4.2.2等差数列的前n项和(第1课时)课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

讲课人： 日期： 4.2.2等差数列的前n项和(第1课时) 学习目标 学习目标 核心素养 1.了解等差数列前 n 项和公式的推导过程，掌握等差数列的前 n 项和公式. 逻辑推理 2.理解等差数列的通项公式与前 n 项和公式的关系，了解等差数列前 n 项和的性质. 数学运算 复习回顾 1. 等差数列定义： 2. 等差数列通项公式： (2) an＝am＋(n－m)d . (3) an＝pn＋q (p、q是常数) (1) an＝a1＋(n－1)d (n≥1). an－an－1 ＝d (n≥2) 或 an+1－an ＝d. 3. 几种计算公差d的方法: 4. 等差中项 m＋n＝p＋q  am＋an＝ap＋aq . 5. 等差数列的性质 A= 如图5 . 31, 在直角坐标系内，设任得到什么结论？ 新课引入 高 斯 求 和 探索新知 思考：你能说说高斯在首尾配对中运用了等差数列的什么性质吗？ 高斯的算法实际上解决了求等差数列：1，2，3，…，n，…前100项的和问题． 我们知道：等差数列中，下标和相等的两项和相等． 设 an＝n，则a1＝1，a2＝2，a3＝3，… 如果数列｛an｝是等差数列，p，q，s，t∈N*， 可得：a1＋a100＝a2＋a99＝…＝a50＋a51． 且p＋q＝s＋t，则ap＋aq＝as＋at， 探索新知 思路1： 思路2： （拿出中间项，再首尾配对） （1+101）+（2+100）+···+（50+52）+51 （拿出末项，再首尾配对） （1+2+3+···+100）+101 思路3： （先凑偶数项，再首尾配对） 0+1+2+3+···+100+101 我们将高斯的这个算法修正如下： 顺序颠倒下 探索新知 问题：将上述方法推广到一般，你能求1+2+3+···+n 吗？（学生自主探究） 于是Sn=1+2+3+…+n= =(1+n)+(1+n)+…+(1+n) 当n是奇数时，有 Sn=1+2+3+…+n 解析：当n是偶数时，有 所以，对任意正整数n，都有：Sn=1+2+3+…+n 探索新知 倒序相加法 ① ② n n+1 分析：这其实是求一个具体的等差数列前n项和. 探索新知 问题：倒序求和方法能推广到求一般等差数列的前n项和吗？ 设等差数列{an}的前n项和为Sn Sn = an + an-1 + ...+ a1 Sn = a1 + a2 + ... + an 2Sn = (a1+ an )+ (a2+an-1 )+ ···+ (an + a1) =n (a1+ an ) 探索新知 对于等差数列{ an }，利用上面的公式，只要已知等差数列{ an }的首项a1和末项an，就可以求得前n项和Sn。 另外，如果已知首项a1和公差d，那么这个等差数列就完全确定了，所以我们也可以用a1和d来表示Sn。 探索新知 思考：不从公式（1）出发，你能用其他方法得到公式（2）吗？ 探索新知 等差数列前n项和公式: 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 选用公式 Sn ＝ ⁠ Sn ＝ ⁠ 　 na1＋ d 　 提醒　 （1）等差数列{ an }的求和公式 Sn ＝ 与梯形面积公式 S梯形＝ 类似，可对比记忆为上底是a1，下底是 an ，高是 n . (2)由公式二知d＝0时，Sn＝na1； d≠0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”； 探索新知 （1）等差数列前n项和公式的推导方法是倒序相加.(　　) （2）若数列{an}的前n项和Sn＝kn(k∈R)，则{an}为常数列.(　　) （3）等差数列的前n项和，等于其首项、第n项的等差中项的n倍.(　　) √ √ √ √ 1.思考辨析 判断正误 2. 已知等差数列{ an }的首项 a1＝1，公差 d ＝－2，则前10项和 S10＝（　　） A. －20 B. －40 C. －60 D. －80 解析：　由公式 Sn ＝ na1＋ × d ，得 S10＝10×1＋ ×（－2）＝－80. 典例分析 典例分析 =20 典例分析 探索新知 探索新知 等差数列中的基本计算 (1)利用基本量求值： 等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题.解题时注意整体代换的思想. (2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 归纳总结 探索新知 例3　已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项的和是1 220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？ 解　方法一　由题意知S10＝310，S20＝1 220， 一般地，a1、d是确定一个等差数列的基本量，对于等差数列，只要给定两个相互独立的条件，这个数列就完全确定。 基本量法 探索新知 例3　已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项的和是1 220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？ ②－①，得a20－a10＝60，∴10d＝60，∴d＝6，a1＝4. 探索新知 思考：如果只求和，你有其它算法吗？试着类比等差通项与一次函数关系进行探究。  提示：观察C列，显然，是等差数列。 探索新知 总结： 数列是等差数列 (p、q为常数) 探索新知 探索新知 回到例3，用函数思想解决问题 探索新知 等差数列前n项和的性质（课下自主探究） 课堂小结 两个公式 应用 多种思想 两种方法 首尾配对法，倒序相加法 一般与特殊，化归转化，数形结合，函数与方程，分类整合 知三求二 课堂检测 1.已知等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，若 S10＝45， a5＝7，则该数列的公差为（　　） A. －5 B. 5 C. －3 D. 3 解析：由题意得， a5＝7， S10＝ ＝45， 即 ＝45，解得 a6＝2，所以公差 d ＝ a6－ a5＝－5. 故选A. 课堂检测 B 课堂检测 B 课堂检测 4.(1)在等差数列{an}中，a4＝9，a9＝－6，若Sn＝63，求n的值． (2)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝84，S20＝460，求S28. 课堂检测 4.(2)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝84，S20＝460，求S28. 课后作业 课本第22页课后习题（必做）（15分钟） 分层作业基础练（必做）（20分钟） 分层作业过关练（选做）（15分钟） 希望同学们：好学数学 学好数学 祝语 谢谢大家观看 讲课人： 日期： Lavf58.76.100 （4）1＋2＋3＋…＋100＝.(　　) am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用. 将它们代入公式Sn＝na1＋d， 得到解方程组得 ∴Sn＝n×4＋×6＝3n2＋n. 方法二　∵S10＝＝310，∴a1＋a10＝62，① ∵S20＝＝1 220，∴a1＋a20＝122， ② ∴Sn＝na1＋d＝3n2＋n. [解]　(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(9＝a1＋3d，,－6＝a1＋8d，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝18，,d＝－3.)) ∴Sn＝18n－eq \f(3,2)n(n－1)＝63， 解得n＝6或n＝7. 故n的值为6或7. (2)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 则Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d. 将S12＝84，S20＝460分别代入， 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(12a1＋\f(12×11,2)×d＝84，,20a1＋\f(20×19,2)×d＝460，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝－15，,d＝4.))∴S28＝28a1＋eq \f(28×27,2)d＝28×(－15)＋14×27×4＝1 092. $