5.2.2同角三角函数的基本关系（分层作业练题型）高一数学人教A版必修第一册

分层作业 5.2.2 同角三角函数的基本关系式 说明：目录为超链接形式，ABC三组为必做内容，拓展部分为选做。 目 录 A组 巩固过关 题型01 已知一个三角函数值求同角的其它三角函数值（重点） 题型02 利用平方关系求参数 题型03 用“弦切互化”求关于的分式的值 题型04 用“弦切互化”求关于的齐次式的值（常考点 ） 题型05 与，有关的求值（常考点） 题型06 用同角三角函数基本关系式化简求值 题型07 用同角三角函数基本关系式证明 题型08 同角三角函数关系在二次方程中的应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 已知一个三角函数值求同角的其它三角函数值题型01 1．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知为第四象限角，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·宁夏固原·阶段检测）若，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·云南玉溪·期末）已知，，则（   ） A． B．11 C． D． 5．（25-26高一下·湖北武汉·期中）若则＝（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·广东江门·期末）若是第三象限角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（多选）已知，则可能是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·北京·阶段检测）已知，，则______． 9．（25-26高一下·河南南阳·开学考试）已知，且为第二象限角，则的值等于________. 10．已知，则______． 11．已知角的终边上一点坐标为，且为第二象限角，，则_____________，_____________． 利用平方关系求参数题型02 12．已知，，其中，则的值为______. 13．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段检测）已知，，则实数的值构成的集合为________． 用“弦切互化”求关于的分式的值题型03 14．（25-26高一上·湖南湘西·期末）已知，则________． 15．已知角终边上，  且，则的值为_____． 16．（25-26高一下·贵州遵义·期中）计算： (1)已知为第二象限角，，求 (2)已知 （i）求的值 （ii）求的值 17．（2026高三·全国·专题练习）已知是三角形的内角，且．求： (1)； (2)的值． 用“弦切互化”求关于的齐次式的值题型04 18．（25-26高一下·河北保定·开学考试）若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高一下·湖北武汉·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 20．（25-26高一下·辽宁朝阳·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 21．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知，则（    ） A． B．7 C． D．3 22．若，则的值为（   ） A． B． C． D．－2 23．（25-26高一上·江苏·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 24．（多选）若，则（   ） A． B． C． D． 25．已知，则的值为______；______. 26．（25-26高一下·全国·课后作业）已知，则 （1）______． （2）______． 与，有关的求值题型05 27．（25-26高一下·江苏南京·期中）若，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 28．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知，，则（   ） A．2 B． C．2或 D．-2 29．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知，，则的值是（    ） A．2 B． C． D．-2 30．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 31．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 32．（多选）（25-26高一下·广西钦州·期末）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 33．（多选）（25-26高一下·重庆·期中）已知，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 用同角三角函数基本关系式化简求值题型06 34．（24-25高一上·四川泸州·阶段检测） 为三角形内角，且，则（  ） A． B． C． D． 35．（25-26高一下·江西南昌·期末）若，化简的结果是（     ） A． B． C． D．2 36．（25-26高三上·贵州贵阳·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 37．（多选）已知，则角的值可能是（　　） A． B． C． D． 38．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知是第二象限的角，化简_________ 39．（25-26高一下·辽宁大连·期中）已知，则________． 40．（2026·辽宁朝阳·一模）若，则______. 41．（25-26高一上·安徽六安·期末）已知为锐角，化简：______. 42．（25-26高一下·全国·课堂例题）化简． 43．化简下列各式： (1); (2)． 44．（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）化简下列各式： (1) (2)，其中为第二象限角 45．（25-26高一下·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)． 用同角三角函数基本关系式证明题型07 46．（26-27高一上·全国·课后作业）（1）若，化简． （2）求证：． （3）已知，求证：． 47．（2025高一上·湖北武汉·专题练习）求证： (1)； (2)； (3). 48．（2026高一·全国·专题练习）求证： (1)； (2)． 49．（25-26高一下·全国·阶段检测）求证： (1)； (2)． 同角三角函数关系式在二次方程中的应用题型08 50．（25-26高一下·广东汕头·期末）若，是方程的一个根，则（） A． B． C． D． 51．（25-26高一上·江苏镇江·期末）已知关于x的方程的两个根为，，，则（   ） A． B． C． D． 52．（多选）（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）设，已知是方程的两根，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 53．（25-26高一下·广西梧州·期中）已知，是关于x的方程的两个根，则________．（用数字作答） 54．（25-26高一上·上海普陀·期末）设，已知，且关于的一元二次方程的两实根分别为和． (1)求的值； (2)分别求和的值． 1．（25-26高一下·上海·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·浙江·开学考试）已知，，则的值为（   ） A． B． C．或 D． 3．（26-27高一上·湖南邵阳·开学考试）已知，，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）在中，若为最大内角，且，则三角形为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 5．（25-26高一下·江西上饶·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·陕西汉中·开学考试）已知，，那么（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·辽宁·阶段检测）已知曲线上一点的坐标可以表示为，若，且，则（    ） A． B． C． D．4 8．（多选）（25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（多选）（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）（25-26高二下·内蒙古·期末）已知，且，其中，则的值不可能是（    ） A． B． C． D． 11．（多选）（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知，，下列结论正确的是（   ） A．是第二象限角 B． C． D．或 12．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知角满足，则___________；若是第四象限角，则__________． 13．（25-26高一下·河北承德·期末）已知角的终边经过点，且，为第二象限角，则的值为_________． 14．（24-25高一上·云南保山·期末）已知，，则______． 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，角的终边与单位圆交于点P，且点P的横坐标为． (1)求，的值； (2)求的值 16．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知函数； (1)若，求的值； (2)若，且，求的值. 17．（25-26高一上·上海·期末）（1）若角的终边经过点，求的值； （2）已知，且为第二象限角，分别求和的值． 18．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）（1）已知，在第二象限，求，的值； （2）已知，且，求的值； （3）若角的终边落在直线上，求的值. 19．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）（1）已知，求和的值； （2）从以下两问任选一问作答，其中选①满分为5分，选②满分7分，若两问都作答则只计第①问得分 ①已知且，求和的值. ②已知为第二象限角. （i）化简 （ii）若，求的值. 1．【知识融合】（2026·天津南开·二模）已知时，的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 2．【知识融合】（2025高三·全国·专题练习）对，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．【新定义】（24-25高一下·云南玉溪·期中）双曲函数是一类与三角函数类似的函数，其中双曲正弦函数，双曲余弦函数（e是自然对数的底数），双曲正切函数． (1)类比三角函数的平方关系：写出、的一个平方关系并证明； (2)判断双曲正切函数的奇偶性并求的值域； (3)若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围． 1．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 2．（2020·全国II卷·高考真题）若α为第四象限角，则（    ） A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0 3．（2022·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2015·福建·高考真题）若，且为第四象限角，则的值等于 A． B． C． D． 5．（1984·全国·高考真题）如果是第二象限角，且满足，那么（    ） A．是第一象限角 B．是第三象限角 C．可能是第一象限角，也可能是第三象限角 D．是第二象限角 6．（2023·全国乙卷·高考真题）若，则________． 7．（2015·四川·高考真题）已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是______________. 8．（2011·重庆·高考真题）若cosα=﹣，且α∈（π，），则tanα=______． 9．（2011·全国卷·高考真题）已知,,则______. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 5.2.2 同角三角函数的基本关系 参考答案 A组 巩固过关 颗型01 已知一个三角函数值求同角的其它三角函数值 1.C 2.C 3.B 4.A 5.A 6.D 7.BD 0 8 9、12 10.m+1 11. 25 13 5-2 题型02 利用平方关系求参数 12.1 13.{-1,2 题型03 用"“弦切互化”求关于sina,cosa的分式的值 6 14. 5 15.2或0 16. 【答案】sinB=25 .cosB=-5 回05器 sinB=-2cos B 【详解】(1)由B为第=象限角，得sinB>0,cosB<0,由tanB=-2:得1sin'B+cos2B=1' 所以simB=25 cosB=-/5 5 (2) 2a3sa-l,得2ama-3=1:解得amu=2 cosa sina-cosa (sina-cosa)+cosa tana-1 2-1 1 (i) 2sina+cosa (2sina+cosa)÷cosa2tana+12×2+15: 1/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (i)sin'a+(sinacosa)=sin'a(1+cos')= sin'a cos'a 1+ sin'a+cos'a sin'a+cos'a tan2a +m+4+写-2 8 17.【答案】(1亏：2)25 4 【详解】(1)由题可知：tana=- 3 4 sina-4cosa tana-4 3￥ 8 5sina+2cosa 5tana+2 4 5×3+2 4 (2)由题可知：tana= 3 sin2a+2sin a cosa= sin2a+2sina cosa sin-a+cos a 168 tan'a+2tand9 3 8 16 = 1+tan'a 1+ 25 题型04 特殊角的三角函数值 1 18.c 19.D 20.D 21.A 22.A23.A 24.AB 25.2:17 26.1: 题型05 与sina±cosa,sina cosa有关的求值 27.B 28.A 29.D 30.B 31.D 32.AC 33.ACD 颗型06 用同角三角函数基本关系式化简求值 34.A 35.C36.D 37.ABC38. 39.6 40.19 2 42 sina+cosa cos ±1 43.【答案】(1)1；(2)tana 【详解】(1)原式=cosa+sin2acos2a+sin2a 2/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 cos2a(cos2a+sin2a)+sin2a cos2 a+sin2 a =1. tana(1+sina)1+cosa sina 1+sina 1+cosa (2)原式tana+-tanacos sinasina -tan a cosa 1+sina 1+cosa cosa 1+sina cosa 2 44. 【答案】)-：(2)- cosa √sin210°+cos210°-2sinl0°cosl0° _1sinl0°-cos101_cos10°-sinl0 【详解】(1)原式= sinl0°-√cos210 sin10°-cos10° siml0°-cos10 =-1 (2)因为C为第二象限角，所以cosa<0, (1-sina)月 (+sina)月 1-sina 1+sina 2 2 原式=0+sina)1-sina） (1+sina)(1-sina) cosa cosa 45.【答案】(11；(2)cos0,(3)cos0 cos36°-Vsin236% 【详解】(1)原式= Vsin236°+cos236°-2sin36°cos36 cos36°-sin369 cos36°-sin36 V(cos36°-sin36)2 cos36°-sin36 cos36°-sin36° =1 cos36°-sin36 sin0-cos0 cos0(sin0-cos0) =cos0 (2)原式 sin 1 sin0-cos0 cos0 sin cos (3)原式 cos-0sin0 cose sin sin20+cos20 1 cos-0sin0= .cos20sin0=cos0. sin0.cosθ sin 0cose 颗型07 用同角三角函数基本关系式证明 46.【详解】(1)(1)因为2π<a<2r cosa>0'sina<0' 1-cosa 1+cosa /(1-cosa) V(1+cosa)月 所以 1-cosa 1+cosa 2 1+cosa 1-cosa 1-cos2a v1-cos'a -sina -sina sina tanasina tana +sina (2)证明：要证tana-sina tanasina 只需证：tan'asin'aw=(tana-sina)(tana+sina）=tan2a-sin'a, 3/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 只需证： sin'asin'a-sin'a, cos a cos a 只需证： sin'a sin'a-sin'acos'a sin'a(1-cos'a) ,即证： sin'a sin'a cos a cos a cos a cos'a cos'a tanasina 显然上式成立，故ana-sina tana+sina 成立，得证 tanasina cos'sin (3)证明：由cos2Bsin2B 得：cos4Asin2B+sin4Acos2B=cos2Bsin2B, (1-sin24)'sin2B+sin'Acos'B-cos'Bsin'B=0. (1-2sin24+sin'4)sin'B+sin'Acos'B-cos'BsinB=0. sin2B-2sin2Asin2B+sinAsin2B+sinAcos2B-cos2Bsin2B=0. sin2B1-cos2B）-2sin2Asin2B+sinA(sin2B+cos2B）=0,即sin4B-2sin2Asin2B+sin4A=0,则 (sin2B-sin24)=0, 得sinB=sin2A,再由平方关系得，cosB=cosA, 代入 cos'B sin'B os'sin2A得cos2B+sin2B=1'即： cosB,SinB-l1,得证. cos24 sin24 47.【答案】(1)证明： sinx+sin2 xcos2x+cos2x sin2x(sin2x+cos2 x)+cos2 x=sin2x+cos2x=1 故sin4x+sin2xcos2x+cos2x=1成立. (2)证明： 1-tan20 1-sin20 因为1+tan20 =cos20 cos20-sin20 1+sin2 cos0+sin =cos20-sin0, cos20 1-tan20 所以1+tan20 =cos20-sin20. (3)证明： sin(217°-a)=sin[180°+(37°-a)]=-sin(37-a) cos(a-127)=cos127°-a)=-sin(37°-a),cos2(127°-a)=sin2(37°-a) 4/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 tan2(53°+)）=sim2653+a_sim[90°-37°-a)】 cos2(37°-a) cos2(53°+a）cos2[90°-(37°-a)] sin2(37°-a)' 故等式左边=sin2(37°-a)+cos2(37°-a)=1,等式成立. 48.【答案】(1)i证明：因为2cos0+sin*0-(cos0+1） =2cos20-1+(sin20+cos20)(sin20-cos20) =2cos20-1+sin20-cos20=cos20+sin20-1=0, 所以2cos20+sin40=cos0+1. sin'a+2cos'a+sin'a+cos2a (2)证明：因为左边= cos a-sin a 2sin'a+3cos'a 2tan'a+3 cos'a-sin'a 1-tan a =右边， 所以原等式成立 49.【答案】(1) 左边= sin2a+cos2 a+2sin a cosa (sina+cosa) sin-a-cos-a (sina-cosa)(sina+cosa) sina cosa =1+tana sina-cosa tana-1 =右边.故原式成立。 (2) sina·sina cosa 1-cos'a 1+cosa 因为左边=sin -sina sina(1-cosa) sina cosa sina sina 右边=cosa 1+cosa sina sina 左边=右边，所以原式成立 ·slna cosa 题型08 同角三角函数关系式在二次方程中的应用 50.A 51.c 52.BD 53.V2-2 54.【答案】(1)- ：am=有na-cae正 3 详解】a)因为ina,cos0为一元三次方提r<,3 3x+m=0的两个实根， 所以sina+cosa= sin a cosa m. 3 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 sin2a cosa sin2a cosa sina-cosa 1-tana sina-cosa1 sin cosa sin'a 一+ cos'a sin'a-cos'a=sina+cosa=- 5 sina-cosa cosa-sina sina-cosa 3 (2)由(1)知，sina+cosa=- 3,sinacosa=m, (sina+cosa)2=1+2sin a cosa. 1 即31+2m,解得m=3 1 所以sin a cosa=- 3<0,由ae0,对知5ina>0,cosa<0 1.45 所以(sina-cos)=(sina+cosa-4 si=3+33 由sina>0,cosa<0,所以sina-cosa>0, V15 所以sina-cosa= B组 能力进阶 1.B 2.D 3.D 4.C 5.A 6.A 7.A 8.ABD 9.ACD 10.ABD 11.BD 225电2-5- 13.-56 61 1号 4 3 15. 【答案】(a)sina=5,cosa=-5:(25 3 【详解】(1)如图点p在第二象限，又因为点p在单位圆上，且点p的横坐标为一 34 4 3 所以P 55 则sina= 5,cosa = sin2a cosa sin2a cos2a sin2a-cos2a (2)原式sina-cosa1-sina sina-cosa cosa-sina sina-cosa cosa (sina+cosa)(sina-cosa) 1 sina+cosa= sin a-cosa 6/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19 16. 【答案】)0：（②-5 【详解】(1)由f(a)= sina-cosa=2,tana=-3' sina+cosa sin'a-2sinacosa+4cossina-2sin acosa+4cosatana-2ta19 sin2a+cos2a tan2a+1 10 (2)由sina+cosa=- 2得，(sina+cosa}= 1 ,解得si=-4 0, 所以sina与cosa异号，因为0<a<元所以 <a<元，则sina>0cosa<0' 所以，sina-cosa>0, sina-cosa=(sina-cosa)2=v1-2sina cosa= 16 1+ 2 2 V6 所以f(a)=sina-cosa 2 sina+cosa 2 17.【答案】(1写：(2)sin0cos0=- ,tan0=-4 25 3 【详解】(1)由角a的终边经过点P(3m,-4m)(m<0),得r=V(3m)'+(-4m)2=5m=-5m. 5m5coa=-3加.-3 所以sina==-4m_4 r-5m5 431 所以sina+cosa= 555· （2)因为sn0+cos05,所以sn20+2 2sinOcosp0+cos0-5 25· 1 sin'0+cos20=1' 所以1+2sin0cos0= 所以8s0=2512 1 25 2、 25 1 sin0+cos0=- sin0=4 sin=- 3 5 由 sin0cos0=- 12,解得 25 COs0= 3或 4 5 Cos0= 5 sino=4 因为是第二象限角，所以 ,所以 0 sine>0,cose<0 c0s0=-3 5 7/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以tanB=sin0、4 cos0 3· 18.【答案】(a)sina=3 5 tana=-3 4:(2)5,(3)0 4 【详解】(1)c0s0=一5，“在第二象限， 行，ana=se.-3 3 ∴sina=V1-cos2a= cosa 4 (2)将sina+cosa=5两边平方得l+2 sino= 25, 24 所以2 sina cosa=- 25 2 :0<a<元'sina>0又2 sin= 250, .cosa<0' 所以sina-cosa>0」 所以(sina-cosa}=1-2 sina cosa= 49 25 7 则sina-cosa= sina v1-cos2a sina sin a (3)1-sin'a cosa cosa cosa :角a的终边落在直线x+y=0上，.a是第二或第四象限角， sina sina sina 当是第二象限角时， sin a=0 C cosa cosa -cosa cosa sin a sin a 当是第四象限角时， sina-sina=0, C cosa cosa cosacosa sina v1-cos2 a 综上， V1-sina cosa 的值为0 710:(2)①sincos=-3 17 19.【答案】(1) 8 sina-cosa 2:②(0f(a)=-2tana:(i 2 sina-2cosa3cosa-2cosa1 【详解】(1)因为sina=3cosa,所以2sina+cosa 6cosa+cosa 7 1 因为sin2a+cos'a=1y所以10cos'a=1即cosa=i 10’ 8/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以sin'a-2cosa=7cos'a= 10 3 (2)①因为(sina+cosa)}=1+2 sinacosa= 4,所以sinacosa=- <0 8 因为0<a<π，所以sina>0,cosa<0,所以sina-cosa>0. (sina-cosa)2=1-2sinacosa = 4,所以sina-cosa= √7 2· ②(i)au为第二象限角，则lcos4=-cosa, f(a)= 1+sina 1-sina (1+sina)2 (1-sina)2 11-sina 1+sina (1-sina)(1+sina) V(1+sina)l-sina） /(1+sina)2 (1-sina)2 1+sina 1-sina 2sina V 1-sin'a =-2tana V 1-sin'a cosa cosa cosa 2sina 1 (ii)因为cos'af(a)=cos2a×(-2tana)=-cos2a× =-2sinacosa cosa 2 1 所以sinacosa=- 4,因为a为第二象限角，所以sina>0,cosa<0,sina-cosa>0 sina-cosa=(sina-cosa)2=v1-2sinacosa= 1+2× 42 C组 思维拔高 1.B 2.C 3. [13+ 【谷案】溶案见解折：2奇猫数。mD:倒品+ 【详解】4由意，osw-如=二y-二e二-产+e+2_e+。-2-1, 2 4 4 s+如(f+e+e2,e-2.+e 2 4 4 2 (②因sina(-=e,C=-sinh,cosl-对=c十 2 2 -=cosh(x), 则对于 k tanho-)sin h(-)-一sinh三tam),tanh3是奇函数r cosh(-x)cosh(x) Xtanh(x)-c'-e=c-1"+1-2_2 ofer111 -=1- 9110 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因y=e2+1在R上单调递增且为正，故y-。+在R上单调递减， 2 则tanh(x)=l e2r+i在R是增函数， e2+1<2故得1-2 由e>0ca+1>1得0<2 +7∈(-l,), 即tanh(x)的值域为-l,l). 向可：》 (2 320在u2,+四上恒成立， e2x -e 2x +3 e4r +3e2x-1 整理得m e+e2+2(e2+1 在 上恒成立 [In 2,+oo) 令f)=c+3e2-1 (e2+1· 则=e++e+小-3 -3 1 (e2+1 (e2+te+*l, 令t= +1:由x≥ln2,可得e之c:=4e4125即得0<1 5 则-g041-君吕 依题意，m之ym,即m的取值范国为列 拓展 链接高考 1.B 2.D 3.A 4.D 5.B6- 7.-1 9.、v5 5 5 10/10 分层作业 5.2.2 同角三角函数的基本关系式 说明：目录为超链接形式，ABC三组为必做内容，拓展部分为选做。 目 录 A组 巩固过关 题型01 已知一个三角函数值求同角的其它三角函数值（重点） 题型02 利用平方关系求参数 题型03 用“弦切互化”求关于的分式的值 题型04 用“弦切互化”求关于的齐次式的值（常考点 ） 题型05 与，有关的求值（常考点） 题型06 用同角三角函数基本关系式化简求值 题型07 用同角三角函数基本关系式证明 题型08 同角三角函数关系在二次方程中的应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 已知一个三角函数值求同角的其它三角函数值题型01 1．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，且， 所以， 则， 故选：C 2．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知为第四象限角，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，解得， 又为第四象限角，则，所以. 3．（25-26高一上·宁夏固原·阶段检测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是第一象限角，余弦值为正数， 所以， 则 . 故选：B. 4．（25-26高一上·云南玉溪·期末）已知，，则（   ） A． B．11 C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，故， 可得，所以． 故选：A． 5．（25-26高一下·湖北武汉·期中）若则＝（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，所以，则， 因为，所以，解得， 又，所以， 所以． 6．（25-26高一上·广东江门·期末）若是第三象限角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以，化简得， 解得或，又是第三象限角， 所以，进而得到. 所以. 故选：D. 7．（多选）已知，则可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】，为二、四象限角，且， 又，所以，解得， 当为第二象限角时，， 当为第四象限角时，． 故选：BD 8．（25-26高一下·北京·阶段检测）已知，，则______． 【答案】 【详解】因为，，所以，故. 9．（25-26高一下·河南南阳·开学考试）已知，且为第二象限角，则的值等于________. 【答案】 【详解】因为，且为第二象限角， 所以. 10．已知，则______． 【答案】 【详解】因为，所以，即 又因为，联立方程组，解得， 因为，所以，可得， 所以． 11．已知角的终边上一点坐标为，且为第二象限角，，则_____________，_____________． 【答案】 / 【详解】因为为的终边上的一点，， 所以，解得， 又因为为第二象限角，所以，即， 所以，， 利用平方关系求参数题型02 12．已知，，其中，则的值为______. 【答案】 【详解】因为，所以，解得或， 因为，所以，， 当时，，，不符合题意，舍去； 当时，，，符合题意. 综上，. 13．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段检测）已知，，则实数的值构成的集合为________． 【答案】. 【详解】已知，，由可得： 方程两边同时乘以去分母得： 展开，移项、合并同类项，整理得：，解得或. 当时，，，满足三角函数的取值范围. 当时，，，也满足三角函数的取值范围. 故实数的值构成的集合为. 用“弦切互化”求关于的分式的值题型03 14．（25-26高一上·湖南湘西·期末）已知，则________． 【答案】 【详解】由， 可得 即, 故答案为：. 15．已知角终边上，  且，则的值为_____． 【答案】2或0 【详解】由于，故，解得. 当时， ， 当， 16．（25-26高一下·贵州遵义·期中）计算： (1)已知为第二象限角，，求 (2)已知 （i）求的值 （ii）求的值 【答案】(1)，；(2)（i）；（ii） 【详解】（1）由为第二象限角，得，由，得， 所以， （2）由，得，解得. （i）； （ii） . 17．（2026高三·全国·专题练习）已知是三角形的内角，且．求： (1)； (2)的值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由题可知：， ． （2）由题可知：， ． 用“弦切互化”求关于的齐次式的值题型04 18．（25-26高一下·河北保定·开学考试）若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为角的终边经过点，所以． 故. 19．（25-26高一下·湖北武汉·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以. 20．（25-26高一下·辽宁朝阳·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则. 21．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知，则（    ） A． B．7 C． D．3 【答案】A 【详解】由，则， 所以. 22．若，则的值为（   ） A． B． C． D．－2 【答案】A 【详解】由，可得， 则 23．（25-26高一上·江苏·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，且， 可得，解得或， 则， 当时，； 当时，. 综上所述，. 故选：A 24．（多选）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】因为 ， 又因为，所以同号， 所以或． 25．已知，则的值为______；______. 【答案】 【详解】因为，则，所以的值为. . 26．（25-26高一下·全国·课后作业）已知，则 （1）______． （2）______． 【答案】 1 1 【详解】（1）； （2） . 与，有关的求值题型05 27．（25-26高一下·江苏南京·期中）若，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】平方得，即， 所以. 28．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知，，则（   ） A．2 B． C．2或 D．-2 【答案】A 【详解】因为，① 所以， 解得，又， 所以， 又， 所以，② 联立①②解得， 所以. 29．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知，，则的值是（    ） A．2 B． C． D．-2 【答案】D 【详解】由 ，得， 两边平方得：，即，故， 由及，可得， 所以， 联立，解得, 所以 30．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 ，得 ，所以 ， 于是 ，故 ， 由于 ，且 ，则 ，， 因此 ，. 31．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， ，， ，， ，，，，故选项A正确； ， ， ，， ，故选项D错误； 联立，解得，则，故选项B和C正确. 故答案为：D. 32．（多选）（25-26高一下·广西钦州·期末）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，因为，所以， 所以，A正确； 对于B，C，因为，所以，因为，所以， 所以，C正确；，B错误； 对于D，因为，所以，所以，D错误. 33．（多选）（25-26高一下·重庆·期中）已知，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】， ，解得，故A正确； ， ，， ，，故B错误； ，解得， ，故C正确； ，故D正确． 用同角三角函数基本关系式化简求值题型06 34．（24-25高一上·四川泸州·阶段检测） 为三角形内角，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，即 整理得，因为，所以. 所以，代入，可得. 所以. 35．（25-26高一下·江西南昌·期末）若，化简的结果是（     ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】因为，所以. . 36．（25-26高三上·贵州贵阳·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ，， 又， . 故选：D． 37．（多选）已知，则角的值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为， 所以解得或， 则都满足题意，而不满足． 38．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知是第二象限的角，化简_________ 【答案】 【详解】因为是第二象限的角，则，，可得，， 可得， ， 所以原式. 39．（25-26高一下·辽宁大连·期中）已知，则________． 【答案】6 【详解】 . 40．（2026·辽宁朝阳·一模）若，则______. 【答案】19 【详解】显然， 由，， 所以. 41．（25-26高一上·安徽六安·期末）已知为锐角，化简：______. 【答案】 【详解】因为为锐角，所以， 所以. 故答案为：. 42．（25-26高一下·全国·课堂例题）化简． 【答案】 【详解】原式 ． 43．化简下列各式： (1); (2)． 【答案】(1)1；(2) 【详解】（1）原式 ． （2）原式． 44．（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）化简下列各式： (1) (2)，其中为第二象限角 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）原式； （2）因为为第二象限角，所以， 原式. 45．（25-26高一下·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)1；(2)；(3) 【详解】（1）原式 ． （2）原式． （3）原式 . 用同角三角函数基本关系式证明题型07 46．（26-27高一上·全国·课后作业）（1）若，化简． （2）求证：． （3）已知，求证：． 【详解】（1）（1）因为，，， 所以． （2）证明：要证， 只需证：， 只需证：， 只需证：，即证：， 显然上式成立，故成立，得证． （3）证明：由， 得：， 所以， ， ， ，即，则， 得，再由平方关系得，， 代入，得，即：，得证． 47．（2025高一上·湖北武汉·专题练习）求证： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)证明： 故成立. (2)证明： 因为， 所以. (3)证明： ， ， 故等式左边，等式成立. 48．（2026高一·全国·专题练习）求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：因为 ， 所以. (2)证明：因为左边 右边， 所以原等式成立. 49．（25-26高一下·全国·阶段检测）求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 左边 右边．故原式成立． (2) 因为左边 右边，左边＝右边，所以原式成立． 同角三角函数关系式在二次方程中的应用题型08 50．（25-26高一下·广东汕头·期末）若，是方程的一个根，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得：，解得：. 已知，该区间内，故. 所以. 51．（25-26高一上·江苏镇江·期末）已知关于x的方程的两个根为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由韦达定理得， 又，故，解得， 故 . 故选：C 52．（多选）（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）设，已知是方程的两根，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为是方程的两根， 可得， 对于A，由，平方可得， 解得，所以，解得，所以A错误； 对于B，由， 因为且，所以， 所以，则，所以B正确； 对于C，联立方程组，解得， 所以，所以C错误； 对于D，由 ，所以D正确. 故选：BD. 53．（25-26高一下·广西梧州·期中）已知，是关于x的方程的两个根，则________．（用数字作答） 【答案】 【详解】，是关于x的方程的两个根， ，解得或， 且， ，， ，，， 或，， . 54．（25-26高一上·上海普陀·期末）设，已知，且关于的一元二次方程的两实根分别为和． (1)求的值； (2)分别求和的值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为为一元二次方程的两个实根， 所以. . （2）由（1）知，， 则， 即，解得； 所以，由，知， 所以， 由，所以， 所以. 1．（25-26高一下·上海·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 当为第一象限角时，； 当为第三象限角时，； 当为第二、四象限角时，. 2．（25-26高一下·浙江·开学考试）已知，，则的值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【详解】已知，且， 因此，可得，， 由，得， 代入平方关系： ， 整理得，即， 结合得，进而得， 所以. 3．（26-27高一上·湖南邵阳·开学考试）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，所以， 由，得，所以， 因为，所以， 所以，即， 得，（舍去），所以， 则. 4．（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）在中，若为最大内角，且，则三角形为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【答案】C 【详解】由，两边平方，， ， 又因，则，故， 可知角A为钝角，故三角形为钝角三角形. 故选：C. 5．（25-26高一下·江西上饶·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将两边平方可得，解得. 因为，所以，故，所以， 因为，所以. 所以. 6．（25-26高一下·陕西汉中·开学考试）已知，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 利用平方关系可知， 即， 由于，故， 又，， 所以等式可化为 即，故. 7．（25-26高一下·辽宁·阶段检测）已知曲线上一点的坐标可以表示为，若，且，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【详解】由题意得，因为，则， 由，则，即， 所以， 由，所以， 所以 ， 解得． 8．（多选）（25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为，， 所以， 解得，则和符号相反. 因为，所以，则，. ， 因，则， 将其与联立，可得，， 所以. 综上，选项A、B、D正确，选项C错误. 9．（多选）（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】选项A：已知，因此， 将两边平方得：， 解得， 因此，故，A正确； 选项B：由上述计算得，B错误； 选项C：计算， 因为，故，开方得，C正确； 选项D：利用平方差公式分解：，D正确. 10．（多选）（25-26高二下·内蒙古·期末）已知，且，其中，则的值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为，，两边平方整理得， 因为，所以，， 所以且， 所以，则可知，故. 所以的值不可能是，和. 11．（多选）（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知，，下列结论正确的是（   ） A．是第二象限角 B． C． D．或 【答案】BD 【详解】由条件可知，，则θ为第三象限角， 即， 则，故选项A错误； 因为θ为第三象限角，则， ，所以，故选项B正确； 因为，所以，故选项C错误； ，联立方程， 解得或 则或，故选项D正确． 故选：BD． 12．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知角满足，则___________；若是第四象限角，则__________． 【答案】 或 ；/ 【详解】① 由，得 ， 化简得 ， 解得. 又（，若则，不满足已知等式）， 即 ，整理得，解得. ② 因为是第四象限角，故，，因此. 由， 所以. 13．（25-26高一下·河北承德·期末）已知角的终边经过点，且，为第二象限角，则的值为_________． 【答案】 【详解】已知θ为第二象限角，，得： 故，，故 则原点到点P的距离， 故. 14．（24-25高一上·云南保山·期末）已知，，则______． 【答案】 【详解】由可得， 平方可得，即， 化简可得， 即，解得或， 其中，则， 当时，（舍）， 当时，， 所以. 故答案为： 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，角的终边与单位圆交于点P，且点P的横坐标为． (1)求，的值； (2)求的值 【答案】(1)，；(2). 【详解】（1）如图点在第二象限，又因为点在单位圆上，且点的横坐标为， 所以，则，； （2）原式 =. 16．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知函数； (1)若，求的值； (2)若，且，求的值. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由，得， . （2）由得，，解得， 所以与异号，因为，所以，则，， 所以，， ， 所以. 17．（25-26高一上·上海·期末）（1）若角的终边经过点，求的值； （2）已知，且为第二象限角，分别求和的值． 【答案】（1）；（2），. 【详解】（1）由角的终边经过点，得． 所以． 所以． （2）因为，所以． 又，所以，所以． 由，解得或， 因为是第二象限角，所以，所以， 所以． 18．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）（1）已知，在第二象限，求，的值； （2）已知，且，求的值； （3）若角的终边落在直线上，求的值. 【答案】（1）；（2），（3）0 【详解】（1）在第二象限， ，. （2）将两边平方得， 所以， 又∵，，又 ， ∴， 所以， 所以， 则. （3）， ∵角的终边落在直线上，∴是第二或第四象限角， 当是第二象限角时，， 当是第四象限角时，， 综上，的值为. 19．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）（1）已知，求和的值； （2）从以下两问任选一问作答，其中选①满分为5分，选②满分7分，若两问都作答则只计第①问得分 ①已知且，求和的值. ②已知为第二象限角. （i）化简 （ii）若，求的值. 【答案】（1）；（2）①，；②（i）；（ii） 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以，即， 所以. （2）①因为，所以； 因为，所以，所以. 而，所以. ②（i）为第二象限角，则. . （ii）因为， 所以，因为为第二象限角，所以. 所以. 1．【知识融合】（2026·天津南开·二模）已知时，的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【详解】由可知，易知，且， 所以 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 因此的最小值为3. 2．【知识融合】（2025高三·全国·专题练习）对，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对恒成立， 则， 因为，所以，， 则， 由于，当且仅当时取等号； 所以，所以 故选：C． 3．【新定义】（24-25高一下·云南玉溪·期中）双曲函数是一类与三角函数类似的函数，其中双曲正弦函数，双曲余弦函数（e是自然对数的底数），双曲正切函数． (1)类比三角函数的平方关系：写出、的一个平方关系并证明； (2)判断双曲正切函数的奇偶性并求的值域； (3)若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)答案见解析；(2)奇函数，；(3)． 【详解】（1）由题意，； . （2）因，， 则对于，，是奇函数； 又， 因在上单调递增且为正，故在上单调递减， 则在是增函数， 由，得故得， 即的值域为. （3）由题意可知在上恒成立， 整理得在上恒成立 令， 则， 令，由，可得，，即得， 则，， 因函数在上递增，在上递减，故， 依题意，，即m的取值范围为． 1．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【详解】当时，例如但， 即推不出； 当时，， 即能推出. 综上可知，甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 2．（2020·全国II卷·高考真题）若α为第四象限角，则（    ） A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0 【答案】D 【详解】方法一：由α为第四象限角，可得， 所以 此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以 故选：D. 方法二：当时，，选项B错误； 当时，，选项A错误； 由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确； 故选：D. 3．（2022·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为可得： 当时，，充分性成立； 当时，，必要性不成立； 所以当，是的充分不必要条件. 故选：A. 4．（2015·福建·高考真题）若，且为第四象限角，则的值等于 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵sina=,且a为第四象限角, ∴， 则， 故选D. 5．（1984·全国·高考真题）如果是第二象限角，且满足，那么（    ） A．是第一象限角 B．是第三象限角 C．可能是第一象限角，也可能是第三象限角 D．是第二象限角 【答案】B 【详解】因为 ， 所以，即， ∵是第二象限角，故，， ∴，， 所以此时可能在第一象限角，也可能在第三象限角 又， ∴，. 所以在第三象限角 故选：B. 6．（2023·全国乙卷·高考真题）若，则________． 【详解】因为，则， 又因为，则， 且，解得或（舍去）， 所以. 7．（2015·四川·高考真题）已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是______________. 【答案】－1 【详解】由已知可得，sinα＝－2cosα，即tanα＝－2 2sinαcosα－cos2α＝ 8．（2011·重庆·高考真题）若cosα=﹣，且α∈（π，），则tanα=______． 【答案】 【详解】试题分析：根据α∈（π，），cosα=﹣，求出sinα，然后求出tanα，即可． 解：因为α∈（π，），cosα=﹣，所以sinα=﹣，所以tanα== 9．（2011·全国卷·高考真题）已知,,则______. 【答案】 【详解】,,则. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $