精品解析：上海市曹杨中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

高二数学练习 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，前6题每个空格填对得4分，后6题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 异面直线所成的角的取值范围：___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的范围可得结果. 【详解】异面直线所成的角的取值范围是. 故答案为：. 2. 单位向量满足，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量模的平方运算即可求数量积. 【详解】由， 故答案为： 3. 已知复数满足（为虚数单位），则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简复数，从而可得虚部. 【详解】因为，所以 则. 故答案为：. 4. 若空间中两条直线、确定一个平面，则、的位置关系为________. 【答案】平行或相交 【解析】 【分析】根据直线共面的定义可得出结论. 【详解】若空间中两条直线、确定一个平面，则、平行或相交. 故答案为：平行或相交. 5. 已知空间中角的两边分别平行于角的两边，若，则_________． 【答案】60°或120° 【解析】 【分析】根据空间等角定理判断即可. 【详解】空间等角定理：空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补． 因为空间中角的两边分别平行于角的两边，所以与相等或互补， 因为，所以60°或120°． 故答案为：60°或120°． 6. 如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图， 已知轴，且的面积为，则的长为_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用斜二测画法的性质，再结合勾股定理即可计算. 【详解】由，可知在原平面图中，， 因为，， 所以， 故答案为：. 7. 下面四个正方体中，点A、B为正方体的两个顶点，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形序号是______．（写出所有符合条件的序号） 【答案】①② 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理以及面面平行的性质定理即可得到答案. 【详解】 对于①，如图1. 因为点M、N、P分别为其所在棱的中点，所以，. 又，所以. 因为平面，平面，所以平面. 同理可得平面. 因为平面，平面，， 所以平面平面. 又平面，所以平面，故①正确； 对于②，如图2，连结. 因为点M、P分别为其所在棱的中点，所以. 又，且，所以，四边形是平行四边形，所以， 所以. 因为平面，平面，所以平面，故②正确； 对于③，如图3，连结、、. 因为点M、N、P分别为其所在棱的中点，所以，. 因为平面，平面，所以平面. 同理可得平面. 因为平面，平面，， 所以平面平面. 显然平面，平面，所以平面，且与平面不平行，所以与平面不平行，故③错误； 对于④：如图4，连接，因为为所在棱的中点，则， 故平面即为平面，由正方体可得， 而平面平面， 若平面， 由平面可得， 故，显然不正确，故④错误. 故答案为：①②. 8. 是空间两条不同直线，是两个不同平面，下面有四个命题中真命题的编号是________. (写出所有真命题的编号) ①若则 ②若则， ③若则 ④若则， 【答案】①④ 【解析】 【分析】利用空间平行与垂直的判定定理和性质定理来推理即可. 【详解】①为真命题，因为所以在内有与平行的直线， 又，则垂直于内的任意直线，所以; ②为假命题，由可得或， 又因为，所以不一定平行; ③为假命题，因为所以或， 又因为，所以不满足推出的条件; ④为真命题，由得因为所以 故答案为: 9. 正方体的棱长为4，分别为、的中点，则平面截正方体所得的截面面积为____________. 【答案】18 【解析】 【分析】把截面补形为四边形，由等腰梯形计算其面积即可． 【详解】解：如图，把截面补形为四边形， 连接，由正方体可得，可得等腰梯形为平面截正方体所得的截面图形， 由正方体的棱长为4，得，， ，则到的距离即等腰梯形的高为， 所求截面的面积为， 故答案为：18． 10. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，为等边三角形，则直线与平面所成角的正弦值为______________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据面面垂直可得线面垂直，即可根据线面角的定义找到其平面角，结合三角形的边角关系即可求解. 【详解】取中点为，连接, 由于是等边三角形，所以 因为平面平面，其交线为,平面, 所以平面，是直线与平面所成角． 不妨设， 在等边中，，，所以， 故 故直线与平面所成角的正弦值为． 故答案为： 11. 如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，测得从D，C到库底与水坝的交线AB的距离分别为 m， m.又测得AB的长为5 m，CD的长为 m，则水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为______. 【答案】## 【解析】 【分析】作且，连接，可得是所求二面角的平面角，进而求得，再利用余弦定理可求得，可求得. 【详解】如图，作且，连接.又，则四边形是矩形， .又，所以是所求二面角的平面角. 因为，，则. 又，，平面， 所以平面，而平面，所以，， 所以，， 由题可知， 则. 又是三角形的内角，所以. 故答案为：. 12. 如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，P是底面上一点．若平面BEF，则AP与平面成角的正弦值的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据线面平行判定定理以及面面平行判定定理，利用线面角的定义，结合锐角三角函数的定义，可得答案. 【详解】如图，取的中点，的中点M，连接AM，AN，MN，，， 由正方体，E，N分别为，的中点， 易知，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面BEF，平面BEF，所以平面BEF， 因为E，F分别为，的中点，由中位线性质可得，同理可知，所以， 又因为平面，平面，所以平面，又，平面AMN，所以平面平面， 因为P是底面上一点，且平面，所以点， 由分别为的中点，且，，则，，即， 由，则 在等腰中，底边上的高， 则AP的长度的取值范围为， 设与平面成角为，在正方体中，易知平面，且为垂足， 所以． 故答案为：. 【点睛】本题的解题关键在于面面平行的性质定理以及线面角定义的理解，利用正方体的几何性质，得以解题. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4小题，13，14每题4分，15，16每题5分，填错或不填在正确的位置一律得零分. 13. 过平面外一点，可以作这个平面的平行线的条数是（ ） A. 1条 B. 2条 C. 超过2条但有限 D. 无数条 【答案】D 【解析】 【分析】结合平面的基本性质，以及线，面平行判定定理和性质定理，即可得到结论. 【详解】如图所示，因为点，在平面作两条相交直线， 由直线与点可以确定一个平面，在平面内过点作， 由直线与点可以确定一个平面，在平面内过点作， 因为且，设直线与确定平面，则平面， 在平面内过点的所有直线都平行与平面， 故过平面外一点能作出无数条直线和这个平面平行. 故选：D. 14. 已知直线和平面，且， 则是的 （ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面平行的判定和性质即可得出判断. 【详解】直线和平面，且， 若，则可能成立，也有可能， 若，又由，此时推不出直线； 所以是的既不充分也不必要条件, 故选：D. 15. 正方体中，为正方形内一点（不含边界），记为正方形的中心，直线与平面所成角分别为，．若，则点在（ ） A. 线段上 B. 线段上 C. 线段上 D. 线段上 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面角的定义可得直线与直线所成角大小关系，再根据判断即可. 【详解】直线与平面所成角大小分别为， 等价于直线与直线成角大小分别为， 由，可知P在线段上，又，则与所成角更小， 则点P在线段上. 故选：B. 16. 在正方体中，点P，Q分别是线段上的点（不为端点），给出如下两个命题： ①对任意点P，均存在点Q，使得； ②存在点P，对任意的Q，均有，则（ ） A. ①②均正确 B. ①②均不正确 C. ①正确，②不正确 D. ①不正确，②正确 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法来确定正确答案. 【详解】设正方体的边长为，以为原点建立如图所示空间直角坐标系， ，， 设，，， ① ，所以与不垂直，①错误. ② ，令，解得. 所以对任意的，存在，使得，此时是的中点，②正确. 故选：D 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 已知． （1）若，求函数在上的值域； （2）若函数在上恰有2个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简函数，代入求出的解析式，采用换元法，结合正弦函数的性质求函数在上的值域； （2）解方程，用换元法转化为，求出的解，利用函数在上恰有2个零点构造不等式求出实数的取值范围． 【小问1详解】 ， 当时，，令， 由得，故， 所以， 即函数在上的值域为． 【小问2详解】 令，则，即， 设，当时，， 满足的解满足或， 前3个解依次是：， 已知函数在上恰有2个零点，则， 解得，故实数的取值范围是． 18. 已知棱长为的正方体中，、分别为和的中点. （1）证明：、、、四点共面； （2）求异面直线与的所成角. 【答案】（1）连接，如下图所示： 因为、分别为、的中点，所以， 在正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，则，所以， 所以、、、四点共面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明出，，可得出，即可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与的所成角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 所以，， 则， 所以异面直线与的所成角为. 19. 如图，已知三棱锥中，平面为中点，为中点，为中点. （1）证明:平面平面 （2）求直线到平面的距离. 【答案】（1） 因为为中点，为中点，为中点. 所以，平面，平面， 所以平面，同理可证平面， 因为，平面 所以平面平面 （2） 【解析】 【分析】(1)利用面面平行的判定定理直接证明即可； (2)根据线面间的距离转化为点面距离，即可得出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面平面， 平面平面 所以，因为平面， 所以平面，由（1）可知平面 所以为直线到平面的距离， 因为为中点，则， 直线到平面的距离为. 20. 如图，在长方体中，，，点为棱的中点. （1）证明：； （2）证明：与是异面直线； （3）求二面角的大小. 【答案】（1）在长方体中，，则四边形为正方形， 所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，故. （2）假设、为共面直线， 因为直线，所以直线与点可以确定平面， 若、为共面直线，则平面， 由题意可知平面，矛盾，假设不成立，故与是异面直线. （3） 【解析】 【分析】（1）证明出平面，利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）利用反证法，假设、为共面直线，根据直线与点确定可以确定平面，且平面，推出矛盾，结合反证法的原理可证得结论成立； （3）设，连接，推导出二面角的平面角为，求出，即可得出，即为所求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，连接，如下图所示： 因为平面，且，、平面， 所以，， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，所以， 因为为棱的中点，所以，且， 因为为的中点，所以， 在中，，所以， 故， 即二面角的大小为. 21. 已知函数，（），设函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）若在定义域上恒成立，求的取值范围； （3）若函数有两个极值点为，，证明：. 【答案】（1）； （2） （3）， ， 设，则， 当时，，在单调递增， 故不可能有两根，即函数不可能有两个极值点，不符合题意，所以. 有两个极值点，，可设， ， ，， 要证，只需证，即证， 即，即，设，， ，即证函数， 而，即在上递增， ，故， 所以成立. 【解析】 【分析】（1）先求导函数，计算和，再利用斜率和切点写直线方程即可； （2）先化简整理即，再构造函数，利用导数求其最大值，即得； （3）求导函数，先说明讨论时不符合题意，得到，再利用，整理得，利用分析法只需证时，构造函数，利用导数判断单调性证明，即证结论. 【小问1详解】 ，则，， 所以切线斜率为2，切点为，切线方程为， 在处的切线方程为； 【小问2详解】 ，， 因为，， ，在上恒成立， 令，， 时，，时， ，； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学练习 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，前6题每个空格填对得4分，后6题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 异面直线所成的角的取值范围：___________． 2. 单位向量满足，则_______. 3. 已知复数满足（为虚数单位），则________. 4. 若空间中两条直线、确定一个平面，则、的位置关系为________. 5. 已知空间中角的两边分别平行于角的两边，若，则_________． 6. 如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图， 已知轴，且的面积为，则的长为_______. 7. 下面四个正方体中，点A、B为正方体的两个顶点，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形序号是______．（写出所有符合条件的序号） 8. 是空间两条不同直线，是两个不同平面，下面有四个命题中真命题的编号是________. (写出所有真命题的编号) ①若则 ②若则， ③若则 ④若则， 9. 正方体的棱长为4，分别为、的中点，则平面截正方体所得的截面面积为____________. 10. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，为等边三角形，则直线与平面所成角的正弦值为______________. 11. 如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，测得从D，C到库底与水坝的交线AB的距离分别为 m， m.又测得AB的长为5 m，CD的长为 m，则水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为______. 12. 如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，P是底面上一点．若平面BEF，则AP与平面成角的正弦值的取值范围是___________． 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4小题，13，14每题4分，15，16每题5分，填错或不填在正确的位置一律得零分. 13. 过平面外一点，可以作这个平面的平行线的条数是（ ） A. 1条 B. 2条 C. 超过2条但有限 D. 无数条 14. 已知直线和平面，且， 则是的 （ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 正方体中，为正方形内一点（不含边界），记为正方形的中心，直线与平面所成角分别为，．若，则点在（ ） A. 线段上 B. 线段上 C. 线段上 D. 线段上 16. 在正方体中，点P，Q分别是线段上的点（不为端点），给出如下两个命题： ①对任意点P，均存在点Q，使得； ②存在点P，对任意的Q，均有，则（ ） A. ①②均正确 B. ①②均不正确 C. ①正确，②不正确 D. ①不正确，②正确 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 已知． （1）若，求函数在上的值域； （2）若函数在上恰有2个零点，求实数的取值范围． 18. 已知棱长为的正方体中，、分别为和的中点. （1）证明：、、、四点共面； （2）求异面直线与的所成角. 19. 如图，已知三棱锥中，平面为中点，为中点，为中点. （1）证明:平面平面 （2）求直线到平面的距离. 20. 如图，在长方体中，，，点为棱的中点. （1）证明：； （2）证明：与是异面直线； （3）求二面角的大小. 21. 已知函数，（），设函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）若在定义域上恒成立，求的取值范围； （3）若函数有两个极值点为，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $