精品解析：江苏无锡市2026-2027学年高三上学期期中考试数学试题

高三期中考试试卷 数学 2026.11 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的虚部为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】，其虚部为2． 2. 设全集，集合，集合，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， 故，,又集合， ∴． 3. 在中，点在边上，，记，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段比例得到向量与的倍数关系，再通过向量减法将用表示，代入化简得到结果． 【详解】 由，得， 所以． 4. 若点是函数图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对称中心满足，， 解得．因为，所以当时，． 5. “为有理数”是“x，y为有理数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】均为有理数为有理数，反之不成立：取，则为有理数，而均为无理数， 所以前者是后者的必要不充分条件． 6. 已知圆O半径为2，P是圆O内接正六边形内的一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立合适的平面直角坐标系，写出向量与动点的坐标，计算数量积并由横坐标范围确定数量积的取值区间，再验证区间内每个值都可取到. 【详解】以O为原点，以平行于且与同向的直线为x轴建立平面直角坐标系（如图）． 可取，，．设，则， ．∴． 对任意，点均在正六边形内部，故区间内各值均能取得． 7. 已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合奇函数、为偶函数推出函数的周期，再利用对数运算化简自变量，再根据对称性转化到区间代入求值即可. 【详解】∵为偶函数，∴， ∴，即函数周期，且， ∴，又， 代入可得， 此时，∴． 8. 已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先通过二倍角的降幂公式将已知平方关系转化为，再由已知正切值求出，进而可得，再由同角三角函数关系及角的范围可得所求正切值. 【详解】由二倍角的降幂公式，代入， 得，整理得， 又因为，代入上式， 得， 由两角和与差的余弦公式展开整理，，即. 又因为，故，且， 因此，所以，， 又，设，则（）， 代入，得， 解得（舍去），因此，. 将代入，解得. 因，故，因此， 由同角三角函数关系得， 所以. 因此. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知、、均为实数，下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A利用不等式性质，两边同除以正数判断大小；选项B用作差法分析符号，结合反例排除；选项C通过换元构造基本不等式形式求最大值；选项D用“乘法”展开后结合基本不等式求最小值． 【详解】对于A，由，得，所以，，即，A正确； 对于B，， 当时，差的符号还取决于与的大小， 例如，，则，B错误； 对于C，令，则， 当且仅当时，即时，等号成立，C正确； 对于D，由，，得，， ， 当且仅当，即当时，等号成立，D正确． 10. 已知平面向量，，，，与的夹角为，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若与平行，则 C. 若增大，则增大 D. 若，不共线，且，则 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，利用向量夹角公式直接计算即可；B选项，由向量共线定理进行求解；C选项，计算出为定值；D选项，根据垂直关系得到方程，求出，结合得到答案 【详解】A项：，．A错误． B项：，由向量共线定理，存在使． 所以．B正确． C项： ，为定值．C错误． D项：， 故， 故， ，不共线，故．D正确． 11. 已知数列中，的取值满足以下两种规则之一：规则：，规则：．假设规则被使用的总次数为,则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则当时，都有 C. 若规则不连续出现，则的最大取值为 D. 若，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由已知得到，或，利用，反推得到，再对的值逐个进行验证即可； 对于B，利用规则B的次数先用完，再用规则A，此时才最小，再对的值逐个进行验证即可； 对于C，利用，剩下的次操作两两一组，每组只能是，即可推导出；对于D，要使最小，则要多使用规则，再对逐步回推即可. 【详解】方法一： ∵，（①）或（②），∴各项为正整数． ∴，或. 对于A，当时，由①②知或4， 若，则，这与或矛盾，舍去，∴， ∴或，又∵或，∴，故A正确； 对于B，对任意给定的，若先用①再用②得到，先用②再用①得到． ∴当两种规则的次数固定时，将规则的次数先用完，再用规则，此时才最小． ∴，∵，， 当时，；当时，；当时，，均有，故B正确； 对于C，，∴，剩下的次操作两两一组，每组只能是①①、①②或②①，对而言， 这三种操作的结果分别为，，均，∴，故C错误； 对于D，要使的次数最小，则只需倒推回去，尽可能多地使用②式． 由，k最少使用了次，故D正确． 方法二（逆推、交换与两步估计）： 对于A，只能取或，故． 若最后使用规则，则，矛盾．故最后使用规则，． 又，只能由再加1得到．故A正确； 对于B，对任意正数，连续使用得到，连续使用得到． 将一次与其后紧邻的一次B交换，这两步后的值减小，后续操作均保序． 故使用次，次时，最小值在所有均在所有之前取得：． 当时，；当时，，； 当时，．故B正确； 对于C，规则不连续时，相邻两步只能是． ，∴． 由，依次得，，，． 数列前十项取，满足条件，故最大值为．故C错误． 对于D，设正整数的二进制表示中数字的个数为． ，． 注：若末尾有个连续的，加会将这个变成，并在前一位添，． 由，使用次规则后，．，∴，． 取以下操作：． 乘、乘均由若干次规则完成，仅使用三次规则，故的最小值为．故D正确. 方法三（逐次展开成二的幂之和）： 在前次操作中，设使用了次，使用了次，则． 第次之后尚有次，则，． 注：初始的最终变成；每次加上的又被后续的乘放大成．各部分相加即得该式． 对于A，由，有．时，；时，；时，． 若，，则，只能，操作顺序为． 若，，则，只能，操作顺序为． 两种情形均有．故A正确； 对于B，由，有． 当时，；当时，； 当时，．上述比较均由及得到．故B正确； 对于C，前次操作中设有次，不能连续使用，故．时，． 当时，次之间至少保留次，这些必须保留的，对的贡献分别为． 其余的个数为，每次贡献不超过． 故，即． 令，依次得到.操作可达到，故最大值为，故C错误； 对于D，是个的非负整数次幂之和．将相同的幂两两合并，项数只会减少，最终得到的二进制展开． ，含四个不同的的幂，故． 又．从出发，先乘再加，再乘加，再乘加，最后乘，得到． 仅使用三次，故的最小值为．故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为等差数列，为其前项和，，，则的公差为______． 【答案】9 【解析】 【详解】设公差为d，则， 所以，即， 又， 所以，解得． 13. 为测量河对岸的塔高（塔与地面垂直），选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高为______． 【答案】 【解析】 【分析】在中，由正弦定理求得，再在中由仰角求出AB. 【详解】在中，． 由正弦定理．，∴． ∵，，∴． 14. 已知函数，定义域为，则函数的最小值为______；若且，则的取值范围为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用放缩法、求导与比值换元、对数不等式与基本不等式计算得到结果； 【详解】方法一（重要放缩一步秒杀）：第一空：时，（当且仅当时取等）． 第二空：由． 令，∵，∴．∴， 令，，∴原式． 方法二（求导与比值换元）：，即． 当时，；当时，． ∴的最小值为． 由，得，∴． 令．由，得，原式为． 设，则． 由，在上递减，在上递增． ．又，故最大值为． 任取，令，， 则，，且，即． 故全部均可取得．由的连续性，原式范围为． 当时，，，取得最小值6． 当时，，，取得最大值． 方法三（对数不等式与基本不等式）：设，． ，故，等号当且仅当时成立．取，得． ． ∴，当且仅当时取等，第一空为． 再由，得．记，则，原式为． ，等号当且仅当时成立． 同时． ∵，，∴． 任给，取，， 则，，且． 与分别满足条件并取得两端点．由的连续性，范围为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角； （2）设，，求b及的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再逆用和角的正弦求解. （2）利用余弦定理、二倍角公式及差角的正弦求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 则， 而，解得，又，所以. 【小问2详解】 由（1）及余弦定理得， 解得， 则，， ，， 所以. 16. 已知数列与满足：，． （1）若，求数列的通项公式； （2）若，记数列的前n项和为，求满足的正整数n的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)将的通项代入递推关系，可直接判定为等差数列，结合首项即可求出通项公式； (2)通过构造常数列快速得到的表达式，再用裂项相消法求和，最后解二次不等式确定满足条件的正整数n. 【小问1详解】 由得， 所以， 故是首项为3，公差为6的等差数列，， 所以数列的通项公式是． 【小问2详解】 由，得，所以是常数列，所以， 故， 所以， ， 因为，所以， 故满足的正整数n的值为. 17. 已知平面向量，，设函数． （1）若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象． （i）求的单调递增区间； （ii）若，，求的值； （2）若函数在区间上恰有个极值点和个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）（i），；（ii）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先由向量的数量积得，再由图象的平移可得，（i）由正弦函数的单调递增区间可得的单调递增区间；（ii）由条件可得，再结合诱导公式及角的范围可得角的值； （2）先对求导，令，得右侧的极值点依次为，进而可得.再令，得在右侧依次为，进而可得，从而可得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为向量，， 所以函数 ． （ⅰ）因为函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象， 所以． 令，，得． 所以的递增区间为，． （ⅱ），． 由，得， 所以或，． 解得或，结合，得或． 因此或． 【小问2详解】 由，得． 令，得，． 这些点处导函数均变号，均为极值点，在右侧的极值点依次为， 函数在区间上恰有个极值点，所以①． 再令，得， 所以或，， 解得或，． 在右侧依次为，因为函数在区间上恰有个零点， 所以②． 由①②，得. 因此实数的取值范围为. 18. 已知函数，． （1）若，求函数的单调递减区间； （2）若，设，函数在处的切线斜率为0，且恰有两个零点，求a的取值范围； （3）若，且恒成立，求的最小值． 【答案】（1）当时，递减区间为；当时，递减区间为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再按分类求出单调递减区间. （2）把代入并求出，利用导数的几何意义及给定零点个数求出范围. （3）由给定条件恒等变形恒成立的不等式，再构造函数并利用导数求出最小值即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，， 当时，，，则函数的单调递减区间为； 当时，由，得，． 当时，；当时，， 所以函数的单调递减区间为. 【小问2详解】 当时，， 由，得，即， 则，由，得或， 由恰有两个零点，得且，即且， 所以a的取值范围是. 注：两个零点必须都满足，且不能重合．当时，只有一个零点． 【小问3详解】 令，由，得， 令函数，求导得， 由函数在上单调递减，得函数在上单调递减， 而，则当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 即，所以的最小值为. 19. 已知数列满足，且对任意正整数n，． （1）令． （i）求证：数列是等比数列，并求的通项公式； （ii）令，求证：； （2）求证：． 【答案】（1）（i）证明：，且． ∴是首项为，公比为的等比数列，∴． （ii）方法一：． 要证：证：证：，又显然成立，故成立； 方法二：因为， 所以， ∴． （2）因为，所以，所以，故，， 所以，则． 先用数学归纳法证明． 时，两边均为，命题成立． 设n时命题成立．记，．∵， ∴． ∴命题对任意正整数n成立． 于是．∴． 【解析】 【分析】（1）（i）构造法求证是等比数列，并根据等比数列的定义求解通项公式. （ii）对数列的通项公式分离常数后分组求和，结合放缩思想证明不等式. （2）用数学归纳法结合放缩法证明数列不等式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三期中考试试卷 数学 2026.11 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的虚部为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 5 2. 设全集，集合，集合，则为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，点在边上，，记，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 若点是函数图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. “为有理数”是“x，y为有理数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知圆O半径为2，P是圆O内接正六边形内的一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知、、均为实数，下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 10. 已知平面向量，，，，与的夹角为，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若与平行，则 C. 若增大，则增大 D. 若，不共线，且，则 11. 已知数列中，的取值满足以下两种规则之一：规则：，规则：．假设规则被使用的总次数为,则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则当时，都有 C. 若规则不连续出现，则的最大取值为 D. 若，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为等差数列，为其前项和，，，则的公差为______． 13. 为测量河对岸的塔高（塔与地面垂直），选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高为______． 14. 已知函数，定义域为，则函数的最小值为______；若且，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角； （2）设，，求b及的值． 16. 已知数列与满足：，． （1）若，求数列的通项公式； （2）若，记数列的前n项和为，求满足的正整数n的值． 17. 已知平面向量，，设函数． （1）若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象． （i）求的单调递增区间； （ii）若，，求的值； （2）若函数在区间上恰有个极值点和个零点，求实数的取值范围． 18. 已知函数，． （1）若，求函数的单调递减区间； （2）若，设，函数在处的切线斜率为0，且恰有两个零点，求a的取值范围； （3）若，且恒成立，求的最小值． 19. 已知数列满足，且对任意正整数n，． （1）令． （i）求证：数列是等比数列，并求的通项公式； （ii）令，求证：； （2）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $