精品解析：福建三明市五县联盟2025-2026学年高一上学期期中质量检测数学试卷

2025-2026学年上学期五县联盟期中质量检测 高一数学 （满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：1．本试卷5页． 2．考生将自己的姓名、准考证号及所有答案均填写在答题卷上． 3．答题要求见答题卷上的“注意事项”． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，集合，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. 或 D. 3. 设实数满足，函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集为,则函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列是偶函数的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 若函数是定义域为的奇函数且当时，则 C. 若函数的值域为，则实数的取值范围是 D. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是 11. 1837年，德国数学家狄利克雷（P.G.Dirichlet，1805-1859）第一个引入了现代函数概念：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数”．由此引发了数学家们对函数性质的研究．下面是以他的名字命名的“狄利克雷函数”：（表示有理数集合），关于此函数，下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. C. 对于任意的有理数，都有 D. 不存在三个点，使为正三角形 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算_________． 13. 若，则的最大值为_______ 14. 已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是_____________ 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合 （1）求集合； （2）若是的必要条件，求实数的取值范围． 16. 已知函数为一次函数，且对均满足． （1）求函数的解析式； （2）已知，，且，求的最小值． 17. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为米. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？最低为多少？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 18. 已知函数． （1）若函数的图象与x轴有两个不同的交点，求实数m的取值范围； （2）若函数在区间单调递减，且对任意的，，都有，求实数m的取值范围． 19. 若函数的定义域为，存在常数，使得都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心． （1）已知定义在上的函数的图象关于点中心对称，，求，的值； （2）探究函数是否为中心对称函数．若是，请求出对称中心并用定义证明；若否，请说明理由． （3）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期五县联盟期中质量检测 高一数学 （满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：1．本试卷5页． 2．考生将自己的姓名、准考证号及所有答案均填写在答题卷上． 3．答题要求见答题卷上的“注意事项”． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可得到答案. 【详解】命题“”的否定是. 故选：D 2. 已知集合，集合，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【详解】，， ，故A不正确； ，故B不正确； 或，故C不正确； 或， 或，故D正确. 3. 设实数满足，函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值为. 4. 不等式的解集为,则函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可． 【详解】根据题意，的解集为，则方程的两个根为和，且. 则有，变形可得， 故函数是开口向下的二次函数，且与轴的交点坐标为和. 对照四个选项，只有C符合. 故选：C． 5. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出定义域，再利用二次函数单调性判断出结果. 【详解】函数的定义域需要满足，解得定义域为， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 故选：D. 6. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可. 【详解】因为函数的定义域为，所以的定义域为.又因为，即，所以函数的定义域为. 故选：C. 7. 若关于的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出每一个不等式，然后由不等式组整数解只有，列出关于的不等式组，分三种情况讨论，从而可求出的取值范围. 【详解】解集为， 当时， 的解集为， 因为关于的不等式组的整数解只有， 所以，即， 当时，的解集为空集，不满足题意， 当时，的解集为，不满足题意， 综上，的取值范围. 8. 若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件构造新函数，判断新函数的单调性，由新函数的单调性进行求解即可. 【详解】由， 令， 因为对，且，有， 所以有，所以函数是上的增函数， 由， 故选：C 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列是偶函数的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，因为的定义域为，且，所以是偶函数，A正确； 对于B，因为的定义域为，且，所以是奇函数，不是偶函数，B错误； 对于C，因为的定义域为，关于原点对称，且，所以是奇函数，不是偶函数，C错误； 对于D，因为的定义域为，关于原点对称，且，所以是偶函数，D正确. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 若函数是定义域为的奇函数且当时，则 C. 若函数的值域为，则实数的取值范围是 D. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据同一函数的定义判断A；根据奇函数性质求值判断B；按照和分类讨论，结合二次函数性质求解参数范围判断C；由题意在上恒成立，按照和分类讨论，结合判别式法求解参数范围判断D. 【详解】对A：定义域为，定义域为， 故函数与 不是同一个函数，故A错误； 对B： 函数是定义域为R的奇函数，因为， 所以，故B正确； 对C：当时，，不符合题意； 当时，则有，解得； 故实数的取值范围是，故C正确； 对D：函数的定义域为，则在上恒成立， 当时，，不等式恒成立，符合题意； 当时，则有，解得； 故实数的取值范围是，故D错误. 11. 1837年，德国数学家狄利克雷（P.G.Dirichlet，1805-1859）第一个引入了现代函数概念：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数”．由此引发了数学家们对函数性质的研究．下面是以他的名字命名的“狄利克雷函数”：（表示有理数集合），关于此函数，下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. C. 对于任意的有理数，都有 D. 不存在三个点，使为正三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据奇偶性验证A，由函数的定义验证BC，根据正三角形的高，举特例判断D． 【详解】A：由定义知：定义域关于原点对称，当则， 当则，即有，故是偶函数，正确； B：由解析式知：或，即，正确； C：任意的有理数，当时，即，当时，即，正确； D：若存在为正三角形，则其高为1，边长为，所以当时成立，存在，D错误； 故选：ABC． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算_________． 【答案】 【解析】 【分析】由分数指数幂运算性质结合题设可得答案. 【详解】 . 13. 若，则的最大值为_______ 【答案】 【解析】 【分析】由基本不等式求最大值． 【详解】∵，∴，∴， 当且仅当即时取等号，∴当时，有最大值. 故答案为：． 14. 已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是_____________ 【答案】或 【解析】 【分析】根据特称命题的否定是全称命题，结合原命题和命题的否定的真假关系即可求解. 【详解】由已知命题“存在，使得等式成立”是假命题， 等价于“任意，使得等式成立”是真命题， 又因为，所以，要使，则需或. 所以实数的取值范围为或. 故答案为：或 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合 （1）求集合； （2）若是的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）解分式不等式可得集合； （2）由题可得，据此可得答案. 【小问1详解】 ， 所以； 【小问2详解】 因为是的必要条件，所以， ，所以， 所以，所以的取值范围为. 16. 已知函数为一次函数，且对均满足． （1）求函数的解析式； （2）已知，，且，求的最小值． 【答案】（1） （2）16 【解析】 【分析】（1）设，利用待定系数法即可； （2）化简得，或，或，再结合基本不等式可求. 【小问1详解】 设，则， 可得，解得，， 所以. 【小问2详解】 因为，所以，即； 法一：所以，化简得，当且仅当时取等， 所以， 故的最小值为16； 法二： ， 当且仅当且，即，时取等号， 故的最小值为16； 法三： ＝， 当且仅当且，即，时取等号， 故的最小值为16. 17. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为米. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？最低为多少？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 【答案】（1）当左右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低为14400元 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得与的关系，结合基本不等式计算即可得； （2）由题意可将问题转化为在恒成立，结合基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 设甲工程队的总造价为y 元， 则， ， 当且仅当，即时等号成立， ∴当左右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低为14400元； 【小问2详解】 由题意可得，对任意的恒成立， 即有，即在恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， ，又，故， 即的取值范围为. 18. 已知函数． （1）若函数的图象与x轴有两个不同的交点，求实数m的取值范围； （2）若函数在区间单调递减，且对任意的，，都有，求实数m的取值范围． 【答案】（1）或； （2）． 【解析】 【分析】（1）由判别式大于0可得； （2）由二次函数性质首先求得，然后求得在上的最大值和最小值，由得结论． 【小问1详解】 由题意可知方程有两个不相等的实数根，， 所以，解得或， 所以m的取值范围是或； 【小问2详解】 因为函数在是减函数，其对称轴为， 所以，即． 因为对任意的，，总有， 所以要使成立，则必有． 因为在单调递减，在单调递增， 且，所以， ， 所以，即，解得． 所以，实数m的取值范围是． 19. 若函数的定义域为，存在常数，使得都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心． （1）已知定义在上的函数的图象关于点中心对称，，求，的值； （2）探究函数是否为中心对称函数．若是，请求出对称中心并用定义证明；若否，请说明理由． （3）求的值． 【答案】（1），. （2）是中心对称函数，且对称中心是，证明如下： 若为中心对称函数，则在定义域内有恒成立. 则 ， 整理得：恒成立， 则，解得：， 故是中心对称函数，且对称中心是 （3） 【解析】 【分析】（1）由以及，结合赋值法可求； （2）由恒成立，整理即可求得； （3）根据可求. 【小问1详解】 由函数的图象关于点中心对称，得， 则，，， 因为，所以， ，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，，， 所以， 则 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $