精品解析：河南平顶山市鲁山县第五教研区2026-2027学年八年级上学期10月期中数学试题

2026－2027学年上学期学情调研作业（二） 八年级数学（北师大版） 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请按要求把答案填写在试卷或答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则点的坐标为（ ）. A. B. C. D. 3. 下列命题中，不正确的是（ ） A. 绝对值最小的实数是0 B. 平方最小的实数是0 C. 算术平方根最小的实数是0 D. 立方根最小的实数是0 4. 2026年5月24日发射的神舟二十三号飞船，首次实现3.5小时径向快速交会对接，中国航天依然在稳步发展．某校开展“数学与航天”主题活动，同学们搜集到以下与航天相关的数据： ①“嫦娥六号”轨道修正次数为3次； ②某卫星绕地球飞行轨道运行的距离为万千米； ③“天宫”空间站核心舱密封舱体内气压维持为个标准大气压； ④火箭发动机某部件的体积恰好为立方米． 老师要求找出上述数据中无理数的个数，正确的答案是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 《乌鸦喝水》的故事（图1）告诉人们遇到困难不要放弃，终会看到胜利的曙光．故事中瓶子的示意图如图2所示，瓶子里水位高度为a，乌鸦喝不着水，于是乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口b处乌鸦喝到了水．设放入瓶中的石子个数为x（假设每颗石子的体积一样，且每颗石子都浸没在水中），水位高度为，图中最符合情境的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，沿折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点B和C重合，，，求的长．设，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若最简二次根式与是同类二次根式，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 如图为小丽使用微信与小红的对话记录，据图中两个人的对话记录，若下列有一种走法能从银泰城出发走到小红家，此走法为（ ） A. 向北直走100米，再向东直走700米 B. 向北直走300米，再向西直走400米 C. 向北直走400米，再向东直走300米 D. 向北直走700米，再向西直走100米 9. 如图是一个长、宽、高分别是的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的顶点A处沿着长方体的表面到顶点B处吃食物，那么它须爬行的最短路程是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中有，两点，为轴上一动点．连接，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知函数，当______时，这个函数为正比例函数． 12. 若点 在轴上，则点在第________象限． 13. 对于关系式，有下列说法：①是自变量，是因变量；②的数值可以任意选择；③是变量，它的值与无关；④与的关系还可以用列表法和图像法表示．其中正确的说法是__________（填序号）． 14. 已知直角三角形的周长为，斜边长为4cm，则这个三角形的面积是______． 15. 已知，，记为的整数部分，为的小数部分，则________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 适当强度的运动有益身体健康．小林为了保持身体健康，坚持每天适当运动．某次运动中，小林的心率（次／分）与运动时间（分）之间的变化关系如图所示，根据图象回答下列问题： （1）图中点表示的实际意义是______； （2）在运动开始的前10分钟内，小林的心率变化趋势是什么？请描述这一阶段的可能运动状态？ （3）小林通过查阅资料了解到：对于青少年，心率控制在120次／分～175次／分之间能达到最佳运动效果．求本次运动中小林达到最佳运动效果的时间约持续了多久？ 18. 如图，已知火车站的坐标为，文化宫的坐标为． （1）请你根据题目条件，建立平面直角坐标系； （2）写出市场和超市的坐标； （3）若小明家的坐标为，在平面直角坐标系中标出小明家的位置．设火车站为点A，超市为点B，小明家为点，画出并判断是否为直角三角形，说明理由． 19. 2026年4月22日，我国空军运-20B运输机首次执行迎接任务，将第十三批12位在韩志愿军烈士遗骸及相关遗物接回中国．为传承红色基因，某校开展了“铭记英烈，致敬英雄”红色研学活动，师生们从学校出发匀速行驶至目的地，他们距离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）之间满足一次函数关系，部分对应值如下表所示： （小时） 0 1 2 … （千米） 320 240 160 … （1）求与之间的一次函数关系式；（无需写出自变量的取值范围） （2）当他们的行驶时间为3小时时，距离目的地还有多少路程？ 20. 如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A所表示的数为，设点B所表示的数为m． （1）实数m的值是______； （2）求的值； （3）在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 21. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． （1）求初始状态下细绳的总长度； （2）如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 22. 满足勾股定理的三个正整数被称为勾股数，观察以下两组勾股数中的规律： （1）按此规律，填空：，在这组勾股数中，表示的数为______，表示的数为______； （2）猜想：①当n是大于1的奇数时， 为勾股数，请你给出证明； ②当是大于2的偶数时，直接用含n的代数式表示勾股数：（，______）． 23. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别是，，． （1）若点D在y轴的负半轴上，连接，且三角形的面积为9，求出点D的坐标； （2）若平面内有一点，且点E到的距离为6，请求出三角形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年上学期学情调研作业（二） 八年级数学（北师大版） 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请按要求把答案填写在试卷或答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由二次根式有意义的条件得，解得． 2. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则点的坐标为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴点的横坐标为，纵坐标为． ∴点的坐标为． 3. 下列命题中，不正确的是（ ） A. 绝对值最小的实数是0 B. 平方最小的实数是0 C. 算术平方根最小的实数是0 D. 立方根最小的实数是0 【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值的意义，平方的概念，算术平方根和立方根的意义求解即可． 【详解】选项A，一个数的绝对值是非负数，在非负数里，0最小，所以绝对值最小的实数是0是正确的； 选项B，任何数的平方都是非负数，非负数里，0最小，所以平方最小的实数是0是正确的； 选项C，非负数的算术平方根是非负数，在非负数里，0最小，所以算术平方根最小的实数是0是正确的， 选项D，没有立方根最小的数，该选项错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，平方的概念，算术平方根和立方根的意义，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 4. 2026年5月24日发射的神舟二十三号飞船，首次实现3.5小时径向快速交会对接，中国航天依然在稳步发展．某校开展“数学与航天”主题活动，同学们搜集到以下与航天相关的数据： ①“嫦娥六号”轨道修正次数为3次； ②某卫星绕地球飞行轨道运行的距离为万千米； ③“天宫”空间站核心舱密封舱体内气压维持为个标准大气压； ④火箭发动机某部件的体积恰好为立方米． 老师要求找出上述数据中无理数的个数，正确的答案是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【详解】解：①3是有理数； ②，是有理数； ③是无理数； ④是无理数； 无理数共2个． 5. 《乌鸦喝水》的故事（图1）告诉人们遇到困难不要放弃，终会看到胜利的曙光．故事中瓶子的示意图如图2所示，瓶子里水位高度为a，乌鸦喝不着水，于是乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口b处乌鸦喝到了水．设放入瓶中的石子个数为x（假设每颗石子的体积一样，且每颗石子都浸没在水中），水位高度为，图中最符合情境的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断出图象起点纵坐标为，然后根据瓶子是由上下两段圆柱组成分析判断即可． 【详解】解：当放入石子个数，还未投入石子时，水位高度， ∴图象起点纵坐标为； ∵每颗石子体积相同，排开水的体积固定，瓶子分上下两段，每段都是圆柱体， ∴水位在每段都是匀速上升， ∵下段粗，上段细， ∴后面水位高度上升的更快，即图象后段更陡， ∴B选项符合题意． 6. 如图，沿折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点B和C重合，，，求的长．设，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用折叠的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠得， 设，则， ， ， ，在中，， ． 7. 若最简二次根式与是同类二次根式，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据二次根式的定义确定根指数为2，再结合同类最简二次根式的被开方数相等列方程求解m，n，进而计算． 【详解】解：∵是二次根式， ∴， 解得． ∵该根式与是同类最简二次根式， ∴， 将代入得， 解得． ∴． 8. 如图为小丽使用微信与小红的对话记录，据图中两个人的对话记录，若下列有一种走法能从银泰城出发走到小红家，此走法为（ ） A. 向北直走100米，再向东直走700米 B. 向北直走300米，再向西直走400米 C. 向北直走400米，再向东直走300米 D. 向北直走700米，再向西直走100米 【答案】D 【解析】 【分析】如图，根据对话画出图形，进而得出从银泰城出发走到小红家的路线． 【详解】解：如图所示 从银泰城出发走到小红家：向北直走700米，再向西直走100米． 故选D． 【点睛】本题考查用方位描述物体的位置，根据描述正确画出方位图是解题的关键． 9. 如图是一个长、宽、高分别是的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的顶点A处沿着长方体的表面到顶点B处吃食物，那么它须爬行的最短路程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分三种情况展开，将A和B放在同一平面内，根据两点之间线段最短和勾股定理可求得的长度，取最小值即可． 【详解】解：第一种情况： 则这个长方形的长和宽分别是9和4， ∴； 第二种情况： 则这个长方形的长和宽分别是7和6， ∴； 第三种情况： 则这个长方形的长和宽分别是10和3， ∴， 由于 综上所述，此时爬行路径最短为． 10. 如图，在平面直角坐标系中有，两点，为轴上一动点．连接，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了轴对称的性质，关于x轴对称的点的坐标特点，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，得到，当点，P，B三点共线时，有最小值，即的长度，然后得到由对称得，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P， ∴ ∴ ∴当点，P，B三点共线时，有最小值，即的长度 ∵， ∴由对称得，， ∵ ∴ ∴的最小值为． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知函数，当______时，这个函数为正比例函数． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义列式求解即可．正比例函数的定义是形如是常数，的函数，其中叫做比例系数． 【详解】解：由题意得当时，这个函数为正比例函数， ． 故答案为：4． 12. 若点 在轴上，则点在第________象限． 【答案】二 【解析】 【分析】根据x轴上点的纵坐标为0求出n的值，得到点B的坐标后，根据象限坐标特征判断点B所在象限. 【详解】解：∵点在轴上，轴上点的纵坐标为， ∴， 将代入点的坐标，得， ∵点的横坐标小于，纵坐标大于， ∴点在第二象限. 13. 对于关系式，有下列说法：①是自变量，是因变量；②的数值可以任意选择；③是变量，它的值与无关；④与的关系还可以用列表法和图像法表示．其中正确的说法是__________（填序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据一次函数的定义可知，为自变量，为函数，也叫因变量；取全体实数；随的变化而变化；可以用三种形式来表示函数：解析法、列表法和图像法． 【详解】解：对于关系式，①是自变量，是因变量，正确；②的数值可以任意选择，正确；③y是变量，随的变化而变化，故③错误；④与的关系还可以用列表法和图像法表示，正确， 综上所述正确的说法有：①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解答本题的关键． 14. 已知直角三角形的周长为，斜边长为4cm，则这个三角形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】设两直角边长分别为，，结合周长与斜边长求出两直角边的和，利用勾股定理得到两直角边的平方和，通过完全平方公式求出两直角边的乘积，即可计算三角形面积． 【详解】解：设该直角三角形的两条直角边长分别为，， ∵三角形周长为，斜边长为， ∴，即， ∵该三角形为直角三角形，斜边长为， ∴由勾股定理得， ∵完全平方公式满足， ∴将，代入得， 整理得，解得， ∴该直角三角形的面积为. 15. 已知，，记为的整数部分，为的小数部分，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，无理数的估算，先有理化分母化简和，得到，；再确定的整数部分和的小数部分，最后计算．掌握化简的方法和计算的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ， 又∵， ∴， ∴，， ∴的整数部分，的整数部分为， ∴的小数部分， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 适当强度的运动有益身体健康．小林为了保持身体健康，坚持每天适当运动．某次运动中，小林的心率（次／分）与运动时间（分）之间的变化关系如图所示，根据图象回答下列问题： （1）图中点表示的实际意义是______； （2）在运动开始的前10分钟内，小林的心率变化趋势是什么？请描述这一阶段的可能运动状态？ （3）小林通过查阅资料了解到：对于青少年，心率控制在120次／分～175次／分之间能达到最佳运动效果．求本次运动中小林达到最佳运动效果的时间约持续了多久？ 【答案】（1）小林的运动时间在第40分钟时，心率为160次／分 （2）在运动开始的前10分钟内，小林的心率增加得较快，这一阶段可能在快跑（说法合理即可） （3）本次运动中小林达到最佳运动效果的时间约持续了40分钟 【解析】 【分析】（1）根据横坐标和纵坐标的意义，即可求解． （2）根据函数图象，即可求解． （3）找出纵坐标在120～175之间对应的横坐标范围，即可求解． 【小问1详解】 解：小林的运动时间在第40分钟时，心率为160次／分． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （分钟）， 答：本次运动中小林达到最佳运动效果的时间约持续了40分钟． 18. 如图，已知火车站的坐标为，文化宫的坐标为． （1）请你根据题目条件，建立平面直角坐标系； （2）写出市场和超市的坐标； （3）若小明家的坐标为，在平面直角坐标系中标出小明家的位置．设火车站为点A，超市为点B，小明家为点，画出并判断是否为直角三角形，说明理由． 【答案】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示， （2）市场的坐标为，超市的坐标为 （3）解：小明家的位置及如图所示， 是直角三角形，理由如下， 因为，，， 所以， 所以是直角三角形，且． 【解析】 【分析】（1）以火车站向左两个单位，向下一个单位为坐标原点建立平面直角坐标系； （2）根据平面直角坐标系写出各场所的坐标即可； （3）根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图知，市场的坐标为，超市的坐标为； 【小问3详解】 略 19. 2026年4月22日，我国空军运-20B运输机首次执行迎接任务，将第十三批12位在韩志愿军烈士遗骸及相关遗物接回中国．为传承红色基因，某校开展了“铭记英烈，致敬英雄”红色研学活动，师生们从学校出发匀速行驶至目的地，他们距离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）之间满足一次函数关系，部分对应值如下表所示： （小时） 0 1 2 … （千米） 320 240 160 … （1）求与之间的一次函数关系式；（无需写出自变量的取值范围） （2）当他们的行驶时间为3小时时，距离目的地还有多少路程？ 【答案】（1） （2） 千米 【解析】 【分析】（1）设一次函数的一般形式为，因为表格中给出了、时对应的值，所以可将两组对应值代入函数表达式，得到关于、的二元一次方程组，求解方程组即可得到函数关系式； （2）因为已经求得与的函数关系式，所以将代入该关系式，计算即可得到对应的值，即为行驶3小时时距离目的地的路程 【小问1详解】 解：设与之间的一次函数关系式为， 将，和，分别代入， 得 解得 ∴与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 当时，， ∴当他们的行驶时间为3小时时，距离目的地还有千米的路程． 20. 如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A所表示的数为，设点B所表示的数为m． （1）实数m的值是______； （2）求的值； （3）在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】（1） （2） （3）的平方根为． 【解析】 【分析】（1）根据点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，即可得到的值； （2）根据数轴得到的取值范围，去绝对值化简即可； （3）根据绝对值和算术平方根的非负性求出的值，代入求值，再求平方根即可． 【小问1详解】 解：∵点A表示，蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B， ∴点表示的数为，即； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 即， ∴，， ． 【小问3详解】 解：与互为相反数， ， ，， 解得：，， ， 的平方根为． 21. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． （1）求初始状态下细绳的总长度； （2）如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理算出斜边的长度，再把与竖直绳段相加，即可求出细绳整体总长度． （2）先根据物体上升高度求出变化后的竖直绳长，结合绳总长不变算出新斜边，再次用勾股定理求出滑块新的水平距离，用减去初始水平长度，得到滑块向左滑动的距离． 【小问1详解】 解：由题意得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 答：绳子的总长度为． 【小问2详解】 由题意得：， ， 绳子的总长度为， ， 在中，由勾股定理得：， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 22. 满足勾股定理的三个正整数被称为勾股数，观察以下两组勾股数中的规律： （1）按此规律，填空：，在这组勾股数中，表示的数为______，表示的数为______； （2）猜想：①当n是大于1的奇数时， 为勾股数，请你给出证明； ②当是大于2的偶数时，直接用含n的代数式表示勾股数：（，______）． 【答案】（1）8，10 （2）①证明：因为，， 所以， 即， ∴， ∵是大于1的奇数， ∴为奇数，和均为偶数， ∴n，，均为正整数， ∴当是大于1的奇数时，为勾股数； ② 【解析】 【分析】（1）根据6，8，10是一组勾股数求解即可； （2）①根据（1）中的规律计算验证即可； ②根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴6，8，10是一组勾股数， ∴ ∴表示的数为8，表示的数为10； 【小问2详解】 解：①略； ② ∴用含n的代数式表示勾股数：． 23. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别是，，． （1）若点D在y轴的负半轴上，连接，且三角形的面积为9，求出点D的坐标； （2）若平面内有一点，且点E到的距离为6，请求出三角形的面积． 【答案】（1） （2）15或3 【解析】 【分析】（1）过点C作轴于点N，则，设点D的坐标为，其中，则，根据三角形的面积为9，结合三角形的面积公式列出方程，求解即可； （2）由轴，且点到的距离为6，得到点E的坐标为或．分两种情况运用三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：过点C作轴于点N， ∵， ∴． ∵点D在y轴的负半轴上， ∴设点D的坐标为，其中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D的坐标为． 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵，， ∴轴， ∵点到的距离为6， ∴或， ∴点E的坐标为或． ①当点E的坐标为时，如图，过点E作轴于点P， ∴， ∴． ②当点E的坐标为时，如图，过点E作轴于点Q， ∴， ∴． 综上所述，三角形的面积为15或3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $