2.1 等式性质与不等式性质 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教A版 · 必修第一册 · 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质 从“不等关系”走向“不等式的性质” 2026—2027 学年高一数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式 人教A版 必修第一册 第二章 2.1 · 学习目标 会用不等式表示不等关系，会判断大小与证明性质 高中数学 · 人教A版（2019）必修第一册 2 学习目标 1. 能用不等式（组）表示实际问题中的不等关系； 2. 理解两个实数大小关系的基本事实，会用作差法比较大小； 3. 理解不等式的 8 条性质，能用文字语言表述，并能简单证明； 4. 会用不等式的性质解决简单的比较与证明问题。 核心方法 作差法：作差 → 变形 → 判号 → 结论 依据：。 性质法：依据 8 条性质逐条推理，每一步都要交代“用了哪一条”。 主线 实例中的不等关系 → 用符号表示 → 实数大小的基本事实 → 作差法 → 类比等式性质得到不等式性质 → 用性质证明。 研究套路：从“具体”到“符号”，从“猜想”到“证明”。 点击继续 2.1.1 · 情境导入 现实世界中的不等关系 高中数学 · 人教A版（2019）必修第一册 3 情境 1 某路段限速 40 km/h，设行车速度为 km/h： 情境 2 酸奶包装标明：每 100 g 中脂肪 不低于 2.5 g，蛋白质 不低于 2.3 g： ， 情境 3 三角形 的三边长为 ，且 ： ， 情境 4 于 ， 是 上异于 的点： 归纳 不等关系与相等关系一样，都是刻画现实世界数量关系的工具；把文字语言“翻译”成符号语言，是第一步。 点击继续 2.1.1 · 问题 2 从文字到不等式：杂志定价问题 高中数学 · 人教A版（2019）必修第一册 4 问题 某杂志以每本 2.5 元发行时，发行量为 8 万本。调查表明：单价每提高 0.1 元，发行量就减少 2000 本。要使销售收入不低于 20 万元，每本定价应控制在什么范围？ 思考 收入 = 单价 × 销售量 销售量随定价提高而减少，两者此消彼长。 “不低于” → “”。 ① 设提价后每本定价为 元（）。 ② 单价每提高 0.1 元，销量减少 0.2 万本；即每提高 1 元，销量减少 2 万本，故销售量为 万本。 ③ 销售收入为 万元。 ④ 由“不低于 20 万元”得 。 ① （教材写作 ，与上式等价。）解不等式 ① 需要不等式的性质。 点击继续 2.1.1 · 基本事实 数轴上的位置，决定实数的大小 高中数学 · 人教A版（2019）必修第一册 5 图 2.1-2 数轴上的大小关系 x A B x B A 基本事实 对任意实数 ： 若 是正数，则 ； 若 等于 0，则 ； 若 是负数，则 。 反过来也成立，可写成等价形式： ； ； 。 结论 比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与 0 的大小——这就是“作差法”的依据。 点击继续 2.1.1 · 方法 作差法比较大小：四个步骤 高中数学 · 人教A版（2019）必修第一册 6 ① 作差 把两个式子相减，得到差 。 ② 变形 因式分解、配方、通分、有理化，化成乘积或平方和。 ③ 判号 判断 、 还是 ，必要时分类讨论。 ④ 结论 由 的符号，写出两个式子的大小关系。 变形是关键：目标是把差化成几个因式的积或完全平方，让符号“一看便知”。 常用变形 平方差、分组分解；配方（）； 通分（分式作差）；分子有理化（根式作差）。 易错提醒 差为 0 时两式相等，不能写成“”； 判号必须给出理由：要么因式符号确定，要么举反例。 口诀：作差 → 变形 → 判号 → 结论，一步都不能省。 点击继续 2.1.1 · 例1 比较两个多项式的大小 高中数学 · 人教A版（2019）必修第一册 7 例1 比较 与 的大小。 ① 作差： ② 展开： ③ 判号： ④ 结论： 所以 。 为什么想到作差？ 0 是正数与负数的分界点。 它就像一个“标杆”：把两式相减，看结果站在标杆的哪一侧。 变式 比较 与 的大小。 变式解：，故 （对一切实数 成立）。 点击继续 2.1.2 · 探究 从赵爽弦图看一个基本不等式 高中数学 · 人教A版（2019）必修第一册 8 探究 图 2.1-3 是 2002 年北京国际数学家大会会标，依赵爽弦图设计。在这个“风车”中，你能找出相等关系与不等关系吗？ ① 抽象：4 个全等直角三角形，直角边 ，斜边 。 ② 算面积：大正方形 ；4 个三角形之和 ；中间小正方形 。 ③ 找不等：（ 时）。 ④ 看临界：若 ，小正方形缩为一点，此时 。 归纳 对任意 ，，当且仅当 时等号成立。 A B C D 图 2.1-4 弦图抽象 点击继续 2.1.2 · 证明 代数证明：配方，把“不等”变成“非负” 高中数学 · 人教A版（2019）必修第一册 9 图形的直观要靠推理来确认。从“差”出发，把 变形成平方形式： 因为对任意 ，，且仅当 时 ， 所以 ，即 ，当且仅当 时，等号成立。 证明路径 作差 → 配方 → 非负 → 判号 → 结论。 与例1 的作差法完全相同，只是差恰好可以配成完全平方。 等号条件 “当且仅当 ” 包含两层意思： ① 时等号确实成立；② 等号成立时必有 。 把这个结论中的 换元，就能得到 2.2 节的基本不等式。 点击继续 2.1.2 · 思考 类比等式的性质，猜想不等式的性质 高中数学 · 人教A版（2019）必修第一册 10 等式的性质（初中） 1. （对称性） 2. ，（传递性） 3. （两边同加） 4. （两边同乘） 5. ， 思考 把“”换成“”或“”，上面 5 条还成立吗？哪些要加条件？ 猜测 1 交换两边，等号变号？ 猜测 2 同向不等式能“接力”吗？ 猜测 3 两边同加一个数，方向变吗？ 猜测 4 两边同乘一个数，方向变吗？ 关键 等式两边乘任何数都不改变等号，但乘负数会“翻转”不等号——这正是不等式性质与等式性质的根本差别。 点击继续 2.1.2 · 性质 1—2 对称性、传递性 高中数学 · 人教A版（2019）必修第一册 11 性质 1（对称性） 语言表述：交换不等式两边，不等号方向改变。 举例：。 性质 2（传递性） ， 语言表述：两个同向不等式可以“接力”。 举例：，。 性质 2 的证明（依据：实数大小的基本事实） 由 得 ；由 得 。两个正数相加仍为正数： ，即 ，所以 。 点评 证明不等式，最终都要回到“差的符号”，即基本事实。 点击继续 2.1.2 · 性质 3 可加性：两边同加，方向不变 高中数学 · 人教A版（2019）必修第一册 12 性质 3（可加性） 语言表述：不等式两边都加上同一个实数，不等号方向不变。 举例：。 证明：由 得 ，而 ，故 。 由性质 3 得“移项法则” 关键：移项就是两边同加（或同减）同一个数。 注意： 对任何实数 都成立。 图 2.1-5 同向平移 x B B' A A' 整体向右平移 （） 同加一个实数，相当于把两点整体平移，左右关系不变。 若 呢？ 整体向左平移，、，但 仍然成立。 点击继续 2.1.2 · 性质 4 可乘性：乘负数，不等号“翻转” 高中数学 · 人教A版（2019）必修第一册 13 性质 4（可乘性） ，； ，。 语言表述：两边同乘正数，方向不变；同乘负数，方向改变。 举例： 乘 ：，方向不变； 乘 ：，方向翻转。 为什么？（作差看符号） 。 ， 时积为正； 时积为负。 思考： 时？ 两边同乘 0 得 ，两式相等。所以不等式两边不能同乘（除以）0。 推论：两边同除以一个数 ，； 时反向。 点击继续 2.1.2 · 性质 5—6 同向可加、同向同正可乘 高中数学 · 人教A版（2019）必修第一册 14 性质 5（同向可加） ， 语言表述：两个同向不等式可以逐项相加。 举例：，。 性质 6（同向同正可乘） ， 语言表述：两边都是正数时，同向不等式可以逐项相乘。 举例：，。 性质 5 的证明 由 及性质 3 得 ； 由 及性质 3 得 ； 由性质 2（传递）得 。 性质 6 的证明 由 ， 及性质 4 得 ； 由 ， 及性质 4 得 ； 由性质 2 得 。 可见：性质 5、6 都是“性质 3 + 性质 4 + 传递性”的组合。 点击继续 2.1.2 · 性质 7—8 乘方、开方与 8 条性质汇总 高中数学 · 人教A版（2019）必修第一册 15 性质 7（乘方） （，） 语言表述：正数的不等式，两边同次乘方，方向不变。 举例：，即 。 性质 8（开方，补充） （，） 语言表述：正数的不等式，两边同次开方，方向不变。 举例：，即 。 性质 7 由性质 6 反复相乘得到；性质 8 是它的逆用。 8 条性质一览（条件缺一不可） 序号 条件 结论 1 对称 无 2 传递 ， 3 可加 无 4 可乘 / / 5 同向可加 ， 6 同向可乘 ， 7 乘方 8 开方 记忆线索：对称 → 传递 → 加减 → 乘除 → 组合 → 乘方开方。 所有“反向”都来自乘（除）负数。 点击继续 2.1.2 · 例2 用性质证明：取倒数后不等号反向 高中数学 · 人教A版（2019）必修第一册 16 例 2 已知 ，，求证 。 分析：要证 。因为 ，由性质 4，只需证 。 ① 由 ，得 ，且 。 ② 在 两边同乘 （正数），得 ，即 。 ③ 也就是 。 ④ 又 ，在 两边同乘 ，不等号反向： 得 。证毕。 要点 负数的“反转”是全题的关键；同乘（除）一个式子前，必须先判断它的正负。 点击继续 2.1 · 当堂检测 四个小题，检测“作差”与“性质” 高中数学 · 人教A版（2019）必修第一册 17 1. 比较 与 的大小。 差 ，故前者小于后者。 2. 用“”或“”填空： （1）， ____ （2）， ____ （3） ____ （4） ____ 答案：（1）　　（2）　　（3）　　（4） 3. 判断：“若 ，则 。”（　） 假。 时 。正确结论：，当 时为 。 4. 某种商品原价 元，先提价 10%，再降价 10%，现价 元，比较 与 。 。 点击继续 2.1 · 课堂小结 一条主线、两种语言、四步方法 高中数学 · 人教A版（2019）必修第一册 18 知识结构 现实中的不等关系 → 不等式（组） → 实数大小的基本事实（差与 0 比） → 作差法比较大小 → 8 条不等式性质 → 证明与求范围 两个提醒 ① 乘（除）负数，不等号反向； ② 同向相乘必须“两边都为正”。 文字语言与符号语言的互译要准确：“不低于”是 ，“不超过”是 。 方法回顾 作差 → 变形（因式分解 / 配方 / 通分）→ 判号 → 结论；证明性质时，每步注明依据（性质 3、性质 4、传递性……）。 作业 教材 P42 习题 2.1 第 1、2、3、4 题；补充：用性质证明 。 点击继续 题型一 用不等式(组)表示不等关系 【例1】　某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种,按照生产的要求,600 mm钢管的数量不能超过 500 mm钢管数量的3倍.试用不等式或不等式组表示上述问题中的不等关系. 解:设截得500 mm钢管x根,截得600 mm钢管y根,依题意可得不等式组即 19 [跟踪训练] 1.用一段长28 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m,要求菜园的面积不小于216 m2,靠墙的一边长为x m,其中的不等关系可用不等式(组)如何表示? 解:矩形菜园靠墙的一边长为x m,则另一边长为 m,即(14-)m,根据已知,得 题型二 比较数(式)的大小 【例2】　若a=2x2+1,b=x2+2x,c=-x-3,试比较a,b,c的大小. 【解题模型示范】 21 2.变式练(教材P38例1变式)若a=(x+5)·(x+7),b=(x+6)2,则a,b的大小关系是 . [跟踪训练] a<b 解析:因为a-b =(x+5)(x+7)-(x+6)2 =x2+12x+35-(x2+12x+36) =-1<0, 所以a<b. 3.同类练(2025年汕头月考)(1)已知a>1,证明a+2> 证明:因为(a+2)- ==, a2+a+1=(a+)2+≥>0, 又当a>1时,a-1>0, 所以>0, 即a+2>. (2)已知a=x3+y3,b=x2y+xy2,其中x>0,y>0且x≠y,比较a,b的大小. 解:因为a=x3+y3,b=x2y+xy2, 所以a-b=x3+y3-(x2y+xy2)=x3+y3-x2y-xy2=(x-y)2(x+y). 因为x>0,y>0且x≠y, 所以x+y>0,(x-y)2>0, 所以a-b>0, 即a>b. $