精品解析：河南周口市商水县实验高级中学2026-2027学年高二上学期9月月考数学试卷

商水县实验高级中学2026-2027学年度（上）高二9月月考 数学试题 满分：150分　　考试时间：120分钟 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.考试结束后，只交答题卡. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 在空间直角坐标系中，点 关于坐标原点对称的点的坐标是（ 　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】在空间直角坐标系中，点关于坐标原点对称的点的坐标为， 即三个坐标分量均取相反数，已知， 则关于原点对称的点为. 2. 已知，，则（ 　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，，则. 3. 已知，，若，则与夹角的大小为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量夹角公式直接计算即可. 【详解】解：因为，， , 所以, 因为， 所以. 故选：C 4. 已知 是空间的一个基底，则下列向量组中，能作为空间的一个基底的是（ 　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由于可以由线性表示，故共面，不能作为空间的一个基底，A错误； B选项，设，则，无解， 故能作为空间的一个基底，B正确； C选项，由于，故共面，不能作为一组基底，C错误； D选项，由于，故共面，不能作为一组基底，D错误 5. 已知 ，，则 （ 　） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量数量积的坐标运算计算即可. 【详解】 . 6. 已知 ，，若 ，则 （ 　） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示求解即可.  【详解】因为，所以， 即  ， 解得. 7. 已知 ，，若 ，则 （ 　） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】因为,且,所以存在实数,使. 即. 由对应坐标相等得,于是. 8. 已知 ，，则 （ 　） A. B. 3 C. D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】先通过空间向量坐标减法求出差向量的坐标，再代入空间向量模长公式计算即可. 【详解】已知，，则. 所以 . 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ 　） A. 空间向量的数量积运算满足交换律，即 B. 对任意空间向量，，，都有 C. 若，则或 D. 若，均为非零向量，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据空间向量数量积满足交换律即可判断选项A；由与共线；与共线，不一定相等，即可判断选项B；由，则数量积为0，即可判断选项C；根据数量积的定义及向量夹角的取值范围，即可判断选项D. 【详解】对于A，空间向量数量积满足交换律，选项A正确； 对于B，由是与共线；是与共线，二者不一定相等，选项B错误； 对于C，当时，，所以与不一定为零向量，选项C错误； 对于D，由，，所以，选项D正确. 10. 已知 ，，，则下列说法正确的是（ 　） A. B. C. 可以构成空间的一个基底 D. 与同方向的单位向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理、模长公式、数量积坐标运算公式，逐项判断即可. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：由于，则，故B错误； 对于C：若共面，则存在唯一的，使得， 即，所以，这不成立， 所以不共面，可以作为空间的一组基底，故C正确； 对于D：，则与同方向的单位向量为，故D正确． 11. 如图，在棱长为1的正方体 中，下列说法正确的是（ 　） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】在棱长为1的正方体 中，相邻的棱互相垂直，所以选取作为一组基底，且它们两两的数量积为， 对于A，因为在正方体中，所以，A对； 对于B，因为，所以，B对； 对于C，，，所以 ，C对； 对于D，，，所以 ，D错． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知点 ,，则 ____________． 【答案】 【解析】 【详解】由,得. 所以. 13. 如下图所示平行六面体中，，，，则体对角线________（用，，表示）. 【答案】 【解析】 【详解】由图可得. 故答案为：. 14. 已知 ，，则 与 夹角的余弦值为____________． 【答案】 ##0.5 【解析】 【分析】根据空间向量夹角的坐标运算，结合向量数量积、模长的坐标计算求解即可. 【详解】已知，，则 ，  ，. 设空间向量、的夹角为， 所以. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知空间向量 ，． （1）求 与 的坐标； （2）求 的值； （3）求 与 夹角的余弦值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的坐标运算即可求解； （2）根据空间向量数量积的坐标运算公式即可求解； （3）根据空间向量夹角的余弦公式即可求解． 【小问1详解】 因为，， 所以，； 【小问2详解】 由（1）可知，； 【小问3详解】 因为， ，， 所以． 16. 已知空间向量，． （1）求与的夹角； （2）求与共线且模长为2的向量； （3）已知，若，求的值及与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2）或 （3）， 【解析】 【分析】(1)由空间向量的夹角公式求解; (2)由空间向量的数量积运算求解; (3)由空间向量的数量积运算求解． 【小问1详解】 设与的夹角为，则， 因为，所以，故与的夹角为． 【小问2详解】 设与共线且模长为2的向量为，则存在实数，使得， 则，由， 得，得， 故所求向量为或． 【小问3详解】 由，得，得，得， 得，， 则与夹角的余弦值为． 17. 如图，在平行六面体 中，，，，，，．设 ，，． （1）用 ，，表示； （2）求 ； （3）求与夹角的余弦值． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 由空间向量加法的多边形法则， ； 【小问2详解】 由（1）知，， 故， 其中，故， 同理，， 故，故； 【小问3详解】 设两向量夹角为，由向量夹角公式， ， 其中，故. 18. 如图，在棱长为的正方体 中，， 分别为棱 ， 的中点． （1）求 ， 的坐标及 的值； （2）求 与 夹角的余弦值； （3）在棱 上是否存在点 ，使得 ？若存在，求出 的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，. （2）. （3）上存在点满足条件，此时的长为. 设棱上存在满足条件的点，令，则，其中， 故， 由，得， 即，解得符合， 故上存在点满足条件，此时的长为1 【解析】 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，写出坐标即可求得两向量坐标及数量积； （2）代入向量模长与夹角余弦公式即可得结果； （3）设，由垂直向量数量积为列方程，判断是否存在并求长. 【小问1详解】 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 由正方体棱长为可得各点坐标为，，，， ，，，， 由分别为的中点，得，， 所以，， 所以. 【小问2详解】 ， ， 设两向量夹角为，则. 【小问3详解】 略 19. 图，在平行六面体中，，，设，，． （1）用表示与，并求的值； （2）求与，并求与夹角的余弦值； （3）若，其中为实数且，求的最小值． 【答案】（1），， （2），，余弦值为 （3） 【解析】 【分析】（1）用向量线性运算表示目标向量，展开数量积代入已知条件计算； （2）通过向量平方求模长，再用数量积公式计算夹角余弦； （3）展开模长平方，结合约束条件代换变形，利用基本不等式求最值． 【小问1详解】 ， ， 因为，， 因为，，， 所以； 【小问2详解】 ， ， 所以，即与夹角的余弦值为； 【小问3详解】 ， 由， 得， 所以， 由，，，得， 即， 所以，当且仅当时等号成立， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 商水县实验高级中学2026-2027学年度（上）高二9月月考 数学试题 满分：150分　　考试时间：120分钟 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.考试结束后，只交答题卡. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 在空间直角坐标系中，点 关于坐标原点对称的点的坐标是（ 　） A. B. C. D. 2. 已知，，则（ 　） A. B. C. D. 3. 已知，，若，则与夹角的大小为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 4. 已知 是空间的一个基底，则下列向量组中，能作为空间的一个基底的是（ 　） A. B. C. D. 5. 已知 ，，则 （ 　） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 6. 已知 ，，若 ，则 （ 　） A. 0 B. 1 C. D. 2 7. 已知 ，，若 ，则 （ 　） A. B. C. 1 D. 2 8. 已知 ，，则 （ 　） A. B. 3 C. D. 7 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ 　） A. 空间向量的数量积运算满足交换律，即 B. 对任意空间向量，，，都有 C. 若，则或 D. 若，均为非零向量，则 10. 已知 ，，，则下列说法正确的是（ 　） A. B. C. 可以构成空间的一个基底 D. 与同方向的单位向量为 11. 如图，在棱长为1的正方体 中，下列说法正确的是（ 　） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知点 ,，则 ____________． 13. 如下图所示平行六面体中，，，，则体对角线________（用，，表示）. 14. 已知 ，，则 与 夹角的余弦值为____________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知空间向量 ，． （1）求 与 的坐标； （2）求 的值； （3）求 与 夹角的余弦值． 16. 已知空间向量，． （1）求与的夹角； （2）求与共线且模长为2的向量； （3）已知，若，求的值及与夹角的余弦值． 17. 如图，在平行六面体 中，，，，，，．设 ，，． （1）用 ，，表示； （2）求 ； （3）求与夹角的余弦值． 18. 如图，在棱长为的正方体 中，， 分别为棱 ， 的中点． （1）求 ， 的坐标及 的值； （2）求 与 夹角的余弦值； （3）在棱 上是否存在点 ，使得 ？若存在，求出 的长；若不存在，请说明理由． 19. 图，在平行六面体中，，，设，，． （1）用表示与，并求的值； （2）求与，并求与夹角的余弦值； （3）若，其中为实数且，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $