4.3.1 第1课时 等比数列的概念及通项公式-《学霸笔记·同步精讲》2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教师用书配套课件（人教版）

4.3.1　等比数列的概念 第一课时　等比数列的概念及通项公式 第四章　数列 1 课标要求 1.通过生活中的实例，理解等比数列与等比中项的概念（数学抽象）. 2.掌握等比数列的通项公式及其推导过程（逻辑推理、数学运算）. 3.能应用等比数列通项公式进行简单运算（数学运算）. 情境导入 我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问 题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木， 木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九 毛，毛有九色，问各有几何？”其构成一个数列：9， 92，93，…，98.这个数列有何特点？ 目 录 CONTENTS 知识点一　等比数列的概念 知识点二　等比中项 知识点三　等比数列的通项公式 小结与自测 课时作业 知识点一　等比数列的概念 目录 5 问题　观察下面两个问题中的数列，回答后面的问题： （1）细胞分裂个数可以组成数列：1，2，4，8，…； 提示：对于（1）， ＝2， ＝2， ＝2，…， 数学·选择性必修第二册 目录 （2）－ 的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂，…，依次排成一列数：－ ， ，－ ，…. 类比等差数列，你发现以上数列有什么共同特征？ 提示：对于（2）， ＝－ ， ＝－ ，…. 共同特征为从第2项开始，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数. 数学·选择性必修第二册 目录 1. 概念：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的 ⁠一 项的 都等于 常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常 数叫做等比数列的 ，公比通常用字母q表示（显然q≠0）. 2. 符号表示： ＝q（n∈N*且n≥2）或 ＝q（n∈N*）. 2　 前　 比　 同一个　 公比　 数学·选择性必修第二册 目录 【微思考】 常数列是不是等比数列？ 提示：不一定是，只有非零常数列才是等比数列，且此时公比为1. 数学·选择性必修第二册 目录 判断下列数列是不是等比数列，如果是，写出它的公比. （1）1， ， ， ， ，…； 解：不是等比数列. （2）10，10，10，10，10，…； 解：是等比数列，公比为1. （3） ，（ ）2，（ ）3，（ ）4，…； 解：是等比数列，公比为 . （4）1，0，1，0，1，0，…； 解：不是等比数列. （5）1，－4，16，－64，256，…. 解：是等比数列，公比为－4. 数学·选择性必修第二册 目录 规律方法 判断一个数列是否为等比数列的方法 　　定义法：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于 同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数 列中任意一项不能为0，对于含参数的数列需要分类讨论. 数学·选择性必修第二册 目录 训练1　〔多选〕以下条件中，不能判定数列是等比数列的有（　　） A. 数列1，2，6，18，… B. 数列{an}满足 ＝2， ＝2 C. 常数列a，a，…，a，… D. 数列{an}中， ＝q（q≠0），其中n∈N* 解析：A中， ≠ ，不符合等比数列的定义，故不是等比数列；B中，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列；C中，当a＝0时，不是等比数列；D中，符合等比数列的定义，是等比数列. √ √ √ 数学·选择性必修第二册 目录 知识点二　等比中项 目录 13 问题　任意两个实数都有等差中项，那么，任意两个数都有等比中项吗？ 提示：不一定，若－1，x，1这三个数成等比数列，则根据定义会有 ＝ ，即x2＝－1，该方程无实数解，故符号不同的两个实数无等比中项. 数学·选择性必修第二册 目录 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a 与b的等比中项.此时，G2＝ ⁠. ab　 数学·选择性必修第二册 目录 【微思考】 当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？ 提示：不一定.当G2＝ab时，a，G，b不一定成等比数列，如G＝a＝b ＝0. 数学·选择性必修第二册 目录 （1）已知a是1，2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab＝ （　C　） A. 6 B. －6 解析：因为a＝ ＝ ，b2＝（－1）×（－16）＝16，b＝±4，所以ab ＝±6.故选C. （2）若数列1，a，b，c，9是等比数列，则实数b＝ ⁠. 解析：因为数列1，a，b，c，9是等比数列，所以b2＝1×9，解得b＝3 或b＝－3，当b＝－3时，不满足1×b＝a2，故舍去；当b＝3时，经检验 符合题意，所以b＝3. C 3 C. ±6 D. ±12 数学·选择性必修第二册 目录 规律方法 等比中项应用需注意的问题 （1）由等比中项的定义可知 ＝ ⇒G2＝ab⇒G＝± ，所以只有a， b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项； （2）在一个等比数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都 是它的前一项和后一项的等比中项； （3）a，G，b成等比数列等价于G2＝ab（ab＞0）. 数学·选择性必修第二册 目录 训练2　已知等比数列{an}的前三项为a，2a＋2，3a＋3，则a＝ ⁠ ⁠. 解析：由题意知，（2a＋2）2＝a（3a＋3），解得a＝－1或a＝－4.当 a＝－1时，{an}的前三项为－1，0，0，不满足等比数列的定义，故舍 去；当a＝－4时，{an}的前三项为－4，－6，－9，满足题意，综上， a＝－4. － 4 数学·选择性必修第二册 目录 知识点三　等比数列的通项公式 目录 20 问题　类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 提示：设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由等比数列的定义可知 ＝q（n∈N*且n≥2）. 法一　an＝ × ×…× × ×a1＝q×q×…×q×q×a1＝ a1 ，当n＝1时，上式也成立. 法二　a2＝a1q，a3＝a2q＝（a1q）q＝a1q2，a4＝a3q＝（a1q2）q＝ a1q3，……由此可得an＝a1 （n≥2），当n＝1时，上式也成立. 数学·选择性必修第二册 目录 首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为an＝ ⁠. a1qn－1　 数学·选择性必修第二册 目录 （链接教材P29例1）在等比数列{an}中. （1）若a1＝3，q＝－2，求a6； 解：因为数列{an}为等比数列，且a1＝3，q＝－2，所以a6＝a1q5＝3× （－2）5＝－96. （2）若a3＝20，a6＝160，求a1和q； 解：由题可知 解得 数学·选择性必修第二册 目录 （3）若a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 解：因为 由 得q＝ ，所以a1＝32.又an＝1，所以32×（ ＝1，即26－n＝ 20，解得n＝6. 数学·选择性必修第二册 目录 规律方法 关于等比数列基本量的运算 （1）a1和q是等比数列的两个基本量，解题时，只要求出这两个基本量， 其余的量便可以求出； （2）等比数列的通项公式共涉及4个量a1，an，n，q，知三求一，解题 时通常列方程（组）来解决. 数学·选择性必修第二册 目录 训练3　（1）在等比数列{an}中，an＝625，n＝4，q＝5，则a1 ＝ ⁠； 解析：由通项公式an＝a1qn－1得a1＝ ＝ ＝5. （2）设数列{an}是各项均为正数的等比数列，a3＝8，a4＋a5＝48，则数 列{an}的通项公式为 ⁠. 解析：设等比数列的公比为q（q＞0），因为a3＝8，a4＋a5＝48，所以 则q2＋q－6＝0，所以（q－2）（q＋3）＝0，解得 q＝2或q＝－3（舍去），所以a1＝2，所以an＝a1qn－1＝2n. 5 an＝2n 数学·选择性必修第二册 目录 小结与自测>> 目录 27 数学·选择性必修第二册 目录 1. 下列数列为等比数列的是（　　） A. 2，22，3×22，… B. ， ， ，… C. s－1，（s－1）2，（s－1）3，… D. 0，0，0，… 解析：　A项不满足定义，C项可为0，D项不符合定义.故选B. √ 数学·选择性必修第二册 目录 2. 数列{an}是等比数列，a5＝4，a9＝16，则a7＝（　　） A. 8 B. ±8 C. －8 D. 1 解析：a5＝a1q4＝4，a9＝a1q8＝16，两式相比得q4＝4，q2＝2，a7＝a1q6＝a1q4·q2＝a5q2＝4×2＝8. √ 数学·选择性必修第二册 目录 3. 在等比数列{an}中，a1＝ ，q＝2，则a4与a8的等比中项为 ⁠. 解析：a4＝a1q3＝ ×23＝1，a8＝a1q7＝ ×27＝16，∴a4与a8的等比中项 为± ＝±4. ±4 数学·选择性必修第二册 目录 4. 在等比数列{an}中. （1）已知an＝128，a1＝4，q＝2，求n； 解：∵an＝a1·qn－1＝128，a1＝4，q＝2， ∴4·2n－1＝128， ∴2n－1＝32， ∴n－1＝5，n＝6. 数学·选择性必修第二册 目录 （2）已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式. 解：∵a3＝a1·q2，即8＝2q2， ∴q2＝4， ∴q＝±2. 当q＝2时，an＝a1qn－1＝2·2n－1＝2n， 当q＝－2时，an＝a1qn－1＝2·（－2）n－1＝（－1）n－12n. 数学·选择性必修第二册 目录 课时作业>>（时间：60分钟　满分：105分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目录 34 1. 已知等比数列{an}满足a1＝－1，a4＝8，则a7＝（　　） A. 32 B. －32 C. 64 D. －64 解析：由题意知，a4＝a1q3＝－q3＝8，所以q＝－2，所以a7＝a1q6＝－（－2）6＝－64.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第二册 目录 2. 若b≠0，则“b＝ ”是“a，b，c成等比数列”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：由b＝ ，得b2＝ac，又b≠0，所以a，b，c成等比数列.若a，b，c成等比数列，则b2＝ac，所以b＝± ，所以“b＝ ”是“a，b，c成等比数列”的充分不必要条件.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 3. 设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为3的等比数列，则a6＝（　　） A. 607.5 B. 608 C. 607 D. 159 解析：因为1＋2an＝（1＋2a1）×3n－1＝5×3n－1，所以1＋2a6＝5×35，所以a6＝ ＝607. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 4. 〔一题多解〕在等比数列{an}中，满足2a4＝a6－a5，则公比是（　　） A. 1 B. 1或－2 C. －1或2 D. －1或－2 解析：法一　由已知得2a1·q3＝a1·q5－a1·q4，即2＝q2－q，所以q＝－1或q＝2.故选C. 法二　因为a5＝a4q，a6＝a4·q2，所以由已知条件得2a4＝a4·q2－ a4·q，即2＝q2－q，所以q＝－1或q＝2.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 5. 已知等差数列{an}的公差为1，且a2，a4，a7成等比数列，则an＝ （　　） A. 2n＋1 B. 2n＋2 C. n＋1 D. n＋2 解析：　因为a2，a4，a7成等比数列，故 ＝a2a7，又因为等差数列{an}的公差为1，即（a1＋3）2＝（a1＋1）（a1＋6），解得a1＝3，所以an＝a1＋（n－1）d＝n＋2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 6. 〔多选〕已知正项等比数列{an}满足a1＝2，a4＝2a2＋a3，若设其公比 为q，则（　　） A. q＝2 B. an＝2n C. 18是数列中的项 D. an＋an＋1＜an＋2 解析：　由题意可得2q3＝4q＋2q2，即q2－q－2＝0，解得q＝2（负值舍去），选项A正确；an＝2×2n－1＝2n，选项B正确，C错误；an＋an＋1＝3an，而an＋2＝4an＞3an，选项D正确. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 7. 〔多选〕已知不等式x2－5x－6＜0的解集中有三个整数解，构成等比数 列{an}的前三项，则数列{an}的第4项可能是（　　） A. B. 2 C. 4 D. 8 解析：不等式x2－5x－6＜0的解集为{x｜－1＜x＜6}，其中成等比数列的三个整数为1，2，4，若数列前三项为1，2，4，则第4项为8，若数列前三项为4，2，1，则第4项为 . √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 8. 若数列{an}是等比数列，且an＝3n－1＋a－2，则a＝ ⁠. 解析：由题意可得，a1＝a－1，a2＝a＋1，a3＝a＋7，所以 ＝ ， 解得a＝2. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 9. 写出一个公比为3，且第三项小于1的等比数列的通项公式an＝ ⁠ ⁠. 解析：设数列{an}的公比为q，则q＝3，由已知可得a3＜1，∴9a1＜1， ∴a1＜ ，故a1可取 ，故满足条件的等比数列的通项公式可能为an＝ ×3n－1. ×3n －1（答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 10. （13分）在等比数列{an}中. （1）若它的前三项分别为5，－15，45，求a5； 解：设等比数列{an}的公比为q， a1＝5，a2＝－15，a3＝45， 则q＝ ＝－3，所以a5＝a1q4＝5×（－3）4＝405. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 （2）已知a1a2＝2，a3a4＝32，a1＞0，q＞0，求公比q和通项公式； 解：因为a2＝a1q，a3＝a1q2，a4＝a1q3， 所以由a1a2＝2，a3a4＝32，得 又a1＞0，q＞0，解得 所以an＝2n－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 （3）若an＋4＝a4，求公比q. 解：因为an＋4＝a1qn＋3，a4＝a1q3， 又an＋4＝a4，所以qn＝1， 所以当n为偶数时，q＝±1；当n为奇数时，q＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 11. （2026·江苏无锡教学质量调研）在正项等比数列{an}中，a6a8＝ 64，且a7， ，10成等差数列，则a9的值为（　　） A. B. 18 解析：由题意得an＞0，a6a8＝ ＝64，则a7＝8，又a7， ，10成等差数列，所以 ＝a7＋10＝18，则a10＝27，设等比数列{an}的公比为q，则q3＝ ＝ ，解得q＝ ，则a9＝a7q2＝8×（ ）2＝18. C. D. 24 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 12. 已知数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，数列{bn}是以1为首 项，2为公差的等差数列，则 ＋ ＋ ＋ ＝（　　） A. 255 B. 85 C. 16 D. 15 解析：由题意得bn＝1＋2（n－1）＝2n－1，所以b1＝1，b2＝3，b3＝5，b4＝7，an＝1×2n－1＝2n－1，a1＝1，a3＝4，a5＝16，a7＝64，所以 ＋ ＋ ＋ ＝a1＋a3＋a5＋a7＝1＋4＋16＋64＝85. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 13. 如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三 行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的 数为aij（i，j∈N*），则a53＝ ⁠. … ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 解析：第一列数构成首项为 ，公差为 的等差数列，所以a51＝ ＋（5－ 1）× ＝ .又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都 相等，所以第5行构成首项为 ，公比为 的等比数列，所以a53＝ × （ ）2＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 14. （15分）在各项均为负数的数列{an}中，2an＝3an＋1，且a2·a5＝ . （1）求数列{an}的通项公式； 解：因为2an＝3an＋1， 所以 ＝ ，数列{an}是公比为 的等比数列， 又a2·a5＝ ， 所以 （ ）5＝（ ）3，由于各项均为负数， 故a1＝－ ，an＝－（ ）n－2（n∈N*）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 （2）－ 是否为该数列的项？若是，为第几项？ 解：设an＝－ ，则－ ＝－（ ）n－2，（ ）n－2＝（ ）4， 所以n＝6， 所以－ 是该数列的项，为第6项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 15. （15分）已知无穷数列1 ，1 ，…，1 ，…，求证： （1）这个数列是等比数列； 证明：（1）任取数列中的相邻两项an＝1 ，an＋1＝1 ， 则 ＝ ＝1 ，且a1＝1 ＝1≠0. 由等比数列定义可知这个数列为等比数列. 任取数列中的相邻两项an＝1 ，an＋1＝1 ， 则 ＝ ＝1 ，且a1＝1 ＝1≠0. 由等比数列定义可知这个数列为等比数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 证明：任取数列中的一项am＝1 ， 则其后第5项应为am＋5＝1 . 则 ＝ ＝1 ＝10－1＝ ，得证. （2）这个数列中的任一项是其后第5项的 ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 证明：任取数列中两项 ＝1 ， ＝1 ， 则 ＝1 ·1 ＝1 . ∵n1≥1，n2≥1，且n1，n2∈N*，n1≠n2， ∴n1＋n2－2＞0，且n1＋n2－2∈N*， ∴ 符合已知数列中的项的特征， 即 为数列中的项. （3）数列中任两项之积仍为数列中的项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 $