辽宁沈阳市沈北新区2026-2027学年上学期期中考试九年级数学

沈北新区2026-2027学年度上学期质量监测（一） 九年级数学试卷 (本试卷共23道题满分120分 考试时间120分钟) 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 一、选择题（每题3分，共30分） 1.下列方程是一元二次方程的是（) A.ax2+bx+c=0 B.x2+3y=4 C.(x-1)(x-2)=x2+1 D.x25=0 2.在平面直角坐标系中，将函数y=(x-1)2+4的图象先向左平移2个单位长度，再向下 平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（)》 A.y=(x+1)2+5 B.y=(x+1)2+3 C.y=(x-3)2+3 D.y=(x-3)2+5 E 3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,点E、 F分别是AD、AO的中点，若EF=6,则AC的长是() 0 A.24 B.20 C.18 D.12 4.关于x的一元二次方程kx2-4x+5=0有实数根，则k的取值范围是（) A.k≤号且k0B.k≥-号且k0 C.k≤号 D.k<号k0 5.如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上一点， 且AC=EC,连接AE,则∠DAE的度数是（) A.30° B.20° C.22.5° D.15° 6.某社区开展“科技之冬”培训活动，参加培训的人员每两人之间互发一条学习心得 短信，经统计共发送短信210条.若设参加培训的有x人，则根据题意可列方程为 () A.x(x-1)=210 B.x(x+1)=210 c4-20 D.(+1=210 2 九年级数学试卷第1页（共8页） 7.如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为(-6,2)，(-2,8)，以点 0为位似中心，在原点的另一侧按1：2的相似比将 B yA △OAB缩小，则点B的对应点B'的坐标是（) A.(1,-4) B.(-1,4) C.(2,-4) D.(-2,4) 8.如图，一个中号唢呐AB的长约为40cm,若在唢呐上喇叭端的一个黄金分割点P处进 行装饰，则该装饰与喇叭端的距离BP为（) A.(20V5-20)cm B.(20V/5+20)cm C.(60-20V5)cm D.(40-20V5)cm 9.如图，在口ABCD中，以点C为圆心，任意长为半径画弧， D 交BC,DC于E,两点，分别以点E,F为圆心，大于 M 之BP的长为半径画弧，两弧交于LBCD内部的点P, E 作射线CP交AD于点M,交BA的延长线于点N.若AB=6, AM=2,MN=3,则CM的长为(） A.6 B.9 C.10 D.12 10.如图，在△ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从A开始沿AB边向点B以2cms的速 度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cms的速度移动，如果P、Q分别从A、B同 时出发，经过s时△PB0与△ABC相似，那么的值为（) B A.2 B.号或2 C. D.或2 九年级数学试卷第2页（共8页） 二、填空题（每题3分，共15分） 11.已知一元二次方程x2-3x-6=0的两根为x1,2,则xw2-x1-的值为 12.两相似五边形的相似比为4：9，它们周长之差为25cm,那么较小的五边形的周长是 cm. 13.如图，在RL△ABC中，∠ABC=90°.点D是斜边AC 的中点，DE⊥BC,垂足为E,若DE=1,AC=2V5, 则AE的值是 14.如图，抛物线L1,L2与直线y=7分别交于A,C和B,D AB C/ 四点，且AB=10,BC=5,CD=6.若点P,Q分别是两 抛物线的顶点，且P,Q都在x轴上，则PQ的长是 0 15.如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O,点 E为BD上一点，AB=BE,连接并延长AE交CD于点F, 连接OF,CE,且OF,CE.交于点H,若AB=10, AC=12,则CH的长为 三、解答题 16.用合适的方法解下列方程（每题5分，共10分） (1）x2-6x=11 (2）2(x+3)2=x(x+3) 17.(本题8分)如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CE是中线，△ACD与△ACE关于 直线AC对称. (I)求证：四边形ADCE是菱形； D (2)求证：BC=ED. 九年级数学试卷第3页（共8页） 18.(本题8分)根据表格中的素材，探索完成以下任务： “东北超”足球联赛落地沈阳，赛事官方文创吉祥物巨虎“虎哥”以 东北虎为原型，深度融合东北四省区地域文化与足球赛事属性，成 为东北文化对外传播的鲜活“形象大使”。某学校数学兴趣小组调研 了电商平台与线下实体店的销售情况 任务背景 9 素材1：统计某电商平台，今年3月份“虎哥”手办销售量为2万件， 今年5月份销售量达到3.38万件，且从3月到5月销售量的月增长率相 同. 数据信息 素材2：某线下球迷实体店销售这款手办，该手办每件进价为60元， 若每件售价定为80元，则每天可以售出300件。经市场调研发现： 售价每降低2元，每天就可以多售出100件. 任务1：分析数量关系 根据素材1中的信息，求这款手办从3月到5月销售量的月平均增长率. 问题解决 任务2：探索销售方案解决问题 为回馈沈阳球迷，商家决定降价促销，为尽快减少库存，并且保证 每天销售获利8000元，请你分析售价应降低多少元？ 九年级数学试卷第4页（供8页） ××X× <XXXX 19.(本题8分)如图是凸透镜成像示意图，蜡烛AB通过凸透镜MN所成的像是CD,点O 是凸透镜的中心，光线AE∥B0,点F是凸透镜的焦点，已知焦距0F的长为10cm,蜡烛 ×××XX AB的长为8cm,点D,B,O,F在同一条直线上.如图，当蜡烛AB通过该凸透镜成正立 【×X××× 放大的虚像CD,此时OB=6cm. ×××××× 装 x××××× <×X×××X D B O XX×X×X× YN 订 0求器的值 X×x×X××X (2)求此时虚像CD的高度. X××xxx×X 20.(本题8分)射水鱼以陆生昆虫为食物，它在捕食时，能从口中射出一股水流，准确 :××××XX×× 线 击中2以内的昆虫.如果不考虑空气阻力，那么射水鱼射出的水流可以看成一条抛物 ××××X×××× 线的一部分（如图）·在一次捕食时，射水鱼射出的水珠向上运动的高度y(单位： cm)与向前运动的水平距离x(单位：cm)的关系可以近似地表示为y=-0.2x2+6x.(x>0) 《××××××××× (1)如果这次射出的水流没有遇到障碍物，水珠向前运动 昆虫 的水平距离x的取值范围是 时，水珠向上运动 的高度逐步上升；水珠运动的最大高度是 cm. ××××××××X× (2)假设要捕食的昆虫位于射水鱼正前方水平距离10cm, 《××××××X××× 高度50cm处，那么这次射出的水流能否击中这只昆虫？ ××××××X×××× 并说明理由， 子射水鱼 xX×x×x×X××× 九年级数学试卷第5页（共8页） xx×xX×××××× 21.(本题9分)阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应任务. 古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》中提出了射影定理，又称“欧几里德 定理”，定理内容：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比 例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.射影 定理是数学图形计算的重要定理、 如图1，在RI△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D 通过证明，可以得出结论：①CD2-=AD·BD;②AC-AB·AD;③BC=AB·BD. 任务1：请证明“射影定理”中的结论③BC=AB·BD. 任务2：如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上， 过点C作CF⊥BE,垂足为F,连接OF ①求证：△BOFM△BED. ②若CE=2,直接写出0F的长为 A 0 0 A B B 图1 图2 九年级数学试卷第6页（共8页） 22.(本题12分)在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C旋转得到△DEC,点A的对 应点D在边AB上，连接BE. ⊙ 0 C 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：△BCE∽△ACD; (2)如图2，当BC=4,AC=3时，求BE的长； (3)如图3，在(2)的条件下，过点E作AB的平行线交AC的延长线于点F,连接DF交 BC于K.求瓷的值 九年级数学试卷第7页（共8页） 23.(本题12分)将一个二次函数3y=ax2+bx+c与一个一次函数y=px+g求和，可以得到一个 ×××××××X×××X×X 新的二次函数y=x2+(b+p)x+(c+g),我们将这种得到新二次函数的方法叫做二次函数对 ×X×××××X×××××X 一次函数的“吸收”.“吸收”得到的新二次函数叫做“吸收函数”. 若二次函数=a4子x+1对-次函数-子6吸收”，如图所得的“吸收函数”的图 ××××××××××××XX 象过B4,0),其中一次函数%-子xe与轴交于点A0,3), 装 ×××××××××××××0 (1)求a,c的值； (2)如图，点P为所得“吸收函数y”在第一象限内抛物线上的点，过点P作PD⊥AB,垂 足为D,作PELx轴，垂足为E,交AB于点F,设△PDF的面积为S,△BEF的面积为S2, 当号-碧时，求点P唑标！ x×X×XX××X××X× -ax2+1(-1<x< (3)若函数y= ≤≤子) 其中-1<1<子，且函数)的最大值与最小值的差为2，直 线 接写出的值为】 X×××X××XX××X X××X××××XX×XX ××××××x××××为× D x××××××××××为 F EB Xx×XX×XXX××X0 XX××××X××××X为 x××××××××××× 九年级数学试卷第8页（供8页） ××××××××× 沈北新区2026-2027年学年度上学期九年级数学试卷答案 (考试时间120分钟，试卷满分120分) 一、选择题（每题3分，共30分） 1-5 DBAAC 6-10 AACBB 二、填空题（每题3分，共15分） 1.-912.2013.2W214.815.1610 11 三、解答题 16.(每题5分，共10分) 解：(1) x2-6x+9=11+9 (x-3)2=20 x-3=±2V5 x=3+25,x,=3-2√5 …(5分)注：方法不唯一，可以用公式法 (2) 2(x+3)3-x(x+3)=0, (x+3)[2(x+3)-x=0, (x+3)(x+6)=0, x+3=0或x+6=0, x1=-3,x2=-6;…(5分) 注：方法不唯一，结果对，书写规范即可 17.(1)证明：，∠C=90°，点E为AB的中点， ∴ECAB=EA=EB, …（1分) .△ACD与△ACE关于直线AC对称. ∴.EA=DA,EC==DC, ..EA=EC=DA-DC, .四边形ADCE是菱形；…(4分) (2)证明：，四边形ADCE是菱形， ∴.CD∥AE且CD=AE, .AE=EB ..CD∥EB且CD=EB 四边形BCDE为平行四边形， .DE=BC. (8分) 18.解：(1)设月平均增长率为x,…(1分) 由题意得，2(1+x)2=3.38,…(2分) 解得x1=0.3=30%,x2=-2.3(不合题意，舍去)， 答：月平均增长率为30%：…(4分) (2)设售价应降低y元 由题意得，(80-y-60)(300叶50y)=8000,…(6分) 解得：y1=4,y2=10, 尽快减少库存， y=10, 答：售价应降低10元.…(8分) 19.解：(1)，AE∥OB,AB∥OE, .四边形ABOE为平行四边形， ..OB=AE=6cmL, AE∥OF, ∴.∠CAE=∠COF,∠CEA=∠CFO, ∴.△CAE∽△COF, :CA=A旭=6= …(4分) “C00105 (2)AB∥CD, .∴.∠CDO=∠ABO, ∠DCO=∠BAO, ∴.△OAB∽△OCD, 墙隐 ..CA 3 5 0A=2 0c5 :旭=2 CD 5 :.CD=5AB=5X8=20(cm), 2 2 答：此时虚像CD的高度为20c;…(8分) 20 解：(1)0<x<15(写成0<x≤15也给2分)，…（2分) 注：其他写法均为0分 45…(4分) (2)不能 …（5分) 当x=10时， y=-0.2×102+6×10=40<50, 不能击中这只昆虫.…(8分) 注：也可以用最大高度是45cm,,45<50,∴.不能击中这只昆虫. 21.解：（1)证明：如图1，，CD⊥AB, ∴.∠BDC=90 :∠ACB=90° ∴.∠BDC=∠ACB=90 又∠B=∠B, .△CBD∽△ABC, ..CB BD AB BC ..BC2=ABBD; (3分) (2)①证明：，四边形ABCD为正方形， ∴.OC⊥BO,∠BCD=90°， ∴.∠BCD=∠BOC=90° 又∠DBC=∠DBC, ∴.△CBO∽△DBC, CB BO DB BC ∴，BC2=BOBD, CF⊥BE, .∠BFC=∠BCE=90°， 又∠CBE=∠CBE, ∴.△CBF∽△EBC, CB_BF EB BC ..BC2=BFBE, ,∴，BOBD=BFBE, 即BO=BF,而∠OBF=∠BBD, BE BD ∴.△BOF∽△BED: …（7分) 注：若本题未证明相似，直接应用射影定理的结论，一共扣1分，其中BC2=BO·BD也可 以用线段长度BC=6,BO=3V2,BD=6V2计算得出结论 ②v5 …(9分) 5 22.(1)证明：，将△ABC绕点C旋转得到△DEC,点A的对应点D在边AB上， ∴.∠ACB=∠DCE=90°，AC=DC,BC=EC, ∴.∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD,即∠ACD=∠BCE, AC_DC ∠ACD=∠BCE BC EC .∴.△BCE∽△ACD:…(4分) (2)解：：△BCE∽△ACD BE BC 4 .∠CBB=∠A,ADAC=3 ,∠ABC+∠A=90° ∴.∠CBE+∠ABC=90°，即∠EBD=90 在Rt△ABC中，BC=4,AC=3, 由勾股定理得：AB=√32+4？=5=DE 8E4 4C 3 设BE为4x,AD为3x,则BD=5-3x 在Rt△EBD中，由勾股定理得：BE2+BD=DE2, 4x)2+(5-3x)2=5, 解得：x=号 x=0(舍去)： 距 …(8分) 注：方法不唯一，酌情给分 (3)解：K的值为了.理由如下： FK 25 由(2)可知，∠EBD=90°， ,EF∥AB, .∠BEF=180°-∠EBD=180°-90°=90°， ∴.∠CEB+∠CEF=90°， .BC=CE, ∴∠CBE=∠CEB ∴∠CEF=∠CBD, ,∠BCDH∠BCE=90°，∠BCE+∠ECF=90°， .∠BCD=∠ECF,且BC=EC, ∴△BCD≌△ECF(ASA), .'CF=AD=AC=3,EF-BD, 又EF∥BD ∴.四边形EFDB是平行四边形， ,∠EBD=90 四边形EFDB是矩形， ∴DF=5B- ∴.∠BDF=90° ∠ADF=180°-∠BDF=90 ∴△FCK∽△BCA, CK_CF3 ∴ACBC 33 34 9 CK-4 9 在Rt△FCK中，由勾股定理得：K=32 215 44 21 ..DK=DF-FK 20 0欢7 ∴FK25 …（12分) 注：方法不唯一，酌情给分 23.解：（1)=次函数1=+子+1对-次函数y,=3x十c“吸收” 4 4 7 3 ∴.吸收函数y=x2+二x+1二x+c=x2+x+1+c 4 …（1分) ,吸收函数y的图象过B(4,0) .∴.16+4+c+1=0, …（2分) 3 ,一次函数y2=-二x+c与y轴交于点A(0,3) 4 .C=3, …（3分) …（4分) (2)A(0,3),B(4,0) .OA=3,0B=4,AB=V32+42=5 ,PD⊥AB,PE⊥OB, .∠PDF=∠BEF=∠AOB=90°， 又∠OBA=∠OBA,∠PFE=∠BFE, ∴.△BEF∽△BOA,△PDF∽△BEF BE BF BO AB .BE BF 45 5 .BF-BE, ,△PDF∽△BEF S2 BF =25 PF 6 BF-5 6 65 3 ∴.PF=÷BF=2×BE=。BE 5 5 4 2 设点P的横坐标为， 1 ,点P在吸收函数y= 二x2+x+4 ∴.P(,- m2+t4)(0<m<4), 2 3 “点F在直线为=+3 F(m,- +3),E(m,0）, 4 PF=-1m2+4-（-3m+3）=-1m2+Z1,BB=4-m, 2 4 2 4 -m24+14-m 3 2 4 解得一号 或=4（舍）， 30 …（9分) …(12分） 7