精品解析：云南大学附属中学呈贡学校2026-2027学年高一上学期期中考试数学试题

2026—2027学年（上）期中考试 高一数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 5. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 6. 已知不等式的解集是，则的值是（ ）. A. B. C. 或 D. 7. 若函数对任意实数，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部答对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“是上的奇函数”的充要条件 C. “”是“”的必要不充分条件 D. 命题“，”是真命题 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若，则的最大值是 C. 若，则的最小值是 D. 若，则的最小值为 11. 狄利克雷是世纪德国著名数学家．他突破了以往以解析式、几何图像定义函数的传统观念．当时人们普遍认为函数一定要有统一解析式，或是能够画出直观图像．狄利克雷提出：只要定义域内每一个x，有唯一的y与之对应，就是函数.为了说明“函数不一定能画出图像”，他构造出一个特殊函数，被称为狄利克雷函数，其中是有理数集，是实数集，则关于函数有如下四个命题，正确的为（ ） A. B. 函数为偶函数 C. 若，，则有 D. 存在三个点，，，使为等腰直角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，若，则________. 13. 已知函数为偶函数，则_________. 14. 中国南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，已知三角形三边长求三角形面积的公式，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积，其中，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，已知一根长为的木棍，截成三段围成三角形，若其中有一段的长度为，另外两段的长度记为m，n，则该三角形面积的最大值为_________；已知x，y都是正数，且，，则的最小值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求的取值集合． 16. 已知函数. （1）判断并证明是奇函数： （2）已知函数定义在上单调递增，解不等式. 17. 为落实德智体美劳全面发展的育人理念，云大附中星耀学校准备开辟劳动实践基地，计划在一块矩形场地内，划分出两块全等的直角梯形，分别作为蔬菜区与饲养区，每块直角梯形的面积为；如图，两个直角梯形上下对齐、中心对称摆放，梯形与场地顶部、底部各留有隔离空地；梯形与场地左边留、右边留，蔬菜区与饲养区之间预留劳作通道、要求矩形场地的边的长度大于边的长度．设直角梯形的高为x． （1）求x的取值范围； （2）如何确定场地的长和宽，使得这块矩形场地的占地面积最小？最小面积是多少？ 18. 已知函数，. （1）若，不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）若，求不等式的解集； （3）若关于的方程有四个不同的实数根，求实数的取值范围. 19. 对于函数，，若存在区间，同时满足：①函数在上是单调函数；②函数的定义域为时，其值域也为.则称为函数的“优美区间”. （1）判断是否为函数的“优美区间”？并说明理由； （2）若函数存在“优美区间”，求实数a的最小值； （3）若函数存在“优美区间”，当t变化时，求n-m的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年（上）期中考试 高一数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，， 所以． 2. 若，，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】当时，，故A错误； 若，，则，故，故C错误； 当时，，故D错误； 而，，故，故B正确. 3. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】命题“，”的否定为，. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】不等式等价转化为，解得， 所以不等式的解集为. 5. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】分别判断两个函数的定义域和对应关系是否相同即可. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，故与不是同一个函数，错误； 对于B，的定义域为，的定义域为，故与不是同一个函数，错误； 对于C，与的定义域均为，对应关系相同，故与是同一个函数，正确； 对于D，的定义域为，的定义域为，故与不是同一个函数，错误. 6. 已知不等式的解集是，则的值是（ ）. A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由不等式的解集是，利用根与系数的关系求得，得到不等式，利用一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由题意，不等式的解集是， 可得，且方程的两个根分别为，， 则，，解得，， 所以，即为，可得， 所以不等式的解集为. 故选D. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法及其应用，其中解答中熟记一元二次不等式与一元二次方程的关系，求得的值，再利用一元二次不等式的解法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 7. 若函数对任意实数，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据题意，任意实数，都有成立，则单调递增，故分段函数每一段单调递增，且分界点处单调递增，即，解得， 即. 8. 已知，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】令，，则， 所以可转化为，， 所以函数的解析式为，， 即该函数是开口向上，且对称轴为的二次函数， 则该函数在上单调递增，则， 所以函数的值域为． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部答对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“是上的奇函数”的充要条件 C. “”是“”的必要不充分条件 D. 命题“，”是真命题 【答案】AC 【解析】 【详解】因为是的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 若，则，而不是奇函数，故“”不是“是上的奇函数”的充要条件，故B错误； 又是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确； 因为无实数根，所以命题“，”是假命题，故D错误. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若，则的最大值是 C. 若，则的最小值是 D. 若，则的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于ABC，直接由基本不等式验证即可，但一定要注意取等条件是否成立；对于D，对所求式子进行适当变形再利用基本不等式验证，同样要注意取等条件是否成立． 【详解】选项A：当时，与均为负数，此时，显然不满足，因此A错误； 对于B，当时，由基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对于C，因为不是定值，因此的最小值不是，故C错误； 对于D，当时，由基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立，故D正确． 11. 狄利克雷是世纪德国著名数学家．他突破了以往以解析式、几何图像定义函数的传统观念．当时人们普遍认为函数一定要有统一解析式，或是能够画出直观图像．狄利克雷提出：只要定义域内每一个x，有唯一的y与之对应，就是函数.为了说明“函数不一定能画出图像”，他构造出一个特殊函数，被称为狄利克雷函数，其中是有理数集，是实数集，则关于函数有如下四个命题，正确的为（ ） A. B. 函数为偶函数 C. 若，，则有 D. 存在三个点，，，使为等腰直角三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据狄利克雷函数“有理取1、无理取0”的定义，验证函数值判断选项A；验证奇偶性判断选项B，根据集合相等性判断选项C；利用几何存在性，判断选项D． 【详解】已知，是无理数，故，A正确； 函数定义域为，关于原点对称： 当为有理数时，也是有理数，； 当为无理数时，也是无理数，； 故对任意，都满足，故为偶函数，B正确； ， 当时，，因此， 当时，，因此， 故，C正确； 函数值只能取0或1，所有点都分布在和两条水平线上， 若构成等腰直角三角形，只能是两点在一条水平线上、一点在另一条水平线上： ①若两点在水平线上、一点在水平线上： 设两点在水平线上，其中是有理数，点在水平线上，是无理数， 若直角顶点为，且，则， 即，由不重合，故，即， 是有理数，则其平均值必为有理数，与是无理数矛盾； 若直角顶点在上，且， 为水平向量，由可知为竖直线段，即， 由得， 为有理数，则也为有理数，与是无理数矛盾； 同理直角顶点为，同样推出矛盾， ②若两点在、一点在，同理可推得矛盾； 故不存在这样的三个点构成等腰直角三角形，D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合相等求参数值，注意验证集合元素的互异性，即可得. 【详解】由题意，或，所以或， 当时，集合中两个元素均为1，不符合集合中元素的互异性，舍， 当时，，满足题意， 所以. 故答案为： 13. 已知函数为偶函数，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】选定，得到，分别代入两段解析式写出与；再利用列恒等式，化简对比系数求解参数；最后验证与的情形，确认结果符合偶函数要求即可. 【详解】 为偶函数，， 任取 ，则 ， ∴，， 由 ，得， 化简， ， 检验：当 ，任取 ，则 ， ， 时，，，满足偶函数定义. 14. 中国南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，已知三角形三边长求三角形面积的公式，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积，其中，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，已知一根长为的木棍，截成三段围成三角形，若其中有一段的长度为，另外两段的长度记为m，n，则该三角形面积的最大值为_________；已知x，y都是正数，且，，则的最小值为_________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】先由周长求出半周长，代入海伦公式将面积转化为乘积形式，利用基本不等式求乘积的最大值，进而得到面积最大值；先根据定义推导出为定值，再结合基本不等式求解分式和的最小值． 【详解】已知三角形周长为，则半周长，且， 由海伦-秦九韶公式：， 由基本不等式：， 当且仅当，即时取等号， 故，即该三角形面积的最大值为； 由，，，得，则 ，即， ， 当且仅当，即，结合可得：时取等， 故最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求的取值集合． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合交集、和补集的定义进行求解即可； （2）根据集合的包含关系可得关于的不等式组，进而计算可求得的取值集合． 【小问1详解】 当时，，， 所以或， 所以. 【小问2详解】 由，得. 当时，则，解得， 当时，，符合； 当时，由，得，解得； 综上所述：的取值集合为． 16. 已知函数. （1）判断并证明是奇函数： （2）已知函数定义在上单调递增，解不等式. 【答案】（1）函数 的定义域为 ，关于原点对称，且 ，所以 是奇函数. （2）不等式的解集为 . 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知 为奇函数，且在 上单调递增. 又 ，故原不等式 即 . 所以利用 ，解得 . 所以不等式的解集为 . 17. 为落实德智体美劳全面发展的育人理念，云大附中星耀学校准备开辟劳动实践基地，计划在一块矩形场地内，划分出两块全等的直角梯形，分别作为蔬菜区与饲养区，每块直角梯形的面积为；如图，两个直角梯形上下对齐、中心对称摆放，梯形与场地顶部、底部各留有隔离空地；梯形与场地左边留、右边留，蔬菜区与饲养区之间预留劳作通道、要求矩形场地的边的长度大于边的长度．设直角梯形的高为x． （1）求x的取值范围； （2）如何确定场地的长和宽，使得这块矩形场地的占地面积最小？最小面积是多少？ 【答案】（1） 的取值范围是 ； （2）当场地的长为 ，宽为 时，占地面积最小，最小面积为 【解析】 【分析】（1）根据题意和图形，表示出矩形场地的长和宽关于x的表达式，利用建立不等式求解； （2）建立面积函数，利用基本不等式求最小值及对应的长和宽． 【小问1详解】 解：设直角梯形的上底为，下底为， 则面积为，即， 由题意及图形可知，矩形场地的宽由两个梯形的高及上下隔离空地组成， 因为两个直角梯形上下对齐、中心对称摆放，且梯形与场地顶部、底部各留有隔离空地， 所以， 因为矩形场地的长由两个梯形的水平跨度及左右、中间隔离空地组成， 为了使场地紧凑，梯形的水平总跨度取， 所以， 因为， 所以，整理得， 因为， 所以，即， 解得， 又因为， 所以x的取值范围是； 【小问2详解】 解：设矩形场地的占地面积为，则， 因为， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时取等号， 因为，且， 所以，符合题意， 此时，场地的长，场地的宽， 面积的最小值为． 故当场地的长为，宽为时，占地面积最小，最小面积为． 18. 已知函数，. （1）若，不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）若，求不等式的解集； （3）若关于的方程有四个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立求解； （2）分别在、和三种情况下，解一元二次不等式求得结果. （3）分别在、和三种情况下，讨论根的个数，结合判别式及韦达定理求解. 【小问1详解】 不等式恒成立，即不等式恒成立， 所以，得，所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 ，. 当时，，或； 当时，； 当时，，或. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【小问3详解】 方程即， 当时，，，方程只有两根，不符合题意. 当时，关于方程根的判别式，， 方程只有两根，不符合题意. 当时，方程有四个不同的实数根， 则有解得，或. 综上，实数的取值范围为. 19. 对于函数，，若存在区间，同时满足：①函数在上是单调函数；②函数的定义域为时，其值域也为.则称为函数的“优美区间”. （1）判断是否为函数的“优美区间”？并说明理由； （2）若函数存在“优美区间”，求实数a的最小值； （3）若函数存在“优美区间”，当t变化时，求n-m的最大值. 【答案】（1）不是函数 的“优美区间”. （2）实数 的最小值为 . （3） 的最大值为 . 【解析】 【分析】本题是“优美区间”新定义题，核心是翻译定义：区间内单调且值域恰等于该区间. 对严格单调函数，区间端点必为不动点，故问题等价于方程 在区间内有两个不同实根 与 ，且区间不含函数间断点. （1）直接验证单调性与值域；（2）由正整数根约束确定 的最小值；（3）把 表示为 的函数后求最大值. 【小问1详解】 在 上单调递增，且 ，，所以 在 上的值域为 . 因为 ，所以 不是 的“优美区间”. 【小问2详解】 由于 在 上单调递增，若存在“优美区间” 且 ，则 在 上递增，其值域为 . 由定义需 且 ，即 与 是方程 的两个不同正整数根. 由 整理得 . 该方程两根为正且乘积为 ，故正整数根只能是 与 ，或 与 . 两根之和 或 ，得 或 . 所以实数 的最小值为 . 【小问3详解】 ，知 在上递增. 若存在“优美区间” ，则 且 ，即 与 是方程 的两根. 由 整理得 . 判别式 . 要有两不同实根需 ，即 或 . 两根之差 . 当 时，. 令 ，则 ，在 （即 ）时取最大值 . 故 的最大值为 . 当 时， . 综上， 的最大值为 【点睛】“优美区间”本质是单调函数的不动点区间：严格单调时区间端点必为 的不动点. 解这类题两点关键：① 由单调性把“值域等于定义域区间”等价转化为“两端点满足 , ”；② 把区间长度 表示成参数函数后用配方法与二次函数求最值. 注意区间不能跨函数间断点（如本题 在 无定义），且端点须落在同一单调分支上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $