想．同学们以“方中圆”为素材，设计了如下校园景观方案：如图，在一块正方形空地的正中间修建一个圆形水池，水池外的空地（图中阴影部分）上全部种植绿植，已知绿植部分的面积为，设正方形的边长为．根据图中信息，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形确定圆的半径，利用“绿植面积正方形面积圆的面积”列出方程即可． 【详解】解：设正方形的边长为米，由图可知圆的直径为， 圆的半径． 绿植部分的面积为， 正方形面积圆的面积， 即． 8. 在等腰三角形中，边的长为，底边的长恰好是方程的一个根，则这个等腰三角形的周长是（ ） A. 10 B. 12 C. 10或12 D. 10或12或16 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程，再根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：解方程，得，， ∵是等腰三角形的底边， ∴， 当时，三边长为4，4，2，，满足三边关系，周长为； 当时，三边长为4，4，4，满足三边关系，周长为， 综上，这个等腰三角形的周长为或． 9. 如图，抛物线与轴的交点坐标分别为，，对称轴为直线，与轴正半轴交于点．给出下列结论：①；②；③；④当时，随的增大而减小．其中正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③ 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向得到，然后根据对称轴得到，推出，即可判断②；根据抛物线与y轴交点，进而可判断①；将代入即可判断③；由图象即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，故②正确； ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与轴交于点， ∴， 将代入得，， ∴，故③错误； 由图象得，当时，随的增大而减小，故④正确； ∴正确结论的序号是①②④． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 已知二次函数的图象经过点，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得． 11. 若关于的一元二次方程无实数根，则k的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】需先满足一元二次方程二次项系数不为0的要求，再结合方程无实数根时根的判别式小于0的规则，列不等式求解的取值范围． 【详解】解：∵所给方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵，，， ∴，即， 解得， ∵已满足的要求， ∴的取值范围是． 12. 抛物线的顶点坐标是____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：将抛物线化成顶点式为， 则它的顶点坐标为． 13. 如果二次函数图象对称轴为直线，那么二次函数的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图象对称轴为直线，可以求得的值，然后将函数解析式化为顶点式，即可求得函数的最小值． 【详解】解：二次函数图象对称轴为直线， ，解得， ， 当时，y取得最小值，此时． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质、最值，解答本题的关键是明确题意，求出的值，利用二次函数的性质解答． 14. 读书日当天，文学社举办了一场书籍分享会．每两名同学之间互相交换自己喜爱的书籍，参加活动的全部同学共互换本书籍，则参加活动的同学有____________人． 【答案】11 【解析】 【详解】解：设参加活动的同学有人， 由题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 则参加活动的同学有11人． 15. 如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点，M点在抛物线的对称轴上，当周长最小时，点M的坐标为__________ 【答案】 【解析】 【分析】连接，由点M在对称轴上，根据对称性可得，根据两点间线段最短可得，确定当点M在上时，最小，利用待定系数法求出的解析式，再求抛物线对称轴与的交点M的坐标即可． 【详解】解：连接， ∵点M在对称轴上， ∴， ∴， ∴当点M在上时，的最小值，此时的周长最小， ∵点， 设解析式为，把点A、C的坐标代入得：， 解得， ∴解析式为， 当时， 则点． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 按要求解下列方程： （1）（因式分解法）； （2）（公式法）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ∴或 ∴，； 【小问2详解】 解： ，， ∴ ∴ ∴，． 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为，求代数式的值． 【答案】（1）证明：在一元二次方程中， ，，， ∴， ∵，即， ∴无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根 （2）代数式的值为 【解析】 【分析】（1）证明即可证明结论成立； （2）将代入方程中，得到，进而代值求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵该方程的一个根为， ∴，则， ∴． 18. 已知二次函数． （1）在所给的平面直角坐标系中，画出该二次函数的图象； （2）根据图象直接写出当时，的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 在所给的平面直角坐标系中，画出该二次函数的图象：略． 【小问2详解】 解：由（1）可知，二次函数与轴的两个交点坐标为和， 则由函数图象可知，当时，． 19. 某水果店销售阿克苏冰糖心苹果，苹果的进价为每箱元．当售价为每箱元时，每天可售出箱．市场调查发现，售价每上涨元，每天的销量减少箱（每箱售价不超过元）． （1）当每箱苹果的售价上涨元时，该水果店每天可售出苹果多少箱？当天销售利润是多少元？ （2）要使该水果店每天销售苹果的利润为元，且尽可能让利于消费者，售价应定为每箱多少元？ 【答案】（1）每天可售出苹果94箱，当天销售利润是2162元 （2）售价应定为每箱65元 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合“售价每上涨元，每天的销量减少箱”列算式求解即可； （2）设每箱苹果的售价上涨x元，根据题意，结合总利润单件利润销售量列方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，当每箱苹果的售价上涨元时，该水果店每天可售出苹果（箱），当天销售利润是（元）； 【小问2详解】 解：设每箱苹果的售价上涨x元， 根据题意，得 整理，得 解得， 当时，每箱苹果的售价为（元），符合题意； 当时，每箱苹果的售价为（元），不符合题意，舍去， 答：售价应定为每箱65元． 20. 某景区年接待游客万人次，年接待游客万人次，且这两年接待游客人次的年平均增长率相同． （1）求该景区这两年接待游客人次的年平均增长率； （2）为提升接待能力，该景区计划增设一条长的观光步道，由甲、乙两工程队共同完成，甲工程队每天可修建，乙工程队每天可修建，预计天修完．因设计改道，此观光步道的实际长度比原计划多了，在实际施工中，乙工程队修路速度保持不变，所用时间比天增加了天；甲工程队的修路速度比原计划每天下降了，而修路时间比天增加了a天，求a的值． 【答案】（1）该景区这两年接待游客人次的年平均增长率为 （2）a的值为18 【解析】 【分析】（1）该景区这两年接待游客人次的年平均增长率为x，根据题意列方程求解即可； （2）根据“甲工程队修建长度乙工程队修建长度”列方程求解即可． 【小问1详解】 解：该景区这两年接待游客人次的年平均增长率为x， 根据题意，得 解得，（负值，舍去） 答：该景区这两年接待游客人次的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：根据题意，得 整理，得 解得，（不符合题意，舍去） 答：a的值为18． 21. 已知抛物线（）． （1）当时，将该抛物线向右平移2个单位长度，求平移后的抛物线对应的函数解析式及其顶点坐标； （2）若当时，的最大值与最小值的差为6，求的值． 【答案】（1）平移后的抛物线解析式为，顶点坐标为． （2）的值为或. 【解析】 【分析】（1）把代入抛物线解析式，按照平移规则解答即可； （2）当时，分别确定最大与最小值，列式计算即可． 【小问1详解】 解：当时，， 将该抛物线向右平移2个单位长度， 得， 顶点坐标为． 【小问2详解】 解：抛物线对称轴为直线， 当时，有最值， ，， 到的距离小于到的距离， 当时，有最小值， 时，最大值为， ， ， ； 当时，有最大值， 时，最小值为， ， ， ； 的值为或． 22. 阅读材料：配方法是数学中一种重要的方法，将代数式通过配方得到完全平方式，再利用完全平方式的非负性，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以当时，代数式有最小值． 根据材料提供的方法，解决下列问题： （1）求代数式的最小值． （2）若，求的最小值． （3）某学校劳动实践基地打算用长的篱笆围一个一面靠墙（墙足够长）的矩形蔬菜园，设垂直于墙的一边长为．当为何值时，蔬菜园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）代数式的最小值为 （2）的最小值为 （3）当时，蔬菜园的面积最大，最大面积是 【解析】 【分析】（1）把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答即可； （2）利用完全平方式把原式进行变形，再根据偶次方的非负性解答即可； （3）设垂直于墙的一边长为，蔬菜园的面积为，利用矩形的面积公式可得，再利用二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值； 【小问2详解】 解： ， ∵，， ∴当，时，即，时，代数式有最小值； 【小问3详解】 解：设垂直于墙的一边长为，蔬菜园的面积为， 根据题意，得 ， ∵， ∴， 当时，S取最大值，最大值为32， 答：当时，蔬菜园的面积最大，最大面积是． 23. 阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：若一元二次方程的两个根为，则 材料2：已知实数m，n满足，且，则 m，n 是方程的两个不相等的实数根． （1）材料理解：一元二次方程 两个根为 ，则 ， ． （2）应用探究：已知两实数m，n满足，则的值为多少？ （3）思维拓展：已知实数s，t分别满足，且，求的值． 【答案】（1）2， （2）或2 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值、一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）直接根据一元二次方程根与系数的关系可得答案； （2）分情况讨论：①当时，直接代入计算即可；②当时，由题意得出、可看作方程的两根，据此，，将所求代数式变形为，代入计算可得； （3）把，两边同时除以得，据此可得实数和可看作方程的根，代入计算可得． 【小问1详解】 解： 一元二次方程 两个根为，， ， 故答案为：2，； 【小问2详解】 解：①当时，； ②当时， 由题意、是方程的两个根， 该方程的判别式， 方程有两个不相等的实数根，即， 则，， ∴ ； 综上，的值为或； 【小问3详解】 解：由题意知：，， 把，两边同时除以得： ， ∵， ∴， ∴实数和可看作方程的根， ，， ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $